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1. 切线长定义:我们把经过圆外一点的圆的切线上,这点和切点之间线段的长,叫做这点到圆的
切线长
.答案
1. 切线长
解析
【分析】
本题属于基础概念识记类题目，解题思路非常清晰，只需要结合题干给出的定义描述，对应回忆课本中切线长的相关概念即可作答，不需要额外的推导计算，只要平时准确记住相关基础概念就能顺利答题。
【解析】
根据切线长的定义：经过圆外一点的圆的切线上，这点和切点之间线段的长，叫做这点到圆的切线长，因此此处应填写切线长。
【答案】
切线长
【知识点】
切线长的定义
【点评】
本题是对基础概念的直接考查，难度很低，大家在日常学习中要重视基础概念的记忆与理解，避免出现概念混淆的情况。
【难度系数】
0.9
本题属于基础概念识记类题目，解题思路非常清晰，只需要结合题干给出的定义描述，对应回忆课本中切线长的相关概念即可作答，不需要额外的推导计算，只要平时准确记住相关基础概念就能顺利答题。
【解析】
根据切线长的定义：经过圆外一点的圆的切线上，这点和切点之间线段的长，叫做这点到圆的切线长，因此此处应填写切线长。
【答案】
切线长
【知识点】
切线长的定义
【点评】
本题是对基础概念的直接考查，难度很低，大家在日常学习中要重视基础概念的记忆与理解，避免出现概念混淆的情况。
【难度系数】
0.9
2. 切线长定理:从圆外一点引圆的两条切线,它们的切线长
相等
,并且这一点和圆心的连线平分
两条切线的夹角.答案
2. 相等 平分
解析
【分析】
本题考查切线长定理的基础识记，解题时只需准确回忆教材中切线长定理的具体表述，对应空缺位置填写内容即可，属于概念类基础题目，无需复杂推导。
【解析】
根据切线长定理的完整内容：从圆外一点引圆的两条切线，它们的切线长相等，并且这一点和圆心的连线平分两条切线的夹角。因此第一个空缺处填“相等”，第二个空缺处填“平分”。
【答案】
相等 平分
【知识点】
切线长定理
【点评】
本题属于基础识记类题目，主要考查对数学基础定理的掌握程度，牢记教材核心定理是解答这类概念考查题的关键。
【难度系数】
0.9
本题考查切线长定理的基础识记，解题时只需准确回忆教材中切线长定理的具体表述，对应空缺位置填写内容即可，属于概念类基础题目，无需复杂推导。
【解析】
根据切线长定理的完整内容：从圆外一点引圆的两条切线，它们的切线长相等，并且这一点和圆心的连线平分两条切线的夹角。因此第一个空缺处填“相等”，第二个空缺处填“平分”。
【答案】
相等 平分
【知识点】
切线长定理
【点评】
本题属于基础识记类题目，主要考查对数学基础定理的掌握程度，牢记教材核心定理是解答这类概念考查题的关键。
【难度系数】
0.9
例 如图 30.1 - 22，PA，PB 分别切⊙O 于点A，B，OB = $\sqrt{3}$，∠APB = 60°，求 PA 的长。
图 30.1 - 22
解 ∵PA，PB 分别切⊙O 于点 A，B，∠APB = 60°，
∴ PA = PB，OB ⊥ PB，∠BPO = $\frac{1}{2}$∠APB = 30°。
在 Rt△PBO 中，∠PBO = 90°，∠BPO = 30°，
∴ OP = 2OB = 2$\sqrt{3}$，
PB = $\sqrt{OP^2 - OB^2}$ = $\sqrt{(2\sqrt{3})^2 - (\sqrt{3})^2}$ = 3。
∴ PA = 3。
方法感悟 1. 用尺规作图作出过圆外一
图 30.1 - 22
解 ∵PA，PB 分别切⊙O 于点 A，B，∠APB = 60°，
∴ PA = PB，OB ⊥ PB，∠BPO = $\frac{1}{2}$∠APB = 30°。
在 Rt△PBO 中，∠PBO = 90°，∠BPO = 30°，
∴ OP = 2OB = 2$\sqrt{3}$，
PB = $\sqrt{OP^2 - OB^2}$ = $\sqrt{(2\sqrt{3})^2 - (\sqrt{3})^2}$ = 3。
∴ PA = 3。
方法感悟 1. 用尺规作图作出过圆外一
答案
解：∵PA，PB分别切⊙O于点A，B，∠APB=60°，
∴ PA = PB，OB ⊥ PB，∠BPO = $\frac{1}{2}$∠APB = 30°。
在Rt△PBO中，∠PBO = 90°，∠BPO = 30°，
∴ OP = 2OB = $2\sqrt{3}$，
$PB = \sqrt{OP^2 - OB^2} = \sqrt{(2\sqrt{3})^2 - (\sqrt{3})^2} = 3$。
∴ PA = 3。
∴ PA = PB，OB ⊥ PB，∠BPO = $\frac{1}{2}$∠APB = 30°。
在Rt△PBO中，∠PBO = 90°，∠BPO = 30°，
∴ OP = 2OB = $2\sqrt{3}$，
$PB = \sqrt{OP^2 - OB^2} = \sqrt{(2\sqrt{3})^2 - (\sqrt{3})^2} = 3$。
∴ PA = 3。
解析
【分析】
解题时先从已知条件PA、PB是⊙O的切线入手：首先根据切线的性质，可得切线垂直于过切点的半径，即OB⊥PB；再根据切线长定理，从圆外一点引圆的两条切线，切线长相等，且该点与圆心的连线平分两条切线的夹角，因此可得PA=PB，∠BPO=$\frac{1}{2}$∠APB=30°。此时已知OB的长度，在Rt△PBO中，先利用30°角所对直角边等于斜边的一半求出OP的长度，再用勾股定理求出PB的长度，最后根据PA=PB即可得到PA的长。
【解析】
∵PA，PB分别切⊙O于点A，B，∠APB=60°，
∴ PA = PB，OB ⊥ PB，∠BPO = $\frac{1}{2}$∠APB = 30°。
在Rt△PBO中，∠PBO = 90°，∠BPO = 30°，
∴ OP = 2OB = $2\sqrt{3}$，
$PB = \sqrt{OP^2 - OB^2} = \sqrt{(2\sqrt{3})^2 - (\sqrt{3})^2} = 3$。
∴ PA = 3。
【答案】
3
【知识点】
切线的性质，切线长定理，勾股定理
【点评】
本题是圆的切线性质与直角三角形性质的综合基础题，解题的核心是将切线相关的性质作为桥梁，把已知条件转化到直角三角形中求解，熟练掌握切线相关定理即可快速解题。
【难度系数】
0.8
解题时先从已知条件PA、PB是⊙O的切线入手：首先根据切线的性质，可得切线垂直于过切点的半径，即OB⊥PB；再根据切线长定理，从圆外一点引圆的两条切线，切线长相等，且该点与圆心的连线平分两条切线的夹角，因此可得PA=PB，∠BPO=$\frac{1}{2}$∠APB=30°。此时已知OB的长度，在Rt△PBO中，先利用30°角所对直角边等于斜边的一半求出OP的长度，再用勾股定理求出PB的长度，最后根据PA=PB即可得到PA的长。
【解析】
∵PA，PB分别切⊙O于点A，B，∠APB=60°，
∴ PA = PB，OB ⊥ PB，∠BPO = $\frac{1}{2}$∠APB = 30°。
在Rt△PBO中，∠PBO = 90°，∠BPO = 30°，
∴ OP = 2OB = $2\sqrt{3}$，
$PB = \sqrt{OP^2 - OB^2} = \sqrt{(2\sqrt{3})^2 - (\sqrt{3})^2} = 3$。
∴ PA = 3。
【答案】
3
【知识点】
切线的性质，切线长定理，勾股定理
【点评】
本题是圆的切线性质与直角三角形性质的综合基础题，解题的核心是将切线相关的性质作为桥梁，把已知条件转化到直角三角形中求解，熟练掌握切线相关定理即可快速解题。
【难度系数】
0.8
1. 如图30.1 - 23，P为$\odot O$外一点，PA，PB分别切$\odot O$于A，B两点，若PA=5，则PB=(
A.2
B.3
C.4
D.5
图30.1-23
D
).A.2
B.3
C.4
D.5
图30.1-23
答案
1. D
解析
【分析】
本题可直接根据切线长定理解题，首先观察题目条件：P是⊙O外一点，PA、PB是从P点出发引的⊙O的两条切线，切点分别为A、B，此时回忆切线长定理的内容，即可直接得到PA和PB的数量关系，代入PA的长度就能求出PB的长度。
【解析】
∵PA、PB分别切⊙O于A、B两点，且P为⊙O外一点，
根据切线长定理：从圆外一点引圆的两条切线，切线长相等，
∴PB = PA，
又已知PA=5，
∴PB=5，故选D。
【答案】
D
【知识点】
切线长定理
【点评】
本题属于基础题，直接考查切线长定理的应用，熟练掌握定理内容即可快速得出结果。
【难度系数】
0.9
本题可直接根据切线长定理解题，首先观察题目条件：P是⊙O外一点，PA、PB是从P点出发引的⊙O的两条切线，切点分别为A、B，此时回忆切线长定理的内容，即可直接得到PA和PB的数量关系，代入PA的长度就能求出PB的长度。
【解析】
∵PA、PB分别切⊙O于A、B两点，且P为⊙O外一点，
根据切线长定理：从圆外一点引圆的两条切线，切线长相等，
∴PB = PA，
又已知PA=5，
∴PB=5，故选D。
【答案】
D
【知识点】
切线长定理
【点评】
本题属于基础题，直接考查切线长定理的应用，熟练掌握定理内容即可快速得出结果。
【难度系数】
0.9
2. 从$\odot O$外一点引$\odot O$的两条切线，如果切线长和半径相等，那么这两条切线所夹的角的度数是(
A.$45°$
B.$60°$
C.$90°$
D.$135°$
C
).A.$45°$
B.$60°$
C.$90°$
D.$135°$
答案
2. C
解析
【分析】
解题时先根据题意画出辅助线：连接圆心与圆外点、圆心与两个切点，首先利用切线的性质得到直角，再结合“切线长和半径相等”的条件判断出构造出的直角三角形为等腰直角三角形，求出半角的度数，最后将两个半角相加即可得到两条切线的夹角度数。
【解析】
设圆外点为$P$，$\odot O$的两个切点分别为$A$、$B$，连接$OA$、$OB$、$OP$：
1. 因为$PA$、$PB$是$\odot O$的切线，根据切线的性质可得$OA⊥ PA$，$OB⊥ PB$，即$∠ OAP=∠ OBP=90°$；
2. 由题意知切线长等于半径，即$PA=OA$，$PB=OB$，因此$\mathrm{Rt}△ OAP$和$\mathrm{Rt}△ OBP$均为等腰直角三角形，可得$∠ OPA=45°$，$∠ OPB=45°$；
3. 两条切线的夹角$∠ APB=∠ OPA+∠ OPB=45°+45°=90°$。
【答案】
C
【知识点】
切线的性质；等腰直角三角形的性质；切线长定义
【点评】
本题是圆的切线性质的基础应用题型，解题核心是通过构造辅助线得到直角三角形，结合已知条件推导角的度数，掌握切线的基本性质就能快速解答。
【难度系数】
0.8
解题时先根据题意画出辅助线：连接圆心与圆外点、圆心与两个切点，首先利用切线的性质得到直角，再结合“切线长和半径相等”的条件判断出构造出的直角三角形为等腰直角三角形，求出半角的度数，最后将两个半角相加即可得到两条切线的夹角度数。
【解析】
设圆外点为$P$，$\odot O$的两个切点分别为$A$、$B$，连接$OA$、$OB$、$OP$：
1. 因为$PA$、$PB$是$\odot O$的切线，根据切线的性质可得$OA⊥ PA$，$OB⊥ PB$，即$∠ OAP=∠ OBP=90°$；
2. 由题意知切线长等于半径，即$PA=OA$，$PB=OB$，因此$\mathrm{Rt}△ OAP$和$\mathrm{Rt}△ OBP$均为等腰直角三角形，可得$∠ OPA=45°$，$∠ OPB=45°$；
3. 两条切线的夹角$∠ APB=∠ OPA+∠ OPB=45°+45°=90°$。
【答案】
C
【知识点】
切线的性质；等腰直角三角形的性质；切线长定义
【点评】
本题是圆的切线性质的基础应用题型，解题核心是通过构造辅助线得到直角三角形，结合已知条件推导角的度数，掌握切线的基本性质就能快速解答。
【难度系数】
0.8
3. 如图30.1-24是用直尺、含$60°$角的直角三角尺和光盘摆放而成，点A为$60°$角与直尺交点，点B为光盘与直尺唯一交点.若$AB=3$，则光盘的直径是(
A.$6\sqrt{3}$
B.$3\sqrt{3}$
C.6
D.3
A
).A.$6\sqrt{3}$
B.$3\sqrt{3}$
C.6
D.3
答案
3. A
解析
【分析】
解题时先把实际场景转化为几何模型：光盘对应圆，直尺、三角尺斜边都是圆的切线。首先设光盘的圆心为O，根据切线的性质，过切点B的半径OB垂直于直尺；再根据切线长定理，点A是两条切线的公共点，因此OA平分两条切线的夹角。已知三角尺在A点的角为60°，可推出两条切线的夹角为120°，因此得到Rt△OAB中∠OAB=60°，最后通过解直角三角形求出半径，即可得到直径。
【解析】
设光盘的圆心为点O，连接OA、OB。
∵点B是光盘与直尺的切点，根据切线的性质可得：OB⊥AB，即∠OBA=90°。
∵三角尺的斜边也与光盘相切，点A是两条切线的公共点，由切线长定理可知OA平分两条切线的夹角。
已知三角尺在A点的60°角与两条切线的夹角互补，因此两条切线的夹角为180°-60°=120°，则∠OAB=120°÷2=60°。
在Rt△OAB中，AB=3，∠OAB=60°，由正切的定义可得：
$\tan∠ OAB=\frac{OB}{AB}$，即$\tan60°=\frac{OB}{3}$，
解得$OB=3\sqrt{3}$，因此光盘的直径为$2OB=2×3\sqrt{3}=6\sqrt{3}$。
【答案】
A
【知识点】
切线的性质，切线长定理，解直角三角形
【点评】
本题结合生活场景考查圆的切线相关知识，解题的关键是正确构造辅助线，将实际问题转化为几何问题，再结合三角函数求解，注重对知识应用能力的考查。
【难度系数】
0.65
解题时先把实际场景转化为几何模型：光盘对应圆，直尺、三角尺斜边都是圆的切线。首先设光盘的圆心为O，根据切线的性质，过切点B的半径OB垂直于直尺；再根据切线长定理，点A是两条切线的公共点，因此OA平分两条切线的夹角。已知三角尺在A点的角为60°，可推出两条切线的夹角为120°，因此得到Rt△OAB中∠OAB=60°，最后通过解直角三角形求出半径，即可得到直径。
【解析】
设光盘的圆心为点O，连接OA、OB。
∵点B是光盘与直尺的切点，根据切线的性质可得：OB⊥AB，即∠OBA=90°。
∵三角尺的斜边也与光盘相切，点A是两条切线的公共点，由切线长定理可知OA平分两条切线的夹角。
已知三角尺在A点的60°角与两条切线的夹角互补，因此两条切线的夹角为180°-60°=120°，则∠OAB=120°÷2=60°。
在Rt△OAB中，AB=3，∠OAB=60°，由正切的定义可得：
$\tan∠ OAB=\frac{OB}{AB}$，即$\tan60°=\frac{OB}{3}$，
解得$OB=3\sqrt{3}$，因此光盘的直径为$2OB=2×3\sqrt{3}=6\sqrt{3}$。
【答案】
A
【知识点】
切线的性质，切线长定理，解直角三角形
【点评】
本题结合生活场景考查圆的切线相关知识，解题的关键是正确构造辅助线，将实际问题转化为几何问题，再结合三角函数求解，注重对知识应用能力的考查。
【难度系数】
0.65
4. 如图 30.1 - 25，$\odot O$是边长为6的正方形ABCD的内切圆，EF切$\odot O$于点P，交AB，BC于点E，F，则$△ BEF$的周长是(
A.3
B.6
C.9
D.12
B
).A.3
B.6
C.9
D.12
答案
4. B
解析
【分析】
解题时可运用切线长定理进行等量代换求解：首先设⊙O与AB边相切于M，与BC边相切于N，根据正方形内切圆的性质可先求出BM、BN的长度；再结合切线长定理，可得EP=EM、FP=FN，将△BEF的周长拆分为BE+EF+BF后，把EF替换为EP+PF，进一步代换为EM+FN，即可将周长转化为BM与BN的和，代入数值计算即可。
【解析】
设⊙O与AB边相切于点M，与BC边相切于点N。
∵⊙O是边长为6的正方形ABCD的内切圆，
∴BM=BN=6÷2=3。
∵EF切⊙O于点P，根据切线长定理可得：EM=EP，FN=FP。
∴△BEF的周长为：
$BE+EF+BF=BE+EP+PF+BF=BE+EM+FN+BF=BM+BN=3+3=6$。
故选B。
【答案】
B
【知识点】
切线长定理，正方形内切圆性质
【点评】
本题是圆的切线相关周长计算的典型题型，解题核心是利用切线长定理将三角形未知的边长替换为已知的线段，将周长计算转化为已知线段的和，降低计算难度，需要熟练掌握切线长定理的应用场景。
【难度系数】
0.7
解题时可运用切线长定理进行等量代换求解：首先设⊙O与AB边相切于M，与BC边相切于N，根据正方形内切圆的性质可先求出BM、BN的长度；再结合切线长定理，可得EP=EM、FP=FN，将△BEF的周长拆分为BE+EF+BF后，把EF替换为EP+PF，进一步代换为EM+FN，即可将周长转化为BM与BN的和，代入数值计算即可。
【解析】
设⊙O与AB边相切于点M，与BC边相切于点N。
∵⊙O是边长为6的正方形ABCD的内切圆，
∴BM=BN=6÷2=3。
∵EF切⊙O于点P，根据切线长定理可得：EM=EP，FN=FP。
∴△BEF的周长为：
$BE+EF+BF=BE+EP+PF+BF=BE+EM+FN+BF=BM+BN=3+3=6$。
故选B。
【答案】
B
【知识点】
切线长定理，正方形内切圆性质
【点评】
本题是圆的切线相关周长计算的典型题型，解题核心是利用切线长定理将三角形未知的边长替换为已知的线段，将周长计算转化为已知线段的和，降低计算难度，需要熟练掌握切线长定理的应用场景。
【难度系数】
0.7
