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1. 由于同圆中相等的圆心角所对的弧相等，因此作相等的圆心角就可以等分
2. 对于一些特殊的正多边形，还可以用直尺和圆规来作图，如正方形和正六边形等。
圆周
，从而得到相应的正多边形。2. 对于一些特殊的正多边形，还可以用直尺和圆规来作图，如正方形和正六边形等。
答案
1. 圆周
2. 对于一些特殊的正多边形，还可以用直尺和圆规来作图，如正方形和正六边形等。
2. 对于一些特殊的正多边形，还可以用直尺和圆规来作图，如正方形和正六边形等。
解析
【分析】
解题时先回忆正多边形与圆的关联原理：正多边形的各边对应外接圆中相等的圆心角，而同圆内相等的圆心角所对的弧相等。要得到正多边形，只需把外接圆的圆周分成若干等份，顺次连接分点即可，因此作相等的圆心角的本质是等分圆周，就能推导得出第一空的答案，第二题是基础常识内容，直接保留即可。
【解析】
1. 由同圆的性质可知，相等的圆心角对应的弧长度相等，构造若干个相等的圆心角时，就可以把整个圆周分成相等的若干段，顺次连接各段弧的端点就能得到对应的正多边形，因此此处应填圆周。
2. 该句为正多边形尺规作图的基础常识，表述正确，无需修改。
【答案】
1. 圆周
2. 对于一些特殊的正多边形，还可以用直尺和圆规来作图，如正方形和正六边形等。
【知识点】
圆心角与弧的关系，等分圆周，正多边形作图
【点评】
本题属于基础概念识记类题目，主要考察正多边形和圆的关联原理、正多边形作图的基础常识，难度较低，掌握对应基础概念就能快速解答。
【难度系数】
0.9
解题时先回忆正多边形与圆的关联原理：正多边形的各边对应外接圆中相等的圆心角，而同圆内相等的圆心角所对的弧相等。要得到正多边形，只需把外接圆的圆周分成若干等份，顺次连接分点即可，因此作相等的圆心角的本质是等分圆周，就能推导得出第一空的答案，第二题是基础常识内容，直接保留即可。
【解析】
1. 由同圆的性质可知，相等的圆心角对应的弧长度相等，构造若干个相等的圆心角时，就可以把整个圆周分成相等的若干段，顺次连接各段弧的端点就能得到对应的正多边形，因此此处应填圆周。
2. 该句为正多边形尺规作图的基础常识，表述正确，无需修改。
【答案】
1. 圆周
2. 对于一些特殊的正多边形，还可以用直尺和圆规来作图，如正方形和正六边形等。
【知识点】
圆心角与弧的关系，等分圆周，正多边形作图
【点评】
本题属于基础概念识记类题目，主要考察正多边形和圆的关联原理、正多边形作图的基础常识，难度较低，掌握对应基础概念就能快速解答。
【难度系数】
0.9
例 如图 30.3 - 12，AB,CD 是$\odot O$中两条互相垂直的直径，以点 A 为圆心，OA 的长为半径画弧，与$\odot O$交于 E,F 两点。
(1)求证:AE 是$\odot O$的内接正六边形的一边。
(2)请在图中继续画出这个正六边形，并保留作图痕迹。
解 (1)如图 30.3 - 13，连接 OE,OF,AF。
$\because AE=OA=OE$，
$\therefore △ AOE$是等边三角形。
$\therefore ∠ AOE=60°$。
而正六边形的中心角为$360°÷6=60°$，
$\therefore AE$是$\odot O$内接正六边形的一边。
(2)如图 30.3 - 13，以 B 为圆心，OA 的长为半径画弧，与$\odot O$交于 G,H 两点；依次连接点 A,E,G,B,H,F，即可得到正六边形。
方法感悟 画正多边形的常用方法有两种:一是量角器法，通过计算正多边形的中心角，用量角器依次在圆上截取等角，并将角的边延长交至圆，得到各分点后依次连接，即可得到相应的正多边形；二是尺规作图法，利用圆的半径与特殊正多边形边长的关系，通过画弧找点实现精准等分。
(1)求证:AE 是$\odot O$的内接正六边形的一边。
(2)请在图中继续画出这个正六边形，并保留作图痕迹。
解 (1)如图 30.3 - 13，连接 OE,OF,AF。
$\because AE=OA=OE$，
$\therefore △ AOE$是等边三角形。
$\therefore ∠ AOE=60°$。
而正六边形的中心角为$360°÷6=60°$，
$\therefore AE$是$\odot O$内接正六边形的一边。
(2)如图 30.3 - 13，以 B 为圆心，OA 的长为半径画弧，与$\odot O$交于 G,H 两点；依次连接点 A,E,G,B,H,F，即可得到正六边形。
方法感悟 画正多边形的常用方法有两种:一是量角器法，通过计算正多边形的中心角，用量角器依次在圆上截取等角，并将角的边延长交至圆，得到各分点后依次连接，即可得到相应的正多边形；二是尺规作图法，利用圆的半径与特殊正多边形边长的关系，通过画弧找点实现精准等分。
答案
解：(1) 证明：
连接OE。
由作图得 $AE = OA$，
∵ OE、OA均为$\odot O$的半径，
∴ $OE = OA$，
∴ $AE = OA = OE$，
∴ $△ AOE$ 是等边三角形，
∴ $∠ AOE = 60°$。
∵ $\odot O$ 的内接正六边形的中心角为 $\frac{360°}{6} = 60°$，
∴ $∠ AOE$ 与正六边形的中心角相等，
∴ AE 是 $\odot O$ 的内接正六边形的一边。
(2) 作图：
以点B为圆心，OA的长为半径画弧，与$\odot O$交于G、H两点；依次连接点A、E、G、B、H、F，所得六边形AEGBHF即为所求的$\odot O$的内接正六边形，保留所有画弧的作图痕迹即可。
连接OE。
由作图得 $AE = OA$，
∵ OE、OA均为$\odot O$的半径，
∴ $OE = OA$，
∴ $AE = OA = OE$，
∴ $△ AOE$ 是等边三角形，
∴ $∠ AOE = 60°$。
∵ $\odot O$ 的内接正六边形的中心角为 $\frac{360°}{6} = 60°$，
∴ $∠ AOE$ 与正六边形的中心角相等，
∴ AE 是 $\odot O$ 的内接正六边形的一边。
(2) 作图：
以点B为圆心，OA的长为半径画弧，与$\odot O$交于G、H两点；依次连接点A、E、G、B、H、F，所得六边形AEGBHF即为所求的$\odot O$的内接正六边形，保留所有画弧的作图痕迹即可。
解析
【分析】
(1) 要证明AE是$\odot O$内接正六边形的一边，需利用正多边形与圆的关系：正n边形的中心角为$\frac{360°}{n}$，正六边形的中心角为$60°$，因此只需证明AE对应的圆心角$∠ AOE=60°$即可。首先连接OE，由作图规则可得$AE=OA$，再结合OA、OE都是$\odot O$的半径，可得三条边相等，推出$△ AOE$是等边三角形，即可得到$∠ AOE=60°$，对应正六边形的中心角即可完成证明。
(2) 正六边形的边长等于外接圆的半径，已知A、E、F三个顶点，接下来以点B为圆心、OA长为半径画弧得到另外两个顶点G、H，再加上直径端点B，依次连接六个顶点即可得到正六边形，作图时需保留所有画弧痕迹。
【解析】
(1) 证明：
连接OE，
由作图得 $AE = OA$，
∵ OE、OA均为$\odot O$的半径，
∴ $OE = OA$，
∴ $AE = OA = OE$，
∴ $△ AOE$ 是等边三角形，
∴ $∠ AOE = 60°$。
∵ $\odot O$ 的内接正六边形的中心角为 $\frac{360°}{6} = 60°$，
∴ $∠ AOE$ 与正六边形的中心角相等，
∴ AE 是 $\odot O$ 的内接正六边形的一边。
(2) 作图：
以点B为圆心，OA的长为半径画弧，与$\odot O$交于G、H两点；依次连接点A、E、G、B、H、F，所得六边形AEGBHF即为所求的$\odot O$的内接正六边形，保留所有画弧的作图痕迹即可。
【答案】
(1) 证明过程如上，AE是$\odot O$的内接正六边形的边得证；
(2) 按上述方法作图，保留画弧痕迹即可。
【知识点】
1. 正多边形与圆的关系
2. 等边三角形的判定与性质
3. 尺规作正多边形
【点评】
本题结合正六边形与圆的性质，同时考查逻辑证明能力和动手作图能力，解题的核心是掌握正六边形的边长等于外接圆半径、中心角为$60°$的核心性质，属于基础类考题，能够帮助学生巩固正多边形与圆的相关知识。
【难度系数】
0.7
(1) 要证明AE是$\odot O$内接正六边形的一边，需利用正多边形与圆的关系：正n边形的中心角为$\frac{360°}{n}$，正六边形的中心角为$60°$，因此只需证明AE对应的圆心角$∠ AOE=60°$即可。首先连接OE，由作图规则可得$AE=OA$，再结合OA、OE都是$\odot O$的半径，可得三条边相等，推出$△ AOE$是等边三角形，即可得到$∠ AOE=60°$，对应正六边形的中心角即可完成证明。
(2) 正六边形的边长等于外接圆的半径，已知A、E、F三个顶点，接下来以点B为圆心、OA长为半径画弧得到另外两个顶点G、H，再加上直径端点B，依次连接六个顶点即可得到正六边形，作图时需保留所有画弧痕迹。
【解析】
(1) 证明：
连接OE，
由作图得 $AE = OA$，
∵ OE、OA均为$\odot O$的半径，
∴ $OE = OA$，
∴ $AE = OA = OE$，
∴ $△ AOE$ 是等边三角形，
∴ $∠ AOE = 60°$。
∵ $\odot O$ 的内接正六边形的中心角为 $\frac{360°}{6} = 60°$，
∴ $∠ AOE$ 与正六边形的中心角相等，
∴ AE 是 $\odot O$ 的内接正六边形的一边。
(2) 作图：
以点B为圆心，OA的长为半径画弧，与$\odot O$交于G、H两点；依次连接点A、E、G、B、H、F，所得六边形AEGBHF即为所求的$\odot O$的内接正六边形，保留所有画弧的作图痕迹即可。
【答案】
(1) 证明过程如上，AE是$\odot O$的内接正六边形的边得证；
(2) 按上述方法作图，保留画弧痕迹即可。
【知识点】
1. 正多边形与圆的关系
2. 等边三角形的判定与性质
3. 尺规作正多边形
【点评】
本题结合正六边形与圆的性质，同时考查逻辑证明能力和动手作图能力，解题的核心是掌握正六边形的边长等于外接圆半径、中心角为$60°$的核心性质，属于基础类考题，能够帮助学生巩固正多边形与圆的相关知识。
【难度系数】
0.7
1. 若要画一个边心距为$\sqrt{3}$ cm的正六边形，可以先作一个半径为(
A.1
B.$\sqrt{3}$
C.2
D.$2\sqrt{3}$
C
)cm的圆，再把它六等分，然后连接各等分点便得到所求作的正六边形.A.1
B.$\sqrt{3}$
C.2
D.$2\sqrt{3}$
答案
1. C
解析
【分析】
正六边形的外接圆半径与它的边长相等，且正六边形可被外接圆的半径分割为6个全等的等边三角形，题目给出的边心距就是等边三角形的高。我们可以利用等边三角形高和边长（即外接圆半径）的数量关系，代入已知边心距的数值，即可求出外接圆的半径。
【解析】
设所作圆的半径为$ R $ cm。
∵ 正六边形的外接圆半径等于正六边形的边长，将圆六等分后连接各分点得到的正六边形，可被半径分割为6个边长为$ R $的等边三角形，
正六边形的边心距就是等边三角形的高，等边三角形的高与边长的关系为：$ h=\frac{\sqrt{3}}{2}R $，
已知边心距$ h=\sqrt{3} $ cm，代入得：
$ \frac{\sqrt{3}}{2}R=\sqrt{3} $，
解得$ R=2 $。
因此需要先作半径为2 cm的圆，对应选项为C。
【答案】
C
【知识点】
正多边形与圆的关系，等边三角形的性质
【点评】
本题考查正六边形的基本性质，解题核心是明确正六边形外接圆半径、边长、边心距之间的数量关系，属于基础题型，熟练掌握正多边形和圆的对应性质即可快速解答。
【难度系数】
0.8
正六边形的外接圆半径与它的边长相等，且正六边形可被外接圆的半径分割为6个全等的等边三角形，题目给出的边心距就是等边三角形的高。我们可以利用等边三角形高和边长（即外接圆半径）的数量关系，代入已知边心距的数值，即可求出外接圆的半径。
【解析】
设所作圆的半径为$ R $ cm。
∵ 正六边形的外接圆半径等于正六边形的边长，将圆六等分后连接各分点得到的正六边形，可被半径分割为6个边长为$ R $的等边三角形，
正六边形的边心距就是等边三角形的高，等边三角形的高与边长的关系为：$ h=\frac{\sqrt{3}}{2}R $，
已知边心距$ h=\sqrt{3} $ cm，代入得：
$ \frac{\sqrt{3}}{2}R=\sqrt{3} $，
解得$ R=2 $。
因此需要先作半径为2 cm的圆，对应选项为C。
【答案】
C
【知识点】
正多边形与圆的关系，等边三角形的性质
【点评】
本题考查正六边形的基本性质，解题核心是明确正六边形外接圆半径、边长、边心距之间的数量关系，属于基础题型，熟练掌握正多边形和圆的对应性质即可快速解答。
【难度系数】
0.8
2. 要用尺规作出边长为1 cm的正方形，则应先作出半径为(
A.$\sqrt{2}$ cm
B.$\dfrac{\sqrt{2}}{2}$ cm
C.$\dfrac{1}{2}$ cm
D.1 cm
B
)的圆.A.$\sqrt{2}$ cm
B.$\dfrac{\sqrt{2}}{2}$ cm
C.$\dfrac{1}{2}$ cm
D.1 cm
答案
2. B
解析
【分析】
要解答本题，首先明确尺规作边长为1cm的正方形的常用思路：作圆的内接正方形，此时正方形的四个顶点都在圆周上，因此正方形的对角线长度与圆的直径相等。我们可以先通过正方形的边长求出对角线长度，再进一步计算圆的半径即可。
【解析】
已知正方形的边长为1 cm，根据勾股定理，正方形的对角线长度为：
$\sqrt{1^2 + 1^2} = \sqrt{2}$ cm
由于所作正方形是圆的内接正方形，因此圆的直径等于正方形的对角线长度，即圆的直径为$\sqrt{2}$ cm，所以圆的半径为：
$\frac{\sqrt{2}}{2}$ cm
因此应选B选项。
【答案】
B
【知识点】
勾股定理，正方形的性质，尺规作图原理
【点评】
本题结合了尺规作图的实操逻辑和常见几何图形的基本性质，解题的核心是找到正方形对角线和圆直径的等量关系，难度较低，侧重对基础几何知识的灵活应用。
【难度系数】
0.8
要解答本题，首先明确尺规作边长为1cm的正方形的常用思路：作圆的内接正方形，此时正方形的四个顶点都在圆周上，因此正方形的对角线长度与圆的直径相等。我们可以先通过正方形的边长求出对角线长度，再进一步计算圆的半径即可。
【解析】
已知正方形的边长为1 cm，根据勾股定理，正方形的对角线长度为：
$\sqrt{1^2 + 1^2} = \sqrt{2}$ cm
由于所作正方形是圆的内接正方形，因此圆的直径等于正方形的对角线长度，即圆的直径为$\sqrt{2}$ cm，所以圆的半径为：
$\frac{\sqrt{2}}{2}$ cm
因此应选B选项。
【答案】
B
【知识点】
勾股定理，正方形的性质，尺规作图原理
【点评】
本题结合了尺规作图的实操逻辑和常见几何图形的基本性质，解题的核心是找到正方形对角线和圆直径的等量关系，难度较低，侧重对基础几何知识的灵活应用。
【难度系数】
0.8
3. 如图30.3-14，点$P_1$~$P_8$是$\odot O$的八等分点.若$△ P_1P_3P_7$，四边形$P_3P_4P_6P_7$的周长分别为$a$,$b$,则下列正确的是(
A.$a ＜ b$
B.$a = b$
C.$a ＞ b$
D.$a$,$b$大小无法比较
图30.3-14
A
).A.$a ＜ b$
B.$a = b$
C.$a ＞ b$
D.$a$,$b$大小无法比较
图30.3-14
答案
3. A
解析
【分析】
要比较三角形和四边形的周长大小，我们可以先利用圆的八等分点性质，明确各段等弧对应的弦长相等。首先分别写出两个图形的周长表达式，消去公共部分后，只需比较剩余部分的大小关系，再结合三角形三边关系即可得出结论。具体步骤：1. 设相邻等分点间弦长为k，间隔1个点的等分点间弦长为m，直径长为n；2. 分别表示出a和b，化简后得a-b=m-2k；3. 利用三角形两边之和大于第三边判断m和2k的大小，最终得到a和b的大小关系。
【解析】
设$\odot O$相邻两个八等分点之间的弦长为$k$，间隔1个点的两个等分点之间的弦长为$m$，直径长为$n$。
观察$△ P_1P_3P_7$的三边：
$P_1P_3$、$P_1P_7$都是间隔1个点的弦，长度均为$m$；$P_3P_7$是直径，长度为$n$，因此周长$a = m + m + n = 2m + n$。
观察四边形$P_3P_4P_6P_7$的四边：
$P_3P_4$、$P_6P_7$是相邻等分点的弦，长度均为$k$；$P_4P_6$是间隔1个点的弦，长度为$m$；$P_7P_3$是直径，长度为$n$，因此周长$b = k + m + k + n = 2k + m + n$。
将两个周长作差：$a - b = (2m + n) - (2k + m + n) = m - 2k$。
取相邻三个等分点$P_3$、$P_4$、$P_5$，在$△ P_3P_4P_5$中，根据三角形两边之和大于第三边，可得$P_3P_4 + P_4P_5 ＞ P_3P_5$，即$k + k ＞ m$，也就是$2k ＞ m$，因此$m - 2k ＜ 0$，即$a - b ＜ 0$，所以$a ＜ b$。
【答案】
A
【知识点】
圆的等分点性质；三角形三边关系；弦与弧的关系
【点评】
本题巧妙结合圆的特点与三角形三边关系，不需要复杂计算即可比较周长大小，解题的关键是准确找出两个周长的公共部分，将复杂的周长比较转化为两条线段的大小比较，简化了解题过程。
【难度系数】
0.6
要比较三角形和四边形的周长大小，我们可以先利用圆的八等分点性质，明确各段等弧对应的弦长相等。首先分别写出两个图形的周长表达式，消去公共部分后，只需比较剩余部分的大小关系，再结合三角形三边关系即可得出结论。具体步骤：1. 设相邻等分点间弦长为k，间隔1个点的等分点间弦长为m，直径长为n；2. 分别表示出a和b，化简后得a-b=m-2k；3. 利用三角形两边之和大于第三边判断m和2k的大小，最终得到a和b的大小关系。
【解析】
设$\odot O$相邻两个八等分点之间的弦长为$k$，间隔1个点的两个等分点之间的弦长为$m$，直径长为$n$。
观察$△ P_1P_3P_7$的三边：
$P_1P_3$、$P_1P_7$都是间隔1个点的弦，长度均为$m$；$P_3P_7$是直径，长度为$n$，因此周长$a = m + m + n = 2m + n$。
观察四边形$P_3P_4P_6P_7$的四边：
$P_3P_4$、$P_6P_7$是相邻等分点的弦，长度均为$k$；$P_4P_6$是间隔1个点的弦，长度为$m$；$P_7P_3$是直径，长度为$n$，因此周长$b = k + m + k + n = 2k + m + n$。
将两个周长作差：$a - b = (2m + n) - (2k + m + n) = m - 2k$。
取相邻三个等分点$P_3$、$P_4$、$P_5$，在$△ P_3P_4P_5$中，根据三角形两边之和大于第三边，可得$P_3P_4 + P_4P_5 ＞ P_3P_5$，即$k + k ＞ m$，也就是$2k ＞ m$，因此$m - 2k ＜ 0$，即$a - b ＜ 0$，所以$a ＜ b$。
【答案】
A
【知识点】
圆的等分点性质；三角形三边关系；弦与弧的关系
【点评】
本题巧妙结合圆的特点与三角形三边关系，不需要复杂计算即可比较周长大小，解题的关键是准确找出两个周长的公共部分，将复杂的周长比较转化为两条线段的大小比较，简化了解题过程。
【难度系数】
0.6
