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3. 如图30.3-4，正六边形螺帽的边长是2 cm，这个扳手的开口a的值是().
A.$2\sqrt{3}$ cm
B.$\sqrt{3}$ cm
C.$\frac{2\sqrt{3}}{3}$ cm
D.1 cm
A.$2\sqrt{3}$ cm
B.$\sqrt{3}$ cm
C.$\frac{2\sqrt{3}}{3}$ cm
D.1 cm
答案
A
解析
【分析】
首先明确所求的扳手开口a是正六边形一组对边之间的距离。回忆正六边形的性质：正六边形的边长等于其外接圆半径，相邻两个顶点与中心的连线夹角为60°，因此中心和相邻两个顶点构成等边三角形。我们可以通过构造直角三角形先求出中心到一边的距离（边心距），对边距离等于2倍的边心距，再用勾股定理计算即可得到a的值。
【解析】
已知正六边形螺帽的边长为2cm，正六边形的外接圆半径等于边长，即外接圆半径R=2cm。
连接正六边形的中心与任意两个相邻顶点，得到边长为2cm的等边三角形。过中心作该等边三角形任意一边的垂线，得到直角三角形，该直角三角形的斜边为2cm，一条直角边为边长的一半，即1cm。
根据勾股定理，边心距$r=\sqrt{2^2-1^2}=\sqrt{3}\ \mathrm{cm}$。
因为正六边形对边之间的距离a等于2倍的边心距，所以$a=2r=2×\sqrt{3}=2\sqrt{3}\ \mathrm{cm}$。
【答案】
A
【知识点】
正六边形的性质；勾股定理
【点评】
本题结合生活场景考查正多边形的相关计算，解题的关键是将开口a转化为正六边形的对边距离，利用正六边形和等边三角形的关联构造直角三角形求解，掌握正六边形的特殊性质可大幅提升解题效率。
【难度系数】
0.7
首先明确所求的扳手开口a是正六边形一组对边之间的距离。回忆正六边形的性质：正六边形的边长等于其外接圆半径，相邻两个顶点与中心的连线夹角为60°，因此中心和相邻两个顶点构成等边三角形。我们可以通过构造直角三角形先求出中心到一边的距离（边心距），对边距离等于2倍的边心距，再用勾股定理计算即可得到a的值。
【解析】
已知正六边形螺帽的边长为2cm，正六边形的外接圆半径等于边长，即外接圆半径R=2cm。
连接正六边形的中心与任意两个相邻顶点，得到边长为2cm的等边三角形。过中心作该等边三角形任意一边的垂线，得到直角三角形，该直角三角形的斜边为2cm，一条直角边为边长的一半，即1cm。
根据勾股定理，边心距$r=\sqrt{2^2-1^2}=\sqrt{3}\ \mathrm{cm}$。
因为正六边形对边之间的距离a等于2倍的边心距，所以$a=2r=2×\sqrt{3}=2\sqrt{3}\ \mathrm{cm}$。
【答案】
A
【知识点】
正六边形的性质；勾股定理
【点评】
本题结合生活场景考查正多边形的相关计算，解题的关键是将开口a转化为正六边形的对边距离，利用正六边形和等边三角形的关联构造直角三角形求解，掌握正六边形的特殊性质可大幅提升解题效率。
【难度系数】
0.7
4. 如图 30.3 - 5，若干个全等的正五边形排成环状，图中所示的是前 3 个正五边形，要完成这一圆环还需正五边形的个数为（）.
A.10
B.9
C.8
D.7
A.10
B.9
C.8
D.7
答案
D
解析
【分析】
要解决这个问题，我们可以按以下思路思考：第一步，先利用多边形内角和公式求出正五边形的内角度数；第二步，结合周角为360°的性质，求出正五边形排成圆环时，内侧形成的正多边形的内角度数；第三步，根据正多边形内角公式计算出组成圆环总共需要的正五边形个数；最后减去已有的3个，即可得到还需要的正五边形数量。
【解析】
1. 计算正五边形的内角度数：
根据多边形内角和公式，正$n$边形内角和为$(n-2)×180°$，因此正五边形每个内角的度数为：
$\frac{(5-2)×180°}{5}=108°$
2. 求内侧正多边形的内角度数：
正五边形排成环状时，在环内侧的每个公共顶点处，有2个正五边形的内角和1个内侧正多边形的内角，三者之和为周角$360°$，因此内侧正多边形的每个内角度数为：
$360° - 2×108°=144°$
3. 计算组成圆环总共需要的正五边形个数：
设内侧正多边形的边数为$n$，根据正多边形内角公式可得：
$\frac{(n-2)×180°}{n}=144°$
解方程：
$180(n-2)=144n$
$180n - 360=144n$
$36n=360$
$n=10$
即组成完整圆环共需要10个正五边形。
4. 求还需要的正五边形个数：
已有3个，因此还需要$10-3=7$个。
【答案】
D
【知识点】
多边形内角和公式，正多边形的性质，周角的定义
【点评】
本题主要考查正多边形内角相关知识的应用，解题的关键是结合图形特征找到内侧正多边形的内角度数，再利用内角和公式求解，需要一定的图形观察能力和逻辑推导能力。
【难度系数】
0.6
要解决这个问题，我们可以按以下思路思考：第一步，先利用多边形内角和公式求出正五边形的内角度数；第二步，结合周角为360°的性质，求出正五边形排成圆环时，内侧形成的正多边形的内角度数；第三步，根据正多边形内角公式计算出组成圆环总共需要的正五边形个数；最后减去已有的3个，即可得到还需要的正五边形数量。
【解析】
1. 计算正五边形的内角度数：
根据多边形内角和公式，正$n$边形内角和为$(n-2)×180°$，因此正五边形每个内角的度数为：
$\frac{(5-2)×180°}{5}=108°$
2. 求内侧正多边形的内角度数：
正五边形排成环状时，在环内侧的每个公共顶点处，有2个正五边形的内角和1个内侧正多边形的内角，三者之和为周角$360°$，因此内侧正多边形的每个内角度数为：
$360° - 2×108°=144°$
3. 计算组成圆环总共需要的正五边形个数：
设内侧正多边形的边数为$n$，根据正多边形内角公式可得：
$\frac{(n-2)×180°}{n}=144°$
解方程：
$180(n-2)=144n$
$180n - 360=144n$
$36n=360$
$n=10$
即组成完整圆环共需要10个正五边形。
4. 求还需要的正五边形个数：
已有3个，因此还需要$10-3=7$个。
【答案】
D
【知识点】
多边形内角和公式，正多边形的性质，周角的定义
【点评】
本题主要考查正多边形内角相关知识的应用，解题的关键是结合图形特征找到内侧正多边形的内角度数，再利用内角和公式求解，需要一定的图形观察能力和逻辑推导能力。
【难度系数】
0.6
5. 两个边长为2的正六边形按图30.3-6所示方式放置，则点A的坐标是().
A.$(2\sqrt{3},2\sqrt{3})$
B.$(3,4)$
C.$(4,2\sqrt{3})$
D.$(2\sqrt{3},4)$
A.$(2\sqrt{3},2\sqrt{3})$
B.$(3,4)$
C.$(4,2\sqrt{3})$
D.$(2\sqrt{3},4)$
答案
C
解析
【分析】
要确定点A的坐标，需分别计算其横坐标和纵坐标：首先利用正六边形的性质求出纵坐标，排除不符合的选项，再结合图形拼接特点求出横坐标，即可得到答案。首先回忆正六边形的性质：边长为a的正六边形，边心距（中心到边的距离）为$\frac{\sqrt{3}}{2}a$，上下对边的距离为$\sqrt{3}a$。观察图形可知正六边形下顶点都在x轴上，因此点A的纵坐标等于正六边形上下对边的距离；再分析水平方向的长度，即可得到横坐标。
【解析】
1. 求点A的纵坐标：
已知正六边形边长为2，其边心距为$\frac{\sqrt{3}}{2} × 2 = \sqrt{3}$，因此正六边形上下两条水平对边的距离为$2 × \sqrt{3} = 2\sqrt{3}$。
因为正六边形的下顶点均在x轴上，点A位于正六边形的上侧，所以点A的纵坐标为$2\sqrt{3}$，由此排除纵坐标为4的选项B、D。
2. 求点A的横坐标：
观察正六边形的边长为2，结合拼接特点，从原点O到点A的水平距离为$2+2=4$，即点A的横坐标为4。
因此点A的坐标为$(4, 2\sqrt{3})$。
【答案】
C
【知识点】
正六边形的性质；平面直角坐标系与坐标
【点评】
本题结合正六边形的拼接图形考查坐标的求解，解题的关键是熟练掌握正六边形边长和边心距的关系，通过分步求解横纵坐标缩小选项范围，降低解题难度。
【难度系数】
0.7
要确定点A的坐标，需分别计算其横坐标和纵坐标：首先利用正六边形的性质求出纵坐标，排除不符合的选项，再结合图形拼接特点求出横坐标，即可得到答案。首先回忆正六边形的性质：边长为a的正六边形，边心距（中心到边的距离）为$\frac{\sqrt{3}}{2}a$，上下对边的距离为$\sqrt{3}a$。观察图形可知正六边形下顶点都在x轴上，因此点A的纵坐标等于正六边形上下对边的距离；再分析水平方向的长度，即可得到横坐标。
【解析】
1. 求点A的纵坐标：
已知正六边形边长为2，其边心距为$\frac{\sqrt{3}}{2} × 2 = \sqrt{3}$，因此正六边形上下两条水平对边的距离为$2 × \sqrt{3} = 2\sqrt{3}$。
因为正六边形的下顶点均在x轴上，点A位于正六边形的上侧，所以点A的纵坐标为$2\sqrt{3}$，由此排除纵坐标为4的选项B、D。
2. 求点A的横坐标：
观察正六边形的边长为2，结合拼接特点，从原点O到点A的水平距离为$2+2=4$，即点A的横坐标为4。
因此点A的坐标为$(4, 2\sqrt{3})$。
【答案】
C
【知识点】
正六边形的性质；平面直角坐标系与坐标
【点评】
本题结合正六边形的拼接图形考查坐标的求解，解题的关键是熟练掌握正六边形边长和边心距的关系，通过分步求解横纵坐标缩小选项范围，降低解题难度。
【难度系数】
0.7
6. 如图30.3-7，A，B，C，D为一个正多边形的相邻四个顶点，点O为该多边形外接圆的圆心，若$∠ ADB=15°$，则这个正多边形的边数为。
答案
$\boldsymbol{12}$
解析
【分析】
要计算正多边形的边数，需先求出该正多边形的中心角（即外接圆中每条边对应的圆心角）。正多边形的所有顶点都在其外接圆上，根据圆周角定理：同弧所对的圆周角是圆心角的一半，已知圆周角∠ADB的度数，可先求出它所对的弧AB对应的圆心角，这个角就是正多边形的中心角，再根据正多边形中心角之和为360°，即可求出边数。
【解析】
连接OA、OB。
∵A、B、C、D均在正多边形的外接圆⊙O上
∴∠ADB是弧AB所对的圆周角，∠AOB是弧AB所对的圆心角
根据圆周角定理可得：$∠ AOB=2∠ ADB$
已知$∠ ADB=15°$，代入得$∠ AOB=2×15°=30°$，即该正多边形的中心角为$30°$
正多边形的边数$n=\frac{360°}{\mathrm{中心角}}=\frac{360°}{30°}=12$
【答案】
$\boldsymbol{12}$
【知识点】
圆周角定理，正多边形与圆的性质
【点评】
本题是正多边形与圆结合的基础题型，解题核心是利用圆周角定理求出正多边形的中心角，再结合中心角与边数的关系计算结果，需要熟练掌握圆周角定理和正多边形外接圆的基本性质。
【难度系数】
0.7
要计算正多边形的边数，需先求出该正多边形的中心角（即外接圆中每条边对应的圆心角）。正多边形的所有顶点都在其外接圆上，根据圆周角定理：同弧所对的圆周角是圆心角的一半，已知圆周角∠ADB的度数，可先求出它所对的弧AB对应的圆心角，这个角就是正多边形的中心角，再根据正多边形中心角之和为360°，即可求出边数。
【解析】
连接OA、OB。
∵A、B、C、D均在正多边形的外接圆⊙O上
∴∠ADB是弧AB所对的圆周角，∠AOB是弧AB所对的圆心角
根据圆周角定理可得：$∠ AOB=2∠ ADB$
已知$∠ ADB=15°$，代入得$∠ AOB=2×15°=30°$，即该正多边形的中心角为$30°$
正多边形的边数$n=\frac{360°}{\mathrm{中心角}}=\frac{360°}{30°}=12$
【答案】
$\boldsymbol{12}$
【知识点】
圆周角定理，正多边形与圆的性质
【点评】
本题是正多边形与圆结合的基础题型，解题核心是利用圆周角定理求出正多边形的中心角，再结合中心角与边数的关系计算结果，需要熟练掌握圆周角定理和正多边形外接圆的基本性质。
【难度系数】
0.7
7. 花窗是园林设计中常见的装饰元素. 如图 30.3 - 8 是一个花瓣造型的花窗示意图,由六条等弧连接而成,六条弧所对应的弦构成一个正六边形,中心为点 O,$\overset{\frown}{AB}$所在圆的圆心 C 恰好是$△ ABO$的内心,若$AB=2\sqrt{3}$,则花窗的周长(图中实线部分的长度)为.(结果保留 π)
答案
解析
【分析】
首先利用正六边形的性质可得△ABO为等边三角形，其内角均为60°；再结合等边三角形内心是角平分线交点的性质，求出弧AB对应的圆心角∠ACB的度数，以及弧AB所在圆的半径；最后用弧长公式算出单段弧的长度，乘以6即可得到花窗总周长。
【解析】
解：
∵六条弧对应的弦构成正六边形
∴OA=OB=AB=2√3，∠AOB=60°，即△ABO为等边三角形，每个内角为60°
∵点C是△ABO的内心
∴AC平分∠OAB，BC平分∠OBA
∴∠CAB=∠CBA=$\frac{1}{2}$×60°=30°
∴∠ACB=180°-30°-30°=120°
过点C作CD⊥AB于D，由等腰三角形三线合一得AD=$\frac{1}{2}$AB=√3
在Rt△ACD中，$\cos∠CAD=\frac{AD}{AC}$
∴$AC=\frac{AD}{\cos30°}=\frac{√3}{\frac{√3}{2}}=2$，即弧AB所在圆的半径为2
单段弧AB的长度为：$l=\frac{nπr}{180}=\frac{120×π×2}{180}=\frac{4π}{3}$
∵花窗共有6条等长的弧
∴花窗的总周长为：$6×\frac{4π}{3}=8π$
【答案】
8π
【知识点】
正六边形的性质，三角形的内心，弧长计算
【点评】
本题结合生活场景设计题目，综合考查了正多边形、三角形内心以及弧长公式的应用，解题的核心是将实际图形转化为常见几何模型，准确找到弧对应的圆心角和半径。
【难度系数】
0.65
首先利用正六边形的性质可得△ABO为等边三角形，其内角均为60°；再结合等边三角形内心是角平分线交点的性质，求出弧AB对应的圆心角∠ACB的度数，以及弧AB所在圆的半径；最后用弧长公式算出单段弧的长度，乘以6即可得到花窗总周长。
【解析】
解：
∵六条弧对应的弦构成正六边形
∴OA=OB=AB=2√3，∠AOB=60°，即△ABO为等边三角形，每个内角为60°
∵点C是△ABO的内心
∴AC平分∠OAB，BC平分∠OBA
∴∠CAB=∠CBA=$\frac{1}{2}$×60°=30°
∴∠ACB=180°-30°-30°=120°
过点C作CD⊥AB于D，由等腰三角形三线合一得AD=$\frac{1}{2}$AB=√3
在Rt△ACD中，$\cos∠CAD=\frac{AD}{AC}$
∴$AC=\frac{AD}{\cos30°}=\frac{√3}{\frac{√3}{2}}=2$，即弧AB所在圆的半径为2
单段弧AB的长度为：$l=\frac{nπr}{180}=\frac{120×π×2}{180}=\frac{4π}{3}$
∵花窗共有6条等长的弧
∴花窗的总周长为：$6×\frac{4π}{3}=8π$
【答案】
8π
【知识点】
正六边形的性质，三角形的内心，弧长计算
【点评】
本题结合生活场景设计题目，综合考查了正多边形、三角形内心以及弧长公式的应用，解题的核心是将实际图形转化为常见几何模型，准确找到弧对应的圆心角和半径。
【难度系数】
0.65
8. 如图30.3-9是中国古建筑中的正六边形窗户设计图，图30.3-10是由其抽象而成的正六边形$ABCDEF$，$\odot O$是它的外接圆。
(1)求$∠ BAF$的度数；
(2)连接$OC$，$OD$，作$OG ⊥ CD$。若劣弧$\overset{\frown}{CD}$的长为$\frac{2}{3}π$，求$OG$的长。
(1)求$∠ BAF$的度数；
(2)连接$OC$，$OD$，作$OG ⊥ CD$。若劣弧$\overset{\frown}{CD}$的长为$\frac{2}{3}π$，求$OG$的长。
答案
(1)六边形的内角和为$(6-2)×180°=720°$，
∵该六边形是正六边形，
∴$∠BAF$的度数为$720°÷6=120°$
(2)
∵正六边形$ABCDEF$，$\odot O$是它的外接圆，
∴中心角$∠COD=\frac{360°}{6}=60°$.
∵劣弧$CD$的长为$\frac{2}{3}π$，
∴$\frac{2}{3}π=\frac{60π×OD}{180}$，解得$OD=2$.
∵$OC=OD$，$∠COD=60°$，
∴$△ OCD$是等边三角形.
∴$OC=CD=2$. 又
∵$OG⊥CD$，
∴$CG=DG=2×\frac{1}{2}=1$.
∴在$\mathrm{Rt}△ OGC$中，$OG=\sqrt{OC^2-CG^2}=\sqrt{2^2-1^2}=\sqrt{3}$.
∴$OG$的长为$\sqrt{3}$
∵该六边形是正六边形，
∴$∠BAF$的度数为$720°÷6=120°$
(2)
∵正六边形$ABCDEF$，$\odot O$是它的外接圆，
∴中心角$∠COD=\frac{360°}{6}=60°$.
∵劣弧$CD$的长为$\frac{2}{3}π$，
∴$\frac{2}{3}π=\frac{60π×OD}{180}$，解得$OD=2$.
∵$OC=OD$，$∠COD=60°$，
∴$△ OCD$是等边三角形.
∴$OC=CD=2$. 又
∵$OG⊥CD$，
∴$CG=DG=2×\frac{1}{2}=1$.
∴在$\mathrm{Rt}△ OGC$中，$OG=\sqrt{OC^2-CG^2}=\sqrt{2^2-1^2}=\sqrt{3}$.
∴$OG$的长为$\sqrt{3}$
解析
【分析】
(1) 求∠BAF的度数时，首先回忆多边形内角和公式，正多边形的所有内角相等，因此先计算六边形的总内角和，再除以边数即可得到单个内角的度数。
(2) 求OG的长时，首先正六边形外接圆的中心角总和为360°，可先求出CD对应的中心角∠COD的度数；再结合已知的劣弧CD的长度，利用弧长公式求出外接圆的半径；接下来由OC、OD都是半径且∠COD=60°，可判定△OCD是等边三角形，最后结合垂直的性质和勾股定理即可求出OG的长度。
【解析】
(1) 根据多边形内角和公式，六边形的内角和为$(6-2)× 180°=720°$，
$\because$ 六边形$ABCDEF$是正六边形，每个内角大小相等，
$\therefore ∠ BAF=720° ÷ 6=120°$。
(2) $\because \odot O$是正六边形$ABCDEF$的外接圆，
$\therefore$ 中心角$∠ COD=\frac{360°}{6}=60°$。
已知劣弧$\overset{\frown}{CD}$的长为$\frac{2}{3}π$，根据弧长公式$l=\frac{nπ r}{180}$（其中$l$为弧长，$n$为圆心角度数，$r$为半径），代入数据得：
$\frac{2}{3}π=\frac{60π · OD}{180}$，
解得$OD=2$。
$\because OC=OD$，且$∠ COD=60°$，
$\therefore △ OCD$是等边三角形，即$CD=OC=OD=2$。
$\because OG⊥ CD$，
$\therefore G$为$CD$的中点，$CG=\frac{1}{2}CD=1$。
在$\mathrm{Rt}△ OGC$中，由勾股定理可得：
$OG=\sqrt{OC^2-CG^2}=\sqrt{2^2-1^2}=\sqrt{3}$。
【答案】
(1) $∠ BAF$的度数为$120°$；(2) $OG$的长为$\sqrt{3}$
【知识点】
多边形内角和公式；弧长计算公式；正多边形的性质
【点评】
本题结合传统文化建筑设计考查正多边形与圆的相关知识，难度较低，侧重考查基础公式的应用能力，熟练掌握对应公式和等边三角形的性质即可顺利解题。
【难度系数】
0.7
(1) 求∠BAF的度数时，首先回忆多边形内角和公式，正多边形的所有内角相等，因此先计算六边形的总内角和，再除以边数即可得到单个内角的度数。
(2) 求OG的长时，首先正六边形外接圆的中心角总和为360°，可先求出CD对应的中心角∠COD的度数；再结合已知的劣弧CD的长度，利用弧长公式求出外接圆的半径；接下来由OC、OD都是半径且∠COD=60°，可判定△OCD是等边三角形，最后结合垂直的性质和勾股定理即可求出OG的长度。
【解析】
(1) 根据多边形内角和公式，六边形的内角和为$(6-2)× 180°=720°$，
$\because$ 六边形$ABCDEF$是正六边形，每个内角大小相等，
$\therefore ∠ BAF=720° ÷ 6=120°$。
(2) $\because \odot O$是正六边形$ABCDEF$的外接圆，
$\therefore$ 中心角$∠ COD=\frac{360°}{6}=60°$。
已知劣弧$\overset{\frown}{CD}$的长为$\frac{2}{3}π$，根据弧长公式$l=\frac{nπ r}{180}$（其中$l$为弧长，$n$为圆心角度数，$r$为半径），代入数据得：
$\frac{2}{3}π=\frac{60π · OD}{180}$，
解得$OD=2$。
$\because OC=OD$，且$∠ COD=60°$，
$\therefore △ OCD$是等边三角形，即$CD=OC=OD=2$。
$\because OG⊥ CD$，
$\therefore G$为$CD$的中点，$CG=\frac{1}{2}CD=1$。
在$\mathrm{Rt}△ OGC$中，由勾股定理可得：
$OG=\sqrt{OC^2-CG^2}=\sqrt{2^2-1^2}=\sqrt{3}$。
【答案】
(1) $∠ BAF$的度数为$120°$；(2) $OG$的长为$\sqrt{3}$
【知识点】
多边形内角和公式；弧长计算公式；正多边形的性质
【点评】
本题结合传统文化建筑设计考查正多边形与圆的相关知识，难度较低，侧重考查基础公式的应用能力，熟练掌握对应公式和等边三角形的性质即可顺利解题。
【难度系数】
0.7
9. 为筹备运动会，小松制作了如图30.3-11所示的宣传牌，在正五边形ABCDE和正方形CDFG中，CF，DG的延长线分别交AE，AB于点M，N，则$∠ FME$的度数是（
A.$90°$
B.$99°$
C.$108°$
D.$135°$
B
）。A.$90°$
B.$99°$
C.$108°$
D.$135°$
答案
9. B
解析
【分析】
要计算∠FME的度数，我们可以按照以下思路推导：首先利用多边形内角和公式求出正五边形的每个内角度数，再结合正方形的性质得到边相等、相关角的度数，通过等腰三角形的性质求出△FDE的底角度数，最后在△MEF中利用三角形内角和定理算出目标角的度数。
【解析】
1. 计算正五边形的内角度数：
正五边形内角和为$(n-2)×180°=(5-2)×180°=540°$，因此每个内角的度数为$540°÷5=108°$，可得$∠CDE=∠AED=108°$，且正五边形各边相等，即$CD=DE$。
2. 利用正方形性质推导边角关系：
四边形CDFG是正方形，因此$CD=DF$，$∠CDF=90°$，对角线CF平分直角，故等腰直角△CDF中$∠CFD=45°$。
3. 求等腰△FDE的底角：
由$CD=DE=DF$可知△FDE为等腰三角形，$∠EDF=∠CDE - ∠CDF=108°-90°=18°$，根据三角形内角和，底角$∠DFE=\frac{180°-∠EDF}{2}=\frac{180°-18°}{2}=81°$。
4. 计算∠FME：
$∠MEF=∠AED - ∠DEF=108°-81°=27°$，
$∠MFE=180°-∠CFD - ∠DFE=180°-45°-81°=54°$，
在△MEF中，根据内角和为180°，得：
$∠FME=180°-∠MEF - ∠MFE=180°-27°-54°=99°$。
【答案】
B
【知识点】
多边形内角和；正方形的性质；等腰三角形的性质
【点评】
本题是多边形性质结合三角形角度计算的典型题，解题的关键是找到正五边形和正方形的公共边对应的等量关系，逐步推导各角的度数，需要熟练掌握特殊多边形的性质和三角形内角和定理。
【难度系数】
0.6
要计算∠FME的度数，我们可以按照以下思路推导：首先利用多边形内角和公式求出正五边形的每个内角度数，再结合正方形的性质得到边相等、相关角的度数，通过等腰三角形的性质求出△FDE的底角度数，最后在△MEF中利用三角形内角和定理算出目标角的度数。
【解析】
1. 计算正五边形的内角度数：
正五边形内角和为$(n-2)×180°=(5-2)×180°=540°$，因此每个内角的度数为$540°÷5=108°$，可得$∠CDE=∠AED=108°$，且正五边形各边相等，即$CD=DE$。
2. 利用正方形性质推导边角关系：
四边形CDFG是正方形，因此$CD=DF$，$∠CDF=90°$，对角线CF平分直角，故等腰直角△CDF中$∠CFD=45°$。
3. 求等腰△FDE的底角：
由$CD=DE=DF$可知△FDE为等腰三角形，$∠EDF=∠CDE - ∠CDF=108°-90°=18°$，根据三角形内角和，底角$∠DFE=\frac{180°-∠EDF}{2}=\frac{180°-18°}{2}=81°$。
4. 计算∠FME：
$∠MEF=∠AED - ∠DEF=108°-81°=27°$，
$∠MFE=180°-∠CFD - ∠DFE=180°-45°-81°=54°$，
在△MEF中，根据内角和为180°，得：
$∠FME=180°-∠MEF - ∠MFE=180°-27°-54°=99°$。
【答案】
B
【知识点】
多边形内角和；正方形的性质；等腰三角形的性质
【点评】
本题是多边形性质结合三角形角度计算的典型题，解题的关键是找到正五边形和正方形的公共边对应的等量关系，逐步推导各角的度数，需要熟练掌握特殊多边形的性质和三角形内角和定理。
【难度系数】
0.6
