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5. 二次函数$y=ax^2+bx+c(a≠0)$和正比例函数$y=\frac{2}{3}x$的图象如图26.3-9所示，则方程$ax^2+(b-\frac{2}{3})x+c=0(a≠0)$的两根之和（
A.小于0
B.等于0
C.大于0
D.不能确定
C
）.A.小于0
B.等于0
C.大于0
D.不能确定
答案
5. C
解析
【分析】
首先将待求方程变形为$ax^2+bx+c=\frac{2}{3}x$，可知该方程的根就是二次函数与正比例函数交点的横坐标。接下来利用一元二次方程根与系数的关系写出两根之和的表达式，再结合二次函数图象特征：开口向上得$a＞0$，对称轴在y轴右侧得$b＜0$，最后代入表达式判断两根之和的符号即可。
【解析】
设方程$ax^2+(b-\frac{2}{3})x+c=0$的两根为$x_1$、$x_2$：
1. 由根与系数的关系（韦达定理）可得：
$x_1+x_2=-\frac{b-\frac{2}{3}}{a}=\frac{\frac{2}{3}-b}{a}$
2. 结合二次函数图象判断参数符号：
① 二次函数开口向上，因此$a＞0$；
② 二次函数对称轴在y轴右侧，由对称轴公式$x=-\frac{b}{2a}＞0$，结合$a＞0$可得$-b＞0$，即$b＜0$。
3. 判断两根之和符号：
因为$b＜0$，所以$\frac{2}{3}-b＞0$，又$a＞0$，因此$\frac{\frac{2}{3}-b}{a}＞0$，即两根之和大于0。
【答案】
C
【知识点】
1. 二次函数图象性质
2. 韦达定理
3. 函数与方程的联系
【点评】
本题是二次函数与一元二次方程结合的典型题型，解题核心是将方程问题转化为函数交点问题，再结合图象性质和代数公式推导结论，能很好地考查学生的知识转化应用能力。
【难度系数】
0.7
首先将待求方程变形为$ax^2+bx+c=\frac{2}{3}x$，可知该方程的根就是二次函数与正比例函数交点的横坐标。接下来利用一元二次方程根与系数的关系写出两根之和的表达式，再结合二次函数图象特征：开口向上得$a＞0$，对称轴在y轴右侧得$b＜0$，最后代入表达式判断两根之和的符号即可。
【解析】
设方程$ax^2+(b-\frac{2}{3})x+c=0$的两根为$x_1$、$x_2$：
1. 由根与系数的关系（韦达定理）可得：
$x_1+x_2=-\frac{b-\frac{2}{3}}{a}=\frac{\frac{2}{3}-b}{a}$
2. 结合二次函数图象判断参数符号：
① 二次函数开口向上，因此$a＞0$；
② 二次函数对称轴在y轴右侧，由对称轴公式$x=-\frac{b}{2a}＞0$，结合$a＞0$可得$-b＞0$，即$b＜0$。
3. 判断两根之和符号：
因为$b＜0$，所以$\frac{2}{3}-b＞0$，又$a＞0$，因此$\frac{\frac{2}{3}-b}{a}＞0$，即两根之和大于0。
【答案】
C
【知识点】
1. 二次函数图象性质
2. 韦达定理
3. 函数与方程的联系
【点评】
本题是二次函数与一元二次方程结合的典型题型，解题核心是将方程问题转化为函数交点问题，再结合图象性质和代数公式推导结论，能很好地考查学生的知识转化应用能力。
【难度系数】
0.7
6. 下表给出了二次函数$y=ax^2+bx+c$中$x,y$的部分对应值：
| $x$ | $\dots$ | $0.25$ | $0.5$ | $0.75$ | $1$ | $\dots$ |
| $y$ | $\dots$ | $-1.69$ |
| $1.31$ | $3$ | $\dots$ |
估计方程$ax^2+bx+c=0$的一个根$x$的取值范围是
| $x$ | $\dots$ | $0.25$ | $0.5$ | $0.75$ | $1$ | $\dots$ |
| $y$ | $\dots$ | $-1.69$ |
| $1.31$ | $3$ | $\dots$ |估计方程$ax^2+bx+c=0$的一个根$x$的取值范围是
0.5<x<0.75
。答案
6. 0.5＜x＜0.75
解析
【分析】
要解决这个问题，首先明确一元二次方程$ax^2+bx+c=0$的根就是对应的二次函数$y=ax^2+bx+c$的函数值为0时自变量$x$的取值。由于二次函数的图象是连续的曲线，当两个相邻的$x$对应的$y$值一正一负时，这两个$x$之间必然存在一个$x$使得$y=0$，也就是方程的一个根。因此我们只需要在表格中找到$y$值由负变正对应的相邻$x$的区间即可。
【解析】
方程$ax^2+bx+c=0$的根是二次函数$y=ax^2+bx+c$中$y=0$时对应的$x$的值。
观察表格数据：
当$x=0.5$时，$y=-0.25＜0$；
当$x=0.75$时，$y=1.31＞0$。
因为二次函数的图象是连续的，所以在$0.5＜x＜0.75$范围内，一定存在一个$x$使得$y=0$，即方程$ax^2+bx+c=0$的一个根在这个区间内。
【答案】
$0.5＜x＜0.75$
【知识点】
1. 二次函数与一元二次方程的联系
2. 估算一元二次方程的近似根
【点评】
本题考查利用二次函数的函数值变化判断一元二次方程根的范围，解题核心是理解二次函数图象连续的性质，掌握函数值正负切换的区间内必有函数值为0的点，属于二次函数相关的基础题型。
【难度系数】
0.8
要解决这个问题，首先明确一元二次方程$ax^2+bx+c=0$的根就是对应的二次函数$y=ax^2+bx+c$的函数值为0时自变量$x$的取值。由于二次函数的图象是连续的曲线，当两个相邻的$x$对应的$y$值一正一负时，这两个$x$之间必然存在一个$x$使得$y=0$，也就是方程的一个根。因此我们只需要在表格中找到$y$值由负变正对应的相邻$x$的区间即可。
【解析】
方程$ax^2+bx+c=0$的根是二次函数$y=ax^2+bx+c$中$y=0$时对应的$x$的值。
观察表格数据：
当$x=0.5$时，$y=-0.25＜0$；
当$x=0.75$时，$y=1.31＞0$。
因为二次函数的图象是连续的，所以在$0.5＜x＜0.75$范围内，一定存在一个$x$使得$y=0$，即方程$ax^2+bx+c=0$的一个根在这个区间内。
【答案】
$0.5＜x＜0.75$
【知识点】
1. 二次函数与一元二次方程的联系
2. 估算一元二次方程的近似根
【点评】
本题考查利用二次函数的函数值变化判断一元二次方程根的范围，解题核心是理解二次函数图象连续的性质，掌握函数值正负切换的区间内必有函数值为0的点，属于二次函数相关的基础题型。
【难度系数】
0.8
7. 如图26.3-10，抛物线$y=ax^2+bx+3$（$a≠0$）的对称轴为直线$x=1$，如果关于$x$的方程$ax^2+bx-6=0$（$a≠0$）的一个根为5，那么该方程的另一个根为
-3
.答案
7. -3
解析
【分析】
解题思路如下：首先明确二次函数的对称轴仅由二次项系数a和一次项系数b决定，因此方程$ax^2+bx-6=0$对应的二次函数$y=ax^2+bx-6$，和题目给出的抛物线$y=ax^2+bx+3$对称轴相同，均为$x=1$。其次，一元二次方程的根就是对应二次函数与x轴交点的横坐标，两个交点关于抛物线的对称轴对称，即两个根的平均值等于对称轴的横坐标，结合已知的一个根5，即可计算出另一个根，也可通过韦达定理利用对称轴推导两根之和求解。
【解析】
方法1：利用二次函数对称性求解
1. 抛物线$y=ax^2+bx+3$的对称轴为直线$x=1$，二次函数对称轴仅与$a、b$相关，因此二次函数$y=ax^2+bx-6$的对称轴也为$x=1$。
2. 方程$ax^2+bx-6=0$的根是$y=ax^2+bx-6$与x轴交点的横坐标，两个交点关于对称轴$x=1$对称。
3. 设方程的另一个根为$x_1$，根据中点坐标公式可得$\frac{x_1 + 5}{2}=1$，解得$x_1=2×1 -5=-3$。
方法2：利用韦达定理求解
1. 由抛物线对称轴公式$x=-\frac{b}{2a}=1$，推导得$-\frac{b}{a}=2$。
2. 对于一元二次方程$ax^2+bx-6=0$，根据韦达定理，两根之和为$-\frac{b}{a}=2$。
3. 已知一个根为5，设另一个根为$x_1$，则$x_1 +5=2$，解得$x_1=2-5=-3$。
【答案】
-3
【知识点】
1. 二次函数的对称性
2. 二次函数与一元二次方程的关系
3. 韦达定理
【点评】
本题不需要求解a、b的具体数值，核心是抓住二次函数对称轴不变的特点，结合对称性或根与系数的关系快速解题，是二次函数章节的典型基础应用题。
【难度系数】
0.7
解题思路如下：首先明确二次函数的对称轴仅由二次项系数a和一次项系数b决定，因此方程$ax^2+bx-6=0$对应的二次函数$y=ax^2+bx-6$，和题目给出的抛物线$y=ax^2+bx+3$对称轴相同，均为$x=1$。其次，一元二次方程的根就是对应二次函数与x轴交点的横坐标，两个交点关于抛物线的对称轴对称，即两个根的平均值等于对称轴的横坐标，结合已知的一个根5，即可计算出另一个根，也可通过韦达定理利用对称轴推导两根之和求解。
【解析】
方法1：利用二次函数对称性求解
1. 抛物线$y=ax^2+bx+3$的对称轴为直线$x=1$，二次函数对称轴仅与$a、b$相关，因此二次函数$y=ax^2+bx-6$的对称轴也为$x=1$。
2. 方程$ax^2+bx-6=0$的根是$y=ax^2+bx-6$与x轴交点的横坐标，两个交点关于对称轴$x=1$对称。
3. 设方程的另一个根为$x_1$，根据中点坐标公式可得$\frac{x_1 + 5}{2}=1$，解得$x_1=2×1 -5=-3$。
方法2：利用韦达定理求解
1. 由抛物线对称轴公式$x=-\frac{b}{2a}=1$，推导得$-\frac{b}{a}=2$。
2. 对于一元二次方程$ax^2+bx-6=0$，根据韦达定理，两根之和为$-\frac{b}{a}=2$。
3. 已知一个根为5，设另一个根为$x_1$，则$x_1 +5=2$，解得$x_1=2-5=-3$。
【答案】
-3
【知识点】
1. 二次函数的对称性
2. 二次函数与一元二次方程的关系
3. 韦达定理
【点评】
本题不需要求解a、b的具体数值，核心是抓住二次函数对称轴不变的特点，结合对称性或根与系数的关系快速解题，是二次函数章节的典型基础应用题。
【难度系数】
0.7
8. 小明在复习数学知识时,针对“求一元二次方程的根”,整理了以下的几种解题方法,请你按要求补全相关内容.
复习日记卡片
内容:一元二次方程解法归纳
时间:2026年6月×日
举例:求一元二次方程 $x^2 - x - 1 = 0$ 的两个根.
方法一:选择合适的一种方法(公式法、配方法、因式分解法)解方程.
解:
续表
复习日记卡片
方法二:利用二次函数图象与坐标轴的公共点求根.如图26.3 - 11所示,把方程 $x^2 - x - 1 = 0$ 的根看成是二次函数 $y = \_\_\_\_\_\_$ 的图象与x轴公共点的横坐标,即$x_1,x_2$就是方程的根.
方法三:利用两个函数图象的公共点求根.
(1)把方程 $x^2 - x - 1 = 0$ 的根看成是一个二次函数 $y = \_\_\_\_\_\_$ 的图象与一个一次函数 $y = \_\_\_\_\_\_$ 图象公共点的横坐标;
(2)在图26.3 - 12中,画出这两个函数的图象,用$x_1,x_2$在x轴上标出方程的根.
复习日记卡片
内容:一元二次方程解法归纳
时间:2026年6月×日
举例:求一元二次方程 $x^2 - x - 1 = 0$ 的两个根.
方法一:选择合适的一种方法(公式法、配方法、因式分解法)解方程.
解:
续表
复习日记卡片
方法二:利用二次函数图象与坐标轴的公共点求根.如图26.3 - 11所示,把方程 $x^2 - x - 1 = 0$ 的根看成是二次函数 $y = \_\_\_\_\_\_$ 的图象与x轴公共点的横坐标,即$x_1,x_2$就是方程的根.
方法三:利用两个函数图象的公共点求根.
(1)把方程 $x^2 - x - 1 = 0$ 的根看成是一个二次函数 $y = \_\_\_\_\_\_$ 的图象与一个一次函数 $y = \_\_\_\_\_\_$ 图象公共点的横坐标;
(2)在图26.3 - 12中,画出这两个函数的图象,用$x_1,x_2$在x轴上标出方程的根.
答案
8. 方法一:
∵a=1,b=-1,c=-1,
∴b²-4ac=5.
∴x=$\frac{1\pm\sqrt{5}}{2}$.
∴原方程的根是$x_1=\frac{1+\sqrt{5}}{2},x_2=\frac{1-\sqrt{5}}{2}$
方法二:$x^2 -x +1$
方法三:(1)$x^2$ $x+1$(或$x^2-1$ $x$)
(2)如答图3
∵a=1,b=-1,c=-1,
∴b²-4ac=5.
∴x=$\frac{1\pm\sqrt{5}}{2}$.
∴原方程的根是$x_1=\frac{1+\sqrt{5}}{2},x_2=\frac{1-\sqrt{5}}{2}$
方法二:$x^2 -x +1$
方法三:(1)$x^2$ $x+1$(或$x^2-1$ $x$)
(2)如答图3
解析
【分析】
本题围绕一元二次方程根的求解，考查三种不同的解题思路，思考路径如下：
1. 方法一选公式法求解时，先明确方程中a、b、c的取值，再计算判别式判断根的情况，最后代入求根公式即可得到结果；
2. 方法二利用二次函数与一元二次方程的关系：一元二次方程$ax²+bx+c=0$的根，就是二次函数$y=ax²+bx+c$图象与x轴交点的横坐标，据此可直接填空；
3. 方法三将方程变形为两个函数表达式相等的形式，方程的根即为两个函数图象交点的横坐标，只需把含二次项的式子留在一侧，其余项移到另一侧即可得到对应函数。
【解析】
方法一（公式法）：
对于方程$x^2 - x - 1 = 0$，二次项系数$a=1$，一次项系数$b=-1$，常数项$c=-1$，
计算判别式：$\Delta = b^2 - 4ac = (-1)^2 - 4×1×(-1) = 5 ＞ 0$，
代入求根公式$x=\frac{-b\pm\sqrt{\Delta}}{2a}$，得$x=\frac{1\pm\sqrt{5}}{2}$，
因此方程的根为$x_1=\frac{1+\sqrt{5}}{2}$，$x_2=\frac{1-\sqrt{5}}{2}$。
方法二：
x轴上点的纵坐标为0，因此方程$x^2 - x -1=0$的根就是二次函数$y=x^2 -x -1$的图象与x轴交点的横坐标，故填$x^2 -x -1$。
方法三：
(1) 将方程$x^2 -x -1=0$移项得$x^2 = x+1$，因此方程的根可看成二次函数$y=x^2$与一次函数$y=x+1$图象交点的横坐标（也可移项为$x^2 -1 =x$，对应$y=x^2 -1$和$y=x$）；
(2) 先画出抛物线$y=x^2$，再画出直线$y=x+1$，两个交点的横坐标就是方程的根，在x轴上对应位置标注$x_1、x_2$即可。
【答案】
方法一：$x_1=\frac{1+\sqrt{5}}{2},x_2=\frac{1-\sqrt{5}}{2}$；
方法二：$x^2 -x -1$；
方法三：(1)$x^2$，$x+1$（或$x^2 -1$，$x$）；(2)图象标注略。
【知识点】
一元二次方程的解法；二次函数与一元二次方程；函数图象的交点意义
【点评】
本题从代数计算和数形结合两个角度考查一元二次方程根的求解，帮助学生建立方程与函数的关联，深化对一元二次方程根的含义的理解，难度适中，兼顾基础和思维拓展。
【难度系数】
0.7
本题围绕一元二次方程根的求解，考查三种不同的解题思路，思考路径如下：
1. 方法一选公式法求解时，先明确方程中a、b、c的取值，再计算判别式判断根的情况，最后代入求根公式即可得到结果；
2. 方法二利用二次函数与一元二次方程的关系：一元二次方程$ax²+bx+c=0$的根，就是二次函数$y=ax²+bx+c$图象与x轴交点的横坐标，据此可直接填空；
3. 方法三将方程变形为两个函数表达式相等的形式，方程的根即为两个函数图象交点的横坐标，只需把含二次项的式子留在一侧，其余项移到另一侧即可得到对应函数。
【解析】
方法一（公式法）：
对于方程$x^2 - x - 1 = 0$，二次项系数$a=1$，一次项系数$b=-1$，常数项$c=-1$，
计算判别式：$\Delta = b^2 - 4ac = (-1)^2 - 4×1×(-1) = 5 ＞ 0$，
代入求根公式$x=\frac{-b\pm\sqrt{\Delta}}{2a}$，得$x=\frac{1\pm\sqrt{5}}{2}$，
因此方程的根为$x_1=\frac{1+\sqrt{5}}{2}$，$x_2=\frac{1-\sqrt{5}}{2}$。
方法二：
x轴上点的纵坐标为0，因此方程$x^2 - x -1=0$的根就是二次函数$y=x^2 -x -1$的图象与x轴交点的横坐标，故填$x^2 -x -1$。
方法三：
(1) 将方程$x^2 -x -1=0$移项得$x^2 = x+1$，因此方程的根可看成二次函数$y=x^2$与一次函数$y=x+1$图象交点的横坐标（也可移项为$x^2 -1 =x$，对应$y=x^2 -1$和$y=x$）；
(2) 先画出抛物线$y=x^2$，再画出直线$y=x+1$，两个交点的横坐标就是方程的根，在x轴上对应位置标注$x_1、x_2$即可。
【答案】
方法一：$x_1=\frac{1+\sqrt{5}}{2},x_2=\frac{1-\sqrt{5}}{2}$；
方法二：$x^2 -x -1$；
方法三：(1)$x^2$，$x+1$（或$x^2 -1$，$x$）；(2)图象标注略。
【知识点】
一元二次方程的解法；二次函数与一元二次方程；函数图象的交点意义
【点评】
本题从代数计算和数形结合两个角度考查一元二次方程根的求解，帮助学生建立方程与函数的关联，深化对一元二次方程根的含义的理解，难度适中，兼顾基础和思维拓展。
【难度系数】
0.7
9. 如图26.3-13所示是二次函数$y=ax^2+bx+c(a≠0)$的部分图象，该函数图象的对称轴是直线$x=1$，图象与y轴公共点的纵坐标是2。有下列结论：①$2a+b=0$；②方程$ax^2+bx+c=0$一定有一个根在-2和-1之间；③方程$ax^2+bx+c-\frac{3}{2}=0$一定有两个不相等的实数根；④$b-a＜2$。其中正确的结论有(
A.1个
B.2个
C.3个
D.4个
B
).A.1个
B.2个
C.3个
D.4个
答案
9. B
解析
【分析】
解题时先结合已知的二次函数对称轴、与y轴交点坐标，逐一分析4个结论：
1. 利用对称轴公式$x=-\frac{b}{2a}=1$推导a和b的关系，判断结论①；
2. 利用二次函数的对称性，结合右侧零点的范围推算左侧零点的范围，判断结论②；
3. 先判断二次函数顶点纵坐标的取值范围，再将方程转化为函数$y=ax^2+bx+c$与直线$y=\frac{3}{2}$的交点问题，判断结论③；
4. 结合左侧零点的范围，代入$x=-1$的函数值符号，推导$b-a$的范围，判断结论④。
【解析】
解：已知二次函数对称轴为直线$x=1$，与y轴交点为$(0,2)$，即$c=2$，抛物线开口向下，$a＜0$，右侧零点在2和3之间。
① 由对称轴公式：$-\frac{b}{2a}=1$，整理得$b=-2a$，即$2a+b=0$，故①正确；
② 设二次函数与x轴的两个交点横坐标为$x_1,x_2$（$x_1＜x_2$），由对称性得$\frac{x_1+x_2}{2}=1$，即$x_1=2-x_2$。已知$2＜x_2＜3$，则$2-3＜x_1＜2-2$，即$-1＜x_1＜0$，故方程$ax^2+bx+c=0$的另一个根在-1和0之间，不在-2和-1之间，②错误；
③ 二次函数过点$(0,2)$，对称轴为$x=1$，顶点为最高点，因此顶点纵坐标大于点$(0,2)$的纵坐标2，即函数最大值$＞2$。方程$ax^2+bx+c-\frac{3}{2}=0$等价于$ax^2+bx+c=\frac{3}{2}$，$\frac{3}{2}＜2＜$函数最大值，故直线$y=\frac{3}{2}$与抛物线有2个交点，即方程有两个不相等的实数根，③正确；
④ 由①得$b=-2a$，则$b-a=-3a$，$a＜0$故$-3a＞0$。又因为左零点$x_1\in(-1,0)$，当$x=-1$时，对应的函数值在x轴下方，即$y=a-b+c＜0$，代入$c=2$得$a-b+2＜0$，整理得$b-a＞2$，故④错误。
综上，正确的结论是①③，共2个。
【答案】
B
【知识点】
二次函数的图象与性质；二次函数与一元二次方程
【点评】
本题考查二次函数图象与系数的关系，需要结合对称轴、交点坐标、函数对称性等性质综合判断，解题时可利用数形结合思想，将方程问题转化为函数图象交点问题简化判断。
【难度系数】
0.6
解题时先结合已知的二次函数对称轴、与y轴交点坐标，逐一分析4个结论：
1. 利用对称轴公式$x=-\frac{b}{2a}=1$推导a和b的关系，判断结论①；
2. 利用二次函数的对称性，结合右侧零点的范围推算左侧零点的范围，判断结论②；
3. 先判断二次函数顶点纵坐标的取值范围，再将方程转化为函数$y=ax^2+bx+c$与直线$y=\frac{3}{2}$的交点问题，判断结论③；
4. 结合左侧零点的范围，代入$x=-1$的函数值符号，推导$b-a$的范围，判断结论④。
【解析】
解：已知二次函数对称轴为直线$x=1$，与y轴交点为$(0,2)$，即$c=2$，抛物线开口向下，$a＜0$，右侧零点在2和3之间。
① 由对称轴公式：$-\frac{b}{2a}=1$，整理得$b=-2a$，即$2a+b=0$，故①正确；
② 设二次函数与x轴的两个交点横坐标为$x_1,x_2$（$x_1＜x_2$），由对称性得$\frac{x_1+x_2}{2}=1$，即$x_1=2-x_2$。已知$2＜x_2＜3$，则$2-3＜x_1＜2-2$，即$-1＜x_1＜0$，故方程$ax^2+bx+c=0$的另一个根在-1和0之间，不在-2和-1之间，②错误；
③ 二次函数过点$(0,2)$，对称轴为$x=1$，顶点为最高点，因此顶点纵坐标大于点$(0,2)$的纵坐标2，即函数最大值$＞2$。方程$ax^2+bx+c-\frac{3}{2}=0$等价于$ax^2+bx+c=\frac{3}{2}$，$\frac{3}{2}＜2＜$函数最大值，故直线$y=\frac{3}{2}$与抛物线有2个交点，即方程有两个不相等的实数根，③正确；
④ 由①得$b=-2a$，则$b-a=-3a$，$a＜0$故$-3a＞0$。又因为左零点$x_1\in(-1,0)$，当$x=-1$时，对应的函数值在x轴下方，即$y=a-b+c＜0$，代入$c=2$得$a-b+2＜0$，整理得$b-a＞2$，故④错误。
综上，正确的结论是①③，共2个。
【答案】
B
【知识点】
二次函数的图象与性质；二次函数与一元二次方程
【点评】
本题考查二次函数图象与系数的关系，需要结合对称轴、交点坐标、函数对称性等性质综合判断，解题时可利用数形结合思想，将方程问题转化为函数图象交点问题简化判断。
【难度系数】
0.6
