登录
13.如图，点D,E分别在$△ ABC$的边AB，AC上，$\frac{AD}{AB}=\frac{AE}{AC}=\frac{DE}{BC}=\frac{2}{3}$，且$△ ABC$与$△ ADE$的周长之差为15 cm，求$△ ABC$与$△ ADE$的周长。
答案
13.$△ABC$的周长为 45 cm,$△ADE$ 的周长为30 cm。
解析
【分析】
解题时首先根据题目给出的三组对应边成比例，可判定△ADE与△ABC相似，且相似比为$\frac{2}{3}$；再根据相似三角形的周长比等于相似比，得到两个三角形的周长比为2:3；最后结合二者周长差为15cm的条件，设未知数列方程即可求出两个三角形的周长。
【解析】
解：
∵ $\frac{AD}{AB}=\frac{AE}{AC}=\frac{DE}{BC}=\frac{2}{3}$，
∴ △ADE∽△ABC，相似比为$\frac{2}{3}$，
根据相似三角形的性质：相似三角形的周长比等于相似比，
可得 $\frac{C_{△ADE}}{C_{△ABC}}=\frac{2}{3}$。
设$△ADE$的周长为$2x$ cm，则$△ABC$的周长为$3x$ cm，
由题意得：$3x - 2x = 15$，
解得$x=15$。
∴ $C_{△ADE}=2×15=30$（cm），
$C_{△ABC}=3×15=45$（cm）。
【答案】
△ABC的周长为45 cm，△ADE的周长为30 cm。
【知识点】
相似三角形判定，相似三角形性质，比例计算
【点评】
本题是相似三角形应用的基础题，解题的核心是先通过三边对应成比例判定三角形相似，再利用相似三角形周长比等于相似比的性质，结合周长差的条件建立方程求解，掌握相似三角形的相关性质即可顺利解答。
【难度系数】
0.8
解题时首先根据题目给出的三组对应边成比例，可判定△ADE与△ABC相似，且相似比为$\frac{2}{3}$；再根据相似三角形的周长比等于相似比，得到两个三角形的周长比为2:3；最后结合二者周长差为15cm的条件，设未知数列方程即可求出两个三角形的周长。
【解析】
解：
∵ $\frac{AD}{AB}=\frac{AE}{AC}=\frac{DE}{BC}=\frac{2}{3}$，
∴ △ADE∽△ABC，相似比为$\frac{2}{3}$，
根据相似三角形的性质：相似三角形的周长比等于相似比，
可得 $\frac{C_{△ADE}}{C_{△ABC}}=\frac{2}{3}$。
设$△ADE$的周长为$2x$ cm，则$△ABC$的周长为$3x$ cm，
由题意得：$3x - 2x = 15$，
解得$x=15$。
∴ $C_{△ADE}=2×15=30$（cm），
$C_{△ABC}=3×15=45$（cm）。
【答案】
△ABC的周长为45 cm，△ADE的周长为30 cm。
【知识点】
相似三角形判定，相似三角形性质，比例计算
【点评】
本题是相似三角形应用的基础题，解题的核心是先通过三边对应成比例判定三角形相似，再利用相似三角形周长比等于相似比的性质，结合周长差的条件建立方程求解，掌握相似三角形的相关性质即可顺利解答。
【难度系数】
0.8
14. 已知 $a, b, c$ 是 $△ ABC$ 的三边，$\frac{a+4}{3} = \frac{b+3}{2} = \frac{c+8}{4}$ 且 $a + b + c = 12$，试判断 $△ ABC$ 的形状。
答案
14.解:设$\frac{a+4}{3}=\frac{b+3}{2}=\frac{c+8}{4}=k$,则$a=3k-4$,
$b=2k-3,c=4k-8$。
将$a=3k-4,b=2k-3,c=4k-8$代入$a+b+c=12$,解得$k=3$。
$\therefore a=5,b=3,c=4$。
$\because 3^2+4^2=5^2,\therefore b^2+c^2=a^2$,
$\therefore △ABC$是直角三角形。
$b=2k-3,c=4k-8$。
将$a=3k-4,b=2k-3,c=4k-8$代入$a+b+c=12$,解得$k=3$。
$\therefore a=5,b=3,c=4$。
$\because 3^2+4^2=5^2,\therefore b^2+c^2=a^2$,
$\therefore △ABC$是直角三角形。
解析
【分析】
遇到连比形式的等式，通常采用设参数k的方法，将三边用含k的代数式表示，再代入已知的三边和的条件求出参数k的值，即可得到三角形三边的具体长度，最后利用勾股定理的逆定理验证三边的数量关系，就能判断三角形的形状。
【解析】
解：设$\frac{a+4}{3} = \frac{b+3}{2} = \frac{c+8}{4}=k$，则：
$a=3k-4$，$b=2k-3$，$c=4k-8$。
将上述三式代入$a+b+c=12$，得：
$(3k-4)+(2k-3)+(4k-8)=12$
整理得：$9k-15=12$
解得：$k=3$
$\therefore a=3×3-4=5$，$b=2×3-3=3$，$c=4×3-8=4$
$\because 3^2+4^2=9+16=25=5^2$，即$b^2+c^2=a^2$
根据勾股定理的逆定理可知，$△ ABC$是直角三角形。
【答案】
$△ ABC$是直角三角形。
【知识点】
比例的性质、勾股定理的逆定理、一元一次方程求解
【点评】
本题是三角形形状判定的常见题型，解题的核心是通过设参数法将连比式转化为代数式表示各边长，再结合勾股定理的逆定理完成判定，整体逻辑清晰，侧重对基础解题方法的考查。
【难度系数】
0.7
遇到连比形式的等式，通常采用设参数k的方法，将三边用含k的代数式表示，再代入已知的三边和的条件求出参数k的值，即可得到三角形三边的具体长度，最后利用勾股定理的逆定理验证三边的数量关系，就能判断三角形的形状。
【解析】
解：设$\frac{a+4}{3} = \frac{b+3}{2} = \frac{c+8}{4}=k$，则：
$a=3k-4$，$b=2k-3$，$c=4k-8$。
将上述三式代入$a+b+c=12$，得：
$(3k-4)+(2k-3)+(4k-8)=12$
整理得：$9k-15=12$
解得：$k=3$
$\therefore a=3×3-4=5$，$b=2×3-3=3$，$c=4×3-8=4$
$\because 3^2+4^2=9+16=25=5^2$，即$b^2+c^2=a^2$
根据勾股定理的逆定理可知，$△ ABC$是直角三角形。
【答案】
$△ ABC$是直角三角形。
【知识点】
比例的性质、勾股定理的逆定理、一元一次方程求解
【点评】
本题是三角形形状判定的常见题型，解题的核心是通过设参数法将连比式转化为代数式表示各边长，再结合勾股定理的逆定理完成判定，整体逻辑清晰，侧重对基础解题方法的考查。
【难度系数】
0.7
15.阅读下面的解题过程，然后解题。
题目:已知$\frac{x}{a-b}=\frac{y}{b-c}=\frac{z}{c-a}(a,b,c$互不相等),求x+y+z的值。解:设$\frac{x}{a-b}=\frac{y}{b-c}=\frac{z}{c-a}=k,$则$x=k(a-b),y=k(b-c),z=k(c-a),\therefore x+y+z=k(a-b+b-c+c-a)=k·0=0$。依照上述方法解答下面的问题:已知$\frac{y+z}{x}=\frac{z+x}{y}=\frac{x+y}{z}(x+y+z≠0),$求$\frac{x-y-z}{x+y+z}$的值。
题目:已知$\frac{x}{a-b}=\frac{y}{b-c}=\frac{z}{c-a}(a,b,c$互不相等),求x+y+z的值。解:设$\frac{x}{a-b}=\frac{y}{b-c}=\frac{z}{c-a}=k,$则$x=k(a-b),y=k(b-c),z=k(c-a),\therefore x+y+z=k(a-b+b-c+c-a)=k·0=0$。依照上述方法解答下面的问题:已知$\frac{y+z}{x}=\frac{z+x}{y}=\frac{x+y}{z}(x+y+z≠0),$求$\frac{x-y-z}{x+y+z}$的值。
答案
15.解:设$\frac{y+z}{x}=\frac{z+x}{y}=\frac{x+y}{z}=k$,
则$y+z=kx,z+x=ky,x+y=kz$,
$\therefore 2(x+y+z)=k(x+y+z)$,
解得$k=2$。
$\therefore y+z=2x,z+x=2y,x+y=2z$。
解得$x=y=z$。
则$\frac{x-y-z}{x+y+z}=-\frac{1}{3}$。
则$y+z=kx,z+x=ky,x+y=kz$,
$\therefore 2(x+y+z)=k(x+y+z)$,
解得$k=2$。
$\therefore y+z=2x,z+x=2y,x+y=2z$。
解得$x=y=z$。
则$\frac{x-y-z}{x+y+z}=-\frac{1}{3}$。
解析
【分析】
本题是材料类比类的比例计算问题，解题思路可参考题干给出的方法：首先遇到连等的比例式时，先设公共比值为参数k，将比例式转化为整式等式；再把得到的三个整式等式左右分别相加，结合已知条件x+y+z≠0求出参数k的值；随后根据k的值推导x、y、z的数量关系；最后将三者的关系代入待求分式化简即可得到结果。
【解析】
设$\frac{y+z}{x}=\frac{z+x}{y}=\frac{x+y}{z}=k$，
根据比例的性质可得：$y+z=kx$，$z+x=ky$，$x+y=kz$，
将三个等式左右两边分别相加，得：
$(y+z)+(z+x)+(x+y)=kx+ky+kz$，
整理得$2(x+y+z)=k(x+y+z)$，
∵$x+y+z≠0$，
∴等式两边同时除以$(x+y+z)$，解得$k=2$，
∴$y+z=2x$，$z+x=2y$，$x+y=2z$，
由前两个式子相减得：$y-x=2(x-y)$，整理得$3(y-x)=0$，即$x=y$，同理可得$x=z$，故$x=y=z$，
将$x=y=z$代入$\frac{x-y-z}{x+y+z}$得：
$\frac{x-x-x}{x+x+x}=\frac{-x}{3x}=-\frac{1}{3}$。
【答案】
$-\frac{1}{3}$
【知识点】
比例的性质；参数法解题；分式化简求值
【点评】
本题属于方法迁移类题型，解题关键是掌握设公共参数k将比例问题转化为整式运算，解题时要注意题干给出的$x+y+z≠0$的限制条件，考查学生的阅读理解能力和知识迁移应用能力。
【难度系数】
0.7
本题是材料类比类的比例计算问题，解题思路可参考题干给出的方法：首先遇到连等的比例式时，先设公共比值为参数k，将比例式转化为整式等式；再把得到的三个整式等式左右分别相加，结合已知条件x+y+z≠0求出参数k的值；随后根据k的值推导x、y、z的数量关系；最后将三者的关系代入待求分式化简即可得到结果。
【解析】
设$\frac{y+z}{x}=\frac{z+x}{y}=\frac{x+y}{z}=k$，
根据比例的性质可得：$y+z=kx$，$z+x=ky$，$x+y=kz$，
将三个等式左右两边分别相加，得：
$(y+z)+(z+x)+(x+y)=kx+ky+kz$，
整理得$2(x+y+z)=k(x+y+z)$，
∵$x+y+z≠0$，
∴等式两边同时除以$(x+y+z)$，解得$k=2$，
∴$y+z=2x$，$z+x=2y$，$x+y=2z$，
由前两个式子相减得：$y-x=2(x-y)$，整理得$3(y-x)=0$，即$x=y$，同理可得$x=z$，故$x=y=z$，
将$x=y=z$代入$\frac{x-y-z}{x+y+z}$得：
$\frac{x-x-x}{x+x+x}=\frac{-x}{3x}=-\frac{1}{3}$。
【答案】
$-\frac{1}{3}$
【知识点】
比例的性质；参数法解题；分式化简求值
【点评】
本题属于方法迁移类题型，解题关键是掌握设公共参数k将比例问题转化为整式运算，解题时要注意题干给出的$x+y+z≠0$的限制条件，考查学生的阅读理解能力和知识迁移应用能力。
【难度系数】
0.7
16.(2025·徐汇区一模)已知$\frac{a}{2}=\frac{b}{3}=\frac{c}{5}$。
(1)求代数式$\frac{2a+3b-5c}{a-2b+3c}$的值；
(2)当$2a+b+3c=44$时，求$a,b,c$的值。
(1)求代数式$\frac{2a+3b-5c}{a-2b+3c}$的值；
(2)当$2a+b+3c=44$时，求$a,b,c$的值。
答案
16.解:(1)设$\frac{a}{2}=\frac{b}{3}=\frac{c}{5}=k$,则$a=2k,b=3k$,
$c=5k$。
原式$=\frac{4k+9k-25k}{2k-6k+15k}=\frac{-12k}{11k}=-\frac{12}{11}$。
(2)把$a=2k,b=3k,c=5k$代入$2a+b+3c=44$得$4k+3k+15k=44$,
解得$k=2$,
$\therefore a=4,b=6,c=10$。
$c=5k$。
原式$=\frac{4k+9k-25k}{2k-6k+15k}=\frac{-12k}{11k}=-\frac{12}{11}$。
(2)把$a=2k,b=3k,c=5k$代入$2a+b+3c=44$得$4k+3k+15k=44$,
解得$k=2$,
$\therefore a=4,b=6,c=10$。
解析
【分析】
遇到连等的比例式，常用“设k法”求解，将a、b、c都用含参数k的代数式表示，既可以代入所求分式化简求值，也可以代入已知等式求出参数k的值，进而求出a、b、c的具体数值，解题时注意参数k不为0，避免出现分母为0的情况。
【解析】
(1) 设$\frac{a}{2}=\frac{b}{3}=\frac{c}{5}=k$（$k≠0$），根据比例的性质可得：$a=2k$，$b=3k$，$c=5k$。
将$a=2k$、$b=3k$、$c=5k$代入所求代数式：
$\begin{aligned}\frac{2a+3b-5c}{a-2b+3c}&=\frac{2×2k + 3×3k - 5×5k}{2k - 2×3k + 3×5k}\\&=\frac{4k + 9k - 25k}{2k - 6k + 15k}\\&=\frac{-12k}{11k}\\&=-\frac{12}{11}\end{aligned}$
(2) 将$a=2k$、$b=3k$、$c=5k$代入$2a+b+3c=44$得：
$2×2k + 3k + 3×5k = 44$
整理得：$4k+3k+15k=44$，即$22k=44$
解得$k=2$
因此$a=2×2=4$，$b=3×2=6$，$c=5×2=10$。
【答案】
(1) $\boldsymbol{-\frac{12}{11}}$；(2) $\boldsymbol{a=4,b=6,c=10}$
【知识点】
比例的性质，代数式求值，解一元一次方程
【点评】
本题是比例相关的基础题型，核心解题方法为设参数法，可将多个未知量统一为同一个参数的表达式，大幅简化计算过程，该方法在比例、相似几何等问题中应用广泛，需要熟练掌握。
【难度系数】
0.8
遇到连等的比例式，常用“设k法”求解，将a、b、c都用含参数k的代数式表示，既可以代入所求分式化简求值，也可以代入已知等式求出参数k的值，进而求出a、b、c的具体数值，解题时注意参数k不为0，避免出现分母为0的情况。
【解析】
(1) 设$\frac{a}{2}=\frac{b}{3}=\frac{c}{5}=k$（$k≠0$），根据比例的性质可得：$a=2k$，$b=3k$，$c=5k$。
将$a=2k$、$b=3k$、$c=5k$代入所求代数式：
$\begin{aligned}\frac{2a+3b-5c}{a-2b+3c}&=\frac{2×2k + 3×3k - 5×5k}{2k - 2×3k + 3×5k}\\&=\frac{4k + 9k - 25k}{2k - 6k + 15k}\\&=\frac{-12k}{11k}\\&=-\frac{12}{11}\end{aligned}$
(2) 将$a=2k$、$b=3k$、$c=5k$代入$2a+b+3c=44$得：
$2×2k + 3k + 3×5k = 44$
整理得：$4k+3k+15k=44$，即$22k=44$
解得$k=2$
因此$a=2×2=4$，$b=3×2=6$，$c=5×2=10$。
【答案】
(1) $\boldsymbol{-\frac{12}{11}}$；(2) $\boldsymbol{a=4,b=6,c=10}$
【知识点】
比例的性质，代数式求值，解一元一次方程
【点评】
本题是比例相关的基础题型，核心解题方法为设参数法，可将多个未知量统一为同一个参数的表达式，大幅简化计算过程，该方法在比例、相似几何等问题中应用广泛，需要熟练掌握。
【难度系数】
0.8
