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1. 定义:各边
相等
、各角也相等
的多边形是正多边形。答案
1. 相等 相等
解析
【分析】
本题考查正多边形的基本定义，属于概念识记类题目。解题时只需回忆正多边形的判定要素：正多边形需要同时满足两个条件，一是所有的边长度相等，二是所有的内角度数相等，两个条件缺一不可，直接对应填空即可。
【解析】
根据正多边形的定义：各边相等、各角也相等的多边形是正多边形，因此两个空缺处均应填入“相等”。
【答案】
相等 相等
【知识点】
正多边形的定义
【点评】
本题属于基础概念考查题，难度极低，核心是对教材基础定义的记忆，日常学习中重视课本基础概念的识记即可轻松得分。
【难度系数】
0.9
本题考查正多边形的基本定义，属于概念识记类题目。解题时只需回忆正多边形的判定要素：正多边形需要同时满足两个条件，一是所有的边长度相等，二是所有的内角度数相等，两个条件缺一不可，直接对应填空即可。
【解析】
根据正多边形的定义：各边相等、各角也相等的多边形是正多边形，因此两个空缺处均应填入“相等”。
【答案】
相等 相等
【知识点】
正多边形的定义
【点评】
本题属于基础概念考查题，难度极低，核心是对教材基础定义的记忆，日常学习中重视课本基础概念的识记即可轻松得分。
【难度系数】
0.9
2. 正多边形与圆的联系.
(1)中心:正多边形的外接圆的圆心叫作正多边形的
(2)中心角:正多边形每一边所对的圆心角叫作正多边形的 .
(3)边心距:中心到正多边形的一边的距离叫作正多边形的 .
(1)中心:正多边形的外接圆的圆心叫作正多边形的
中心
,外接圆的半径叫作正多边形的 半径
.(2)中心角:正多边形每一边所对的圆心角叫作正多边形的 .
(3)边心距:中心到正多边形的一边的距离叫作正多边形的 .
答案
2. (1) 中心 半径
解析
【分析】
本题考查正多边形与圆相关的基础概念，属于识记类题型，解题时只需结合教材中对正多边形相关术语的定义，逐一对应空缺位置填写即可，准确记忆概念是解题的核心。
【解析】
根据正多边形和圆的对应定义：
(1) 正多边形的外接圆的圆心叫作正多边形的中心，外接圆的半径叫作正多边形的半径；
(2) 正多边形每一边所对的圆心角叫作正多边形的中心角；
(3) 中心到正多边形的一边的距离叫作正多边形的边心距。
【答案】
(1) 中心；半径 (2) 中心角 (3) 边心距
【知识点】
正多边形基本概念，正多边形与圆的关系
【点评】
本题是基础概念考查题，难度较低，主要考察对教材基础定义的记忆掌握程度，相关概念是后续解决正多边形边长、面积、角度计算类问题的基础，需要熟练掌握。
【难度系数】
0.9
本题考查正多边形与圆相关的基础概念，属于识记类题型，解题时只需结合教材中对正多边形相关术语的定义，逐一对应空缺位置填写即可，准确记忆概念是解题的核心。
【解析】
根据正多边形和圆的对应定义：
(1) 正多边形的外接圆的圆心叫作正多边形的中心，外接圆的半径叫作正多边形的半径；
(2) 正多边形每一边所对的圆心角叫作正多边形的中心角；
(3) 中心到正多边形的一边的距离叫作正多边形的边心距。
【答案】
(1) 中心；半径 (2) 中心角 (3) 边心距
【知识点】
正多边形基本概念，正多边形与圆的关系
【点评】
本题是基础概念考查题，难度较低，主要考察对教材基础定义的记忆掌握程度，相关概念是后续解决正多边形边长、面积、角度计算类问题的基础，需要熟练掌握。
【难度系数】
0.9
例 如图30.3-1，在正方形ABCD中，点O为中心，其边长为a，则其外接圆半径与内切圆半径的大小之比是().
A.$\sqrt{2}:1$
B.$1:\sqrt{2}$
C.$\sqrt{3}:1$
D.$1:1$
A.$\sqrt{2}:1$
B.$1:\sqrt{2}$
C.$\sqrt{3}:1$
D.$1:1$
答案
A
解析
【分析】
首先明确两个半径的定义：正方形外接圆半径是其中心到顶点的距离，等于正方形对角线长度的一半；内切圆半径是其中心到边的距离，等于正方形边长的一半。我们可以先根据已知的正方形边长，分别求出外接圆半径和内切圆半径，再计算二者的比值即可得到答案。
【解析】
已知正方形ABCD的边长为a：
1. 计算正方形的对角线长度：由勾股定理可得，对角线$AC = \sqrt{AB^2 + BC^2} = \sqrt{a^2 + a^2} = \sqrt{2}a$；
2. 求外接圆半径$R$：外接圆的半径是正方形中心到顶点的距离，即对角线的一半，因此$R = \frac{AC}{2} = \frac{\sqrt{2}a}{2}$；
3. 求内切圆半径$r$：内切圆的半径是正方形中心到边的距离，即边长的一半，因此$r = \frac{a}{2}$；
4. 计算比值：$R:r = \frac{\sqrt{2}a}{2}:\frac{a}{2} = \sqrt{2}:1$。
【答案】
A
【知识点】
正方形的性质，正多边形与圆，勾股定理
【点评】
本题属于基础题，解题的关键是准确区分正多边形外接圆半径和内切圆半径对应的线段，结合正方形的基本性质即可快速求解。
【难度系数】
0.8
首先明确两个半径的定义：正方形外接圆半径是其中心到顶点的距离，等于正方形对角线长度的一半；内切圆半径是其中心到边的距离，等于正方形边长的一半。我们可以先根据已知的正方形边长，分别求出外接圆半径和内切圆半径，再计算二者的比值即可得到答案。
【解析】
已知正方形ABCD的边长为a：
1. 计算正方形的对角线长度：由勾股定理可得，对角线$AC = \sqrt{AB^2 + BC^2} = \sqrt{a^2 + a^2} = \sqrt{2}a$；
2. 求外接圆半径$R$：外接圆的半径是正方形中心到顶点的距离，即对角线的一半，因此$R = \frac{AC}{2} = \frac{\sqrt{2}a}{2}$；
3. 求内切圆半径$r$：内切圆的半径是正方形中心到边的距离，即边长的一半，因此$r = \frac{a}{2}$；
4. 计算比值：$R:r = \frac{\sqrt{2}a}{2}:\frac{a}{2} = \sqrt{2}:1$。
【答案】
A
【知识点】
正方形的性质，正多边形与圆，勾股定理
【点评】
本题属于基础题，解题的关键是准确区分正多边形外接圆半径和内切圆半径对应的线段，结合正方形的基本性质即可快速求解。
【难度系数】
0.8
1. 已知正六边形的边长为2，那么它的边心距是(
A.1
B.$\frac{3}{2}$
C.$\sqrt{3}$
D.2
C
).A.1
B.$\frac{3}{2}$
C.$\sqrt{3}$
D.2
答案
1. C
解析
【分析】
要计算正六边形的边心距，首先明确边心距是正多边形中心到任意一条边的距离。正六边形有特殊性质：它的边长等于外接圆的半径，且中心角为$360°÷6=60°$，因此正六边形的中心与相邻两个顶点的连线、以及对应边可构成等边三角形，边心距就是这个等边三角形的高，我们可以通过构造直角三角形，用勾股定理计算高的长度。
【解析】
解：正六边形的中心角为$\frac{360°}{6}=60°$，
∵正六边形的边长等于其外接圆半径，已知边长为2，
∴外接圆半径$R=2$，
取正六边形的一条边，过中心作这条边的垂线（即边心距$d$），则该垂线平分这条边，也平分对应的中心角，
由此得到直角三角形，其中斜边长为$R=2$，一条直角边长为边长的一半：$2÷2=1$，
根据勾股定理：$d=\sqrt{R^2 - 1^2}=\sqrt{2^2 - 1^2}=\sqrt{3}$，
所以边心距为$\sqrt{3}$，对应选项C。
【答案】
C
【知识点】
正多边形的性质，勾股定理
【点评】
本题是正多边形相关的基础计算题，解题核心是掌握正六边形边长与外接圆半径相等的特点，通过构造直角三角形即可快速求解，熟练掌握正多边形和圆的对应关系能大幅提升解题效率。
【难度系数】
0.8
要计算正六边形的边心距，首先明确边心距是正多边形中心到任意一条边的距离。正六边形有特殊性质：它的边长等于外接圆的半径，且中心角为$360°÷6=60°$，因此正六边形的中心与相邻两个顶点的连线、以及对应边可构成等边三角形，边心距就是这个等边三角形的高，我们可以通过构造直角三角形，用勾股定理计算高的长度。
【解析】
解：正六边形的中心角为$\frac{360°}{6}=60°$，
∵正六边形的边长等于其外接圆半径，已知边长为2，
∴外接圆半径$R=2$，
取正六边形的一条边，过中心作这条边的垂线（即边心距$d$），则该垂线平分这条边，也平分对应的中心角，
由此得到直角三角形，其中斜边长为$R=2$，一条直角边长为边长的一半：$2÷2=1$，
根据勾股定理：$d=\sqrt{R^2 - 1^2}=\sqrt{2^2 - 1^2}=\sqrt{3}$，
所以边心距为$\sqrt{3}$，对应选项C。
【答案】
C
【知识点】
正多边形的性质，勾股定理
【点评】
本题是正多边形相关的基础计算题，解题核心是掌握正六边形边长与外接圆半径相等的特点，通过构造直角三角形即可快速求解，熟练掌握正多边形和圆的对应关系能大幅提升解题效率。
【难度系数】
0.8
2. 如图30.3-3，$\odot O$是正方形ABCD的外接圆，若点P在$\odot O$上，则$∠ APB$等于（
A.$30°$
B.$45°$
C.$55°$
D.$60°$
B
）.A.$30°$
B.$45°$
C.$55°$
D.$60°$
答案
2. B
解析
【分析】
要解决这个问题，我们可以结合正方形和圆的相关性质推导：首先正方形的四个顶点在外接圆上，将圆平均分成4等份，先求出弧AB对应的圆心角，再利用圆周角定理，就能求出弧AB对应的圆周角∠APB的度数。
【解析】
连接OA、OB。
∵$\odot O$是正方形ABCD的外接圆，
∴正方形的四个顶点将圆四等分，圆心角$∠ AOB=360°÷4=90°$。
又
∵$∠ APB$是弧AB所对的圆周角，根据圆周角定理：同弧所对的圆周角等于圆心角的一半，
∴$∠ APB=\frac{1}{2}∠ AOB=\frac{1}{2}×90°=45°$。
故选B。
【答案】
B
【知识点】
圆周角定理，正方形的性质，外接圆性质
【点评】
本题属于基础题型，将正方形性质和圆的性质结合考查，解题关键是明确同弧所对的圆周角和圆心角的数量关系，熟练掌握相关性质即可快速求解。
【难度系数】
0.8
要解决这个问题，我们可以结合正方形和圆的相关性质推导：首先正方形的四个顶点在外接圆上，将圆平均分成4等份，先求出弧AB对应的圆心角，再利用圆周角定理，就能求出弧AB对应的圆周角∠APB的度数。
【解析】
连接OA、OB。
∵$\odot O$是正方形ABCD的外接圆，
∴正方形的四个顶点将圆四等分，圆心角$∠ AOB=360°÷4=90°$。
又
∵$∠ APB$是弧AB所对的圆周角，根据圆周角定理：同弧所对的圆周角等于圆心角的一半，
∴$∠ APB=\frac{1}{2}∠ AOB=\frac{1}{2}×90°=45°$。
故选B。
【答案】
B
【知识点】
圆周角定理，正方形的性质，外接圆性质
【点评】
本题属于基础题型，将正方形性质和圆的性质结合考查，解题关键是明确同弧所对的圆周角和圆心角的数量关系，熟练掌握相关性质即可快速求解。
【难度系数】
0.8
