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1. 理解三角形内切圆的相关概念。
答案
解析
【分析】
理解三角形内切圆相关概念可按照“定义-核心要素-性质-易混点区分”的思路逐步掌握：首先明确内切圆的核心特征是和三角形三条边都相切；其次定位内切圆的圆心（内心）的本质是三条内角平分线的交点，半径是圆心到任意一边的距离；再牢记内心的特殊性质；最后和已经学过的三角形外接圆相关概念做对比，避免混淆。
【解析】
1. 三角形内切圆的定义：与三角形的三条边都相切的圆叫做三角形的内切圆，对应的这个三角形叫做该圆的外切三角形。
2. 三角形的内心：三角形内切圆的圆心是三角形三个内角的角平分线的交点，这个交点叫做三角形的内心。
3. 核心性质：
（1）三角形的内心到三角形三条边的距离相等，这个距离就是内切圆的半径r；
（2）任意三角形的内心都位于三角形的内部，不存在例外；
（3）常用计算公式：若三角形的面积为S，三边长分别为a、b、c，周长$l=a+b+c$，将三角形分割为以内切圆圆心为顶点的三个小三角形，由面积和等于大三角形面积可得：$S=\frac{1}{2}ar+\frac{1}{2}br+\frac{1}{2}cr=\frac{1}{2}lr$，推导得内切圆半径$r=\frac{2S}{l}$。
4. 易混点区分：注意和三角形外接圆区分，外接圆的圆心是外心，为三边垂直平分线的交点，性质是到三个顶点的距离相等。
【答案】
三角形内切圆相关核心概念如下：
①定义：和三角形三条边都相切的圆叫做三角形的内切圆；
②内心：内切圆的圆心是三角形三条内角角平分线的交点，叫做三角形的内心；
③性质：内心到三角形三边的距离相等，等于内切圆半径；任意三角形的内心都在三角形内部；若三角形面积为S，周长为l，则内切圆半径$r=\frac{2S}{l}$。
【知识点】
三角形内切圆的定义、三角形内心的性质、内切圆半径公式
【点评】
本知识点是圆与三角形结合的基础内容，常和角平分线性质、三角形面积计算结合考查，学习时建议通过对比内切圆与外接圆的圆心来源、性质差异加深记忆，避免概念混淆。
【难度系数】
0.85
理解三角形内切圆相关概念可按照“定义-核心要素-性质-易混点区分”的思路逐步掌握：首先明确内切圆的核心特征是和三角形三条边都相切；其次定位内切圆的圆心（内心）的本质是三条内角平分线的交点，半径是圆心到任意一边的距离；再牢记内心的特殊性质；最后和已经学过的三角形外接圆相关概念做对比，避免混淆。
【解析】
1. 三角形内切圆的定义：与三角形的三条边都相切的圆叫做三角形的内切圆，对应的这个三角形叫做该圆的外切三角形。
2. 三角形的内心：三角形内切圆的圆心是三角形三个内角的角平分线的交点，这个交点叫做三角形的内心。
3. 核心性质：
（1）三角形的内心到三角形三条边的距离相等，这个距离就是内切圆的半径r；
（2）任意三角形的内心都位于三角形的内部，不存在例外；
（3）常用计算公式：若三角形的面积为S，三边长分别为a、b、c，周长$l=a+b+c$，将三角形分割为以内切圆圆心为顶点的三个小三角形，由面积和等于大三角形面积可得：$S=\frac{1}{2}ar+\frac{1}{2}br+\frac{1}{2}cr=\frac{1}{2}lr$，推导得内切圆半径$r=\frac{2S}{l}$。
4. 易混点区分：注意和三角形外接圆区分，外接圆的圆心是外心，为三边垂直平分线的交点，性质是到三个顶点的距离相等。
【答案】
三角形内切圆相关核心概念如下：
①定义：和三角形三条边都相切的圆叫做三角形的内切圆；
②内心：内切圆的圆心是三角形三条内角角平分线的交点，叫做三角形的内心；
③性质：内心到三角形三边的距离相等，等于内切圆半径；任意三角形的内心都在三角形内部；若三角形面积为S，周长为l，则内切圆半径$r=\frac{2S}{l}$。
【知识点】
三角形内切圆的定义、三角形内心的性质、内切圆半径公式
【点评】
本知识点是圆与三角形结合的基础内容，常和角平分线性质、三角形面积计算结合考查，学习时建议通过对比内切圆与外接圆的圆心来源、性质差异加深记忆，避免概念混淆。
【难度系数】
0.85
三角形的内切圆:与三角形各边都相切的圆叫作三角形的
内切圆
，内切圆的圆心是三角形三条 角平分线
的交点，叫作三角形的 内心
，这个三角形叫作圆的 外切三角形
。答案
1. 内切圆
2. 角平分线
3. 内心
4. 外切三角形
2. 角平分线
3. 内心
4. 外切三角形
解析
【分析】
这是考查三角形内切圆相关基础概念的识记类题目，解题时回忆对应定义逐一匹配即可：首先明确与三角形各边都相切的圆的名称；再根据内切圆圆心到三边距离相等的特点，判断它是哪三条线的交点；接着记住该交点的专属称谓；最后明确三角形和圆的对应关系即可。
【解析】
根据三角形内切圆的相关定义逐一填写：
1. 与三角形各边都相切的圆叫作三角形的内切圆；
2. 内切圆的圆心到三角形三边的距离相等，结合角平分线上的点到角两边距离相等的性质，可知内切圆的圆心是三角形三条角平分线的交点；
3. 三角形内切圆的圆心叫作三角形的内心；
4. 这个与内切圆存在上述位置关系的三角形叫作圆的外切三角形。
【答案】
内切圆；角平分线；内心；外切三角形
【知识点】
三角形内切圆概念、三角形内心定义、圆的外切三角形概念
【点评】
本题属于基础概念考察题，侧重对基础定义的记忆，是圆与三角形位置关系模块的常考基础题型，熟练掌握相关概念即可快速解答。
【难度系数】
0.9
这是考查三角形内切圆相关基础概念的识记类题目，解题时回忆对应定义逐一匹配即可：首先明确与三角形各边都相切的圆的名称；再根据内切圆圆心到三边距离相等的特点，判断它是哪三条线的交点；接着记住该交点的专属称谓；最后明确三角形和圆的对应关系即可。
【解析】
根据三角形内切圆的相关定义逐一填写：
1. 与三角形各边都相切的圆叫作三角形的内切圆；
2. 内切圆的圆心到三角形三边的距离相等，结合角平分线上的点到角两边距离相等的性质，可知内切圆的圆心是三角形三条角平分线的交点；
3. 三角形内切圆的圆心叫作三角形的内心；
4. 这个与内切圆存在上述位置关系的三角形叫作圆的外切三角形。
【答案】
内切圆；角平分线；内心；外切三角形
【知识点】
三角形内切圆概念、三角形内心定义、圆的外切三角形概念
【点评】
本题属于基础概念考察题，侧重对基础定义的记忆，是圆与三角形位置关系模块的常考基础题型，熟练掌握相关概念即可快速解答。
【难度系数】
0.9
例 如图
，Rt△ABC的内切圆⊙O与两直角边AB，BC分别相切于点D，E，过劣弧$\overset{\frown}{DE}$（不包括端点D，E）上任一点P作⊙O的切线MN与AB，BC分别交于点M，N。若⊙O的半径为4 cm，则Rt△MBN的周长为
解 连接OD，OE，如图
。
∵⊙O是Rt△ABC的内切圆，
∴OD⊥AB，OE⊥BC。
∵∠ABC＝90°，
∴∠ODB＝∠DBE＝∠OEB＝90°。
∴四边形ODBE是矩形。
∵OD＝OE，
∴矩形ODBE是正方形。
∴BD＝BE＝OD＝OE＝4 cm。
∵⊙O切AB于点D，切BC于点E，切MN于点P，
∴MP＝DM，NP＝NE。
∴Rt△MBN的周长为MB＋BN＋MN＝MB＋BN＋NP＋MP＝MB＋BN＋NE＋DM＝BD＋BE＝4＋4＝8(cm)。
故答案为8 cm。
方法感悟 三角形内切圆的圆心是三角形三个内角平分线的交点，解题时，求角度可利用角平分线将内角平分的性质，结合三角形内角和、外角性质计算；求线段长可利用内心到三边距离（即内切圆半径）相等，结合面积公式或勾股定理求解。
，Rt△ABC的内切圆⊙O与两直角边AB，BC分别相切于点D，E，过劣弧$\overset{\frown}{DE}$（不包括端点D，E）上任一点P作⊙O的切线MN与AB，BC分别交于点M，N。若⊙O的半径为4 cm，则Rt△MBN的周长为8 cm
。解 连接OD，OE，如图
。∵⊙O是Rt△ABC的内切圆，
∴OD⊥AB，OE⊥BC。
∵∠ABC＝90°，
∴∠ODB＝∠DBE＝∠OEB＝90°。
∴四边形ODBE是矩形。
∵OD＝OE，
∴矩形ODBE是正方形。
∴BD＝BE＝OD＝OE＝4 cm。
∵⊙O切AB于点D，切BC于点E，切MN于点P，
∴MP＝DM，NP＝NE。
∴Rt△MBN的周长为MB＋BN＋MN＝MB＋BN＋NP＋MP＝MB＋BN＋NE＋DM＝BD＋BE＝4＋4＝8(cm)。
故答案为8 cm。
方法感悟 三角形内切圆的圆心是三角形三个内角平分线的交点，解题时，求角度可利用角平分线将内角平分的性质，结合三角形内角和、外角性质计算；求线段长可利用内心到三边距离（即内切圆半径）相等，结合面积公式或勾股定理求解。
答案
8 cm
解析
【分析】
解题时首先明确要求Rt△MBN的周长，需将未知线段通过几何性质转化为已知长度的线段：第一步回忆切线长定理，MN是⊙O的切线，可拆分为MP+NP，且MP=DM、NP=NE，即可把周长的组成线段转化到AB、BC边上；第二步结合内切圆与直角边相切的性质，OD⊥AB、OE⊥BC，结合∠B为直角，可推得四边形ODBE是正方形，得到BD=BE等于内切圆半径4cm；最后将周长转化为BD+BE的和，直接计算即可得到结果。
【解析】
解：连接OD、OE，
∵⊙O是Rt△ABC的内切圆，
∴OD⊥AB，OE⊥BC，
又
∵∠ABC=90°，
∴∠ODB=∠DBE=∠OEB=90°，
∴四边形ODBE是矩形，
∵OD=OE（均为⊙O的半径），
∴矩形ODBE是正方形，
∴BD=BE=OD=4cm。
∵⊙O切AB于点D，切BC于点E，切MN于点P，根据切线长定理可得：MP=DM，NP=NE，
∴Rt△MBN的周长=MB+BN+MN
=MB+BN+MP+NP
=MB+BN+DM+NE
=(MB+DM)+(BN+NE)
=BD+BE
=4+4=8(cm)
【答案】
8 cm
【知识点】
切线长定理，正方形的判定，三角形内切圆性质
【点评】
本题是几何转化思想的典型应用，核心是利用切线长定理实现线段的等量替换，将未知三角形的周长转化为已知的正方形边长之和，解题思路清晰，属于基础常考题型。
【难度系数】
0.75
解题时首先明确要求Rt△MBN的周长，需将未知线段通过几何性质转化为已知长度的线段：第一步回忆切线长定理，MN是⊙O的切线，可拆分为MP+NP，且MP=DM、NP=NE，即可把周长的组成线段转化到AB、BC边上；第二步结合内切圆与直角边相切的性质，OD⊥AB、OE⊥BC，结合∠B为直角，可推得四边形ODBE是正方形，得到BD=BE等于内切圆半径4cm；最后将周长转化为BD+BE的和，直接计算即可得到结果。
【解析】
解：连接OD、OE，
∵⊙O是Rt△ABC的内切圆，
∴OD⊥AB，OE⊥BC，
又
∵∠ABC=90°，
∴∠ODB=∠DBE=∠OEB=90°，
∴四边形ODBE是矩形，
∵OD=OE（均为⊙O的半径），
∴矩形ODBE是正方形，
∴BD=BE=OD=4cm。
∵⊙O切AB于点D，切BC于点E，切MN于点P，根据切线长定理可得：MP=DM，NP=NE，
∴Rt△MBN的周长=MB+BN+MN
=MB+BN+MP+NP
=MB+BN+DM+NE
=(MB+DM)+(BN+NE)
=BD+BE
=4+4=8(cm)
【答案】
8 cm
【知识点】
切线长定理，正方形的判定，三角形内切圆性质
【点评】
本题是几何转化思想的典型应用，核心是利用切线长定理实现线段的等量替换，将未知三角形的周长转化为已知的正方形边长之和，解题思路清晰，属于基础常考题型。
【难度系数】
0.75
1. 如图30.2-3，$\odot O$是$△ ABC$的内切圆，则点O是$△ ABC$的(
A.三条边的垂直平分线的交点
B.三条角平分线的交点
C.三条中线的交点
D.三条高的交点
B
).A.三条边的垂直平分线的交点
B.三条角平分线的交点
C.三条中线的交点
D.三条高的交点
答案
1. B
解析
【分析】
首先明确题目考查三角形内切圆圆心（内心）的定义，解题时先回忆内切圆的性质：内切圆与三角形三边都相切，因此圆心到三边的距离相等；再结合角平分线的性质：角内部到角两边距离相等的点在角的平分线上，可推导出圆心是三条角平分线的交点，最后对比四个选项的对应概念，排除错误选项即可得到答案。
【解析】
已知$\odot O$是$△ ABC$的内切圆，因此$\odot O$与$△ ABC$的三边都相切，可知点$O$到$△ ABC$三条边的距离相等，都等于内切圆的半径。
根据角平分线的性质：角的内部到角两边距离相等的点在该角的角平分线上，可得点$O$在$∠ A$、$∠ B$、$∠ C$的角平分线上，即点$O$是$△ ABC$三条角平分线的交点。
对选项逐一分析：
A. 三条边的垂直平分线的交点是三角形的外心，即外接圆的圆心，到三个顶点的距离相等，不符合题意；
B. 三条角平分线的交点是三角形的内心，即内切圆的圆心，符合题意；
C. 三条中线的交点是三角形的重心，不符合题意；
D. 三条高的交点是三角形的垂心，不符合题意。
因此选B。
【答案】
B
【知识点】
三角形内心定义，角平分线的性质，三角形四心概念
【点评】
本题属于基础概念题，主要考查三角形内切圆圆心的性质，解题关键是区分三角形内心、外心、重心、垂心的定义和对应的性质，避免概念混淆。
【难度系数】
0.9
首先明确题目考查三角形内切圆圆心（内心）的定义，解题时先回忆内切圆的性质：内切圆与三角形三边都相切，因此圆心到三边的距离相等；再结合角平分线的性质：角内部到角两边距离相等的点在角的平分线上，可推导出圆心是三条角平分线的交点，最后对比四个选项的对应概念，排除错误选项即可得到答案。
【解析】
已知$\odot O$是$△ ABC$的内切圆，因此$\odot O$与$△ ABC$的三边都相切，可知点$O$到$△ ABC$三条边的距离相等，都等于内切圆的半径。
根据角平分线的性质：角的内部到角两边距离相等的点在该角的角平分线上，可得点$O$在$∠ A$、$∠ B$、$∠ C$的角平分线上，即点$O$是$△ ABC$三条角平分线的交点。
对选项逐一分析：
A. 三条边的垂直平分线的交点是三角形的外心，即外接圆的圆心，到三个顶点的距离相等，不符合题意；
B. 三条角平分线的交点是三角形的内心，即内切圆的圆心，符合题意；
C. 三条中线的交点是三角形的重心，不符合题意；
D. 三条高的交点是三角形的垂心，不符合题意。
因此选B。
【答案】
B
【知识点】
三角形内心定义，角平分线的性质，三角形四心概念
【点评】
本题属于基础概念题，主要考查三角形内切圆圆心的性质，解题关键是区分三角形内心、外心、重心、垂心的定义和对应的性质，避免概念混淆。
【难度系数】
0.9
2. 如图30.2-4，$\odot O$是$△ ABC$的内切圆.若$∠ A=54°$，则$∠ BOC$的度数为（
A.$54°$
B.$117°$
C.$63°$
D.$126°$
B
）.A.$54°$
B.$117°$
C.$63°$
D.$126°$
答案
2. B
解析
【分析】
要计算∠BOC的度数，首先明确⊙O是△ABC的内切圆，因此圆心O是△ABC的内心，即三角形三个内角角平分线的交点，可得OB、OC分别平分∠ABC、∠ACB。解题思路如下：第一步，根据三角形内角和定理，结合已知∠A的度数，先求出∠ABC与∠ACB的和；第二步，利用角平分线的性质，求出∠OBC与∠OCB的和；第三步，再次利用三角形内角和定理，即可求出∠BOC的度数。
【解析】
解：
∵⊙O是△ABC的内切圆，
∴O是△ABC的内心，即OB平分∠ABC，OC平分∠ACB，
∴$∠ OBC=\frac{1}{2}∠ ABC$，$∠ OCB=\frac{1}{2}∠ ACB$。
在△ABC中，$∠ ABC+∠ ACB=180°-∠ A=180°-54°=126°$，
∴$∠ OBC+∠ OCB=\frac{1}{2}(∠ ABC+∠ ACB)=\frac{1}{2}×126°=63°$。
在△BOC中，$∠ BOC=180°-(∠ OBC+∠ OCB)=180°-63°=117°$。
故选：B。
【答案】
B
【知识点】
三角形内心的性质，三角形内角和定理，角平分线的定义
【点评】
本题属于基础题型，解题的核心是掌握三角形内心是内角平分线的交点，结合三角形内角和定理即可快速求解，也可直接运用结论“三角形中$∠ BOC=90°+\frac{1}{2}∠ A$”直接计算得出结果。
【难度系数】
0.8
要计算∠BOC的度数，首先明确⊙O是△ABC的内切圆，因此圆心O是△ABC的内心，即三角形三个内角角平分线的交点，可得OB、OC分别平分∠ABC、∠ACB。解题思路如下：第一步，根据三角形内角和定理，结合已知∠A的度数，先求出∠ABC与∠ACB的和；第二步，利用角平分线的性质，求出∠OBC与∠OCB的和；第三步，再次利用三角形内角和定理，即可求出∠BOC的度数。
【解析】
解：
∵⊙O是△ABC的内切圆，
∴O是△ABC的内心，即OB平分∠ABC，OC平分∠ACB，
∴$∠ OBC=\frac{1}{2}∠ ABC$，$∠ OCB=\frac{1}{2}∠ ACB$。
在△ABC中，$∠ ABC+∠ ACB=180°-∠ A=180°-54°=126°$，
∴$∠ OBC+∠ OCB=\frac{1}{2}(∠ ABC+∠ ACB)=\frac{1}{2}×126°=63°$。
在△BOC中，$∠ BOC=180°-(∠ OBC+∠ OCB)=180°-63°=117°$。
故选：B。
【答案】
B
【知识点】
三角形内心的性质，三角形内角和定理，角平分线的定义
【点评】
本题属于基础题型，解题的核心是掌握三角形内心是内角平分线的交点，结合三角形内角和定理即可快速求解，也可直接运用结论“三角形中$∠ BOC=90°+\frac{1}{2}∠ A$”直接计算得出结果。
【难度系数】
0.8
