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8. 图6是一副三角尺ABC和DEF拼成的图案，若将三角尺DEF绕点M按顺时针方向旋转，则边DE与边AB第一次平行时，旋转角的度数是（）
A.$75°$
B.$60°$
C.$45°$
D.$30°$
A.$75°$
B.$60°$
C.$45°$
D.$30°$
答案
D
解析
【分析】
首先明确两类三角尺的固定内角度数：等腰直角三角尺ABC的两个锐角均为45°，含30°角的直角三角尺DEF的两个锐角分别为30°、60°。解题时先根据旋转的性质，明确旋转角是图形绕点M旋转前后对应边的夹角；再结合平行线的判定规则，当DE与AB平行时内错角相等，可得到此时对应角的度数，用初始状态下对应边的夹角减去平行时的夹角，即可得到第一次平行时的最小旋转角。
【解析】
解：由三角尺的角度特征可知，等腰直角三角尺ABC中∠B=45°。
初始拼接时，可得边DE与边BC的夹角为75°。若要DE与AB平行，根据“内错角相等，两直线平行”，需要DE与BC的夹角等于∠B=45°。
因为是绕点M顺时针旋转，所以旋转角的度数为初始夹角减去平行时的夹角，即$75°-45°=30°$，此时为边DE与边AB第一次平行的状态。
【答案】
D
【知识点】
旋转的性质，平行线的判定，三角尺角度特征
【点评】
本题结合常见的三角尺拼接场景考查基础几何性质的应用，解题的核心是明确旋转角的定义，结合平行线的判定找到角度差，同时注意“第一次平行”对应最小的旋转角，避免多解混淆。
【难度系数】
0.7
首先明确两类三角尺的固定内角度数：等腰直角三角尺ABC的两个锐角均为45°，含30°角的直角三角尺DEF的两个锐角分别为30°、60°。解题时先根据旋转的性质，明确旋转角是图形绕点M旋转前后对应边的夹角；再结合平行线的判定规则，当DE与AB平行时内错角相等，可得到此时对应角的度数，用初始状态下对应边的夹角减去平行时的夹角，即可得到第一次平行时的最小旋转角。
【解析】
解：由三角尺的角度特征可知，等腰直角三角尺ABC中∠B=45°。
初始拼接时，可得边DE与边BC的夹角为75°。若要DE与AB平行，根据“内错角相等，两直线平行”，需要DE与BC的夹角等于∠B=45°。
因为是绕点M顺时针旋转，所以旋转角的度数为初始夹角减去平行时的夹角，即$75°-45°=30°$，此时为边DE与边AB第一次平行的状态。
【答案】
D
【知识点】
旋转的性质，平行线的判定，三角尺角度特征
【点评】
本题结合常见的三角尺拼接场景考查基础几何性质的应用，解题的核心是明确旋转角的定义，结合平行线的判定找到角度差，同时注意“第一次平行”对应最小的旋转角，避免多解混淆。
【难度系数】
0.7
9. (2026·遂宁)如图7,在$Rt△ ABC$中,$∠ B=90°$,$AB=5$,$BC=12$,点M是边AC的中点.将$△ ABC$绕着点A逆时针旋转到$△ ADE$的位置,点D恰好在边AC上,点$M'$是点M的对应点,则M,$M'$两点间的距离为 ()
A.$2\sqrt{5}$
B.$2\sqrt{13}$
C.$4\sqrt{5}$
D.$4\sqrt{13}$
图6 图7 图8
A.$2\sqrt{5}$
B.$2\sqrt{13}$
C.$4\sqrt{5}$
D.$4\sqrt{13}$
图6 图7 图8
答案
B
解析
【分析】
解题时可按以下思路推导：①先在Rt△ABC中用勾股定理算出斜边AC的长度；②结合中点性质得到AM的长度，再根据旋转的性质，明确旋转前后对应线段AM'=AM，旋转角等于∠BAC；③通过作M'到AC的垂线构造直角三角形，利用三角函数求出垂线段和水平线段的长度，最后用勾股定理计算MM'的距离即可。
【解析】
1. 计算AC的长度：
在$Rt△ABC$中，$∠B=90°$，$AB=5$，$BC=12$，由勾股定理得：
$AC=\sqrt{AB^2+BC^2}=\sqrt{5^2+12^2}=\sqrt{169}=13$
2. 结合中点和旋转性质推导相关边长：
∵M是AC的中点，
∴$AM=\frac{1}{2}AC=\frac{13}{2}$
由旋转的性质可得：$AM'=AM=\frac{13}{2}$，$∠M'AM=∠BAC$
3. 构造直角三角形求解：
过点$M'$作$M'H⊥AC$于点H，
在$Rt△ABC$中，$cos∠BAC=\frac{AB}{AC}=\frac{5}{13}$，$sin∠BAC=\frac{BC}{AC}=\frac{12}{13}$
在$Rt△AM'H$中：
$AH=AM'·cos∠M'AH=\frac{13}{2}×\frac{5}{13}=\frac{5}{2}$
$M'H=AM'·sin∠M'AH=\frac{13}{2}×\frac{12}{13}=6$
4. 计算$MM'$的长度：
$MH=AM-AH=\frac{13}{2}-\frac{5}{2}=4$
在$Rt△MHM'$中，由勾股定理得：
$MM'=\sqrt{MH^2+M'H^2}=\sqrt{4^2+6^2}=\sqrt{52}=2\sqrt{13}$
【答案】
B
【知识点】
勾股定理，旋转的性质，解直角三角形
【点评】
本题是几何综合基础题，将旋转性质与解直角三角形结合考查，解题的关键是抓住旋转前后对应边、对应角相等的性质，通过作辅助线构造直角三角形简化计算。
【难度系数】
0.6
解题时可按以下思路推导：①先在Rt△ABC中用勾股定理算出斜边AC的长度；②结合中点性质得到AM的长度，再根据旋转的性质，明确旋转前后对应线段AM'=AM，旋转角等于∠BAC；③通过作M'到AC的垂线构造直角三角形，利用三角函数求出垂线段和水平线段的长度，最后用勾股定理计算MM'的距离即可。
【解析】
1. 计算AC的长度：
在$Rt△ABC$中，$∠B=90°$，$AB=5$，$BC=12$，由勾股定理得：
$AC=\sqrt{AB^2+BC^2}=\sqrt{5^2+12^2}=\sqrt{169}=13$
2. 结合中点和旋转性质推导相关边长：
∵M是AC的中点，
∴$AM=\frac{1}{2}AC=\frac{13}{2}$
由旋转的性质可得：$AM'=AM=\frac{13}{2}$，$∠M'AM=∠BAC$
3. 构造直角三角形求解：
过点$M'$作$M'H⊥AC$于点H，
在$Rt△ABC$中，$cos∠BAC=\frac{AB}{AC}=\frac{5}{13}$，$sin∠BAC=\frac{BC}{AC}=\frac{12}{13}$
在$Rt△AM'H$中：
$AH=AM'·cos∠M'AH=\frac{13}{2}×\frac{5}{13}=\frac{5}{2}$
$M'H=AM'·sin∠M'AH=\frac{13}{2}×\frac{12}{13}=6$
4. 计算$MM'$的长度：
$MH=AM-AH=\frac{13}{2}-\frac{5}{2}=4$
在$Rt△MHM'$中，由勾股定理得：
$MM'=\sqrt{MH^2+M'H^2}=\sqrt{4^2+6^2}=\sqrt{52}=2\sqrt{13}$
【答案】
B
【知识点】
勾股定理，旋转的性质，解直角三角形
【点评】
本题是几何综合基础题，将旋转性质与解直角三角形结合考查，解题的关键是抓住旋转前后对应边、对应角相等的性质，通过作辅助线构造直角三角形简化计算。
【难度系数】
0.6
10. 如图8,在平面直角坐标系中,边长为2的正六边形ABCDEF的中心与原点O重合,AB//x轴,交y轴于点P.将△OAP绕点O顺时针旋转,每次旋转90°,则第2026次旋转结束时,点A的坐标为 ()
A.$(\sqrt{3},-1)$
B.$(-1,-\sqrt{3})$
C.$(-\sqrt{3},-1)$
D.$(1,\sqrt{3})$
A.$(\sqrt{3},-1)$
B.$(-1,-\sqrt{3})$
C.$(-\sqrt{3},-1)$
D.$(1,\sqrt{3})$
答案
B
解析
【分析】
解题分三步思考：第一步先求初始状态下点A的坐标，利用正六边形边长等于中心到顶点的距离，结合AB平行x轴、等边三角形的性质可算出坐标；第二步明确旋转规律，每次顺时针转90°，每4次旋转为一个周期（旋转360°回到原位置）；第三步计算2026次旋转对应的余数，确定等效旋转次数，再用旋转坐标变化规则求最终坐标。
【解析】
1. 求初始点A的坐标：
正六边形边长为2，中心与原点重合，故OA=2，△OAB为等边三角形。
已知AB//x轴，交y轴于点P，因此P是AB中点，AP=1，且OP⊥AB。
由勾股定理得：$OP=\sqrt{OA^2-AP^2}=\sqrt{2^2-1^2}=\sqrt{3}$，结合顶点顺序可得初始点A坐标为$(1,\sqrt{3})$。
2. 确定旋转周期：
每次顺时针旋转90°，旋转4次共转$4×90°=360°$，即4次为一个周期。
3. 计算等效旋转次数：
$2026÷4=506······2$，即第2026次旋转等效于顺时针旋转2次，共旋转$2×90°=180°$。
4. 求旋转后坐标：
点$(x,y)$绕原点顺时针旋转180°后坐标为$(-x,-y)$，因此$(1,\sqrt{3})$旋转后坐标为$(-1,-\sqrt{3})$。
【答案】
B
【知识点】
正六边形的性质，坐标与旋转，周期规律
【点评】
本题属于规律探究类综合题，将正六边形性质和旋转的坐标变化结合考查，核心是找准初始坐标和旋转周期，掌握旋转坐标变换规则即可快速解题。
【难度系数】
0.6
解题分三步思考：第一步先求初始状态下点A的坐标，利用正六边形边长等于中心到顶点的距离，结合AB平行x轴、等边三角形的性质可算出坐标；第二步明确旋转规律，每次顺时针转90°，每4次旋转为一个周期（旋转360°回到原位置）；第三步计算2026次旋转对应的余数，确定等效旋转次数，再用旋转坐标变化规则求最终坐标。
【解析】
1. 求初始点A的坐标：
正六边形边长为2，中心与原点重合，故OA=2，△OAB为等边三角形。
已知AB//x轴，交y轴于点P，因此P是AB中点，AP=1，且OP⊥AB。
由勾股定理得：$OP=\sqrt{OA^2-AP^2}=\sqrt{2^2-1^2}=\sqrt{3}$，结合顶点顺序可得初始点A坐标为$(1,\sqrt{3})$。
2. 确定旋转周期：
每次顺时针旋转90°，旋转4次共转$4×90°=360°$，即4次为一个周期。
3. 计算等效旋转次数：
$2026÷4=506······2$，即第2026次旋转等效于顺时针旋转2次，共旋转$2×90°=180°$。
4. 求旋转后坐标：
点$(x,y)$绕原点顺时针旋转180°后坐标为$(-x,-y)$，因此$(1,\sqrt{3})$旋转后坐标为$(-1,-\sqrt{3})$。
【答案】
B
【知识点】
正六边形的性质，坐标与旋转，周期规律
【点评】
本题属于规律探究类综合题，将正六边形性质和旋转的坐标变化结合考查，核心是找准初始坐标和旋转周期，掌握旋转坐标变换规则即可快速解题。
【难度系数】
0.6
二、填空题(每小题3分,共15分)
11.(2025·山西)如图9,在平面直角坐标系中,点A的坐标为(6,0),将线段OA绕点O逆时针旋转45°,则点A对应点的坐标为.
11.(2025·山西)如图9,在平面直角坐标系中,点A的坐标为(6,0),将线段OA绕点O逆时针旋转45°,则点A对应点的坐标为.
答案
解：设点A旋转后的对应点为A'，过点A'作A'B⊥x轴于点B。
由旋转的性质可知，OA'=OA=6，∠A'OB=45°。
在Rt△OA'B中，
$OB = OA'·\cos45° = 6×\frac{\sqrt{2}}{2}=3\sqrt{2}$，
$A'B = OA'·\sin45° = 6×\frac{\sqrt{2}}{2}=3\sqrt{2}$，
因此点A对应点的坐标为$(3\sqrt{2},3\sqrt{2})$。
由旋转的性质可知，OA'=OA=6，∠A'OB=45°。
在Rt△OA'B中，
$OB = OA'·\cos45° = 6×\frac{\sqrt{2}}{2}=3\sqrt{2}$，
$A'B = OA'·\sin45° = 6×\frac{\sqrt{2}}{2}=3\sqrt{2}$，
因此点A对应点的坐标为$(3\sqrt{2},3\sqrt{2})$。
解析
【分析】
解决本题首先回忆旋转的核心性质：旋转前后对应点到旋转中心的距离相等，旋转角等于对应线段的夹角。由此先确定旋转后线段OA'的长度等于OA=6，且OA'与x轴正方向的夹角为45°。要求点A'的坐标，只需过A'向x轴作垂线构造直角三角形，利用锐角三角函数分别计算出垂足到原点的距离（即点A'的横坐标）和垂线段的长度（即点A'的纵坐标），结合点在第一象限横纵坐标均为正，即可得出结果。
【解析】
设点A旋转后的对应点为A'，过点A'作A'B⊥x轴于点B。
由旋转的性质可知，OA'=OA=6，∠A'OB=45°。
在Rt△OA'B中，
$OB = OA'·\cos45° = 6×\frac{\sqrt{2}}{2}=3\sqrt{2}$，
$A'B = OA'·\sin45° = 6×\frac{\sqrt{2}}{2}=3\sqrt{2}$，
因此点A对应点的坐标为$(3\sqrt{2},3\sqrt{2})$。
【答案】
$(3\sqrt{2},3\sqrt{2})$
【知识点】
1. 旋转的性质
2. 锐角三角函数应用
3. 坐标的确定
【点评】
本题是旋转与解直角三角形结合的基础题型，解题关键是利用旋转性质得到线段长度和夹角，通过构造直角三角形求解坐标，侧重对基础解题方法的考查。
【难度系数】
0.8
解决本题首先回忆旋转的核心性质：旋转前后对应点到旋转中心的距离相等，旋转角等于对应线段的夹角。由此先确定旋转后线段OA'的长度等于OA=6，且OA'与x轴正方向的夹角为45°。要求点A'的坐标，只需过A'向x轴作垂线构造直角三角形，利用锐角三角函数分别计算出垂足到原点的距离（即点A'的横坐标）和垂线段的长度（即点A'的纵坐标），结合点在第一象限横纵坐标均为正，即可得出结果。
【解析】
设点A旋转后的对应点为A'，过点A'作A'B⊥x轴于点B。
由旋转的性质可知，OA'=OA=6，∠A'OB=45°。
在Rt△OA'B中，
$OB = OA'·\cos45° = 6×\frac{\sqrt{2}}{2}=3\sqrt{2}$，
$A'B = OA'·\sin45° = 6×\frac{\sqrt{2}}{2}=3\sqrt{2}$，
因此点A对应点的坐标为$(3\sqrt{2},3\sqrt{2})$。
【答案】
$(3\sqrt{2},3\sqrt{2})$
【知识点】
1. 旋转的性质
2. 锐角三角函数应用
3. 坐标的确定
【点评】
本题是旋转与解直角三角形结合的基础题型，解题关键是利用旋转性质得到线段长度和夹角，通过构造直角三角形求解坐标，侧重对基础解题方法的考查。
【难度系数】
0.8
