1. 了解用图象法求一元二次方程的近似根。

【分析】
要掌握图象法求一元二次方程近似根，首先要建立一元二次方程和二次函数的对应关系：一元二次方程的根本质是对应二次函数图象与x轴交点的横坐标。解题时先从关联函数入手，先判断根的个数，再锁定根的大致范围，最后通过逐步缩小范围得到符合精度要求的近似根，整体遵循“方程转函数→定交点范围→缩区间求近似值”的思路即可。
【解析】
图象法求一元二次方程近似根的具体步骤如下（以求解方程$x^2-2x-1=0$的近似根，精确到0.1为例）：
1. 关联二次函数：将方程整理为$ax^2+bx+c=0$的形式，对应写出二次函数$y=ax^2+bx+c$，本例对应函数为$y=x^2-2x-1$，其图象是开口向上的抛物线。
2. 确定根的大致范围：画出函数大致图象，或代入整数x计算对应y值，根据y值的正负变化确定交点所在区间：
当x=-1时，y=2＞0；x=0时，y=-1＜0，说明一个根在区间$(-1,0)$内；
当x=2时，y=-1＜0；x=3时，y=2＞0，说明另一个根在区间$(2,3)$内。
3. 逐步缩小范围求近似根：在确定的区间内取更精细的x值，计算y值，直到满足精度要求：
对区间$(-1,0)$：x=-0.4时，y≈-0.04，非常接近0；x=-0.5时y=0.25，因此该根近似为-0.4；
对区间$(2,3)$：x=2.4时，y≈-0.04，非常接近0；x=2.5时y=0.25，因此该根近似为2.4。
若函数图象与x轴没有交点，说明对应的一元二次方程没有实数根；若图象顶点在x轴上，说明方程有两个相等的实数根，即顶点的横坐标。
【答案】
图象法求一元二次方程近似根的核心是利用一元二次方程$ax^2+bx+c=0$的实根与二次函数$y=ax^2+bx+c$图象和x轴交点的横坐标一一对应的关系，步骤为：①写出方程对应的二次函数；②确定图象与x轴交点所在的大致区间；③逐步缩小区间，得到满足精度要求的近似根。
【知识点】
1. 二次函数与一元二次方程的关联
2. 图象法求方程近似根
3. 近似值估算
【点评】
该方法是数形结合思想的典型应用，将抽象的方程求解问题转化为直观的图象问题，无需复杂的求根计算即可快速得到近似解，既可以帮助理解函数与方程的内在联系，也适用于解决不需要精确解的实际问题。
【难度系数】
0.7

1. 通过取的方法不断缩小根所在的范围。

1. 平均数

【分析】
本题考查求方程近似根时缩小根所在区间的操作方法，解题时可先回顾求近似根的基本步骤：首先我们会先确定根所在的初始区间，要缩小根的范围，需要找到一个值将当前区间拆分为两个子区间，再判断根落在哪个子区间内，这个用来拆分区间的值就是区间两端点的平均数，通过反复取平均数、判断根所在子区间的操作，就能不断缩小根所在的范围，据此即可得出答案。
【解析】
在求解方程近似根的过程中，我们首先确定根所在的初始区间，后续每次取区间两个端点的平均数，通过检验该平均数对应的函数值的符号，可判断根位于平均数左侧还是右侧的子区间内，重复这一操作就能不断缩小根所在的范围，因此此处应填“平均数”。
【答案】
平均数
【知识点】
方程近似根求解；二分法求根思想
【点评】
本题属于基础概念类题目，主要考查求方程近似根的基础操作步骤，难度较低，掌握求近似根的基本流程即可正确作答。
【难度系数】
0.9

2. 根所在的范围越来越，根所在范围的两端的值越来越根的值，因而可以作为根的近似值。

2. 小 接近

【分析】
本题考查求方程近似根的过程特征，解题时可回忆二分法求近似根的操作逻辑：我们求解方程的近似根时，首先会确定根所在的初始区间，之后通过反复判断、缩小区间的范围，当区间范围足够小时，区间的两个端点和根的真实值的差距就会非常小，完全可以作为近似值使用，结合这个过程就能得出对应的结论。
【解析】
根据求方程近似根的规律：我们在定位根的过程中，会逐步缩小根所在的范围，根所在的范围越来越小，范围两端的数值和根的准确值的差值也会不断变小，也就是越来越接近根的值，此时这两个端点的数值就可以作为根的近似值。
【答案】
小；接近
【知识点】
1. 二分法求近似根 2. 近似值的概念
【点评】
本题属于基础概念类题目，主要考查对求方程近似根过程的理解，熟悉相关操作过程即可快速作答，难度较低。
【难度系数】
0.9

例 二次函数$y=ax^2+bx+c(a＞0)$的自变量$x$与$y$的部分对应值如下表,则关于$x$的方程$ax^2+bx+c=0$的一个根的取值范围为().

A.$2.01＜x＜2.02$
B.$2.02＜x＜2.03$
C.$2.03＜x＜2.04$
D.$x＞2.04$
解 观察表格可知:当$x=2.02$时,$y=-0.01$;当$x=2.03$时,$y=0.02$,
∴方程$ax^2+bx+c=0(a＞0)$的一个根$x$的范围是$2.02＜x＜2.03$.
故选 B.
方法感悟 用图象法求一元二次方程的近似根,关键是找到$y$由正变为负(或由负变为正)时,自变量的取值.

解：观察表格可知：当$x=2.02$时，$y=-0.01$；当$x=2.03$时，$y=0.02$，
二次函数$y=ax^2+bx+c(a＞0)$的图象是连续的抛物线，函数值由负变为正，说明在对应的自变量区间内存在函数值为0的点，
∴方程$ax^2+bx+c=0$的一个根$x$的取值范围是$2.02＜x＜2.03$。
故选B。

【分析】
要解决本题，首先需明确一元二次方程$ax^2+bx+c=0$的根就是对应二次函数$y=ax^2+bx+c$函数值为0时的自变量$x$的值。由于二次函数的图象是连续的抛物线，当函数值在两个相邻的自变量取值处由负变为正（或由正变为负）时，这两个自变量之间的区间内必然存在使函数值为0的点，也就是方程的一个根。因此我们只需观察表格中$y$值正负发生变化对应的$x$区间即可。
【解析】
观察表格中的数值：当$x=2.02$时，$y=-0.01＜0$；当$x=2.03$时，$y=0.02＞0$。
二次函数$y=ax^2+bx+c(a＞0)$的图象是连续的抛物线，函数值由负变为正，说明在$2.02$到$2.03$的自变量区间内存在使$y=0$的点，即方程$ax^2+bx+c=0$的一个根在该区间内。
因此根的取值范围是$2.02＜x＜2.03$，对应选项B。
【答案】
B
【知识点】
1.二次函数与一元二次方程的关系
2.一元二次方程近似根估算
【点评】
本题属于基础题，核心考查二次函数与对应一元二次方程的联系，解题关键是抓住二次函数图象连续、函数值正负变化的区间必存在方程的根这一规律，掌握该知识点即可快速求解。
【难度系数】
0.8

1. 抛物线$y=ax^2+bx+c(a≠0)$与$x$轴相交于点$A(-1,0),B(3,0)$,则关于$x$的一元二次方程$ax^2+bx+c=0$的根是（）.

A.$x_1=-1,x_2=3$
B.$x_1=1,x_2=-3$
C.$x=1$
D.$x=-3$

1. A

【分析】
解题时首先要明确二次函数与对应一元二次方程的关联：抛物线$y=ax^2+bx+c(a≠0)$与$x$轴交点的横坐标，就是一元二次方程$ax^2+bx+c=0$的实数根。题目已经给出抛物线与$x$轴的两个交点坐标，我们只需提取交点的横坐标，就能得到方程的根，再匹配对应选项即可。
【解析】
根据二次函数与一元二次方程的关系可知：抛物线$y=ax^2+bx+c(a≠0)$和$x$轴交点的横坐标就是一元二次方程$ax^2+bx+c=0$的根。
已知抛物线与$x$轴相交于点$A(-1,0)$、$B(3,0)$，两个交点的横坐标分别为$-1$和$3$，因此一元二次方程$ax^2+bx+c=0$的根为$x_1=-1$，$x_2=3$，对应选项A。
【答案】
A
【知识点】
二次函数与一元二次方程的关系、一元二次方程的根
【点评】
本题属于基础概念类考题，只要掌握二次函数图象与$x$轴交点和对应一元二次方程根的对应规律，就能快速得出答案。
【难度系数】
0.9

2. 二次函数$y=ax^2 -2ax +c$的图象及局部细节如图26.3-8所示，则关于x的方程$ax^2 -2ax +c=0$的较大的根的取值范围是().

A.$0.4＜x＜0.5$
B.$0.5＜x＜0.6$
C.$2.4＜x＜2.5$
D.$2.5＜x＜2.6$

图26.3-8

2. C

【分析】
解题思路分三步：第一步先求二次函数的对称轴，根据对称轴公式$x=-\frac{b}{2a}$可直接求出；第二步利用二次函数的对称性，明确一元二次方程的两个根关于对称轴对称，即两根的中点为对称轴；第三步结合图中给出的左侧较小根的取值范围，通过对称关系推导较大根的取值范围即可。
【解析】
1. 求二次函数对称轴：对于二次函数$y=ax^2-2ax+c$，其中$b=-2a$，代入对称轴公式得：
$x=-\frac{b}{2a}=-\frac{-2a}{2a}=1$，即函数对称轴为直线$x=1$。
2. 设方程$ax^2-2ax+c=0$的两个根为较小根$x_1$、较大根$x_2$，根据二次函数对称性，两根关于对称轴$x=1$对称，因此$\frac{x_1+x_2}{2}=1$，变形得$x_2=2-x_1$。
3. 由图可知较小根的取值范围为$-0.5＜x_1＜-0.4$，对不等式变形：
不等式三边同乘$-1$，不等号方向改变，得$0.4＜-x_1＜0.5$；
三边同时加2，得$2+0.4＜2-x_1＜2+0.5$，即$2.4＜x_2＜2.5$。
【答案】
C
【知识点】
二次函数对称轴计算；二次函数的对称性；二次函数与一元二次方程的关系
【点评】
本题不需要计算函数解析式，核心是利用二次函数的对称性推导未知根的范围，是二次函数性质的基础应用，掌握对称性即可快速解题。
【难度系数】
0.7

3. 已知二次函数$y=ax^2+bx+c$的$y$与$x$的部分对应值如下表，则下列判断正确的是().


A.抛物线开口向下
B.方程$ax^2+bx+c=0$一个根的范围是$-2＜x＜0$
C.当$x＞1$时，$y$随$x$的增大而减小
D.抛物线与$y$轴交于正半轴

3. B

【分析】
解决本题首先要利用二次函数的对称性找对称轴：观察表格发现x=0和x=2时y值相等，因此对称轴为两点横坐标的中点即x=1，顶点坐标为(1,-2)。接下来可先判断开口方向，再结合二次函数的性质逐一分析四个选项：先根据顶点是函数最小值点判断开口方向；再判断零点范围，看区间两端的函数值符号是否相反；再结合开口和对称轴判断增减性；最后看x=0时的y值确定与y轴交点的位置，按这个思路即可逐一排除错误选项。
【解析】
1. 确定对称轴：由表格可知，x=0和x=2时，y均为-1，根据二次函数的对称性，对称轴为直线$x=\frac{0+2}{2}=1$，顶点坐标为$(1,-2)$。
2. 设二次函数顶点式为$y=a(x-1)^2-2$，将$(0,-1)$代入得：
$-1=a(0-1)^2-2$，解得$a=1＞0$，因此抛物线开口向上，故A选项错误。
3. 分析B选项：当$x=-2$时，$y=7＞0$；当$x=0$时，$y=-1＜0$，二次函数图象是连续的，因此在$-2＜x＜0$之间必有一个x使得$y=0$，即方程$ax^2+bx+c=0$的一个根在$-2＜x＜0$范围内，B选项正确。
4. 分析C选项：抛物线开口向上，对称轴为$x=1$，因此当$x＞1$时，y随x的增大而增大，C选项错误。
5. 分析D选项：当$x=0$时，$y=-1$，因此抛物线与y轴交于点$(0,-1)$，在负半轴，D选项错误。
【答案】
B
【知识点】
二次函数的性质，二次函数与一元二次方程，二次函数的对称性
【点评】
本题考查二次函数图象与性质的综合应用，解题核心是利用对称点快速确定对称轴，再结合函数的基本性质逐一验证选项，能较好地考查学生对二次函数基础知识的掌握程度。
【难度系数】
0.7

4. 方程$2x^2 + x - 2 = 0$的近似根可以看作是下列某组函数图象公共点的横坐标，这组函数是()。

A.$y=2x^2$和$y=x-2$
B.$y=2x^2 + x$和$y=2$
C.$y=2x^2 -2$和$y=x$
D.$y=-2x^2$和$y=x+2$

4. B

【分析】
解题核心是明确方程的解与函数图象交点横坐标的对应关系：若两个函数分别为$y=f(x)$和$y=g(x)$，则方程$f(x)=g(x)$的解就是两个函数图象公共点的横坐标。解题时只需将原方程进行移项变形，逐一验证各选项中两个函数相等时整理得到的方程是否与原方程一致即可。
【解析】
已知原方程为$2x^2 + x - 2 = 0$，逐一分析选项：
选项A：令$y=2x^2$与$y=x-2$相等，得$2x^2 = x - 2$，整理为$2x^2 - x + 2 = 0$，与原方程不符，排除；
选项B：令$y=2x^2 + x$与$y=2$相等，得$2x^2 + x = 2$，整理为$2x^2 + x - 2 = 0$，与原方程完全一致，符合要求；
选项C：令$y=2x^2 -2$与$y=x$相等，得$2x^2 - 2 = x$，整理为$2x^2 - x - 2 = 0$，与原方程不符，排除；
选项D：令$y=-2x^2$与$y=x+2$相等，得$-2x^2 = x + 2$，整理为$2x^2 + x + 2 = 0$，与原方程不符，排除。
【答案】
B
【知识点】
1. 函数图象交点的意义
2. 等式移项变形
【点评】
本题考查函数与方程的转化思想，解题关键是掌握方程的解和对应两个函数图象交点横坐标的对应关系，通过简单移项对比即可快速得出答案，属于基础类题型。
【难度系数】
0.8