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5. 已知$\odot O$及$\odot O$外一点$P$，过点$P$作$\odot O$的切线（作出一条即可），要求尺规作图。下面是两名同学的作业。
甲:如图30.1-26,作$PO$的中点$A$(尺规作图中的作垂直平分线法找中点),以点$A$为圆心,$PO$的长为直径作圆,交$\odot O$于点$M,N$,连接$PM,PN$,则$PM,PN$为$\odot O$的切线。
乙:如图30.1-27,连接$PO$,交$\odot O$于点$A,B$,以点$P$为圆心,$PO$的长为半径作弧,再以点$O$为圆心,$AB$的长为半径作弧,两弧交于点$M$,连接$OM$,交$\odot O$于点$N$,连接$PN$,则$PN$为$\odot O$的切线。
对于两人的作业,下面说法正确的是(
A.甲、乙都对
B.甲、乙都不对
C.甲对,乙不对
D.甲不对,乙对
甲:如图30.1-26,作$PO$的中点$A$(尺规作图中的作垂直平分线法找中点),以点$A$为圆心,$PO$的长为直径作圆,交$\odot O$于点$M,N$,连接$PM,PN$,则$PM,PN$为$\odot O$的切线。
乙:如图30.1-27,连接$PO$,交$\odot O$于点$A,B$,以点$P$为圆心,$PO$的长为半径作弧,再以点$O$为圆心,$AB$的长为半径作弧,两弧交于点$M$,连接$OM$,交$\odot O$于点$N$,连接$PN$,则$PN$为$\odot O$的切线。
对于两人的作业,下面说法正确的是(
A
).A.甲、乙都对
B.甲、乙都不对
C.甲对,乙不对
D.甲不对,乙对
答案
5. A
解析
【分析】
要判断两人的作图是否正确，核心依据是切线的判定定理：经过半径外端且垂直于这条半径的直线是圆的切线，因此只需验证两人作出的直线是否垂直于对应半径即可。先分析甲的作图：利用直径所对圆周角为直角可证垂直；再分析乙的作图：利用等腰三角形三线合一的性质可证垂直，即可得出结论。
【解析】
1. 验证甲的作法正确：
由作图可知，A是PO的中点，以A为圆心、PO为直径作圆，M、N在所作圆上，根据圆周角定理：直径所对的圆周角为直角，可得$∠ PMO=∠ PNO=90°$，即$PM⊥ OM$，$PN⊥ ON$。
又
∵$OM$、$ON$是$\odot O$的半径，
∴$PM$、$PN$满足切线的判定条件，是$\odot O$的切线，甲的作法正确。
2. 验证乙的作法正确：
由作图可知，$PO=PM$，$OM=AB$。
∵$AB$是$\odot O$的直径，
∴$AB=2ON$（$ON$为$\odot O$的半径），即$OM=2ON$，因此$N$是$OM$的中点。
在等腰$△ PMO$中，$PM=PO$，$N$为$OM$中点，根据等腰三角形三线合一的性质，可得$PN⊥ OM$。
又
∵$ON$是$\odot O$的半径，
∴$PN$满足切线的判定条件，是$\odot O$的切线，乙的作法正确。
综上，甲、乙的作法都正确。
【答案】
A
【知识点】
切线的判定；圆周角定理；等腰三角形的性质
【点评】
本题结合尺规作图考查圆的切线的判定，需要学生熟练掌握相关几何定理，能结合作图过程提取边的关系，进而验证垂直关系，是几何作图与基础定理应用结合的典型题目。
【难度系数】
0.7
要判断两人的作图是否正确，核心依据是切线的判定定理：经过半径外端且垂直于这条半径的直线是圆的切线，因此只需验证两人作出的直线是否垂直于对应半径即可。先分析甲的作图：利用直径所对圆周角为直角可证垂直；再分析乙的作图：利用等腰三角形三线合一的性质可证垂直，即可得出结论。
【解析】
1. 验证甲的作法正确：
由作图可知，A是PO的中点，以A为圆心、PO为直径作圆，M、N在所作圆上，根据圆周角定理：直径所对的圆周角为直角，可得$∠ PMO=∠ PNO=90°$，即$PM⊥ OM$，$PN⊥ ON$。
又
∵$OM$、$ON$是$\odot O$的半径，
∴$PM$、$PN$满足切线的判定条件，是$\odot O$的切线，甲的作法正确。
2. 验证乙的作法正确：
由作图可知，$PO=PM$，$OM=AB$。
∵$AB$是$\odot O$的直径，
∴$AB=2ON$（$ON$为$\odot O$的半径），即$OM=2ON$，因此$N$是$OM$的中点。
在等腰$△ PMO$中，$PM=PO$，$N$为$OM$中点，根据等腰三角形三线合一的性质，可得$PN⊥ OM$。
又
∵$ON$是$\odot O$的半径，
∴$PN$满足切线的判定条件，是$\odot O$的切线，乙的作法正确。
综上，甲、乙的作法都正确。
【答案】
A
【知识点】
切线的判定；圆周角定理；等腰三角形的性质
【点评】
本题结合尺规作图考查圆的切线的判定，需要学生熟练掌握相关几何定理，能结合作图过程提取边的关系，进而验证垂直关系，是几何作图与基础定理应用结合的典型题目。
【难度系数】
0.7
6. 如图 30.1 - 28，PA，PB 是$\odot O$的两条切线，A，B 是切点. 若$∠ APB=60°$，$PO=2$，则$\odot O$的半径等于
1
.答案
6. 1
解析
【分析】
解题时先结合切线相关性质推导角的度数，再利用直角三角形的性质计算半径：第一步，根据切线的性质，连接OA可得OA⊥PA，得到直角△OAP；第二步，由切线长定理可知PO平分∠APB，结合已知∠APB=60°，可求出∠APO=30°；第三步，在含30°角的直角三角形中，30°角所对直角边等于斜边的一半，已知斜边PO=2，即可求出OA的长度，也就是⊙O的半径。
【解析】
连接OA，
∵PA是⊙O的切线，A为切点，
∴OA⊥PA，即$∠ OAP=90°$，
∵PA、PB是⊙O的两条切线，
∴PO平分$∠ APB$，
∴$∠ APO=\frac{1}{2}∠ APB=\frac{1}{2}×60°=30°$，
在$\mathrm{Rt}△ OAP$中，$∠ APO=30°$，$PO=2$，
∴$OA=\frac{1}{2}PO=\frac{1}{2}×2=1$，
即⊙O的半径为1。
【答案】
1
【知识点】
切线的性质，切线长定理，含30°角的直角三角形的性质
【点评】
本题属于基础几何计算题，解题关键是通过连接切点与圆心构造直角三角形，结合切线相关性质得到特殊角，再利用特殊直角三角形的边长关系求解。
【难度系数】
0.7
解题时先结合切线相关性质推导角的度数，再利用直角三角形的性质计算半径：第一步，根据切线的性质，连接OA可得OA⊥PA，得到直角△OAP；第二步，由切线长定理可知PO平分∠APB，结合已知∠APB=60°，可求出∠APO=30°；第三步，在含30°角的直角三角形中，30°角所对直角边等于斜边的一半，已知斜边PO=2，即可求出OA的长度，也就是⊙O的半径。
【解析】
连接OA，
∵PA是⊙O的切线，A为切点，
∴OA⊥PA，即$∠ OAP=90°$，
∵PA、PB是⊙O的两条切线，
∴PO平分$∠ APB$，
∴$∠ APO=\frac{1}{2}∠ APB=\frac{1}{2}×60°=30°$，
在$\mathrm{Rt}△ OAP$中，$∠ APO=30°$，$PO=2$，
∴$OA=\frac{1}{2}PO=\frac{1}{2}×2=1$，
即⊙O的半径为1。
【答案】
1
【知识点】
切线的性质，切线长定理，含30°角的直角三角形的性质
【点评】
本题属于基础几何计算题，解题关键是通过连接切点与圆心构造直角三角形，结合切线相关性质得到特殊角，再利用特殊直角三角形的边长关系求解。
【难度系数】
0.7
7. 如图30.1-29，PA，PB是$\odot O$的切线，A，B为切点，$∠ OAB=38°$，则$∠ P=$
76°
。答案
7. 76°
解析
【分析】
解题思路可分为两步：首先，观察到OA、OB都是圆的半径，故△OAB为等腰三角形，结合已知∠OAB的度数可先求出圆心角∠AOB的度数；其次，根据切线的性质可知切线与过切点的半径垂直，得到∠OAP和∠OBP均为90°，最后利用四边形内角和为360°即可求出∠P的度数。也可通过切线长定理得到PA=PB，求出∠PAB的度数后利用三角形内角和求解。
【解析】
解：
∵PA、PB是$\odot O$的切线，A、B为切点，
∴$OA⊥ PA$，$OB⊥ PB$，即$∠ OAP=∠ OBP=90°$，
又
∵OA、OB都是$\odot O$的半径，$\therefore OA=OB$，
∴$△ OAB$为等腰三角形，$∠ OBA=∠ OAB=38°$，
在$△ OAB$中，由三角形内角和为$180°$得：
$∠ AOB=180°-∠ OAB-∠ OBA=180°-38°×2=104°$，
在四边形OAPB中，由四边形内角和为$360°$得：
$∠ P=360°-∠ OAP-∠ OBP-∠ AOB=360°-90°-90°-104°=76°$。
【答案】
$76°$
【知识点】
切线的性质；等腰三角形的性质；四边形内角和定理
【点评】
本题是圆的切线性质的基础应用题，解题关键是结合已知条件灵活运用等腰三角形性质、内角和公式，解题思路清晰，属于常考基础题型。
【难度系数】
0.7
解题思路可分为两步：首先，观察到OA、OB都是圆的半径，故△OAB为等腰三角形，结合已知∠OAB的度数可先求出圆心角∠AOB的度数；其次，根据切线的性质可知切线与过切点的半径垂直，得到∠OAP和∠OBP均为90°，最后利用四边形内角和为360°即可求出∠P的度数。也可通过切线长定理得到PA=PB，求出∠PAB的度数后利用三角形内角和求解。
【解析】
解：
∵PA、PB是$\odot O$的切线，A、B为切点，
∴$OA⊥ PA$，$OB⊥ PB$，即$∠ OAP=∠ OBP=90°$，
又
∵OA、OB都是$\odot O$的半径，$\therefore OA=OB$，
∴$△ OAB$为等腰三角形，$∠ OBA=∠ OAB=38°$，
在$△ OAB$中，由三角形内角和为$180°$得：
$∠ AOB=180°-∠ OAB-∠ OBA=180°-38°×2=104°$，
在四边形OAPB中，由四边形内角和为$360°$得：
$∠ P=360°-∠ OAP-∠ OBP-∠ AOB=360°-90°-90°-104°=76°$。
【答案】
$76°$
【知识点】
切线的性质；等腰三角形的性质；四边形内角和定理
【点评】
本题是圆的切线性质的基础应用题，解题关键是结合已知条件灵活运用等腰三角形性质、内角和公式，解题思路清晰，属于常考基础题型。
【难度系数】
0.7
8. 如图 30.1-30 是某高速公路在转向处设计的一段圆曲线(即圆弧),机动车转弯时从曲线起点 A 行驶至终点 B,过点 A,B 的两条切线相交于点 C,机动车在从点 A 到点 B 行驶过程中转角为$α$.若这段圆弧的半径$OA=\sqrt{3}\ \mathrm{m}$,$α=60°$,求图中危险区(阴影部分)的面积.
图 30.1-30
图 30.1-30
答案
8. 连接OC(图略).
∵OA,OB 为⊙O的切线,
∴AC⊥OA,BC⊥OB.
∴∠OAC=∠OBC=90°.
∴∠OAC + ∠OBC = 180°.
∴∠AOB + ∠ACB=180°.
∵∠ACB +α=180°,
∴∠AOB=α=60°.
∴∠AOC=∠BOC=$\frac{1}{2}$∠AOB=30°.
∴AC=$\frac{1}{2}$OC.
∵OA² +AC²=OC²,OA=$\sqrt{3}$,
∴AC=1. 易证得,△OAC≌△OBC,
∴S阴影=S四边形OACB - S扇形OAB=$2×\frac{1}{2}OA·AC - \frac{60π×OA²}{360}=\sqrt{3}-\frac{π}{2}$
∵OA,OB 为⊙O的切线,
∴AC⊥OA,BC⊥OB.
∴∠OAC=∠OBC=90°.
∴∠OAC + ∠OBC = 180°.
∴∠AOB + ∠ACB=180°.
∵∠ACB +α=180°,
∴∠AOB=α=60°.
∴∠AOC=∠BOC=$\frac{1}{2}$∠AOB=30°.
∴AC=$\frac{1}{2}$OC.
∵OA² +AC²=OC²,OA=$\sqrt{3}$,
∴AC=1. 易证得,△OAC≌△OBC,
∴S阴影=S四边形OACB - S扇形OAB=$2×\frac{1}{2}OA·AC - \frac{60π×OA²}{360}=\sqrt{3}-\frac{π}{2}$
解析
【分析】
要求阴影部分的面积，观察图形可知阴影为不规则图形，可采用割补法转化为规则图形面积的差，即阴影面积=四边形OACB的面积减去扇形OAB的面积。首先根据切线的性质可得切线垂直于过切点的半径，得到△OAC和△OBC都是直角三角形，且二者全等；再结合已知转角α，利用角的和差关系推出圆心角∠AOB=α=60°；然后在Rt△OAC中利用30°角的性质和勾股定理求出AC的长度，即可算出四边形OACB的面积；再代入扇形面积公式求出扇形OAB的面积，最后作差即可得到结果。
【解析】
解：连接OC。
∵AC、BC是⊙O的切线，A、B为切点，
∴AC⊥OA，BC⊥OB，
∴∠OAC=∠OBC=90°，
∴∠OAC + ∠OBC = 180°，
∵四边形OACB内角和为360°，
∴∠AOB + ∠ACB = 360° - (∠OAC + ∠OBC) = 180°，
又
∵∠ACB与α为邻补角，即∠ACB + α = 180°，
∴∠AOB = α = 60°。
∵OC为公共边，OA=OB，
∴Rt△OAC ≌ Rt△OBC（HL），
∴∠AOC = ∠BOC = $\frac{1}{2}$∠AOB = 30°，
在Rt△OAC中，∠AOC=30°，故AC = $\frac{1}{2}$OC，
设AC=x，则OC=2x，由勾股定理得：
$OA^2 + AC^2 = OC^2$，
代入$OA=\sqrt{3}$，得$(\sqrt{3})^2 + x^2 = (2x)^2$，
解得$x=1$（负根舍去），即AC=1。
∴$S_{四边形OACB} = 2S_{△ OAC} = 2 × (\frac{1}{2} × OA × AC) = \sqrt{3} × 1 = \sqrt{3}$，
$S_{扇形OAB} = \frac{nπ r^2}{360} = \frac{60π × (\sqrt{3})^2}{360} = \frac{π}{2}$，
∴$S_{阴影} = S_{四边形OACB} - S_{扇形OAB} = \sqrt{3} - \frac{π}{2}$。
【答案】
$\sqrt{3}-\frac{π}{2}\ \mathrm{m^2}$
【知识点】
切线的性质，扇形面积计算，勾股定理
【点评】
本题是不规则图形面积求解的典型题，解题核心是通过割补法将未知的不规则面积转化为可直接计算的规则图形面积差，需要熟练掌握切线性质、勾股定理、扇形面积公式等基础知识，解题时要注意角的等量关系推导，避免计算出错。
【难度系数】
0.7
要求阴影部分的面积，观察图形可知阴影为不规则图形，可采用割补法转化为规则图形面积的差，即阴影面积=四边形OACB的面积减去扇形OAB的面积。首先根据切线的性质可得切线垂直于过切点的半径，得到△OAC和△OBC都是直角三角形，且二者全等；再结合已知转角α，利用角的和差关系推出圆心角∠AOB=α=60°；然后在Rt△OAC中利用30°角的性质和勾股定理求出AC的长度，即可算出四边形OACB的面积；再代入扇形面积公式求出扇形OAB的面积，最后作差即可得到结果。
【解析】
解：连接OC。
∵AC、BC是⊙O的切线，A、B为切点，
∴AC⊥OA，BC⊥OB，
∴∠OAC=∠OBC=90°，
∴∠OAC + ∠OBC = 180°，
∵四边形OACB内角和为360°，
∴∠AOB + ∠ACB = 360° - (∠OAC + ∠OBC) = 180°，
又
∵∠ACB与α为邻补角，即∠ACB + α = 180°，
∴∠AOB = α = 60°。
∵OC为公共边，OA=OB，
∴Rt△OAC ≌ Rt△OBC（HL），
∴∠AOC = ∠BOC = $\frac{1}{2}$∠AOB = 30°，
在Rt△OAC中，∠AOC=30°，故AC = $\frac{1}{2}$OC，
设AC=x，则OC=2x，由勾股定理得：
$OA^2 + AC^2 = OC^2$，
代入$OA=\sqrt{3}$，得$(\sqrt{3})^2 + x^2 = (2x)^2$，
解得$x=1$（负根舍去），即AC=1。
∴$S_{四边形OACB} = 2S_{△ OAC} = 2 × (\frac{1}{2} × OA × AC) = \sqrt{3} × 1 = \sqrt{3}$，
$S_{扇形OAB} = \frac{nπ r^2}{360} = \frac{60π × (\sqrt{3})^2}{360} = \frac{π}{2}$，
∴$S_{阴影} = S_{四边形OACB} - S_{扇形OAB} = \sqrt{3} - \frac{π}{2}$。
【答案】
$\sqrt{3}-\frac{π}{2}\ \mathrm{m^2}$
【知识点】
切线的性质，扇形面积计算，勾股定理
【点评】
本题是不规则图形面积求解的典型题，解题核心是通过割补法将未知的不规则面积转化为可直接计算的规则图形面积差，需要熟练掌握切线性质、勾股定理、扇形面积公式等基础知识，解题时要注意角的等量关系推导，避免计算出错。
【难度系数】
0.7
9. PA，PB分别与$\odot O$相切于A，B两点，点C在$\odot O$上，不与A，B重合。若$∠ P=80°$，则$∠ ACB$的度数为（
A.$50°$
B.$100°$
C.$130°$
D.$50°$或$130°$
D
）。A.$50°$
B.$100°$
C.$130°$
D.$50°$或$130°$
答案
9. D
解析
【分析】
解题时首先回忆切线相关的常用辅助线：连接圆心与切点，可得到半径与切线垂直。连接OA、OB后，在四边形OAPB中利用内角和即可求出圆心角∠AOB的度数。由于点C未说明在优弧AB还是劣弧AB上，因此需分两种情况讨论，再结合圆周角定理分别计算对应∠ACB的度数，即可得到最终答案。
【解析】
连接OA、OB，
∵PA、PB分别与$\odot O$相切于A、B两点，
∴OA⊥PA，OB⊥PB，即$∠ OAP=∠ OBP=90°$，
∵四边形OAPB的内角和为$360°$，$∠ P=80°$，
∴$∠ AOB=360°-∠ OAP-∠ OBP-∠ P=360°-90°-90°-80°=100°$。
分两种情况讨论：
①若点C在优弧AB上，根据圆周角定理：同弧所对的圆周角等于圆心角的一半，可得$∠ ACB=\frac{1}{2}∠ AOB=\frac{1}{2}×100°=50°$；
②若点C在劣弧AB上，此时$∠ ACB$所对的弧为优弧AB，优弧AB的度数为$360°-100°=260°$，同理可得$∠ ACB=\frac{1}{2}×260°=130°$。
综上，$∠ ACB$的度数为$50°$或$130°$。
【答案】
D
【知识点】
切线的性质；圆周角定理；分类讨论
【点评】
本题的易错点是忽略点C的位置有两种情况，仅算出$50°$导致漏解。解题时遇到未明确点的位置的问题，要注意分类讨论，结合相关几何定理逐一计算即可。
【难度系数】
0.6
解题时首先回忆切线相关的常用辅助线：连接圆心与切点，可得到半径与切线垂直。连接OA、OB后，在四边形OAPB中利用内角和即可求出圆心角∠AOB的度数。由于点C未说明在优弧AB还是劣弧AB上，因此需分两种情况讨论，再结合圆周角定理分别计算对应∠ACB的度数，即可得到最终答案。
【解析】
连接OA、OB，
∵PA、PB分别与$\odot O$相切于A、B两点，
∴OA⊥PA，OB⊥PB，即$∠ OAP=∠ OBP=90°$，
∵四边形OAPB的内角和为$360°$，$∠ P=80°$，
∴$∠ AOB=360°-∠ OAP-∠ OBP-∠ P=360°-90°-90°-80°=100°$。
分两种情况讨论：
①若点C在优弧AB上，根据圆周角定理：同弧所对的圆周角等于圆心角的一半，可得$∠ ACB=\frac{1}{2}∠ AOB=\frac{1}{2}×100°=50°$；
②若点C在劣弧AB上，此时$∠ ACB$所对的弧为优弧AB，优弧AB的度数为$360°-100°=260°$，同理可得$∠ ACB=\frac{1}{2}×260°=130°$。
综上，$∠ ACB$的度数为$50°$或$130°$。
【答案】
D
【知识点】
切线的性质；圆周角定理；分类讨论
【点评】
本题的易错点是忽略点C的位置有两种情况，仅算出$50°$导致漏解。解题时遇到未明确点的位置的问题，要注意分类讨论，结合相关几何定理逐一计算即可。
【难度系数】
0.6
