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定义:三角分别
定理:两角分别
相等
、三边成比例
的两个三角形叫作相似三角形。定理:两角分别
相等
的两个三角形相似。答案
相等 成比例 相等
解析
【分析】
本题属于基础概念识记类题目，解题核心是熟练掌握相似三角形的定义及对应判定定理内容。首先回忆相似三角形的定义涉及角和边两类要素的关系，再回忆本节课学习的相似三角形第一个判定定理的内容，直接对应空缺填入即可。
【解析】
根据相似三角形的定义可知：三角分别相等、三边成比例的两个三角形叫作相似三角形；
根据三角形相似的判定定理可知：两角分别相等的两个三角形相似。
因此三个空缺依次填入对应概念表述中的关键词即可。
【答案】
相等 成比例 相等
【知识点】
相似三角形的定义、相似三角形的判定
【点评】
本题是基础概念考查题，是学习相似三角形相关内容的入门核心知识点，要求学生准确记忆课本中的核心定义和判定定理，为后续复杂的相似三角形计算、证明类题目打好基础。
【难度系数】
0.9
本题属于基础概念识记类题目，解题核心是熟练掌握相似三角形的定义及对应判定定理内容。首先回忆相似三角形的定义涉及角和边两类要素的关系，再回忆本节课学习的相似三角形第一个判定定理的内容，直接对应空缺填入即可。
【解析】
根据相似三角形的定义可知：三角分别相等、三边成比例的两个三角形叫作相似三角形；
根据三角形相似的判定定理可知：两角分别相等的两个三角形相似。
因此三个空缺依次填入对应概念表述中的关键词即可。
【答案】
相等 成比例 相等
【知识点】
相似三角形的定义、相似三角形的判定
【点评】
本题是基础概念考查题，是学习相似三角形相关内容的入门核心知识点，要求学生准确记忆课本中的核心定义和判定定理，为后续复杂的相似三角形计算、证明类题目打好基础。
【难度系数】
0.9
1.下列说法正确的有(
①全等的两个三角形相似；
②有一个锐角相等的两个直角三角形相似；
③所有的等边三角形相似；
④有一个角相等的两个直角三角形相似。
A.4个
B.3个
C.2个
D.1个
B
)。①全等的两个三角形相似；
②有一个锐角相等的两个直角三角形相似；
③所有的等边三角形相似；
④有一个角相等的两个直角三角形相似。
A.4个
B.3个
C.2个
D.1个
答案
1.B
解析
【分析】解题时需结合相似三角形的判定条件，逐一验证4个说法的正误：首先回忆相似的核心判定：两角分别相等的两个三角形相似，且全等三角形是相似比为1的特殊相似三角形。分析①时结合全等三角形的性质判断是否满足相似的要求；分析②时利用直角三角形自带直角相等的特点，结合已知的锐角相等的条件判断；分析③时利用等边三角形内角均为60°的特点判断；分析④时注意要考虑“相等的角是直角”的特殊情况，避免疏漏。
【解析】我们逐个分析每个说法：
①全等的两个三角形对应角完全相等，对应边比值为1，符合相似三角形的定义，因此全等三角形一定相似，①正确；
②两个直角三角形本身已有一组直角相等，若再有一组锐角相等，就满足“两角分别相等的两个三角形相似”的判定条件，因此这两个直角三角形相似，②正确；
③所有等边三角形的内角均为60°，任意两个等边三角形的三组内角都对应相等，满足相似三角形的判定条件，因此所有等边三角形都相似，③正确；
④若两个直角三角形仅相等的角是直角，其余锐角不一定相等，比如一个直角三角形的锐角为30°、60°，另一个直角三角形的锐角为45°、45°，二者直角相等但不相似，因此④错误。
综上，正确的说法有①②③，共3个。
【答案】B
【知识点】相似三角形的判定；全等三角形的性质；等边三角形的性质
【点评】本题重点考查三角形相似的判定，解题时要注意条件的严谨性，第④个说法容易忽略“相等的角为直角”的特殊情况，是本题的易错点。
【难度系数】0.7
【解析】我们逐个分析每个说法：
①全等的两个三角形对应角完全相等，对应边比值为1，符合相似三角形的定义，因此全等三角形一定相似，①正确；
②两个直角三角形本身已有一组直角相等，若再有一组锐角相等，就满足“两角分别相等的两个三角形相似”的判定条件，因此这两个直角三角形相似，②正确；
③所有等边三角形的内角均为60°，任意两个等边三角形的三组内角都对应相等，满足相似三角形的判定条件，因此所有等边三角形都相似，③正确；
④若两个直角三角形仅相等的角是直角，其余锐角不一定相等，比如一个直角三角形的锐角为30°、60°，另一个直角三角形的锐角为45°、45°，二者直角相等但不相似，因此④错误。
综上，正确的说法有①②③，共3个。
【答案】B
【知识点】相似三角形的判定；全等三角形的性质；等边三角形的性质
【点评】本题重点考查三角形相似的判定，解题时要注意条件的严谨性，第④个说法容易忽略“相等的角为直角”的特殊情况，是本题的易错点。
【难度系数】0.7
2. 下列各组图形中有可能不相似的是(
A.各有一个角是 $45°$的两个等腰三角形
B.各有一个角是 $60°$的两个等腰三角形
C.各有一个角是 $105°$的两个等腰三角形
D.两个等腰直角三角形
A
)。A.各有一个角是 $45°$的两个等腰三角形
B.各有一个角是 $60°$的两个等腰三角形
C.各有一个角是 $105°$的两个等腰三角形
D.两个等腰直角三角形
答案
2.A
解析
【分析】
要判断两个三角形是否相似，核心依据是“两角分别相等的两个三角形相似”。由于题干涉及等腰三角形，需注意：等腰三角形中已知一个角时，若该角是锐角，需分它是顶角、底角两种情况计算其余内角；若该角是钝角，则它只能是顶角。我们逐个分析选项，判断每组三角形的内角是否一定对应相等，若存在内角不对应相等的可能，即为符合题意的选项。
【解析】
结合相似三角形的判定条件（两角分别相等的两个三角形相似），逐一分析选项：
A. 45°是锐角，存在两种情况：①若45°是等腰三角形的顶角，则两个底角均为$(180°-45°)÷2=67.5°$，三角形内角为$45°、67.5°、67.5°$；②若45°是等腰三角形的底角，则顶角为$180°-45°×2=90°$，三角形内角为$45°、45°、90°$。两种情况的三角形只有一组角相等，不满足相似的判定条件，因此存在不相似的可能。
B. 有一个角是$60°$的等腰三角形是等边三角形，等边三角形所有内角均为$60°$，任意两个等边三角形都有三组对应角相等，一定相似。
C. $105°$是钝角，在等腰三角形中只能作为顶角，因此两个三角形的底角均为$(180°-105°)÷2=37.5°$，内角均为$105°、37.5°、37.5°$，一定相似。
D. 等腰直角三角形的内角固定为$90°、45°、45°$，任意两个等腰直角三角形都有三组对应角相等，一定相似。
综上，答案选A。
【答案】
A
【知识点】
1. 相似三角形的判定
2. 等腰三角形的性质
3. 等边三角形的性质
【点评】
本题解题的关键是明确等腰三角形角度计算的分类讨论要求，当已知的等腰三角形内角是锐角时，要分别讨论它为顶角和底角的两种情况，再结合相似三角形的判定条件判断是否相似，避免因漏看情况出错。
【难度系数】
0.7
要判断两个三角形是否相似，核心依据是“两角分别相等的两个三角形相似”。由于题干涉及等腰三角形，需注意：等腰三角形中已知一个角时，若该角是锐角，需分它是顶角、底角两种情况计算其余内角；若该角是钝角，则它只能是顶角。我们逐个分析选项，判断每组三角形的内角是否一定对应相等，若存在内角不对应相等的可能，即为符合题意的选项。
【解析】
结合相似三角形的判定条件（两角分别相等的两个三角形相似），逐一分析选项：
A. 45°是锐角，存在两种情况：①若45°是等腰三角形的顶角，则两个底角均为$(180°-45°)÷2=67.5°$，三角形内角为$45°、67.5°、67.5°$；②若45°是等腰三角形的底角，则顶角为$180°-45°×2=90°$，三角形内角为$45°、45°、90°$。两种情况的三角形只有一组角相等，不满足相似的判定条件，因此存在不相似的可能。
B. 有一个角是$60°$的等腰三角形是等边三角形，等边三角形所有内角均为$60°$，任意两个等边三角形都有三组对应角相等，一定相似。
C. $105°$是钝角，在等腰三角形中只能作为顶角，因此两个三角形的底角均为$(180°-105°)÷2=37.5°$，内角均为$105°、37.5°、37.5°$，一定相似。
D. 等腰直角三角形的内角固定为$90°、45°、45°$，任意两个等腰直角三角形都有三组对应角相等，一定相似。
综上，答案选A。
【答案】
A
【知识点】
1. 相似三角形的判定
2. 等腰三角形的性质
3. 等边三角形的性质
【点评】
本题解题的关键是明确等腰三角形角度计算的分类讨论要求，当已知的等腰三角形内角是锐角时，要分别讨论它为顶角和底角的两种情况，再结合相似三角形的判定条件判断是否相似，避免因漏看情况出错。
【难度系数】
0.7
3. 在$△ ABC$和$△ A_1B_1C_1$中，$∠ A=54°$，$∠ B=46°$，$∠ A_1=54°$，$∠ C_1=80°$，则这两个三角形________（填“相似”或“不相似”），根据是________。
答案
3.相似 两角分别相等的两个三角形相似
解析
【分析】
要判断两个三角形是否相似，可结合已知的角的条件，优先考虑“两角分别相等的两个三角形相似”这一判定定理。首先利用三角形内角和为180°，算出△ABC中未知的∠C的度数，再对比两个三角形的内角，若存在两组对应角分别相等，即可判定两三角形相似。
【解析】
首先计算△ABC中∠C的度数：
根据三角形内角和为180°，可得
$∠ C = 180° - ∠ A - ∠ B = 180° - 54° - 46° = 80°$
对比两个三角形的内角：
$∠ A = ∠ A_1 = 54°$，$∠ C = ∠ C_1 = 80°$，即两个三角形有两组角分别相等。
根据相似三角形的判定定理：两角分别相等的两个三角形相似，可知△ABC和△A₁B₁C₁相似。
【答案】
相似 两角分别相等的两个三角形相似
【知识点】
三角形内角和定理、相似三角形的判定
【点评】
本题是基础类题目，解题的核心是熟练掌握三角形内角和定理和相似三角形的判定定理，通过计算未知角、对比角的相等关系即可快速得出结论。
【难度系数】
0.9
要判断两个三角形是否相似，可结合已知的角的条件，优先考虑“两角分别相等的两个三角形相似”这一判定定理。首先利用三角形内角和为180°，算出△ABC中未知的∠C的度数，再对比两个三角形的内角，若存在两组对应角分别相等，即可判定两三角形相似。
【解析】
首先计算△ABC中∠C的度数：
根据三角形内角和为180°，可得
$∠ C = 180° - ∠ A - ∠ B = 180° - 54° - 46° = 80°$
对比两个三角形的内角：
$∠ A = ∠ A_1 = 54°$，$∠ C = ∠ C_1 = 80°$，即两个三角形有两组角分别相等。
根据相似三角形的判定定理：两角分别相等的两个三角形相似，可知△ABC和△A₁B₁C₁相似。
【答案】
相似 两角分别相等的两个三角形相似
【知识点】
三角形内角和定理、相似三角形的判定
【点评】
本题是基础类题目，解题的核心是熟练掌握三角形内角和定理和相似三角形的判定定理，通过计算未知角、对比角的相等关系即可快速得出结论。
【难度系数】
0.9
4.如图,在△ABC中,DE//AB,CD:DA=2:3,DE=4,则AB的长为
10
。答案
4.10
解析
【分析】
解题时首先观察到DE//AB，根据平行线的性质可得两个三角形的对应角相等，从而判定△CDE与△CAB相似；接下来由已知CD:DA=2:3，可推导出CD与CA的比值；最后利用相似三角形对应边成比例的性质，代入DE的长度即可求出AB的长。
【解析】
解：
∵$DE// AB$，
∴$∠ CDE=∠ A$，$∠ CED=∠ B$（两直线平行，同位角相等），
∴$△ CDE ∽ △ CAB$（两角分别相等的两个三角形相似）。
∵$CD:DA=2:3$，
∴$\frac{CD}{CA}=\frac{CD}{CD+DA}=\frac{2}{2+3}=\frac{2}{5}$。
由相似三角形对应边成比例，可得$\frac{DE}{AB}=\frac{CD}{CA}$，
将$DE=4$代入得：$\frac{4}{AB}=\frac{2}{5}$，
解得：$AB=4×\frac{5}{2}=10$。
【答案】
10
【知识点】
相似三角形的判定；相似三角形的性质；比例计算
【点评】
本题是相似三角形应用的基础题型，核心是通过平行线得到相似三角形，再利用相似三角形对应边成比例求解未知线段，解题时需注意准确推导对应边的比例关系，避免混淆线段的比值。
【难度系数】
0.7
解题时首先观察到DE//AB，根据平行线的性质可得两个三角形的对应角相等，从而判定△CDE与△CAB相似；接下来由已知CD:DA=2:3，可推导出CD与CA的比值；最后利用相似三角形对应边成比例的性质，代入DE的长度即可求出AB的长。
【解析】
解：
∵$DE// AB$，
∴$∠ CDE=∠ A$，$∠ CED=∠ B$（两直线平行，同位角相等），
∴$△ CDE ∽ △ CAB$（两角分别相等的两个三角形相似）。
∵$CD:DA=2:3$，
∴$\frac{CD}{CA}=\frac{CD}{CD+DA}=\frac{2}{2+3}=\frac{2}{5}$。
由相似三角形对应边成比例，可得$\frac{DE}{AB}=\frac{CD}{CA}$，
将$DE=4$代入得：$\frac{4}{AB}=\frac{2}{5}$，
解得：$AB=4×\frac{5}{2}=10$。
【答案】
10
【知识点】
相似三角形的判定；相似三角形的性质；比例计算
【点评】
本题是相似三角形应用的基础题型，核心是通过平行线得到相似三角形，再利用相似三角形对应边成比例求解未知线段，解题时需注意准确推导对应边的比例关系，避免混淆线段的比值。
【难度系数】
0.7
5.如图,点 D,E 分别在$△ ABC$的边AB,AC上,且$∠ 1=∠ 2=∠ B$,则图中相似三角形有
4
对。答案
5.4
解析
【分析】
解题时首先回忆相似三角形的判定定理：两角分别相等的两个三角形相似。我们可以从已知的等角$∠ 1=∠ 2=∠ B$入手，结合公共角、平行线的内错角相等的性质，逐一排查所有可能的相似三角形组合，注意不要遗漏也不要重复计数。
【解析】
我们逐一推导相似三角形：
1. 对于$△ ADE$和$△ ABC$：$∠ A$是公共角，且$∠ 1=∠ B$，根据两角分别相等的两个三角形相似，可得$△ ADE ∽ △ ABC$；
2. 对于$△ ADE$和$△ ACD$：$∠ A$是公共角，且$∠ 1=∠ 2$，同理可得$△ ADE ∽ △ ACD$；
3. 由$△ ADE ∽ △ ABC$、$△ ADE ∽ △ ACD$，根据相似的传递性可得$△ ACD ∽ △ ABC$，也可直接证明：$∠ A$是公共角，$∠ 2=∠ B$，满足两角相等的相似判定；
4. 因为$∠ 1=∠ B$，同位角相等所以$DE // BC$，可得内错角$∠ EDC=∠ DCB$，又$∠ 2=∠ B$，因此$△ CDE$和$△ BCD$中$∠ 2=∠ B$，$∠ EDC=∠ DCB$，可得$△ CDE ∽ △ BCD$。
综上，共4对相似三角形。
【答案】
4
【知识点】
相似三角形的判定、平行线的性质
【点评】
本题考查相似三角形的判定，解题的关键是结合已知等角，通过找公共角、平行线得到的内错角来构造相似判定的条件，排查时要按顺序梳理，避免漏算相似对。
【难度系数】
0.6
解题时首先回忆相似三角形的判定定理：两角分别相等的两个三角形相似。我们可以从已知的等角$∠ 1=∠ 2=∠ B$入手，结合公共角、平行线的内错角相等的性质，逐一排查所有可能的相似三角形组合，注意不要遗漏也不要重复计数。
【解析】
我们逐一推导相似三角形：
1. 对于$△ ADE$和$△ ABC$：$∠ A$是公共角，且$∠ 1=∠ B$，根据两角分别相等的两个三角形相似，可得$△ ADE ∽ △ ABC$；
2. 对于$△ ADE$和$△ ACD$：$∠ A$是公共角，且$∠ 1=∠ 2$，同理可得$△ ADE ∽ △ ACD$；
3. 由$△ ADE ∽ △ ABC$、$△ ADE ∽ △ ACD$，根据相似的传递性可得$△ ACD ∽ △ ABC$，也可直接证明：$∠ A$是公共角，$∠ 2=∠ B$，满足两角相等的相似判定；
4. 因为$∠ 1=∠ B$，同位角相等所以$DE // BC$，可得内错角$∠ EDC=∠ DCB$，又$∠ 2=∠ B$，因此$△ CDE$和$△ BCD$中$∠ 2=∠ B$，$∠ EDC=∠ DCB$，可得$△ CDE ∽ △ BCD$。
综上，共4对相似三角形。
【答案】
4
【知识点】
相似三角形的判定、平行线的性质
【点评】
本题考查相似三角形的判定，解题的关键是结合已知等角，通过找公共角、平行线得到的内错角来构造相似判定的条件，排查时要按顺序梳理，避免漏算相似对。
【难度系数】
0.6
6.如图,在△ABC中,∠ADE=∠C,则下列等式成立的是(
A.$\frac{DE}{BC}=\frac{AD}{BD}$
B.$\frac{AE}{BC}=\frac{AD}{BD}$
C.$\frac{DE}{BC}=\frac{AE}{AB}$
D.$\frac{AD}{AB}=\frac{AE}{AC}$
C
)。A.$\frac{DE}{BC}=\frac{AD}{BD}$
B.$\frac{AE}{BC}=\frac{AD}{BD}$
C.$\frac{DE}{BC}=\frac{AE}{AB}$
D.$\frac{AD}{AB}=\frac{AE}{AC}$
答案
6.C
解析
【分析】
要判断比例式是否成立，可先通过已知角相等证明对应三角形相似。已知∠ADE=∠C，且△ADE和△ACB有公共角∠A，根据两角分别相等的两个三角形相似，可先证△ADE∽△ACB，再结合相似三角形对应边成比例的性质，逐一比对选项即可得到正确答案。
【解析】
在△ADE和△ACB中：
$\begin{cases}∠A=∠A \quad (\mathrm{公共角})\\∠ADE=∠C \quad (\mathrm{已知})\end{cases}$
∴$△ ADE ∽ △ ACB$（两角分别相等的两个三角形相似）
根据相似三角形对应边成比例，可得：
$\frac{AD}{AC}=\frac{AE}{AB}=\frac{DE}{BC}$
对各选项逐一判断：
A、$\frac{DE}{BC}=\frac{AD}{AC}≠\frac{AD}{BD}$，该选项错误；
B、$\frac{AE}{BC}$不是相似三角形的对应边比例，该选项错误；
C、$\frac{DE}{BC}=\frac{AE}{AB}$，符合所得比例关系，该选项正确；
D、$\frac{AD}{AB}=\frac{AE}{AC}$不符合相似三角形对应边比例，该选项错误。
【答案】
C
【知识点】
相似三角形的判定；相似三角形的性质
【点评】
本题是相似三角形的基础应用题，解题核心是准确找到相似三角形的对应角，明确对应边的比例关系，避免因对应边混淆导致出错。
【难度系数】
0.7
要判断比例式是否成立，可先通过已知角相等证明对应三角形相似。已知∠ADE=∠C，且△ADE和△ACB有公共角∠A，根据两角分别相等的两个三角形相似，可先证△ADE∽△ACB，再结合相似三角形对应边成比例的性质，逐一比对选项即可得到正确答案。
【解析】
在△ADE和△ACB中：
$\begin{cases}∠A=∠A \quad (\mathrm{公共角})\\∠ADE=∠C \quad (\mathrm{已知})\end{cases}$
∴$△ ADE ∽ △ ACB$（两角分别相等的两个三角形相似）
根据相似三角形对应边成比例，可得：
$\frac{AD}{AC}=\frac{AE}{AB}=\frac{DE}{BC}$
对各选项逐一判断：
A、$\frac{DE}{BC}=\frac{AD}{AC}≠\frac{AD}{BD}$，该选项错误；
B、$\frac{AE}{BC}$不是相似三角形的对应边比例，该选项错误；
C、$\frac{DE}{BC}=\frac{AE}{AB}$，符合所得比例关系，该选项正确；
D、$\frac{AD}{AB}=\frac{AE}{AC}$不符合相似三角形对应边比例，该选项错误。
【答案】
C
【知识点】
相似三角形的判定；相似三角形的性质
【点评】
本题是相似三角形的基础应用题，解题核心是准确找到相似三角形的对应角，明确对应边的比例关系，避免因对应边混淆导致出错。
【难度系数】
0.7
7.如图，在菱形$ABCD$中，$E$是边$BC$上的点，连接$AE$交$BD$于点$F$。若$EC=2BE$，则$\frac{BF}{FD}$的值是（
A.$\frac{1}{2}$
B.$\frac{1}{3}$
C.$\frac{1}{4}$
D.$\frac{1}{5}$
B
）。A.$\frac{1}{2}$
B.$\frac{1}{3}$
C.$\frac{1}{4}$
D.$\frac{1}{5}$
答案
7.B
解析
【分析】
首先回忆菱形的性质：菱形的对边平行且相等，因此可得AD//BC、AD=BC。结合已知EC=2BE，可先推出BE与BC的长度比，进而得到BE与AD的长度比。再根据AD//BC可得到两组相等的内错角，证明△BEF与△DAF相似，最后利用相似三角形对应边成比例即可求出$\frac{BF}{FD}$的值。
【解析】
解：
∵四边形ABCD是菱形，
∴AD//BC，且AD=BC。
∵EC=2BE，
∴BC=BE+EC=3BE，即$\frac{BE}{BC}=\frac{1}{3}$，
∴$\frac{BE}{AD}=\frac{BE}{BC}=\frac{1}{3}$。
∵AD//BC，
∴∠FBE=∠FDA，∠FEB=∠FAD，
∴△BEF∽△DAF（两角分别相等的两个三角形相似），
∴$\frac{BF}{FD}=\frac{BE}{AD}=\frac{1}{3}$。
【答案】
B
【知识点】
菱形的性质；相似三角形的判定；相似三角形的性质
【点评】
本题是几何基础计算题，解题的核心是利用菱形对边平行的性质构造相似三角形，再结合线段比例关系求解，是相似三角形应用的典型题型。
【难度系数】
0.75
首先回忆菱形的性质：菱形的对边平行且相等，因此可得AD//BC、AD=BC。结合已知EC=2BE，可先推出BE与BC的长度比，进而得到BE与AD的长度比。再根据AD//BC可得到两组相等的内错角，证明△BEF与△DAF相似，最后利用相似三角形对应边成比例即可求出$\frac{BF}{FD}$的值。
【解析】
解：
∵四边形ABCD是菱形，
∴AD//BC，且AD=BC。
∵EC=2BE，
∴BC=BE+EC=3BE，即$\frac{BE}{BC}=\frac{1}{3}$，
∴$\frac{BE}{AD}=\frac{BE}{BC}=\frac{1}{3}$。
∵AD//BC，
∴∠FBE=∠FDA，∠FEB=∠FAD，
∴△BEF∽△DAF（两角分别相等的两个三角形相似），
∴$\frac{BF}{FD}=\frac{BE}{AD}=\frac{1}{3}$。
【答案】
B
【知识点】
菱形的性质；相似三角形的判定；相似三角形的性质
【点评】
本题是几何基础计算题，解题的核心是利用菱形对边平行的性质构造相似三角形，再结合线段比例关系求解，是相似三角形应用的典型题型。
【难度系数】
0.75
8. 如图,在矩形ABCD中,点E,F分别在AD,CD上,且∠BEF=90°,则三角形Ⅰ,Ⅱ,Ⅲ,Ⅳ中一定相似的是(
A.Ⅰ和Ⅲ
B.Ⅲ和Ⅳ
C.Ⅰ和Ⅳ
D.Ⅱ和Ⅳ
(第8题) (第9题)
A
)。A.Ⅰ和Ⅲ
B.Ⅲ和Ⅳ
C.Ⅰ和Ⅳ
D.Ⅱ和Ⅳ
(第8题) (第9题)
答案
8.A
解析
【分析】
要判断哪两个三角形相似，首先结合矩形性质可得∠A和∠D均为直角，再利用∠BEF=90°推导角的等量关系：首先根据平角定义，∠AEB与∠DEF的和为90°，再根据直角三角形两锐角互余，△ABE中∠AEB与∠ABE的和也为90°，利用同角的余角相等可得∠ABE=∠DEF，即可根据两角对应相等的两个三角形相似判断对应三角形相似。
【解析】
∵四边形ABCD是矩形，
∴∠A=∠D=90°，
在Rt△ABE（三角形Ⅰ）中，∠ABE + ∠AEB = 90°，
∵∠BEF=90°，
∴∠AEB + ∠DEF = 180° - ∠BEF = 90°，
∴∠ABE = ∠DEF（同角的余角相等），
在△ABE和△DEF（三角形Ⅲ）中：
$\{\begin{array}{l}∠ A=∠ D=90° \\ ∠ ABE=∠ DEF\end{array} $
∴△ABE∽△DEF，即三角形Ⅰ和Ⅲ一定相似。
【答案】
A
【知识点】
矩形的性质；余角的性质；相似三角形的判定
【点评】
本题是相似三角形判定的基础题型，解题的核心是通过直角的性质推导得到两组相等的角，熟练掌握相似三角形的判定定理是解决此类题的关键。
【难度系数】
0.7
要判断哪两个三角形相似，首先结合矩形性质可得∠A和∠D均为直角，再利用∠BEF=90°推导角的等量关系：首先根据平角定义，∠AEB与∠DEF的和为90°，再根据直角三角形两锐角互余，△ABE中∠AEB与∠ABE的和也为90°，利用同角的余角相等可得∠ABE=∠DEF，即可根据两角对应相等的两个三角形相似判断对应三角形相似。
【解析】
∵四边形ABCD是矩形，
∴∠A=∠D=90°，
在Rt△ABE（三角形Ⅰ）中，∠ABE + ∠AEB = 90°，
∵∠BEF=90°，
∴∠AEB + ∠DEF = 180° - ∠BEF = 90°，
∴∠ABE = ∠DEF（同角的余角相等），
在△ABE和△DEF（三角形Ⅲ）中：
$\{\begin{array}{l}∠ A=∠ D=90° \\ ∠ ABE=∠ DEF\end{array} $
∴△ABE∽△DEF，即三角形Ⅰ和Ⅲ一定相似。
【答案】
A
【知识点】
矩形的性质；余角的性质；相似三角形的判定
【点评】
本题是相似三角形判定的基础题型，解题的核心是通过直角的性质推导得到两组相等的角，熟练掌握相似三角形的判定定理是解决此类题的关键。
【难度系数】
0.7
9.如图，在矩形ABCD中，AB=2，BC=1，
E是边DC上一点，∠DAE=∠BAC，则
EC的长为
E是边DC上一点，∠DAE=∠BAC，则
EC的长为
$\frac{3}{2}$
。答案
9.$\frac{3}{2}$
解析
【分析】
解题时首先从矩形的性质入手，矩形对边相等、四个角均为直角，可得AD=BC=1，CD=AB=2，∠D=∠B=90°；结合已知条件∠DAE=∠BAC，可发现△ADE和△ABC有两组角对应相等，符合相似三角形的判定条件，判定两三角形相似；再利用相似三角形对应边成比例求出DE的长度，最后用CD的长度减去DE的长度即可得到EC的长。
【解析】
∵四边形ABCD是矩形，
∴∠D=∠B=90°，AD=BC=1，DC=AB=2。
又
∵∠DAE=∠BAC，
∴△ADE∽△ABC（两角分别相等的两个三角形相似）。
根据相似三角形对应边成比例，得$\frac{AD}{AB}=\frac{DE}{BC}$，
代入数值：$\frac{1}{2}=\frac{DE}{1}$，解得$DE=\frac{1}{2}$。
∴$EC=DC-DE=2-\frac{1}{2}=\frac{3}{2}$。
【答案】
$\frac{3}{2}$
【知识点】
矩形的性质、相似三角形的判定、相似三角形的性质
【点评】
本题属于基础几何计算题，解题核心是结合角的等量关系找到相似三角形，通过相似三角形的比例关系求解未知线段，解题时要注意相似三角形的对应边不要混淆。
【难度系数】
0.7
解题时首先从矩形的性质入手，矩形对边相等、四个角均为直角，可得AD=BC=1，CD=AB=2，∠D=∠B=90°；结合已知条件∠DAE=∠BAC，可发现△ADE和△ABC有两组角对应相等，符合相似三角形的判定条件，判定两三角形相似；再利用相似三角形对应边成比例求出DE的长度，最后用CD的长度减去DE的长度即可得到EC的长。
【解析】
∵四边形ABCD是矩形，
∴∠D=∠B=90°，AD=BC=1，DC=AB=2。
又
∵∠DAE=∠BAC，
∴△ADE∽△ABC（两角分别相等的两个三角形相似）。
根据相似三角形对应边成比例，得$\frac{AD}{AB}=\frac{DE}{BC}$，
代入数值：$\frac{1}{2}=\frac{DE}{1}$，解得$DE=\frac{1}{2}$。
∴$EC=DC-DE=2-\frac{1}{2}=\frac{3}{2}$。
【答案】
$\frac{3}{2}$
【知识点】
矩形的性质、相似三角形的判定、相似三角形的性质
【点评】
本题属于基础几何计算题，解题核心是结合角的等量关系找到相似三角形，通过相似三角形的比例关系求解未知线段，解题时要注意相似三角形的对应边不要混淆。
【难度系数】
0.7
