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4. 我们可以只用圆规将圆等分,例如:将圆六等分,只需在$\odot O$上任取点A,从点A开始,以$\odot O$的半径为半径,在$\odot O$上依次截取点B,C,D,E,F,从而点A,B,C,D,E,F把$\odot O$六等分.下列只用圆规就可以将圆等分的是(
①两等分； ②三等分； ③四等分.
A.②
B.①②
C.①③
D.①②③
D
).①两等分； ②三等分； ③四等分.
A.②
B.①②
C.①③
D.①②③
答案
4. D
解析
【分析】
解题时需结合已知的圆六等分方法，以及圆的弦长、圆心角的对应关系，逐个验证三种等分方式是否可仅用圆规实现：首先验证两等分，只要找到圆的一组对径点即可；其次验证三等分，可直接借助六等分的结果间隔取点；最后验证四等分，通过构造得到长度为√2倍半径的线段，即可找到四等分点。
【解析】
我们对三种等分方式逐一分析：
①两等分：在⊙O上任取点A，以A为圆心、⊙O半径R为半径画弧，交⊙O于B、C两点；再分别以B、C为圆心、BC长为半径画弧，两弧交于圆外一点P；最后以A为圆心、OP长为半径画弧，交⊙O于点A'，A与A'为直径两端点，可将⊙O两等分，故①可行。
②三等分：按照题干给出的六等分方法，先得到六等分点A、B、C、D、E、F，依次取A、C、E三点，相邻两点对应的圆心角为120°，恰好将⊙O三等分，故②可行。
③四等分：先按①的方法得到直径AA'，分别以A、A'为圆心、弦AC长（AC为六等分中间隔1个点的弦长，长度为√3 R）为半径画弧，两弧交于点P，由勾股定理得OP=√(AP²-OA²)=√(3R²-R²)=√2 R；再以A为圆心、OP长为半径画弧，交⊙O于M、N两点，此时A、M、A'、N对应的圆心角均为90°，可将⊙O四等分，故③可行。
综上①②③都可仅用圆规实现，答案选D。
【答案】
D
【知识点】
圆的等分；圆的基本性质；尺规作图
【点评】
本题结合圆规作图考查圆的等分相关知识，需要灵活运用弦长与圆心角的对应关系、勾股定理推导作图方法，掌握基础的圆规作图逻辑是解题的核心。
【难度系数】
0.6
解题时需结合已知的圆六等分方法，以及圆的弦长、圆心角的对应关系，逐个验证三种等分方式是否可仅用圆规实现：首先验证两等分，只要找到圆的一组对径点即可；其次验证三等分，可直接借助六等分的结果间隔取点；最后验证四等分，通过构造得到长度为√2倍半径的线段，即可找到四等分点。
【解析】
我们对三种等分方式逐一分析：
①两等分：在⊙O上任取点A，以A为圆心、⊙O半径R为半径画弧，交⊙O于B、C两点；再分别以B、C为圆心、BC长为半径画弧，两弧交于圆外一点P；最后以A为圆心、OP长为半径画弧，交⊙O于点A'，A与A'为直径两端点，可将⊙O两等分，故①可行。
②三等分：按照题干给出的六等分方法，先得到六等分点A、B、C、D、E、F，依次取A、C、E三点，相邻两点对应的圆心角为120°，恰好将⊙O三等分，故②可行。
③四等分：先按①的方法得到直径AA'，分别以A、A'为圆心、弦AC长（AC为六等分中间隔1个点的弦长，长度为√3 R）为半径画弧，两弧交于点P，由勾股定理得OP=√(AP²-OA²)=√(3R²-R²)=√2 R；再以A为圆心、OP长为半径画弧，交⊙O于M、N两点，此时A、M、A'、N对应的圆心角均为90°，可将⊙O四等分，故③可行。
综上①②③都可仅用圆规实现，答案选D。
【答案】
D
【知识点】
圆的等分；圆的基本性质；尺规作图
【点评】
本题结合圆规作图考查圆的等分相关知识，需要灵活运用弦长与圆心角的对应关系、勾股定理推导作图方法，掌握基础的圆规作图逻辑是解题的核心。
【难度系数】
0.6
5. 如图 30.3 - 15, 将$\odot O$的圆周六等分,则圆内接六边形 ABCEFG 的面积与内接四边形 ABEF 的面积比值为(
A.$\frac{1}{4}$
B.$\frac{1}{3}$
C.$\frac{2}{3}$
D.$\frac{3}{2}$
D
).A.$\frac{1}{4}$
B.$\frac{1}{3}$
C.$\frac{2}{3}$
D.$\frac{3}{2}$
答案
5. D
解析
【分析】
解题思路如下：首先圆周六等分后，相邻分点与圆心形成的圆心角均为60°，所有由圆心和相邻分点组成的三角形都是边长等于圆半径的等边三角形，且面积相等。我们可以先计算单个小等边三角形的面积，再分别数出六边形ABCEFG、四边形ABEF包含的小等边三角形数量，求出两个图形的面积后计算比值即可。
【解析】
设$\odot O$的半径为$r$，将圆周六等分后，相邻分点与圆心$O$的夹角均为$60°$，因此每个以半径为边的小三角形都是等边三角形，单个小等边三角形的面积为：
$S_0=\frac{\sqrt{3}}{4}r^2$
1. 计算六边形$ABCEFG$的面积：
六边形$ABCEFG$的顶点为圆的6个等分点，是圆内接正六边形，共包含6个上述小等边三角形，因此面积：
$S_1=6S_0=6×\frac{\sqrt{3}}{4}r^2=\frac{3\sqrt{3}}{2}r^2$
2. 计算四边形$ABEF$的面积：
四边形$ABEF$为矩形，共包含4个小等边三角形，因此面积：
$S_2=4S_0=4×\frac{\sqrt{3}}{4}r^2=\sqrt{3}r^2$
3. 计算面积比值：
$\frac{S_1}{S_2}=\frac{\frac{3\sqrt{3}}{2}r^2}{\sqrt{3}r^2}=\frac{3}{2}$
【答案】
D
【知识点】
正多边形与圆，图形面积计算，圆的基本性质
【点评】
本题核心是利用圆六等分后每个小三角形均为等边三角形的性质简化计算，通过份数法或直接计算面积均可求解，是圆相关面积计算的典型题型，熟练掌握等分圆的性质可快速得出结果。
【难度系数】
0.7
解题思路如下：首先圆周六等分后，相邻分点与圆心形成的圆心角均为60°，所有由圆心和相邻分点组成的三角形都是边长等于圆半径的等边三角形，且面积相等。我们可以先计算单个小等边三角形的面积，再分别数出六边形ABCEFG、四边形ABEF包含的小等边三角形数量，求出两个图形的面积后计算比值即可。
【解析】
设$\odot O$的半径为$r$，将圆周六等分后，相邻分点与圆心$O$的夹角均为$60°$，因此每个以半径为边的小三角形都是等边三角形，单个小等边三角形的面积为：
$S_0=\frac{\sqrt{3}}{4}r^2$
1. 计算六边形$ABCEFG$的面积：
六边形$ABCEFG$的顶点为圆的6个等分点，是圆内接正六边形，共包含6个上述小等边三角形，因此面积：
$S_1=6S_0=6×\frac{\sqrt{3}}{4}r^2=\frac{3\sqrt{3}}{2}r^2$
2. 计算四边形$ABEF$的面积：
四边形$ABEF$为矩形，共包含4个小等边三角形，因此面积：
$S_2=4S_0=4×\frac{\sqrt{3}}{4}r^2=\sqrt{3}r^2$
3. 计算面积比值：
$\frac{S_1}{S_2}=\frac{\frac{3\sqrt{3}}{2}r^2}{\sqrt{3}r^2}=\frac{3}{2}$
【答案】
D
【知识点】
正多边形与圆，图形面积计算，圆的基本性质
【点评】
本题核心是利用圆六等分后每个小三角形均为等边三角形的性质简化计算，通过份数法或直接计算面积均可求解，是圆相关面积计算的典型题型，熟练掌握等分圆的性质可快速得出结果。
【难度系数】
0.7
6. 如图30.3-16，将⊙O的圆周十二等分，圆内接矩形ABCD的面积为$8\sqrt{3}$，则圆内接正六边形的周长为
$12\sqrt{2}$
。答案
6. $12\sqrt{2}$
解析
【分析】
首先，圆周十二等分可得每等份对应的圆心角为30°，结合圆内接矩形的对角线是直径的性质，确定矩形两组对边对应的圆心角；再利用弦长公式用圆的半径R表示出矩形的长和宽，结合已知的矩形面积求出R；最后根据圆内接正六边形的边长等于半径的性质，即可求出正六边形的周长。
【解析】
1. 计算每等份圆周对应的圆心角：将圆周十二等分，每份圆心角为$ 360° ÷ 12 = 30° $。
2. 确定矩形边对应的圆心角：观察图形可得，弧$ AB $对应2等份圆周，圆心角为$ 2×30°=60° $；弧$ AD $对应4等份圆周，圆心角为$ 4×30°=120° $。
3. 设$ \odot O $的半径为$ R $，根据弦长公式$ l=2R\sin\frac{θ}{2} $（$θ$为弦对应的圆心角）：
弦$ AB $的长度：$ AB=2R\sin\frac{60°}{2}=2R\sin30°=R $
弦$ AD $的长度：$ AD=2R\sin\frac{120°}{2}=2R\sin60°=\sqrt{3}R $
4. 利用矩形面积列方程求解$ R $：
矩形面积$ S=AB× AD=R×\sqrt{3}R=\sqrt{3}R^2 $，已知$ S=8\sqrt{3} $，因此$ \sqrt{3}R^2=8\sqrt{3} $，解得$ R^2=8 $，即$ R=2\sqrt{2} $（半径为正数）。
5. 计算正六边形周长：圆内接正六边形的边长等于圆的半径$ R $，因此周长为$ 6R=6×2\sqrt{2}=12\sqrt{2} $。
【答案】
$ 12\sqrt{2} $
【知识点】
圆内接矩形性质；正多边形与圆；弦长计算
【点评】
本题属于圆与正多边形的综合应用题，解题的核心是先通过圆周等分的条件求出矩形边对应的圆心角，结合面积求出圆的半径，再利用正六边形的边长与半径相等的结论计算周长，需要熟练掌握圆内接多边形的相关性质和三角函数的简单应用。
【难度系数】
0.6
首先，圆周十二等分可得每等份对应的圆心角为30°，结合圆内接矩形的对角线是直径的性质，确定矩形两组对边对应的圆心角；再利用弦长公式用圆的半径R表示出矩形的长和宽，结合已知的矩形面积求出R；最后根据圆内接正六边形的边长等于半径的性质，即可求出正六边形的周长。
【解析】
1. 计算每等份圆周对应的圆心角：将圆周十二等分，每份圆心角为$ 360° ÷ 12 = 30° $。
2. 确定矩形边对应的圆心角：观察图形可得，弧$ AB $对应2等份圆周，圆心角为$ 2×30°=60° $；弧$ AD $对应4等份圆周，圆心角为$ 4×30°=120° $。
3. 设$ \odot O $的半径为$ R $，根据弦长公式$ l=2R\sin\frac{θ}{2} $（$θ$为弦对应的圆心角）：
弦$ AB $的长度：$ AB=2R\sin\frac{60°}{2}=2R\sin30°=R $
弦$ AD $的长度：$ AD=2R\sin\frac{120°}{2}=2R\sin60°=\sqrt{3}R $
4. 利用矩形面积列方程求解$ R $：
矩形面积$ S=AB× AD=R×\sqrt{3}R=\sqrt{3}R^2 $，已知$ S=8\sqrt{3} $，因此$ \sqrt{3}R^2=8\sqrt{3} $，解得$ R^2=8 $，即$ R=2\sqrt{2} $（半径为正数）。
5. 计算正六边形周长：圆内接正六边形的边长等于圆的半径$ R $，因此周长为$ 6R=6×2\sqrt{2}=12\sqrt{2} $。
【答案】
$ 12\sqrt{2} $
【知识点】
圆内接矩形性质；正多边形与圆；弦长计算
【点评】
本题属于圆与正多边形的综合应用题，解题的核心是先通过圆周等分的条件求出矩形边对应的圆心角，结合面积求出圆的半径，再利用正六边形的边长与半径相等的结论计算周长，需要熟练掌握圆内接多边形的相关性质和三角函数的简单应用。
【难度系数】
0.6
7. 如图30.3-17，AC为$\odot O$的直径.
(1)尺规作图:$\odot O$的内接正方形ABCD.(不写作法,保留作图痕迹)
(2)当直径$AC=4$时,求(1)中所作正方形的边长.
图30.3-17
(1)尺规作图:$\odot O$的内接正方形ABCD.(不写作法,保留作图痕迹)
(2)当直径$AC=4$时,求(1)中所作正方形的边长.
图30.3-17
答案
7. (1) 如答图31所示，正方形ABCD为所求
(2)
∵直径AC=4,
∴OA=OB=2.
∵四边形ABCD为⊙O的内接正方形,
∴AC⊥BD.
∴∠AOB=90°. 在Rt△AOB中, AB =$\sqrt{OA^2+OB^2}=2\sqrt{2}$
解析
【分析】
(1) 要作$\odot O$的内接正方形ABCD，已知AC为直径，正方形的对角线相等且互相垂直平分，因此只需作出AC的垂直平分线，该垂直平分线与$\odot O$交于B、D两点，顺次连接A、B、C、D四个点即可得到所求正方形；
(2) 求正方形边长时，已知直径AC的长度，可先得到圆的半径长度，结合正方形对角线互相垂直的性质，可得$△ AOB$为等腰直角三角形，利用勾股定理即可计算出正方形的边长。
【解析】
(1) 作AC的垂直平分线交$\odot O$于B、D两点，顺次连接A、B、C、D，得到的正方形ABCD即为所求。
(2) 解：$\because$AC为$\odot O$的直径，且$AC=4$，
$\therefore \odot O$的半径$OA=OB=\frac{AC}{2}=2$，
$\because$四边形ABCD是$\odot O$的内接正方形，
$\therefore$对角线$AC⊥ BD$，即$∠ AOB=90°$，
在$\mathrm{Rt}△ AOB$中，由勾股定理得：
$AB=\sqrt{OA^2+OB^2}=\sqrt{2^2+2^2}=2\sqrt{2}$。
【答案】
(1) 如答图31所示，正方形ABCD为所求
(2) $2\sqrt{2}$
【知识点】
尺规作垂直平分线；圆内接正多边形性质；勾股定理
【点评】
本题综合考查了尺规作图能力和几何计算能力，解题的核心是明确圆内接正方形的对角线与圆直径的对应关系，属于基础巩固类题型。
【难度系数】
0.8
(1) 要作$\odot O$的内接正方形ABCD，已知AC为直径，正方形的对角线相等且互相垂直平分，因此只需作出AC的垂直平分线，该垂直平分线与$\odot O$交于B、D两点，顺次连接A、B、C、D四个点即可得到所求正方形；
(2) 求正方形边长时，已知直径AC的长度，可先得到圆的半径长度，结合正方形对角线互相垂直的性质，可得$△ AOB$为等腰直角三角形，利用勾股定理即可计算出正方形的边长。
【解析】
(1) 作AC的垂直平分线交$\odot O$于B、D两点，顺次连接A、B、C、D，得到的正方形ABCD即为所求。
(2) 解：$\because$AC为$\odot O$的直径，且$AC=4$，
$\therefore \odot O$的半径$OA=OB=\frac{AC}{2}=2$，
$\because$四边形ABCD是$\odot O$的内接正方形，
$\therefore$对角线$AC⊥ BD$，即$∠ AOB=90°$，
在$\mathrm{Rt}△ AOB$中，由勾股定理得：
$AB=\sqrt{OA^2+OB^2}=\sqrt{2^2+2^2}=2\sqrt{2}$。
【答案】
(1) 如答图31所示，正方形ABCD为所求
(2) $2\sqrt{2}$
【知识点】
尺规作垂直平分线；圆内接正多边形性质；勾股定理
【点评】
本题综合考查了尺规作图能力和几何计算能力，解题的核心是明确圆内接正方形的对角线与圆直径的对应关系，属于基础巩固类题型。
【难度系数】
0.8
8. 班级开展文化墙布置活动，同学们准备用八瓣小花图案装饰边框，让墙面更美观整齐. 要画出均匀对称的小花，首先需要把圆形轮廓进行精准八等分.
已知:如图 30.3 - 18，$\odot O$ 为要设计的小花的圆形轮廓.
求作:用尺规作图将$\odot O$ 的圆周八等分. (不写作法,保留作图痕迹)
图 30.3 - 18
已知:如图 30.3 - 18，$\odot O$ 为要设计的小花的圆形轮廓.
求作:用尺规作图将$\odot O$ 的圆周八等分. (不写作法,保留作图痕迹)
图 30.3 - 18
答案
如答图32所示
解析
【分析】
要将圆周八等分，本质是把360°的周角平均分成8份，每份对应圆心角为45°。解题时可分两步思考：第一步先实现圆周四等分，得到90°的圆心角：先过圆心O作一条直径，再作这条直径的垂直平分线，两条互相垂直的直径即可把圆分为4段90°的弧，得到4个四等分点；第二步再对每个90°的圆心角（或对应弧）进行平分，得到45°的圆心角，即可得到8个均匀分布的分点，就完成了圆周八等分，所用操作都是已学的尺规作图方法，符合要求。
【解析】
作图过程如下：
1. 过圆心O作任意一条直线，与⊙O交于两点，得到⊙O的一条直径；
2. 用尺规作该直径的垂直平分线，与⊙O交于另外两点，此时两条互相垂直的直径将圆周四等分，得到4个分点；
3. 分别作每相邻两个四等分点所对圆心角的角平分线，各角平分线与⊙O交于4个新的分点，共8个分点将⊙O的圆周均匀八等分，按要求保留作图痕迹即可。
【答案】
如答图32所示
【知识点】
尺规作图；圆的等分；垂直平分线作法
【点评】
本题结合实际装饰场景考查尺规作图的操作能力，解题关键是掌握圆等分的转化思路，将八等分转化为先四等分再逐次平分，能很好地考察学生对基础作图方法的灵活运用能力。
【难度系数】
0.7
要将圆周八等分，本质是把360°的周角平均分成8份，每份对应圆心角为45°。解题时可分两步思考：第一步先实现圆周四等分，得到90°的圆心角：先过圆心O作一条直径，再作这条直径的垂直平分线，两条互相垂直的直径即可把圆分为4段90°的弧，得到4个四等分点；第二步再对每个90°的圆心角（或对应弧）进行平分，得到45°的圆心角，即可得到8个均匀分布的分点，就完成了圆周八等分，所用操作都是已学的尺规作图方法，符合要求。
【解析】
作图过程如下：
1. 过圆心O作任意一条直线，与⊙O交于两点，得到⊙O的一条直径；
2. 用尺规作该直径的垂直平分线，与⊙O交于另外两点，此时两条互相垂直的直径将圆周四等分，得到4个分点；
3. 分别作每相邻两个四等分点所对圆心角的角平分线，各角平分线与⊙O交于4个新的分点，共8个分点将⊙O的圆周均匀八等分，按要求保留作图痕迹即可。
【答案】
如答图32所示
【知识点】
尺规作图；圆的等分；垂直平分线作法
【点评】
本题结合实际装饰场景考查尺规作图的操作能力，解题关键是掌握圆等分的转化思路，将八等分转化为先四等分再逐次平分，能很好地考察学生对基础作图方法的灵活运用能力。
【难度系数】
0.7
