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3. 如图30.2-5,在$Rt△ ABC$中,$∠ C=90°$,$AC=3$,$AB=5$,$\odot O$是$Rt△ ABC$的内切圆,则$\odot O$的半径为(
A.1
B.$\sqrt{3}$
C.2
D.$2\sqrt{3}$
A
).A.1
B.$\sqrt{3}$
C.2
D.$2\sqrt{3}$
答案
3. A
解析
【分析】
解题首先需要先求出直角三角形未知的直角边长度，可通过勾股定理计算。接下来求内切圆半径有两种思路：一是直接运用直角三角形内切圆半径公式$r=\frac{a+b-c}{2}$（其中a、b为直角边，c为斜边）计算；二是采用面积法，将原三角形分割为以内切圆圆心为顶点的三个小三角形，利用三个小三角形面积之和等于大三角形面积列方程求解。
【解析】
在$Rt△ ABC$中，$∠ C=90°$，$AC=3$，$AB=5$，
由勾股定理得：$BC=\sqrt{AB^2-AC^2}=\sqrt{5^2-3^2}=\sqrt{16}=4$。
设$\odot O$的半径为$r$，根据直角三角形内切圆半径公式$r=\frac{\mathrm{两条直角边之和}-\mathrm{斜边}}{2}$，代入数据得：
$r=\frac{3+4-5}{2}=1$。
（也可使用面积法验证：$△ ABC$面积$S=\frac{1}{2}×3×4=6$，同时$S=\frac{1}{2}r(3+4+5)=6r$，解得$r=1$）
【答案】
A
【知识点】
勾股定理；三角形内切圆；面积法计算
【点评】
本题是基础题型，考查直角三角形内切圆半径的求解，既可以直接用公式快速得到结果，也可以通过面积法推导得出，掌握相关公式和面积法的应用就能顺利解题。
【难度系数】
0.8
解题首先需要先求出直角三角形未知的直角边长度，可通过勾股定理计算。接下来求内切圆半径有两种思路：一是直接运用直角三角形内切圆半径公式$r=\frac{a+b-c}{2}$（其中a、b为直角边，c为斜边）计算；二是采用面积法，将原三角形分割为以内切圆圆心为顶点的三个小三角形，利用三个小三角形面积之和等于大三角形面积列方程求解。
【解析】
在$Rt△ ABC$中，$∠ C=90°$，$AC=3$，$AB=5$，
由勾股定理得：$BC=\sqrt{AB^2-AC^2}=\sqrt{5^2-3^2}=\sqrt{16}=4$。
设$\odot O$的半径为$r$，根据直角三角形内切圆半径公式$r=\frac{\mathrm{两条直角边之和}-\mathrm{斜边}}{2}$，代入数据得：
$r=\frac{3+4-5}{2}=1$。
（也可使用面积法验证：$△ ABC$面积$S=\frac{1}{2}×3×4=6$，同时$S=\frac{1}{2}r(3+4+5)=6r$，解得$r=1$）
【答案】
A
【知识点】
勾股定理；三角形内切圆；面积法计算
【点评】
本题是基础题型，考查直角三角形内切圆半径的求解，既可以直接用公式快速得到结果，也可以通过面积法推导得出，掌握相关公式和面积法的应用就能顺利解题。
【难度系数】
0.8
4. 如图30.2 - 6，$\odot O$是$△ ABC$的内切圆，与AB，BC，AC分别相切于点D，E，F。若$\odot O$的半径为2，$△ ABC$的周长为26，则$△ ABC$的面积为(
A.$12\sqrt{3}$
B.24
C.26
D.52
C
).A.$12\sqrt{3}$
B.24
C.26
D.52
答案
4. C
解析
【分析】
要求△ABC的面积，已知其内切圆半径和周长，可借助内切圆的性质求解：内切圆的圆心到三角形三边的距离均等于内切圆半径，因此可连接OA、OB、OC，将△ABC分割为△OAB、△OBC、△OAC三个小三角形，三个小三角形的高均为内切圆半径，底分别为△ABC的三边，三个小三角形的面积和即为△ABC的面积，推导后代入数值计算即可。
【解析】
连接OA、OB、OC。
∵⊙O是△ABC的内切圆，分别与AB、BC、AC相切于点D、E、F，
∴OD⊥AB，OE⊥BC，OF⊥AC，且OD=OE=OF=r=2。
△ABC的面积等于三个小三角形面积之和：
$S_{△ ABC}=S_{△ OAB}+S_{△ OBC}+S_{△ OAC}$
$=\frac{1}{2}× AB × OD + \frac{1}{2}× BC × OE + \frac{1}{2}× AC × OF$
提取公因式得：
$=\frac{1}{2}× r × (AB+BC+AC)$
已知△ABC的周长$AB+BC+AC=26$，r=2，代入得：
$S_{△ ABC}=\frac{1}{2}× 2 × 26 = 26$
【答案】
C
【知识点】
三角形内切圆性质；分割法求面积；三角形面积计算
【点评】
本题是基础的几何计算类题目，解题关键是理解内切圆的性质，掌握将大三角形拆分为三个以内切圆半径为高的小三角形的思路，熟记三角形面积与内切圆半径、周长的关系公式$S=\frac{1}{2}Cr$（C为三角形周长，r为内切圆半径）可直接快速算出结果。
【难度系数】
0.8
要求△ABC的面积，已知其内切圆半径和周长，可借助内切圆的性质求解：内切圆的圆心到三角形三边的距离均等于内切圆半径，因此可连接OA、OB、OC，将△ABC分割为△OAB、△OBC、△OAC三个小三角形，三个小三角形的高均为内切圆半径，底分别为△ABC的三边，三个小三角形的面积和即为△ABC的面积，推导后代入数值计算即可。
【解析】
连接OA、OB、OC。
∵⊙O是△ABC的内切圆，分别与AB、BC、AC相切于点D、E、F，
∴OD⊥AB，OE⊥BC，OF⊥AC，且OD=OE=OF=r=2。
△ABC的面积等于三个小三角形面积之和：
$S_{△ ABC}=S_{△ OAB}+S_{△ OBC}+S_{△ OAC}$
$=\frac{1}{2}× AB × OD + \frac{1}{2}× BC × OE + \frac{1}{2}× AC × OF$
提取公因式得：
$=\frac{1}{2}× r × (AB+BC+AC)$
已知△ABC的周长$AB+BC+AC=26$，r=2，代入得：
$S_{△ ABC}=\frac{1}{2}× 2 × 26 = 26$
【答案】
C
【知识点】
三角形内切圆性质；分割法求面积；三角形面积计算
【点评】
本题是基础的几何计算类题目，解题关键是理解内切圆的性质，掌握将大三角形拆分为三个以内切圆半径为高的小三角形的思路，熟记三角形面积与内切圆半径、周长的关系公式$S=\frac{1}{2}Cr$（C为三角形周长，r为内切圆半径）可直接快速算出结果。
【难度系数】
0.8
5. 如图30.2-7,在△ABC中,∠C=90°,BC=5,⊙O与△ABC的三边分别相切于点D,E,F,若⊙O的半径为2,则△ABC的周长为(
A.15
B.20
C.25
D.30
D
).A.15
B.20
C.25
D.30
答案
5. D
解析
【分析】
本题是直角三角形内切圆的计算问题，解题思路如下：首先根据切线的性质，判断出内切圆与直角边交点和圆心、直角顶点构成的四边形是正方形，得到两条切线段的长度等于内切圆半径；再利用切线长定理，将其余边长用同一个未知数表示；最后结合勾股定理列方程求解各边长，相加即可得到三角形周长。也可以直接用直角三角形内切圆半径公式快速建立边长关系，简化计算。
【解析】
连接OE、OF，
∵⊙O分别切AC、BC于点E、F，
∴OE⊥AC，OF⊥BC，
又
∵∠C=90°，OE=OF=2，
∴四边形OECF是正方形，
∴CE=CF=2。
∵BC=5，
∴BF=BC-CF=5-2=3，
根据切线长定理：从圆外一点引圆的两条切线，切线长相等，
∴BD=BF=3，设AE=AD=x，
则AC=AE+CE=x+2，AB=AD+BD=x+3，
在Rt△ABC中，由勾股定理得：
$AB^2=AC^2+BC^2$
代入得：$(x+3)^2=(x+2)^2+5^2$
展开化简：
$x^2+6x+9=x^2+4x+4+25$
$2x=20$，解得$x=10$
∴AC=10+2=12，AB=10+3=13，
△ABC的周长=AB+AC+BC=13+12+5=30。
【答案】
D
【知识点】
切线长定理，勾股定理，三角形内切圆性质
【点评】
本题是基础的几何计算类题目，将切线长定理与直角三角形的勾股定理结合即可解题，熟记直角三角形内切圆半径与三边长的关系，能进一步提升解题速度。
【难度系数】
0.7
本题是直角三角形内切圆的计算问题，解题思路如下：首先根据切线的性质，判断出内切圆与直角边交点和圆心、直角顶点构成的四边形是正方形，得到两条切线段的长度等于内切圆半径；再利用切线长定理，将其余边长用同一个未知数表示；最后结合勾股定理列方程求解各边长，相加即可得到三角形周长。也可以直接用直角三角形内切圆半径公式快速建立边长关系，简化计算。
【解析】
连接OE、OF，
∵⊙O分别切AC、BC于点E、F，
∴OE⊥AC，OF⊥BC，
又
∵∠C=90°，OE=OF=2，
∴四边形OECF是正方形，
∴CE=CF=2。
∵BC=5，
∴BF=BC-CF=5-2=3，
根据切线长定理：从圆外一点引圆的两条切线，切线长相等，
∴BD=BF=3，设AE=AD=x，
则AC=AE+CE=x+2，AB=AD+BD=x+3，
在Rt△ABC中，由勾股定理得：
$AB^2=AC^2+BC^2$
代入得：$(x+3)^2=(x+2)^2+5^2$
展开化简：
$x^2+6x+9=x^2+4x+4+25$
$2x=20$，解得$x=10$
∴AC=10+2=12，AB=10+3=13，
△ABC的周长=AB+AC+BC=13+12+5=30。
【答案】
D
【知识点】
切线长定理，勾股定理，三角形内切圆性质
【点评】
本题是基础的几何计算类题目，将切线长定理与直角三角形的勾股定理结合即可解题，熟记直角三角形内切圆半径与三边长的关系，能进一步提升解题速度。
【难度系数】
0.7
6. 如图30.2-8，点O是△ABC的外心，点I是△ABC的内心，连接OB，IA.若∠CAI=36°，则∠OBC的度数为().
A.$20°$
B.$18°$
C.$16°$
D.$15°$
A.$20°$
B.$18°$
C.$16°$
D.$15°$
答案
解析
【分析】
首先，明确点I是△ABC的内心，根据内心是三角形内角平分线交点的性质，可由已知的∠CAI求出∠BAC的度数；其次，点O是△ABC的外心，结合圆周角定理，可推出弧BC对应的圆心角∠BOC的度数；最后，OB、OC都是外接圆半径，△OBC为等腰三角形，利用三角形内角和即可求出∠OBC的度数。
【解析】
解：
∵点I是△ABC的内心，
∴AI平分∠BAC，
∴∠BAC=2∠CAI=2×36°=72°。
∵点O是△ABC的外心，
∴∠BOC是弧BC所对的圆心角，∠BAC是弧BC所对的圆周角，
根据圆周角定理：同弧所对的圆心角是圆周角的2倍，可得
∠BOC=2∠BAC=2×72°=144°。
又
∵OB=OC（都是⊙O的半径），
∴△OBC是等腰三角形，
∴∠OBC=∠OCB = $\frac{180° - ∠BOC}{2}$ = $\frac{180° - 144°}{2}$ = 18°。
【答案】B
【知识点】
三角形内外心的性质；圆周角定理；等腰三角形的性质
【点评】
本题属于基础角度计算题，解题核心是熟练掌握三角形内心、外心的定义和相关性质，结合圆周角定理、等腰三角形的角度计算规律即可快速得出结果。
【难度系数】
0.7
首先，明确点I是△ABC的内心，根据内心是三角形内角平分线交点的性质，可由已知的∠CAI求出∠BAC的度数；其次，点O是△ABC的外心，结合圆周角定理，可推出弧BC对应的圆心角∠BOC的度数；最后，OB、OC都是外接圆半径，△OBC为等腰三角形，利用三角形内角和即可求出∠OBC的度数。
【解析】
解：
∵点I是△ABC的内心，
∴AI平分∠BAC，
∴∠BAC=2∠CAI=2×36°=72°。
∵点O是△ABC的外心，
∴∠BOC是弧BC所对的圆心角，∠BAC是弧BC所对的圆周角，
根据圆周角定理：同弧所对的圆心角是圆周角的2倍，可得
∠BOC=2∠BAC=2×72°=144°。
又
∵OB=OC（都是⊙O的半径），
∴△OBC是等腰三角形，
∴∠OBC=∠OCB = $\frac{180° - ∠BOC}{2}$ = $\frac{180° - 144°}{2}$ = 18°。
【答案】B
【知识点】
三角形内外心的性质；圆周角定理；等腰三角形的性质
【点评】
本题属于基础角度计算题，解题核心是熟练掌握三角形内心、外心的定义和相关性质，结合圆周角定理、等腰三角形的角度计算规律即可快速得出结果。
【难度系数】
0.7
7. 已知一个三角形的三边长分别为5、5、6，则其内切圆的半径为 cm.
答案
$\boldsymbol{\frac{3}{2}}$
解析
【分析】
首先观察三角形三边长为5、5、6，可判定为等腰三角形。要求内切圆半径，可利用三角形面积与内切圆半径的关系公式：$S=\frac{1}{2}rC$（其中$r$为内切圆半径，$C$为三角形周长），变形得$r=\frac{2S}{C}$。因此解题步骤为：先通过等腰三角形三线合一和勾股定理求出三角形的高，计算出面积；再求出三角形周长，最后代入公式即可算出内切圆半径。
【解析】
1. 判定三角形类型：三角形三边长为5、5、6，为等腰三角形，底边长为6，腰长为5。
2. 求三角形的高：过等腰三角形顶点作底边的高，根据三线合一，高平分底边，半底长为$6÷2=3$。由勾股定理得高$h=\sqrt{5^2-3^2}=\sqrt{25-9}=4$。
3. 计算三角形面积：$S=\frac{1}{2}×底×高=\frac{1}{2}×6×4=12$。
4. 计算三角形周长：$C=5+5+6=16$。
5. 代入内切圆半径公式：$r=\frac{2S}{C}=\frac{2×12}{16}=\frac{24}{16}=\frac{3}{2}$。
【答案】
$\boldsymbol{\frac{3}{2}}$
【知识点】
等腰三角形的性质，勾股定理，三角形内切圆半径公式
【点评】
本题是基础几何计算题，核心是利用三角形面积与内切圆半径的关联公式求解，解题的关键是先准确算出等腰三角形的面积，属于常考的基础题型。
【难度系数】
0.7
首先观察三角形三边长为5、5、6，可判定为等腰三角形。要求内切圆半径，可利用三角形面积与内切圆半径的关系公式：$S=\frac{1}{2}rC$（其中$r$为内切圆半径，$C$为三角形周长），变形得$r=\frac{2S}{C}$。因此解题步骤为：先通过等腰三角形三线合一和勾股定理求出三角形的高，计算出面积；再求出三角形周长，最后代入公式即可算出内切圆半径。
【解析】
1. 判定三角形类型：三角形三边长为5、5、6，为等腰三角形，底边长为6，腰长为5。
2. 求三角形的高：过等腰三角形顶点作底边的高，根据三线合一，高平分底边，半底长为$6÷2=3$。由勾股定理得高$h=\sqrt{5^2-3^2}=\sqrt{25-9}=4$。
3. 计算三角形面积：$S=\frac{1}{2}×底×高=\frac{1}{2}×6×4=12$。
4. 计算三角形周长：$C=5+5+6=16$。
5. 代入内切圆半径公式：$r=\frac{2S}{C}=\frac{2×12}{16}=\frac{24}{16}=\frac{3}{2}$。
【答案】
$\boldsymbol{\frac{3}{2}}$
【知识点】
等腰三角形的性质，勾股定理，三角形内切圆半径公式
【点评】
本题是基础几何计算题，核心是利用三角形面积与内切圆半径的关联公式求解，解题的关键是先准确算出等腰三角形的面积，属于常考的基础题型。
【难度系数】
0.7
8. 如图 30.2 - 9,点 I 为$△ ABC$的内心,$AB = 12\ \mathrm{cm}$,$AC = 9\ \mathrm{cm}$,$BC = 6\ \mathrm{cm}$,将$∠ ACB$平移,使其顶点 C 与点 I 重合,则图中阴影部分的周长为 cm.
答案
$\boldsymbol{12}$
解析
【分析】
解题时首先回忆两个核心知识点：一是三角形内心是三个内角角平分线的交点，二是平移前后对应线段互相平行。第一步连接AI、BI，利用内心性质可得AI、BI分别平分∠CAB、∠CBA；第二步结合平移的平行性质，可推导出△ADI和△BEI都是等腰三角形，得到DI=AD、EI=BE；最后将阴影部分的周长进行等量代换，转化为AB的长度即可求解。
【解析】
连接AI、BI。
∵点I是△ABC的内心，
∴AI平分∠CAB，BI平分∠CBA，即$∠ CAI=∠ DAI$，$∠ CBI=∠ EBI$。
由平移的性质可得：$AC// ID$，$BC// IE$，
∴$∠ CAI=∠ AID$，$∠ CBI=∠ BIE$，
∴$∠ DAI=∠ AID$，$∠ EBI=∠ BIE$，
∴$AD=DI$，$BE=EI$。
∴阴影部分的周长$=DI+DE+EI=AD+DE+BE=AB=12\ \mathrm{cm}$。
【答案】
$\boldsymbol{12}$
【知识点】
三角形内心的性质，平移的性质，等腰三角形的判定
【点评】
本题属于几何综合基础题，解题的关键是利用角平分线和平行线的性质推导等腰三角形，将阴影部分的周长通过等量代换转化为已知线段的长度，很好地考查了转化的数学思想。
【难度系数】
0.65
解题时首先回忆两个核心知识点：一是三角形内心是三个内角角平分线的交点，二是平移前后对应线段互相平行。第一步连接AI、BI，利用内心性质可得AI、BI分别平分∠CAB、∠CBA；第二步结合平移的平行性质，可推导出△ADI和△BEI都是等腰三角形，得到DI=AD、EI=BE；最后将阴影部分的周长进行等量代换，转化为AB的长度即可求解。
【解析】
连接AI、BI。
∵点I是△ABC的内心，
∴AI平分∠CAB，BI平分∠CBA，即$∠ CAI=∠ DAI$，$∠ CBI=∠ EBI$。
由平移的性质可得：$AC// ID$，$BC// IE$，
∴$∠ CAI=∠ AID$，$∠ CBI=∠ BIE$，
∴$∠ DAI=∠ AID$，$∠ EBI=∠ BIE$，
∴$AD=DI$，$BE=EI$。
∴阴影部分的周长$=DI+DE+EI=AD+DE+BE=AB=12\ \mathrm{cm}$。
【答案】
$\boldsymbol{12}$
【知识点】
三角形内心的性质，平移的性质，等腰三角形的判定
【点评】
本题属于几何综合基础题，解题的关键是利用角平分线和平行线的性质推导等腰三角形，将阴影部分的周长通过等量代换转化为已知线段的长度，很好地考查了转化的数学思想。
【难度系数】
0.65
9.《九章算术》中记载：“今有句八步，股十五步.问句中容圆径几何？”译文：今有一个直角三角形（如图30.2-10），句（短直角边）长为8步，股（长直角边）长为15步，问该直角三角形内切圆的直径是多少？（注：“步”为古代长度单位）
答案
9. 如答图 30
，连接 OD,OE,OF.∵AC,AB,BC 与⊙O 相切,设切点分别为 D,F,E,
∴AC⊥OD,BC⊥OE,AB⊥OF,AD=AF,CD=CE,BE=BF.
∴∠C=∠ODC=∠OEC=90°. 又 OD=OE,
∴四边形 DCEO 是正方形.
∴OD=OE=OF=CD=CE,由题意,得 AC=15,BC=8,在Rt△ACB 中,AB=√(AC²+BC²)=√(15²+8²)=17,设半径为 r,则 AF=AD=15−r,BF=BE=8−r,
∴15−r+8−r=
解析
【分析】
解决本题首先明确已知条件为直角三角形的两条直角边，要求内切圆直径，可按以下步骤推导：第一步，利用勾股定理求出直角三角形的斜边长度；第二步，根据切线的性质和切线长定理，可知内切圆与三边相切时，相邻切线长相等，且直角顶点处的两条半径与两条直角边围成正方形，因此内切圆半径等于直角顶点到相邻切点的距离；第三步，设半径为r，用r表示出斜边上两段切线长的长度，结合斜边总长列方程求解半径，半径乘2即可得到内切圆直径。
【解析】
如答图 30，连接OD,OE,OF。
∵AC、AB、BC与⊙O相切，切点分别为D、F、E，
∴$AC⊥ OD$，$BC⊥ OE$，$AB⊥ OF$，且$AD=AF$，$CD=CE$，$BE=BF$。
∴$∠ C=∠ ODC=∠ OEC=90°$，又$OD=OE$，
∴四边形DCEO是正方形，因此$CD=CE=r$（r为内切圆半径）。
已知$AC=15$步，$BC=8$步，在$Rt△ ACB$中，由勾股定理得：
$AB=\sqrt{AC^2+BC^2}=\sqrt{15^2+8^2}=17$步。
则$AF=AD=AC-CD=15-r$，$BF=BE=BC-CE=8-r$，
∵$AB=AF+BF$，
∴$15-r+8-r=17$，
解得$r=3$，
∴内切圆直径为$2r=6$步。
【答案】
该直角三角形内切圆的直径是6步。
【知识点】
勾股定理；切线长定理；三角形内切圆性质
【点评】
本题依托古代数学典籍的问题背景，考查直角三角形内切圆相关计算，解题核心是灵活运用切线长定理和勾股定理建立方程，同时能让学生感受中国古代数学的成就。
【难度系数】
0.7
解决本题首先明确已知条件为直角三角形的两条直角边，要求内切圆直径，可按以下步骤推导：第一步，利用勾股定理求出直角三角形的斜边长度；第二步，根据切线的性质和切线长定理，可知内切圆与三边相切时，相邻切线长相等，且直角顶点处的两条半径与两条直角边围成正方形，因此内切圆半径等于直角顶点到相邻切点的距离；第三步，设半径为r，用r表示出斜边上两段切线长的长度，结合斜边总长列方程求解半径，半径乘2即可得到内切圆直径。
【解析】
如答图 30
，连接OD,OE,OF。∵AC、AB、BC与⊙O相切，切点分别为D、F、E，
∴$AC⊥ OD$，$BC⊥ OE$，$AB⊥ OF$，且$AD=AF$，$CD=CE$，$BE=BF$。
∴$∠ C=∠ ODC=∠ OEC=90°$，又$OD=OE$，
∴四边形DCEO是正方形，因此$CD=CE=r$（r为内切圆半径）。
已知$AC=15$步，$BC=8$步，在$Rt△ ACB$中，由勾股定理得：
$AB=\sqrt{AC^2+BC^2}=\sqrt{15^2+8^2}=17$步。
则$AF=AD=AC-CD=15-r$，$BF=BE=BC-CE=8-r$，
∵$AB=AF+BF$，
∴$15-r+8-r=17$，
解得$r=3$，
∴内切圆直径为$2r=6$步。
【答案】
该直角三角形内切圆的直径是6步。
【知识点】
勾股定理；切线长定理；三角形内切圆性质
【点评】
本题依托古代数学典籍的问题背景，考查直角三角形内切圆相关计算，解题核心是灵活运用切线长定理和勾股定理建立方程，同时能让学生感受中国古代数学的成就。
【难度系数】
0.7
10. 如图30.2-11，E,F,G,H四点分别在正方形ABCD的四条边上，AF=BG=CH=DE. 若AB=17，EF=13，则△GCH的内切圆半径为(
A.1
B.2
C.3
D.4
B
).A.1
B.2
C.3
D.4
答案
10. B
解析
【分析】
首先利用正方形四条边相等、四个角均为直角的性质，设已知相等的线段长为$x$，用含$x$的式子表示出$Rt△ AEF$的两条直角边，结合$EF=13$用勾股定理列方程求出$x$的取值；再判断$△ GCH$为直角三角形，得到它的两条直角边和斜边长，最后代入直角三角形内切圆半径公式计算即可。
【解析】
解：
∵四边形$ABCD$是正方形，$AB=17$
∴$AB=BC=CD=DA=17$，$∠ A=∠ B=∠ C=∠ D=90°$
设$AF=BG=CH=DE=x$，则$AE=AD-DE=17-x$
在$Rt△ AEF$中，$∠ A=90°$，$EF=13$，由勾股定理得：
$AF^2+AE^2=EF^2$
即$x^2+(17-x)^2=13^2$
展开整理得：$2x^2-34x+120=0$
化简为：$x^2-17x+60=0$
因式分解得：$(x-5)(x-12)=0$
解得$x_1=5$，$x_2=12$
在$△ GCH$中，$∠ C=90°$，$CH=x$，$CG=BC-BG=17-x$，即两条直角边长为5和12，由勾股定理得斜边长为$\sqrt{5^2+12^2}=13$
直角三角形内切圆半径公式为$r=\frac{a+b-c}{2}$（$a、b$为直角边，$c$为斜边）
代入得$r=\frac{5+12-13}{2}=2$
【答案】
B
【知识点】
正方形的性质；勾股定理；直角三角形内切圆计算
【点评】
本题结合正方形性质考查勾股定理和直角三角形内切圆半径的应用，解题的关键是通过设未知数，利用勾股定理求出直角三角形的边长，熟记直角三角形内切圆半径公式可快速得到结果。
【难度系数】
0.65
首先利用正方形四条边相等、四个角均为直角的性质，设已知相等的线段长为$x$，用含$x$的式子表示出$Rt△ AEF$的两条直角边，结合$EF=13$用勾股定理列方程求出$x$的取值；再判断$△ GCH$为直角三角形，得到它的两条直角边和斜边长，最后代入直角三角形内切圆半径公式计算即可。
【解析】
解：
∵四边形$ABCD$是正方形，$AB=17$
∴$AB=BC=CD=DA=17$，$∠ A=∠ B=∠ C=∠ D=90°$
设$AF=BG=CH=DE=x$，则$AE=AD-DE=17-x$
在$Rt△ AEF$中，$∠ A=90°$，$EF=13$，由勾股定理得：
$AF^2+AE^2=EF^2$
即$x^2+(17-x)^2=13^2$
展开整理得：$2x^2-34x+120=0$
化简为：$x^2-17x+60=0$
因式分解得：$(x-5)(x-12)=0$
解得$x_1=5$，$x_2=12$
在$△ GCH$中，$∠ C=90°$，$CH=x$，$CG=BC-BG=17-x$，即两条直角边长为5和12，由勾股定理得斜边长为$\sqrt{5^2+12^2}=13$
直角三角形内切圆半径公式为$r=\frac{a+b-c}{2}$（$a、b$为直角边，$c$为斜边）
代入得$r=\frac{5+12-13}{2}=2$
【答案】
B
【知识点】
正方形的性质；勾股定理；直角三角形内切圆计算
【点评】
本题结合正方形性质考查勾股定理和直角三角形内切圆半径的应用，解题的关键是通过设未知数，利用勾股定理求出直角三角形的边长，熟记直角三角形内切圆半径公式可快速得到结果。
【难度系数】
0.65
