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2 相似多边形(第2课时)
课堂精要·梳理内容
合比性质:如果$\frac{a}{b}=\frac{c}{d}$,那么________。
等比性质:如果$\frac{a}{b}=\frac{c}{d}=\dots=\frac{m}{n}(b+d+\dots+n≠0)$,那么________。
课堂精要·梳理内容
合比性质:如果$\frac{a}{b}=\frac{c}{d}$,那么________。
等比性质:如果$\frac{a}{b}=\frac{c}{d}=\dots=\frac{m}{n}(b+d+\dots+n≠0)$,那么________。
答案
合比性质：$\frac{a\pm b}{b}=\frac{c\pm d}{d}$
等比性质：$\frac{a+c+\dots+m}{b+d+\dots+n}=\frac{a}{b}$
等比性质：$\frac{a+c+\dots+m}{b+d+\dots+n}=\frac{a}{b}$
解析
【分析】
本题考查比例的合比性质与等比性质的推导及内容。推导合比性质时，可利用等式的基本性质，在已知比例式两边同时加或减1，再通分整理即可得到结论；推导等比性质时，常用设k法，将所有分子用对应分母与比值k的乘积表示，再对分子求和提取公因式k，结合分母和不为0的前提，两边同时除以分母的和就能得到结论。
【解析】
1. 推导合比性质：
已知$\frac{a}{b}=\frac{c}{d}$，根据等式的基本性质，等式两边同时加1可得：
$\frac{a}{b}+1=\frac{c}{d}+1$，通分后得$\frac{a+b}{b}=\frac{c+d}{d}$；
等式两边同时减1可得：
$\frac{a}{b}-1=\frac{c}{d}-1$，通分后得$\frac{a-b}{b}=\frac{c-d}{d}$；
综上可得合比性质：$\frac{a\pm b}{b}=\frac{c\pm d}{d}$。
2. 推导等比性质：
已知$\frac{a}{b}=\frac{c}{d}=\dots=\frac{m}{n}(b+d+\dots+n≠0)$，设该比值为$k$，即$\frac{a}{b}=\frac{c}{d}=\dots=\frac{m}{n}=k$，则$a=bk$，$c=dk$，……，$m=nk$。
将所有分子求和得：$a+c+\dots+m=bk+dk+\dots+nk=k(b+d+\dots+n)$，
因为$b+d+\dots+n≠0$，等式两边同时除以$b+d+\dots+n$得：
$\frac{a+c+\dots+m}{b+d+\dots+n}=k=\frac{a}{b}$，即得等比性质。
【答案】
合比性质：$\frac{a\pm b}{b}=\frac{c\pm d}{d}$
等比性质：$\frac{a+c+\dots+m}{b+d+\dots+n}=\frac{a}{b}$
【知识点】
合比性质；等比性质；比例式变形
【点评】
本题属于基础概念类题目，重点考查对比例核心性质的理解与识记，掌握性质的推导逻辑比机械记忆更高效，相关性质是后续学习相似图形计算与证明的重要基础。
【难度系数】
0.85
本题考查比例的合比性质与等比性质的推导及内容。推导合比性质时，可利用等式的基本性质，在已知比例式两边同时加或减1，再通分整理即可得到结论；推导等比性质时，常用设k法，将所有分子用对应分母与比值k的乘积表示，再对分子求和提取公因式k，结合分母和不为0的前提，两边同时除以分母的和就能得到结论。
【解析】
1. 推导合比性质：
已知$\frac{a}{b}=\frac{c}{d}$，根据等式的基本性质，等式两边同时加1可得：
$\frac{a}{b}+1=\frac{c}{d}+1$，通分后得$\frac{a+b}{b}=\frac{c+d}{d}$；
等式两边同时减1可得：
$\frac{a}{b}-1=\frac{c}{d}-1$，通分后得$\frac{a-b}{b}=\frac{c-d}{d}$；
综上可得合比性质：$\frac{a\pm b}{b}=\frac{c\pm d}{d}$。
2. 推导等比性质：
已知$\frac{a}{b}=\frac{c}{d}=\dots=\frac{m}{n}(b+d+\dots+n≠0)$，设该比值为$k$，即$\frac{a}{b}=\frac{c}{d}=\dots=\frac{m}{n}=k$，则$a=bk$，$c=dk$，……，$m=nk$。
将所有分子求和得：$a+c+\dots+m=bk+dk+\dots+nk=k(b+d+\dots+n)$，
因为$b+d+\dots+n≠0$，等式两边同时除以$b+d+\dots+n$得：
$\frac{a+c+\dots+m}{b+d+\dots+n}=k=\frac{a}{b}$，即得等比性质。
【答案】
合比性质：$\frac{a\pm b}{b}=\frac{c\pm d}{d}$
等比性质：$\frac{a+c+\dots+m}{b+d+\dots+n}=\frac{a}{b}$
【知识点】
合比性质；等比性质；比例式变形
【点评】
本题属于基础概念类题目，重点考查对比例核心性质的理解与识记，掌握性质的推导逻辑比机械记忆更高效，相关性质是后续学习相似图形计算与证明的重要基础。
【难度系数】
0.85
1.若$\frac{a}{b}=\frac{c}{d}=\frac{e}{f}=4$，且$a+c+e=8$，则$b+d+f$等于（
A.4
B.8
C.32
D.2
D
）。A.4
B.8
C.32
D.2
答案
1.D
解析
【分析】
遇到连比相等的题型，可通过两种思路求解：一是利用比例的基本性质，将每个分子用对应分母乘比值的形式表示，再代入分子和的等式计算分母和；二是直接运用等比性质，在分母和不为0的前提下，分子总和与分母总和的比值等于原比值，直接列式求解。
【解析】
解法1：根据比例的基本性质
∵$\frac{a}{b}=\frac{c}{d}=\frac{e}{f}=4$
∴$a=4b$，$c=4d$，$e=4f$
将上述关系代入$a+c+e=8$，可得：
$4b+4d+4f=8$
提取公因式得$4(b+d+f)=8$
等式两边同时除以4，解得$b+d+f=2$
解法2：根据等比性质
当$b+d+f≠0$时，$\frac{a+c+e}{b+d+f}=\frac{a}{b}=4$
把$a+c+e=8$代入得：$\frac{8}{b+d+f}=4$
解得$b+d+f=8÷4=2$
【答案】
D
【知识点】
比例的基本性质、等比性质
【点评】
本题属于比例性质的基础应用题，熟练掌握设参数法或等比性质即可快速得出结果，解题时注意分母不为0的隐含前提。
【难度系数】
0.8
遇到连比相等的题型，可通过两种思路求解：一是利用比例的基本性质，将每个分子用对应分母乘比值的形式表示，再代入分子和的等式计算分母和；二是直接运用等比性质，在分母和不为0的前提下，分子总和与分母总和的比值等于原比值，直接列式求解。
【解析】
解法1：根据比例的基本性质
∵$\frac{a}{b}=\frac{c}{d}=\frac{e}{f}=4$
∴$a=4b$，$c=4d$，$e=4f$
将上述关系代入$a+c+e=8$，可得：
$4b+4d+4f=8$
提取公因式得$4(b+d+f)=8$
等式两边同时除以4，解得$b+d+f=2$
解法2：根据等比性质
当$b+d+f≠0$时，$\frac{a+c+e}{b+d+f}=\frac{a}{b}=4$
把$a+c+e=8$代入得：$\frac{8}{b+d+f}=4$
解得$b+d+f=8÷4=2$
【答案】
D
【知识点】
比例的基本性质、等比性质
【点评】
本题属于比例性质的基础应用题，熟练掌握设参数法或等比性质即可快速得出结果，解题时注意分母不为0的隐含前提。
【难度系数】
0.8
2.若$\frac{x-2y}{y}=\frac{2}{3}$，则$\frac{x}{y}=$
$\frac{8}{3}$
。答案
2.$\frac{8}{3}$
解析
【分析】
本题要求$\frac{x}{y}$的比值，观察已知等式是含x、y的比例式，解题思路如下：首先利用比例的基本性质对已知等式去分母，再通过移项、合并同类项整理得到x与y的数量关系，最后在y≠0的前提下，等式两边同时除以y即可求出目标比值，无需单独求解x、y的具体值。
【解析】
已知$\frac{x-2y}{y}=\frac{2}{3}$，根据比例的基本性质“两内项之积等于两外项之积”，可得：
$3(x-2y)=2y$
展开左边：
$3x - 6y = 2y$
移项合并同类项：
$3x = 8y$
由原式分母为y可知$y≠0$，等式两边同时除以$3y$，得：
$\frac{x}{y}=\frac{8}{3}$
【答案】
$\frac{8}{3}$
【知识点】
比例的基本性质；代数式变形求值
【点评】
本题是比例运算的基础题型，核心考察比例性质的灵活运用，解题时通过整体变形直接得到两个变量的比值，避免了不必要的单独求值，掌握基础比例运算规则即可快速解答。
【难度系数】
0.9
本题要求$\frac{x}{y}$的比值，观察已知等式是含x、y的比例式，解题思路如下：首先利用比例的基本性质对已知等式去分母，再通过移项、合并同类项整理得到x与y的数量关系，最后在y≠0的前提下，等式两边同时除以y即可求出目标比值，无需单独求解x、y的具体值。
【解析】
已知$\frac{x-2y}{y}=\frac{2}{3}$，根据比例的基本性质“两内项之积等于两外项之积”，可得：
$3(x-2y)=2y$
展开左边：
$3x - 6y = 2y$
移项合并同类项：
$3x = 8y$
由原式分母为y可知$y≠0$，等式两边同时除以$3y$，得：
$\frac{x}{y}=\frac{8}{3}$
【答案】
$\frac{8}{3}$
【知识点】
比例的基本性质；代数式变形求值
【点评】
本题是比例运算的基础题型，核心考察比例性质的灵活运用，解题时通过整体变形直接得到两个变量的比值，避免了不必要的单独求值，掌握基础比例运算规则即可快速解答。
【难度系数】
0.9
3.若$\frac{a}{b}=\frac{c}{d}=\frac{e}{f}=\frac{3}{4}(b+d+f≠0)$，则$\frac{a+c+e}{b+d+f}=$
$\frac{3}{4}$
。答案
3.$\frac{3}{4}$
解析
【分析】
遇到多个比值相等的比例式求值问题时，首先考虑比例的等比性质。本题明确给出$b+d+f≠0$，满足等比性质的适用条件，因此直接利用等比性质，即可求出分子之和与分母之和的比值。
【解析】
解：$\because \frac{a}{b}=\frac{c}{d}=\frac{e}{f}=\frac{3}{4}$，且$b+d+f≠ 0$，
根据等比性质：若几个相等的比的所有分母的和不为0，则分子的和与分母的和的比等于原来的比值，
$\therefore \frac{a+c+e}{b+d+f}=\frac{3}{4}$。
【答案】
$\frac{3}{4}$
【知识点】
等比性质
【点评】
本题属于基础题，主要考查等比性质的应用，牢记等比性质的适用条件是解题的关键，计算量小，容易得分。
【难度系数】
0.85
遇到多个比值相等的比例式求值问题时，首先考虑比例的等比性质。本题明确给出$b+d+f≠0$，满足等比性质的适用条件，因此直接利用等比性质，即可求出分子之和与分母之和的比值。
【解析】
解：$\because \frac{a}{b}=\frac{c}{d}=\frac{e}{f}=\frac{3}{4}$，且$b+d+f≠ 0$，
根据等比性质：若几个相等的比的所有分母的和不为0，则分子的和与分母的和的比等于原来的比值，
$\therefore \frac{a+c+e}{b+d+f}=\frac{3}{4}$。
【答案】
$\frac{3}{4}$
【知识点】
等比性质
【点评】
本题属于基础题，主要考查等比性质的应用，牢记等比性质的适用条件是解题的关键，计算量小，容易得分。
【难度系数】
0.85
4.已知$x:y:z=3:4:5$，且$x+y+z=12$，那么$x=$
3
，$y=$4
，$z=$5
。答案
4.3 4 5
解析
【分析】
遇到连比形式的已知条件，通常采用设比例系数的方法求解：先根据x、y、z的比值，将三个未知数用同一个参数表示，再代入三个数的和的等式中，得到关于参数的一元一次方程，解出参数后即可分别求出x、y、z的值。
【解析】
解：
∵ $x:y:z=3:4:5$
∴ 可设 $x=3k$，$y=4k$，$z=5k$（$k≠0$）
将上述表达式代入 $x+y+z=12$，得：
$3k + 4k + 5k = 12$
合并同类项，得 $12k=12$
解得 $k=1$
∴ $x=3k=3×1=3$，$y=4k=4×1=4$，$z=5k=5×1=5$
【答案】
3；4；5
【知识点】
连比的应用；一元一次方程的解法；比例系数法
【点评】
本题是比例相关的基础题型，解题关键是掌握连比问题设参数的转化思路，能快速将多未知数问题简化为一元方程求解，计算难度较低。
【难度系数】
0.9
遇到连比形式的已知条件，通常采用设比例系数的方法求解：先根据x、y、z的比值，将三个未知数用同一个参数表示，再代入三个数的和的等式中，得到关于参数的一元一次方程，解出参数后即可分别求出x、y、z的值。
【解析】
解：
∵ $x:y:z=3:4:5$
∴ 可设 $x=3k$，$y=4k$，$z=5k$（$k≠0$）
将上述表达式代入 $x+y+z=12$，得：
$3k + 4k + 5k = 12$
合并同类项，得 $12k=12$
解得 $k=1$
∴ $x=3k=3×1=3$，$y=4k=4×1=4$，$z=5k=5×1=5$
【答案】
3；4；5
【知识点】
连比的应用；一元一次方程的解法；比例系数法
【点评】
本题是比例相关的基础题型，解题关键是掌握连比问题设参数的转化思路，能快速将多未知数问题简化为一元方程求解，计算难度较低。
【难度系数】
0.9
5.已知$\frac{a}{3}=\frac{b}{2}≠0$，且$a+3b=5$，则$a$的值为
$\frac{5}{3}$
。答案
5.$\frac{5}{3}$
解析
【分析】
本题给出比例式和二元一次方程求a的值，解题思路如下：首先利用比例的基本性质对比例式$\frac{a}{3}=\frac{b}{2}$变形，得到a和b的数量关系，再将该关系代入方程$a+3b=5$中，把二元方程转化为只含a的一元一次方程，即可求解a的值，也可采用设比例系数k的方法求解，此处直接替换3b的方法更简便。
【解析】
解：由$\frac{a}{3}=\frac{b}{2}≠0$，根据比例的基本性质（两内项之积等于两外项之积），交叉相乘可得：
$2a=3b$
将$3b=2a$代入$a+3b=5$，得：
$a+2a=5$
合并同类项得：
$3a=5$
系数化为1得：
$a=\frac{5}{3}$
【答案】
$\frac{5}{3}$
【知识点】
比例基本性质；代入消元法
【点评】
本题属于基础题型，核心考查比例性质的应用，解题关键是通过比例式得到两个未知数的等量关系，代入方程消元后即可求解，计算量小，容易掌握。
【难度系数】
0.8
本题给出比例式和二元一次方程求a的值，解题思路如下：首先利用比例的基本性质对比例式$\frac{a}{3}=\frac{b}{2}$变形，得到a和b的数量关系，再将该关系代入方程$a+3b=5$中，把二元方程转化为只含a的一元一次方程，即可求解a的值，也可采用设比例系数k的方法求解，此处直接替换3b的方法更简便。
【解析】
解：由$\frac{a}{3}=\frac{b}{2}≠0$，根据比例的基本性质（两内项之积等于两外项之积），交叉相乘可得：
$2a=3b$
将$3b=2a$代入$a+3b=5$，得：
$a+2a=5$
合并同类项得：
$3a=5$
系数化为1得：
$a=\frac{5}{3}$
【答案】
$\frac{5}{3}$
【知识点】
比例基本性质；代入消元法
【点评】
本题属于基础题型，核心考查比例性质的应用，解题关键是通过比例式得到两个未知数的等量关系，代入方程消元后即可求解，计算量小，容易掌握。
【难度系数】
0.8
6.已知$\frac{x}{2}=\frac{y}{3}=\frac{z}{5}$，且$3x - 2y + 4z = 60$，则x的值为
6
。答案
6.6
解析
【分析】
遇到多个变量成连比的等式时，通常采用设参数法求解，即设三个比值等于同一个常数k，这样就可以将x、y、z都用含k的代数式表示，再代入已知的方程，得到关于k的一元一次方程，解出k后即可求出x的值。
【解析】
设$\frac{x}{2}=\frac{y}{3}=\frac{z}{5}=k$（$k≠0$），则可得$x=2k$，$y=3k$，$z=5k$。
将$x=2k$，$y=3k$，$z=5k$代入$3x - 2y + 4z = 60$，得：
$3×2k - 2×3k + 4×5k = 60$
化简计算：
$6k - 6k + 20k = 60$
$20k = 60$
解得$k=3$
因此$x=2k=2×3=6$
【答案】
6
【知识点】
比例的性质，一元一次方程的解法
【点评】
本题是比例相关的基础题型，解题关键是掌握设参数法将连比等式转化为含同一参数的代数式，代入方程后即可快速求解，是比例运算中常用的技巧，需熟练掌握。
【难度系数】
0.8
遇到多个变量成连比的等式时，通常采用设参数法求解，即设三个比值等于同一个常数k，这样就可以将x、y、z都用含k的代数式表示，再代入已知的方程，得到关于k的一元一次方程，解出k后即可求出x的值。
【解析】
设$\frac{x}{2}=\frac{y}{3}=\frac{z}{5}=k$（$k≠0$），则可得$x=2k$，$y=3k$，$z=5k$。
将$x=2k$，$y=3k$，$z=5k$代入$3x - 2y + 4z = 60$，得：
$3×2k - 2×3k + 4×5k = 60$
化简计算：
$6k - 6k + 20k = 60$
$20k = 60$
解得$k=3$
因此$x=2k=2×3=6$
【答案】
6
【知识点】
比例的性质，一元一次方程的解法
【点评】
本题是比例相关的基础题型，解题关键是掌握设参数法将连比等式转化为含同一参数的代数式，代入方程后即可快速求解，是比例运算中常用的技巧，需熟练掌握。
【难度系数】
0.8
7.若$x:y=2:3$，$y:z=2:3$，则代数式$\frac{x+y}{z}$的值是
$\frac{10}{9}$
。答案
7.$\frac{10}{9}$
解析
【分析】
解题时首先观察到给出的两个比例中都含有公共量y，因此解题思路为：第一步先统一两个比例中y的份数，得到x、y、z三者的连比；第二步可以设参数分别表示x、y、z，代入所求代数式进行化简计算即可得到结果。
【解析】
解：已知$x:y=2:3$，$y:z=2:3$，
先统一y的份数：3和2的最小公倍数为6，
将$x:y=2:3$的前后项同时乘2，得$x:y=4:6$；
将$y:z=2:3$的前后项同时乘3，得$y:z=6:9$；
因此可得$x:y:z=4:6:9$。
设$x=4k$，$y=6k$，$z=9k$（$k≠0$），
代入代数式$\frac{x+y}{z}$得：
$\frac{x+y}{z}=\frac{4k+6k}{9k}=\frac{10k}{9k}=\frac{10}{9}$。
【答案】
$\frac{10}{9}$
【知识点】
比例的性质、连比的化简、代数式求值
【点评】
本题属于比例应用的基础题型，解题的核心是找到两个比例的公共项y，通过统一公共项的份数得到三个量的连比，再用参数法代入计算即可，解题思路清晰，是比例相关知识的常见考查题型。
【难度系数】
0.8
解题时首先观察到给出的两个比例中都含有公共量y，因此解题思路为：第一步先统一两个比例中y的份数，得到x、y、z三者的连比；第二步可以设参数分别表示x、y、z，代入所求代数式进行化简计算即可得到结果。
【解析】
解：已知$x:y=2:3$，$y:z=2:3$，
先统一y的份数：3和2的最小公倍数为6，
将$x:y=2:3$的前后项同时乘2，得$x:y=4:6$；
将$y:z=2:3$的前后项同时乘3，得$y:z=6:9$；
因此可得$x:y:z=4:6:9$。
设$x=4k$，$y=6k$，$z=9k$（$k≠0$），
代入代数式$\frac{x+y}{z}$得：
$\frac{x+y}{z}=\frac{4k+6k}{9k}=\frac{10k}{9k}=\frac{10}{9}$。
【答案】
$\frac{10}{9}$
【知识点】
比例的性质、连比的化简、代数式求值
【点评】
本题属于比例应用的基础题型，解题的核心是找到两个比例的公共项y，通过统一公共项的份数得到三个量的连比，再用参数法代入计算即可，解题思路清晰，是比例相关知识的常见考查题型。
【难度系数】
0.8
8.若$\frac{a}{7}=\frac{b}{5}=\frac{c}{3}$，则$\frac{a+2b-3c}{a+c}$的值是
$\frac{4}{5}$
。答案
8.$\frac{4}{5}$
解析
【分析】
遇到连等的比例式时，常用设参数法求解：我们可以设这个相等的比值为参数k（k≠0），将a、b、c三个量都用含k的代数式表示，再代入到要求值的分式中，由于分子分母都含有参数k，且k不为0，约分后即可求出分式的具体数值。
【解析】
设$\frac{a}{7}=\frac{b}{5}=\frac{c}{3}=k$（$k≠0$），则可得：
$a=7k$，$b=5k$，$c=3k$
将上述式子代入$\frac{a+2b-3c}{a+c}$中：
分子：$a+2b-3c=7k + 2×5k - 3×3k=7k+10k-9k=8k$
分母：$a+c=7k+3k=10k$
所以$\frac{a+2b-3c}{a+c}=\frac{8k}{10k}=\frac{4}{5}$（$k≠0$，可约去）
【答案】
$\frac{4}{5}$
【知识点】
比例的性质，分式化简求值
【点评】
本题是比例应用的基础题型，解题核心是熟练运用设参数法处理连比问题，通过引入公共参数将多个未知量统一为同一参数的表达式，代入目标式化简即可得到结果，该方法在比例相关的计算中应用广泛，需牢固掌握。
【难度系数】
0.8
遇到连等的比例式时，常用设参数法求解：我们可以设这个相等的比值为参数k（k≠0），将a、b、c三个量都用含k的代数式表示，再代入到要求值的分式中，由于分子分母都含有参数k，且k不为0，约分后即可求出分式的具体数值。
【解析】
设$\frac{a}{7}=\frac{b}{5}=\frac{c}{3}=k$（$k≠0$），则可得：
$a=7k$，$b=5k$，$c=3k$
将上述式子代入$\frac{a+2b-3c}{a+c}$中：
分子：$a+2b-3c=7k + 2×5k - 3×3k=7k+10k-9k=8k$
分母：$a+c=7k+3k=10k$
所以$\frac{a+2b-3c}{a+c}=\frac{8k}{10k}=\frac{4}{5}$（$k≠0$，可约去）
【答案】
$\frac{4}{5}$
【知识点】
比例的性质，分式化简求值
【点评】
本题是比例应用的基础题型，解题核心是熟练运用设参数法处理连比问题，通过引入公共参数将多个未知量统一为同一参数的表达式，代入目标式化简即可得到结果，该方法在比例相关的计算中应用广泛，需牢固掌握。
【难度系数】
0.8
9. 已知$\frac{2b+c}{a}=\frac{2c+a}{b}=\frac{2a+b}{c}=m$，且$a+b+c≠0$，则$m=$
3
。答案
9.3
解析
【分析】
本题给出三个比值相等的分式，且明确a+b+c≠0，我们可以利用比例的等比性质求解：当多个比值相等，且所有分母的和不为0时，比值等于所有分子的和除以所有分母的和；也可先将分式转化为整式等式，再把三个整式相加，通过因式分解约分化简求出m的值。
【解析】
方法一（等比性质法）：
∵ $\frac{2b+c}{a}=\frac{2c+a}{b}=\frac{2a+b}{c}=m$，且$a+b+c≠0$
根据等比性质可得：
$m=\frac{(2b+c)+(2c+a)+(2a+b)}{a+b+c}$
对分子合并同类项：
$(2b+c)+(2c+a)+(2a+b)=3a+3b+3c=3(a+b+c)$
代入化简得：
$m=\frac{3(a+b+c)}{a+b+c}=3$
方法二（整式相加法）：
由题意可将分式转化为整式：
$2b+c=am$ ①
$2c+a=bm$ ②
$2a+b=cm$ ③
将①+②+③得：
$3a+3b+3c=m(a+b+c)$
整理得$3(a+b+c)=m(a+b+c)$
∵ $a+b+c≠0$，等式两边同时除以$a+b+c$
解得$m=3$
【答案】
3
【知识点】
等比性质，代数式化简
【点评】
本题属于基础考题，核心考查等比性质的应用，解题时需注意等比性质的适用前提是各分母的和不为0，本题已直接给出该条件，直接代入计算即可。
【难度系数】
0.8
本题给出三个比值相等的分式，且明确a+b+c≠0，我们可以利用比例的等比性质求解：当多个比值相等，且所有分母的和不为0时，比值等于所有分子的和除以所有分母的和；也可先将分式转化为整式等式，再把三个整式相加，通过因式分解约分化简求出m的值。
【解析】
方法一（等比性质法）：
∵ $\frac{2b+c}{a}=\frac{2c+a}{b}=\frac{2a+b}{c}=m$，且$a+b+c≠0$
根据等比性质可得：
$m=\frac{(2b+c)+(2c+a)+(2a+b)}{a+b+c}$
对分子合并同类项：
$(2b+c)+(2c+a)+(2a+b)=3a+3b+3c=3(a+b+c)$
代入化简得：
$m=\frac{3(a+b+c)}{a+b+c}=3$
方法二（整式相加法）：
由题意可将分式转化为整式：
$2b+c=am$ ①
$2c+a=bm$ ②
$2a+b=cm$ ③
将①+②+③得：
$3a+3b+3c=m(a+b+c)$
整理得$3(a+b+c)=m(a+b+c)$
∵ $a+b+c≠0$，等式两边同时除以$a+b+c$
解得$m=3$
【答案】
3
【知识点】
等比性质，代数式化简
【点评】
本题属于基础考题，核心考查等比性质的应用，解题时需注意等比性质的适用前提是各分母的和不为0，本题已直接给出该条件，直接代入计算即可。
【难度系数】
0.8
10. 若$\frac{3}{x}=\frac{4}{y}=\frac{5}{z}$，则$\frac{2x + 4y - z}{x - 3y + 5z}=$
$\frac{17}{16}$
。答案
10.$\frac{17}{16}$
解析
【分析】
遇到连等的比例式时，我们通常采用设参数法求解：先根据比例关系，将x、y、z用同一个参数表示，再代入所求的分式中，参数会在约分过程中消去，最终即可求出分式的值。首先由已知的连等比例式，可推出x、y、z的比值关系，设比值为参数k（k≠0），分别写出x、y、z关于k的表达式，再代入代数式计算即可。
【解析】
解：设$\frac{3}{x}=\frac{4}{y}=\frac{5}{z}=\frac{1}{k}$（$k≠0$），则可得：
$x=3k$，$y=4k$，$z=5k$
将$x=3k$，$y=4k$，$z=5k$代入$\frac{2x + 4y - z}{x - 3y + 5z}$得：
分子：$2x + 4y - z=2×3k + 4×4k - 5k=6k + 16k - 5k=17k$
分母：$x - 3y + 5z=3k - 3×4k + 5×5k=3k - 12k + 25k=16k$
$\because k≠0$
$\therefore$原式$=\frac{17k}{16k}=\frac{17}{16}$
【答案】
$\frac{17}{16}$
【知识点】
比例的基本性质，分式化简求值
【点评】
本题是比例性质应用的基础题型，解题的核心是掌握连比式的处理技巧——设参数法，通过引入同一个参数表示所有未知量，代入代数式后消去参数即可得到结果，计算量小，方法固定。
【难度系数】
0.7
遇到连等的比例式时，我们通常采用设参数法求解：先根据比例关系，将x、y、z用同一个参数表示，再代入所求的分式中，参数会在约分过程中消去，最终即可求出分式的值。首先由已知的连等比例式，可推出x、y、z的比值关系，设比值为参数k（k≠0），分别写出x、y、z关于k的表达式，再代入代数式计算即可。
【解析】
解：设$\frac{3}{x}=\frac{4}{y}=\frac{5}{z}=\frac{1}{k}$（$k≠0$），则可得：
$x=3k$，$y=4k$，$z=5k$
将$x=3k$，$y=4k$，$z=5k$代入$\frac{2x + 4y - z}{x - 3y + 5z}$得：
分子：$2x + 4y - z=2×3k + 4×4k - 5k=6k + 16k - 5k=17k$
分母：$x - 3y + 5z=3k - 3×4k + 5×5k=3k - 12k + 25k=16k$
$\because k≠0$
$\therefore$原式$=\frac{17k}{16k}=\frac{17}{16}$
【答案】
$\frac{17}{16}$
【知识点】
比例的基本性质，分式化简求值
【点评】
本题是比例性质应用的基础题型，解题的核心是掌握连比式的处理技巧——设参数法，通过引入同一个参数表示所有未知量，代入代数式后消去参数即可得到结果，计算量小，方法固定。
【难度系数】
0.7
11.古人使用的铜衡杆的形式既不同于天平衡杆，也异于称杆。衡杆正中有拱肩提纽和穿线孔，一面刻有贯通上、下的十等分线。用该衡杆称物，可以把被称物与砝码分别放在提纽两边不同位置的刻线上。如图所示的为铜衡杆的使用示意图，此时被称物的质量是砝码质量的
1.2
倍。答案
11.1.2
解析
【分析】
要解决这道题，我们可以结合杠杆平衡的规律和比例计算的思路来推导：首先明确衡杆平衡时，被称物的重力乘以它到提纽（支点）的距离，等于砝码的重力乘以它到提纽的距离；由于重力和质量成正比，我们可以将重力的关系转化为质量的关系，接下来只需准确数出被称物、砝码各自到提纽的格数作为力臂，代入关系就能求出质量的倍数关系。
【解析】
设每格长度为$L$，砝码质量为$m$，被称物质量为$M$。
由图可得：被称物到提纽的力臂$L_1=5L$，砝码到提纽的力臂$L_2=6L$。
衡杆平衡时满足：$Mg· L_1 = mg· L_2$，
两边同时约去$g$和$L$，可得$M×5 = m×6$，
因此$\frac{M}{m}=\frac{6}{5}=1.2$。
【答案】
1.2
【知识点】
杠杆平衡条件，比例计算
【点评】
本题结合古代衡器的实际场景考查知识的应用，解题核心是准确读取两个力对应的力臂长度，将物理平衡规律和数学比例计算结合即可快速求解，贴近生活实际，能很好地锻炼知识迁移运用的能力。
【难度系数】
0.7
要解决这道题，我们可以结合杠杆平衡的规律和比例计算的思路来推导：首先明确衡杆平衡时，被称物的重力乘以它到提纽（支点）的距离，等于砝码的重力乘以它到提纽的距离；由于重力和质量成正比，我们可以将重力的关系转化为质量的关系，接下来只需准确数出被称物、砝码各自到提纽的格数作为力臂，代入关系就能求出质量的倍数关系。
【解析】
设每格长度为$L$，砝码质量为$m$，被称物质量为$M$。
由图可得：被称物到提纽的力臂$L_1=5L$，砝码到提纽的力臂$L_2=6L$。
衡杆平衡时满足：$Mg· L_1 = mg· L_2$，
两边同时约去$g$和$L$，可得$M×5 = m×6$，
因此$\frac{M}{m}=\frac{6}{5}=1.2$。
【答案】
1.2
【知识点】
杠杆平衡条件，比例计算
【点评】
本题结合古代衡器的实际场景考查知识的应用，解题核心是准确读取两个力对应的力臂长度，将物理平衡规律和数学比例计算结合即可快速求解，贴近生活实际，能很好地锻炼知识迁移运用的能力。
【难度系数】
0.7
12. 已知 $ k = \frac{a+b}{c} = \frac{b+c}{a} = \frac{c+a}{b} $，求k的值。
答案
12.2或－1
解析
【分析】
本题为连等比例式求比值的问题，解题时需注意等比性质的适用前提是各分母之和不为0，因此要分两种情况讨论求解：①当a+b+c≠0时，可直接运用等比性质计算k的值；②当a+b+c=0时，等比性质不适用，可先推导a+b、b+c、c+a分别与对应分母的关系，再代入比例式计算k的值，避免出现漏解的问题。
【解析】
分两种情况讨论：
1. 当$a+b+c ≠ 0$时，根据等比性质可得：
$k=\frac{(a+b)+(b+c)+(c+a)}{c+a+b}=\frac{2(a+b+c)}{a+b+c}=2$
2. 当$a+b+c = 0$时，可得$a+b=-c$，
由于原式中c为分母，因此$c ≠ 0$，代入比例式得：
$k=\frac{a+b}{c}=\frac{-c}{c}=-1$
综上，k的值为2或-1。
【答案】
2或－1
【知识点】
等比性质，分式有意义的条件，分类讨论思想
【点评】
本题的易错点是忽略等比性质的使用条件，直接运用等比性质仅得到k=2而漏解k=-1。遇到连等比例式求比值的问题时，要主动考虑分母之和是否为0，分情况讨论才能得到完整的解。
【难度系数】
0.6
本题为连等比例式求比值的问题，解题时需注意等比性质的适用前提是各分母之和不为0，因此要分两种情况讨论求解：①当a+b+c≠0时，可直接运用等比性质计算k的值；②当a+b+c=0时，等比性质不适用，可先推导a+b、b+c、c+a分别与对应分母的关系，再代入比例式计算k的值，避免出现漏解的问题。
【解析】
分两种情况讨论：
1. 当$a+b+c ≠ 0$时，根据等比性质可得：
$k=\frac{(a+b)+(b+c)+(c+a)}{c+a+b}=\frac{2(a+b+c)}{a+b+c}=2$
2. 当$a+b+c = 0$时，可得$a+b=-c$，
由于原式中c为分母，因此$c ≠ 0$，代入比例式得：
$k=\frac{a+b}{c}=\frac{-c}{c}=-1$
综上，k的值为2或-1。
【答案】
2或－1
【知识点】
等比性质，分式有意义的条件，分类讨论思想
【点评】
本题的易错点是忽略等比性质的使用条件，直接运用等比性质仅得到k=2而漏解k=-1。遇到连等比例式求比值的问题时，要主动考虑分母之和是否为0，分情况讨论才能得到完整的解。
【难度系数】
0.6
