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12. 如图10,在$△ ABC$中,$AC=BC$,将$△ ABC$绕点A逆时针旋转$60°$,得到$△ ADE$.若$AB=2$,$∠ ACB=30°$,则线段$CD$的长度为.
答案
$\boldsymbol{2}$
解析
【分析】
解题时首先利用旋转的性质得到等边△ABD，求出AD的长度和∠BAD的度数；再结合等腰△ABC的内角和求出∠CAB的度数，进而得到∠CAD的度数；接着通过作辅助线CD，利用SSS证明△ACD≌△BCD，得到∠ACD的度数；最后根据等角对等边即可求出CD的长度。具体思路如下：
1. 由旋转性质得AB=AD，旋转角为60°，判定△ABD是等边三角形，得AD=AB=2；
2. 等腰△ABC中，根据内角和计算底角∠CAB=75°，进而得∠CAD=15°；
3. 证明△ACD≌△BCD，推导得∠ACD=15°，发现∠CAD=∠ACD，即可得CD=AD。
【解析】
连接BD、CD，
∵ 将△ABC绕点A逆时针旋转60°得到△ADE，
∴ AB=AD，∠BAD=60°，
∴ △ABD是等边三角形，
∴ AD=BD=AB=2。
又
∵ AC=BC，∠ACB=30°，
∴ ∠CAB=∠CBA=(180°-30°)÷2=75°，
∴ ∠CAD=∠CAB - ∠BAD=75°-60°=15°。
在△ACD和△BCD中：
$\{\begin{array}{l} AC=BC（已知）\\ AD=BD（等边三角形性质）\\ CD=CD（公共边）\end{array} $
∴ △ACD≌△BCD（SSS），
∴ ∠ACD=∠BCD=$\frac{1}{2}$∠ACB=15°，
∴ ∠CAD=∠ACD=15°，
∴ CD=AD=2。
【答案】
$\boldsymbol{2}$
【知识点】
旋转的性质；全等三角形的判定与性质；等腰三角形的性质
【点评】
本题属于几何基础综合题，解题的关键是结合旋转性质构造等边三角形，再通过全等三角形转换角的关系，最终利用等角对等边求出线段长度，对辅助线的构造能力有一定要求。
【难度系数】
0.6
解题时首先利用旋转的性质得到等边△ABD，求出AD的长度和∠BAD的度数；再结合等腰△ABC的内角和求出∠CAB的度数，进而得到∠CAD的度数；接着通过作辅助线CD，利用SSS证明△ACD≌△BCD，得到∠ACD的度数；最后根据等角对等边即可求出CD的长度。具体思路如下：
1. 由旋转性质得AB=AD，旋转角为60°，判定△ABD是等边三角形，得AD=AB=2；
2. 等腰△ABC中，根据内角和计算底角∠CAB=75°，进而得∠CAD=15°；
3. 证明△ACD≌△BCD，推导得∠ACD=15°，发现∠CAD=∠ACD，即可得CD=AD。
【解析】
连接BD、CD，
∵ 将△ABC绕点A逆时针旋转60°得到△ADE，
∴ AB=AD，∠BAD=60°，
∴ △ABD是等边三角形，
∴ AD=BD=AB=2。
又
∵ AC=BC，∠ACB=30°，
∴ ∠CAB=∠CBA=(180°-30°)÷2=75°，
∴ ∠CAD=∠CAB - ∠BAD=75°-60°=15°。
在△ACD和△BCD中：
$\{\begin{array}{l} AC=BC（已知）\\ AD=BD（等边三角形性质）\\ CD=CD（公共边）\end{array} $
∴ △ACD≌△BCD（SSS），
∴ ∠ACD=∠BCD=$\frac{1}{2}$∠ACB=15°，
∴ ∠CAD=∠ACD=15°，
∴ CD=AD=2。
【答案】
$\boldsymbol{2}$
【知识点】
旋转的性质；全等三角形的判定与性质；等腰三角形的性质
【点评】
本题属于几何基础综合题，解题的关键是结合旋转性质构造等边三角形，再通过全等三角形转换角的关系，最终利用等角对等边求出线段长度，对辅助线的构造能力有一定要求。
【难度系数】
0.6
13. 如图11，直线$a// b$，$△ AOB$的边$OB$在直线$b$上，$∠ AOB=55°$，将$△ AOB$绕点$O$顺时针旋转$75°$至$△ A_1OB_1$，边$A_1O$交直线$a$于点$C$，则$∠ 1=$。
图11 图12 图13
图11 图12 图13
答案
$\boldsymbol{50°}$
解析
【分析】
解题时先明确用到的核心性质：首先根据旋转的特征得到旋转角的度数，结合已知的∠AOB的度数，利用平角为180°求出旋转后OA₁与直线b的夹角，最后根据平行线的内错角相等的性质，就能算出∠1的度数。
【解析】
解：
∵ △AOB绕点O顺时针旋转75°得到△A₁OB₁
∴ 旋转角$∠ AOA_1=75°$
∵ $∠ AOB=55°$，且OB在直线b上，平角为$180°$
∴ $∠ A_1OB=180°-∠ AOB-∠ AOA_1=180°-55°-75°=50°$
又
∵ 直线$a// b$，∠1与$∠ A_1OB$为内错角
∴ $∠ 1=∠ A_1OB=50°$（两直线平行，内错角相等）
【答案】
$\boldsymbol{50°}$
【知识点】
旋转的性质，平行线的性质
【点评】
本题属于基础几何综合题，将旋转的角度变化和平行线的角度关系结合考查，解题关键是准确识别旋转角，正确利用平行线的性质转化角度即可求解。
【难度系数】
0.7
解题时先明确用到的核心性质：首先根据旋转的特征得到旋转角的度数，结合已知的∠AOB的度数，利用平角为180°求出旋转后OA₁与直线b的夹角，最后根据平行线的内错角相等的性质，就能算出∠1的度数。
【解析】
解：
∵ △AOB绕点O顺时针旋转75°得到△A₁OB₁
∴ 旋转角$∠ AOA_1=75°$
∵ $∠ AOB=55°$，且OB在直线b上，平角为$180°$
∴ $∠ A_1OB=180°-∠ AOB-∠ AOA_1=180°-55°-75°=50°$
又
∵ 直线$a// b$，∠1与$∠ A_1OB$为内错角
∴ $∠ 1=∠ A_1OB=50°$（两直线平行，内错角相等）
【答案】
$\boldsymbol{50°}$
【知识点】
旋转的性质，平行线的性质
【点评】
本题属于基础几何综合题，将旋转的角度变化和平行线的角度关系结合考查，解题关键是准确识别旋转角，正确利用平行线的性质转化角度即可求解。
【难度系数】
0.7
14. (2024·雅安)如图12,在$△ ABC$和$△ ADE$中,$AB = AC$, $∠ BAC = ∠ DAE = 40°$,将$△ ADE$绕点$A$顺时针旋转一定角度,当$AD// BC$时,$∠ BAE$的度数是.
答案
$\boldsymbol{30°}$
解析
【分析】
解题时先从已知的等腰三角形条件入手，利用等腰三角形两底角相等的性质求出△ABC的底角∠B的度数；再根据AD平行BC的条件，结合平行线的内错角相等性质得到∠DAB的度数；最后利用已知∠DAE和∠BAC相等的条件，通过角的和差关系计算出∠BAE的度数。
【解析】
解：
∵AB=AC，∠BAC=40°
∴△ABC是等腰三角形，底角∠ABC=$\frac{180°-∠BAC}{2}=\frac{180°-40°}{2}=70°$
∵AD//BC，AB是两平行线的截线
∴∠DAB=∠ABC=70°（两直线平行，内错角相等）
又
∵∠DAE=∠BAC=40°
∴∠BAE=∠DAB - ∠DAE=70°-40°=30°
【答案】
$\boldsymbol{30°}$
【知识点】
等腰三角形的性质，平行线的性质，旋转的性质
【点评】
本题属于基础几何计算题，将多个基础几何性质结合考查，解题的关键是理清各个角之间的数量关系，掌握常见的基础几何性质即可顺利解题。
【难度系数】
0.7
解题时先从已知的等腰三角形条件入手，利用等腰三角形两底角相等的性质求出△ABC的底角∠B的度数；再根据AD平行BC的条件，结合平行线的内错角相等性质得到∠DAB的度数；最后利用已知∠DAE和∠BAC相等的条件，通过角的和差关系计算出∠BAE的度数。
【解析】
解：
∵AB=AC，∠BAC=40°
∴△ABC是等腰三角形，底角∠ABC=$\frac{180°-∠BAC}{2}=\frac{180°-40°}{2}=70°$
∵AD//BC，AB是两平行线的截线
∴∠DAB=∠ABC=70°（两直线平行，内错角相等）
又
∵∠DAE=∠BAC=40°
∴∠BAE=∠DAB - ∠DAE=70°-40°=30°
【答案】
$\boldsymbol{30°}$
【知识点】
等腰三角形的性质，平行线的性质，旋转的性质
【点评】
本题属于基础几何计算题，将多个基础几何性质结合考查，解题的关键是理清各个角之间的数量关系，掌握常见的基础几何性质即可顺利解题。
【难度系数】
0.7
15. (2025·自贡)如图13,在平面直角坐标系$xOy$中,$Rt△ ABC$的顶点$C,A$分别在$x$轴、$y$轴正半轴上,$∠ ACB=90°$,$∠ BAC=30°$,$BC=2$.以$BC$为边作等边$△ BCD$,连接$OD$,则$OD$的最大值为.
答案
$\boldsymbol{\sqrt{3}+1}$
解析
【分析】
本题是动态几何最值问题，解题思路如下：1. 先根据直角三角形的边角关系，求出定长线段AC的长度；2. 利用A、C分别在坐标轴上，∠AOC为直角的特点，取AC中点P，根据直角三角形斜边中线等于斜边的一半，得到OP为定值；3. 结合等边三角形的性质，证明PD也为定值；4. 最后根据三角形三边关系，两边之和大于第三边，当三点共线时OD取得最大值，即两条定长线段的和。
【解析】
解：在Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠BAC=30°，BC=2，
∴ $AC = BC · \cot30° = 2 × \sqrt{3} = 2\sqrt{3}$。
取AC的中点P，连接OP、PD，
∵ 点A在y轴正半轴，点C在x轴正半轴，
∴ ∠AOC=90°，
在Rt△AOC中，OP是斜边AC的中线，
∴ $OP = \frac{1}{2}AC = \frac{1}{2} × 2\sqrt{3} = \sqrt{3}$（定值）。
∵ P是AC中点，
∴ $PC = \frac{1}{2}AC = \sqrt{3}$，
∵ △BCD是等边三角形，
∴ CD=BC=2，∠BCD=60°，
∴ ∠PCD = ∠ACB - ∠BCD = 90° - 60° = 30°，
过点D作DE⊥AC于点E，在Rt△CDE中：
$CE = CD · \cos30° = 2 × \frac{\sqrt{3}}{2} = \sqrt{3} = PC$，
∴ 点E与点P重合，即DP⊥AC，
∴ $PD = CD · \sin30° = 2 × \frac{1}{2} = 1$（定值）。
在△OPD中，由三角形三边关系可得：$OD ≤ OP + PD$，
当且仅当O、P、D三点共线时，等号成立，
∴ OD的最大值为$\sqrt{3} + 1$。
【答案】
$\sqrt{3}+1$
【知识点】
直角三角形的性质，等边三角形的性质，三角形三边关系
【点评】
本题是动态几何中的常见最值题型，解题的核心是通过取中点构造出两条定长线段，将未知的最值问题转化为三角形三边关系的应用，较好地考查了几何转化思想和动态分析能力。
【难度系数】
0.3
本题是动态几何最值问题，解题思路如下：1. 先根据直角三角形的边角关系，求出定长线段AC的长度；2. 利用A、C分别在坐标轴上，∠AOC为直角的特点，取AC中点P，根据直角三角形斜边中线等于斜边的一半，得到OP为定值；3. 结合等边三角形的性质，证明PD也为定值；4. 最后根据三角形三边关系，两边之和大于第三边，当三点共线时OD取得最大值，即两条定长线段的和。
【解析】
解：在Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠BAC=30°，BC=2，
∴ $AC = BC · \cot30° = 2 × \sqrt{3} = 2\sqrt{3}$。
取AC的中点P，连接OP、PD，
∵ 点A在y轴正半轴，点C在x轴正半轴，
∴ ∠AOC=90°，
在Rt△AOC中，OP是斜边AC的中线，
∴ $OP = \frac{1}{2}AC = \frac{1}{2} × 2\sqrt{3} = \sqrt{3}$（定值）。
∵ P是AC中点，
∴ $PC = \frac{1}{2}AC = \sqrt{3}$，
∵ △BCD是等边三角形，
∴ CD=BC=2，∠BCD=60°，
∴ ∠PCD = ∠ACB - ∠BCD = 90° - 60° = 30°，
过点D作DE⊥AC于点E，在Rt△CDE中：
$CE = CD · \cos30° = 2 × \frac{\sqrt{3}}{2} = \sqrt{3} = PC$，
∴ 点E与点P重合，即DP⊥AC，
∴ $PD = CD · \sin30° = 2 × \frac{1}{2} = 1$（定值）。
在△OPD中，由三角形三边关系可得：$OD ≤ OP + PD$，
当且仅当O、P、D三点共线时，等号成立，
∴ OD的最大值为$\sqrt{3} + 1$。
【答案】
$\sqrt{3}+1$
【知识点】
直角三角形的性质，等边三角形的性质，三角形三边关系
【点评】
本题是动态几何中的常见最值题型，解题的核心是通过取中点构造出两条定长线段，将未知的最值问题转化为三角形三边关系的应用，较好地考查了几何转化思想和动态分析能力。
【难度系数】
0.3
三、解答题(本大题共8小题,共75分)
16.(8分)如图14,在菱形ABCD中,∠A=110°,E是菱形ABCD内一点,连接CE,绕点C顺时针旋转110°,得到线段CF,连接BE,DF.若∠E=86°,求∠F的度数.
16.(8分)如图14,在菱形ABCD中,∠A=110°,E是菱形ABCD内一点,连接CE,绕点C顺时针旋转110°,得到线段CF,连接BE,DF.若∠E=86°,求∠F的度数.
答案
解：
∵ 四边形ABCD是菱形，
∴ $BC=CD$，$∠ BCD = ∠ A = 110°$。
由旋转的性质可得：$CE=CF$，$∠ ECF=110°$，
∴ $∠ BCD = ∠ ECF$，
∴ $∠ BCD - ∠ ECD = ∠ ECF - ∠ ECD$，
即 $∠ BCE = ∠ DCF$。
在$△ BCE$和$△ DCF$中：
$\begin{cases}BC = DC \\∠ BCE = ∠ DCF \\CE = CF\end{cases}$
∴ $△ BCE ≌ △ DCF$（SAS），
∴ $∠ F = ∠ E = 86°$。
答：$∠ F$的度数为$86°$。
∵ 四边形ABCD是菱形，
∴ $BC=CD$，$∠ BCD = ∠ A = 110°$。
由旋转的性质可得：$CE=CF$，$∠ ECF=110°$，
∴ $∠ BCD = ∠ ECF$，
∴ $∠ BCD - ∠ ECD = ∠ ECF - ∠ ECD$，
即 $∠ BCE = ∠ DCF$。
在$△ BCE$和$△ DCF$中：
$\begin{cases}BC = DC \\∠ BCE = ∠ DCF \\CE = CF\end{cases}$
∴ $△ BCE ≌ △ DCF$（SAS），
∴ $∠ F = ∠ E = 86°$。
答：$∠ F$的度数为$86°$。
解析
【分析】
要求∠F的度数，已知∠E=86°，可尝试证明∠F与∠E相等，即证明两角所在的三角形全等。首先利用菱形的性质得到边相等、角相等的关系，再结合旋转的性质得到对应边相等、旋转角相等，通过角的等量代换得到两个三角形的对应夹角相等，即可用SAS判定三角形全等，进而得到对应角相等，求出∠F的度数。
【解析】
∵ 四边形ABCD是菱形，
∴ $BC=CD$，$∠ BCD = ∠ A = 110°$。
由旋转的性质可得：$CE=CF$，$∠ ECF=110°$，
∴ $∠ BCD = ∠ ECF$，
∴ $∠ BCD - ∠ ECD = ∠ ECF - ∠ ECD$，
即 $∠ BCE = ∠ DCF$。
在$△ BCE$和$△ DCF$中：
$\begin{cases}BC = DC \\∠ BCE = ∠ DCF \\CE = CF\end{cases}$
∴ $△ BCE ≌ △ DCF$（SAS），
∴ $∠ F = ∠ E = 86°$。
【答案】
$86°$
【知识点】
菱形的性质、旋转的性质、全等三角形的判定与性质
【点评】
本题属于几何基础题型，综合考查了菱形、旋转的性质以及全等三角形的判定与应用，解题的核心是通过角的和差关系推导得到全等的夹角条件，进而通过全等三角形对应角相等得到结论。
【难度系数】
0.7
要求∠F的度数，已知∠E=86°，可尝试证明∠F与∠E相等，即证明两角所在的三角形全等。首先利用菱形的性质得到边相等、角相等的关系，再结合旋转的性质得到对应边相等、旋转角相等，通过角的等量代换得到两个三角形的对应夹角相等，即可用SAS判定三角形全等，进而得到对应角相等，求出∠F的度数。
【解析】
∵ 四边形ABCD是菱形，
∴ $BC=CD$，$∠ BCD = ∠ A = 110°$。
由旋转的性质可得：$CE=CF$，$∠ ECF=110°$，
∴ $∠ BCD = ∠ ECF$，
∴ $∠ BCD - ∠ ECD = ∠ ECF - ∠ ECD$，
即 $∠ BCE = ∠ DCF$。
在$△ BCE$和$△ DCF$中：
$\begin{cases}BC = DC \\∠ BCE = ∠ DCF \\CE = CF\end{cases}$
∴ $△ BCE ≌ △ DCF$（SAS），
∴ $∠ F = ∠ E = 86°$。
【答案】
$86°$
【知识点】
菱形的性质、旋转的性质、全等三角形的判定与性质
【点评】
本题属于几何基础题型，综合考查了菱形、旋转的性质以及全等三角形的判定与应用，解题的核心是通过角的和差关系推导得到全等的夹角条件，进而通过全等三角形对应角相等得到结论。
【难度系数】
0.7
