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9.图中每组两个矩形相似吗？说说你的理由。
答案
第(1)组相似，第(2)组不相似，理由略。
解析
【分析】
要判断两个矩形是否相似，需结合相似多边形的判定条件分析：相似多边形需要同时满足对应角相等、对应边成比例两个要求。首先矩形的性质是四个内角均为直角，因此所有矩形的对应角天然相等，因此只需验证两组矩形的对应边是否成比例，即可得出是否相似的结论。
【解析】
解：矩形的四个角均为$90°$，因此两组矩形的对应角都相等，只需判断对应边是否成比例：
(1) 第一组两个矩形的长分别为3和3，宽分别为2和2：
对应长的比值为$\frac{3}{3}=1$，对应宽的比值为$\frac{2}{2}=1$，
对应边比值相等，满足相似多边形的判定条件，因此第一组两个矩形相似。
(2) 第二组两个矩形，第一个长4.5、宽3，第二个长4、宽2.5：
对应长的比值为$\frac{4.5}{4}=\frac{9}{8}$，对应宽的比值为$\frac{3}{2.5}=\frac{6}{5}$，
$\because\frac{9}{8}≠\frac{6}{5}$，对应边比值不相等，因此第二组两个矩形不相似。
【答案】
第(1)组相似，第(2)组不相似
【知识点】
相似多边形的判定；矩形的性质
【点评】
本题重点考查相似多边形判定规则的实际应用，解题时要注意不要误以为所有矩形都相似，矩形仅满足对应角相等的条件，必须额外验证对应边成比例才能判定相似。
【难度系数】
0.8
要判断两个矩形是否相似，需结合相似多边形的判定条件分析：相似多边形需要同时满足对应角相等、对应边成比例两个要求。首先矩形的性质是四个内角均为直角，因此所有矩形的对应角天然相等，因此只需验证两组矩形的对应边是否成比例，即可得出是否相似的结论。
【解析】
解：矩形的四个角均为$90°$，因此两组矩形的对应角都相等，只需判断对应边是否成比例：
(1) 第一组两个矩形的长分别为3和3，宽分别为2和2：
对应长的比值为$\frac{3}{3}=1$，对应宽的比值为$\frac{2}{2}=1$，
对应边比值相等，满足相似多边形的判定条件，因此第一组两个矩形相似。
(2) 第二组两个矩形，第一个长4.5、宽3，第二个长4、宽2.5：
对应长的比值为$\frac{4.5}{4}=\frac{9}{8}$，对应宽的比值为$\frac{3}{2.5}=\frac{6}{5}$，
$\because\frac{9}{8}≠\frac{6}{5}$，对应边比值不相等，因此第二组两个矩形不相似。
【答案】
第(1)组相似，第(2)组不相似
【知识点】
相似多边形的判定；矩形的性质
【点评】
本题重点考查相似多边形判定规则的实际应用，解题时要注意不要误以为所有矩形都相似，矩形仅满足对应角相等的条件，必须额外验证对应边成比例才能判定相似。
【难度系数】
0.8
10.如图，四边形ABCD与四边形A'B'C'D'相似，点A与点A'、点B与点B'、点C与点C'、点D与点D'分别是对应顶点，已知BC=3，CD=2.4，A'B'=2.2，B'C'=2，∠B=70°，∠C=110°，∠D=90°，求边AB，C'D'的长和∠A'的度数。
答案
解：
∵四边形ABCD与四边形A'B'C'D'相似，点A与点A'、点B与点B'、点C与点C'、点D与点D'分别是对应顶点，
∴∠A=∠A',$\frac{A'B'}{AB}=\frac{B'C'}{BC}=\frac{C'D'}{CD}$(两个相似多边形的对应角相等，对应边的长度成比例)。
由BC=3,CD=2.4,A'B'=2.2,B'C'=2，
得$\frac{2.2}{AB}=\frac{2}{3}=\frac{C'D'}{2.4}$，
解得AB=3.3,C'D'=1.6。
在四边形ABCD中，∠A+∠B+∠C+∠D=360°，
∵∠B=70°,∠C=110°,∠D=90°，
∴∠A=360°-(70°+110°+90°)=90°。
∵四边形ABCD与四边形A'B'C'D'相似，点A与点A'、点B与点B'、点C与点C'、点D与点D'分别是对应顶点，
∴∠A=∠A',$\frac{A'B'}{AB}=\frac{B'C'}{BC}=\frac{C'D'}{CD}$(两个相似多边形的对应角相等，对应边的长度成比例)。
由BC=3,CD=2.4,A'B'=2.2,B'C'=2，
得$\frac{2.2}{AB}=\frac{2}{3}=\frac{C'D'}{2.4}$，
解得AB=3.3,C'D'=1.6。
在四边形ABCD中，∠A+∠B+∠C+∠D=360°，
∵∠B=70°,∠C=110°,∠D=90°，
∴∠A=360°-(70°+110°+90°)=90°。
解析
【分析】
解题时首先从已知条件“两个四边形相似”入手，回忆相似多边形的核心性质：对应边成比例、对应角相等。①求边长：先找到已知的一组对应边BC和B'C'确定相似比，再根据对应边成比例的性质列出关于AB、C'D'的比例式，解方程即可得到两条边的长度；②求角度：因为相似多边形对应角相等，所以∠A'=∠A，结合四边形内角和为360°，用内角和减去四边形ABCD中已知的三个角的度数，得到∠A的度数，即可推出∠A'的度数。
【解析】
∵四边形ABCD与四边形A'B'C'D'相似，点A与点A'、点B与点B'、点C与点C'、点D与点D'分别是对应顶点，
∴相似多边形对应角相等，对应边成比例，即$∠ A=∠ A'$，$\frac{A'B'}{AB}=\frac{B'C'}{BC}=\frac{C'D'}{CD}$。
将BC=3，CD=2.4，A'B'=2.2，B'C'=2代入比例式，得：
$\frac{2.2}{AB}=\frac{2}{3}=\frac{C'D'}{2.4}$
解$\frac{2.2}{AB}=\frac{2}{3}$，交叉相乘得$2AB=2.2×3$，解得$AB=3.3$；
解$\frac{2}{3}=\frac{C'D'}{2.4}$，交叉相乘得$3C'D'=2×2.4$，解得$C'D'=1.6$。
根据四边形内角和为$360°$，在四边形ABCD中：
$∠ A+∠ B+∠ C+∠ D=360°$
将$∠ B=70°$，$∠ C=110°$，$∠ D=90°$代入得：
$∠ A=360°-(70°+110°+90°)=90°$
又
∵$∠ A'=∠ A$，
∴$∠ A'=90°$。
【答案】
AB的长为3.3，C'D'的长为1.6，$∠ A'$的度数为$90°$。
【知识点】
相似多边形的性质，四边形内角和定理，比例运算
【点评】
本题属于相似多边形的基础应用题，解题的关键是准确找准相似图形的对应边和对应角，结合基础的几何公式即可求解，日常学习中要熟练掌握相似多边形的性质，避免对应关系混淆出错。
【难度系数】
0.8
解题时首先从已知条件“两个四边形相似”入手，回忆相似多边形的核心性质：对应边成比例、对应角相等。①求边长：先找到已知的一组对应边BC和B'C'确定相似比，再根据对应边成比例的性质列出关于AB、C'D'的比例式，解方程即可得到两条边的长度；②求角度：因为相似多边形对应角相等，所以∠A'=∠A，结合四边形内角和为360°，用内角和减去四边形ABCD中已知的三个角的度数，得到∠A的度数，即可推出∠A'的度数。
【解析】
∵四边形ABCD与四边形A'B'C'D'相似，点A与点A'、点B与点B'、点C与点C'、点D与点D'分别是对应顶点，
∴相似多边形对应角相等，对应边成比例，即$∠ A=∠ A'$，$\frac{A'B'}{AB}=\frac{B'C'}{BC}=\frac{C'D'}{CD}$。
将BC=3，CD=2.4，A'B'=2.2，B'C'=2代入比例式，得：
$\frac{2.2}{AB}=\frac{2}{3}=\frac{C'D'}{2.4}$
解$\frac{2.2}{AB}=\frac{2}{3}$，交叉相乘得$2AB=2.2×3$，解得$AB=3.3$；
解$\frac{2}{3}=\frac{C'D'}{2.4}$，交叉相乘得$3C'D'=2×2.4$，解得$C'D'=1.6$。
根据四边形内角和为$360°$，在四边形ABCD中：
$∠ A+∠ B+∠ C+∠ D=360°$
将$∠ B=70°$，$∠ C=110°$，$∠ D=90°$代入得：
$∠ A=360°-(70°+110°+90°)=90°$
又
∵$∠ A'=∠ A$，
∴$∠ A'=90°$。
【答案】
AB的长为3.3，C'D'的长为1.6，$∠ A'$的度数为$90°$。
【知识点】
相似多边形的性质，四边形内角和定理，比例运算
【点评】
本题属于相似多边形的基础应用题，解题的关键是准确找准相似图形的对应边和对应角，结合基础的几何公式即可求解，日常学习中要熟练掌握相似多边形的性质，避免对应关系混淆出错。
【难度系数】
0.8
11.矩形纸片ABCD的边AB的长为2 cm，动直线l分别交AD，BC于E，F两点，且EF//AB。
(1)若直线l是矩形ABCD的一条对称轴，且沿着直线l剪开后得到的矩形EDCF与原矩形相似，试求AD的长。
(2)若AD=$\sqrt{5}+1$ cm，试探究：在边AD上是否存在点E，使剪刀沿着直线l剪开后，所得到的小矩形纸片中存在与原矩形ABCD相似的情况？若存在，请求出AE的值，并判断点E在边AD上的位置的特殊性；若不存在，请说明理由。
(1)若直线l是矩形ABCD的一条对称轴，且沿着直线l剪开后得到的矩形EDCF与原矩形相似，试求AD的长。
(2)若AD=$\sqrt{5}+1$ cm，试探究：在边AD上是否存在点E，使剪刀沿着直线l剪开后，所得到的小矩形纸片中存在与原矩形ABCD相似的情况？若存在，请求出AE的值，并判断点E在边AD上的位置的特殊性；若不存在，请说明理由。
答案
解:(1)
∵矩形DEFC∽矩形ABCD，
∴$\frac{AD}{CD}=\frac{CD}{CF}$。
又
∵CD=AB=2,AD=BC=2CF，
可设CF=x,则AD=2CF=2x，
∴$\frac{2x}{2}=\frac{2}{x}$，
解得$x=\sqrt{2}$(负值已舍去)，
∴$AD=2\sqrt{2}$ cm。
(2)假设存在矩形DEFC与矩形ABCD相似，
∴$\frac{DC}{AD}=\frac{CF}{DC}$，
∴$DC^2=AD·CF$。
又
∵DC=2 cm,AD=$(\sqrt{5}+1)$ cm，
∴$ED=CF=\frac{DC^2}{AD}=\frac{4}{\sqrt{5}+1}=(\sqrt{5}-1)$ cm，
∴$AE=AD-ED=\sqrt{5}+1-(\sqrt{5}-1)=2$(cm)，
$AE=2＞\sqrt{5}-1=ED$，
依据对称性考虑，必定存在当$AE=(\sqrt{5}-1)$ cm时使矩形ABFE与矩形ABCD相似的情形。
综上所述，当$AE=(\sqrt{5}-1)$ cm或2 cm时，在剪开所得到的小矩形纸片中必存在与原矩形相似的情况。
∵矩形DEFC∽矩形ABCD，
∴$\frac{AD}{CD}=\frac{CD}{CF}$。
又
∵CD=AB=2,AD=BC=2CF，
可设CF=x,则AD=2CF=2x，
∴$\frac{2x}{2}=\frac{2}{x}$，
解得$x=\sqrt{2}$(负值已舍去)，
∴$AD=2\sqrt{2}$ cm。
(2)假设存在矩形DEFC与矩形ABCD相似，
∴$\frac{DC}{AD}=\frac{CF}{DC}$，
∴$DC^2=AD·CF$。
又
∵DC=2 cm,AD=$(\sqrt{5}+1)$ cm，
∴$ED=CF=\frac{DC^2}{AD}=\frac{4}{\sqrt{5}+1}=(\sqrt{5}-1)$ cm，
∴$AE=AD-ED=\sqrt{5}+1-(\sqrt{5}-1)=2$(cm)，
$AE=2＞\sqrt{5}-1=ED$，
依据对称性考虑，必定存在当$AE=(\sqrt{5}-1)$ cm时使矩形ABFE与矩形ABCD相似的情形。
综上所述，当$AE=(\sqrt{5}-1)$ cm或2 cm时，在剪开所得到的小矩形纸片中必存在与原矩形相似的情况。
解析
【分析】
(1) 解题时先运用相似多边形对应边成比例的性质，结合直线l是矩形对称轴的条件，可知CF的长度为AD的一半，再结合已知CD=AB=2cm，将对应边长度代入比例式列方程求解，即可得到AD的长度。
(2) 对于存在性问题，先假设存在符合条件的点E，分两种情况讨论：①矩形EDCF与原矩形相似；②矩形ABFE与原矩形相似，根据相似矩形对应边成比例列方程计算对应边长，验证结果符合边长范围后得到AE的取值，再根据计算结果判断E点的位置特殊性即可。
【解析】
(1)
∵矩形DEFC∽矩形ABCD，
∴$\frac{AD}{CD}=\frac{CD}{CF}$。
又
∵CD=AB=2，且直线l是矩形的对称轴，故AD=BC=2CF，
设CF=x cm，则AD=2x cm，
代入比例式得：$\frac{2x}{2}=\frac{2}{x}$，
解得$x=\sqrt{2}$（负根不符合实际意义，舍去），
∴$AD=2x=2\sqrt{2}$ cm。
(2) 存在符合条件的点E，理由如下：
若矩形DEFC与矩形ABCD相似，
则$\frac{DC}{AD}=\frac{CF}{DC}$，即$DC^2=AD·CF$，
已知DC=2 cm，AD=$\sqrt{5}+1$ cm，且ED=CF，
∴$ED=CF=\frac{DC^2}{AD}=\frac{4}{\sqrt{5}+1}=\sqrt{5}-1$（cm），
此时$AE=AD-ED=(\sqrt{5}+1)-(\sqrt{5}-1)=2$（cm），符合边长要求。
依据矩形的对称性，当矩形ABFE与矩形ABCD相似时，同理可得$AE=\sqrt{5}-1$ cm，也符合要求。
【答案】
(1) $AD=2\sqrt{2}$ cm；
(2) 存在，AE的值为$(\sqrt{5}-1)$ cm或2 cm，点E是边AD的黄金分割点。
【知识点】
相似多边形的性质，矩形的性质，分母有理化
【点评】
本题是相似多边形与矩形性质的综合应用题，第一问侧重基础，考查对称轴性质和相似比例式的列写求解；第二问属于存在性探究题，需要分类讨论两种矩形相似的情况，避免漏解，同时考查了根式计算能力，有助于锻炼逻辑思维的严谨性。
【难度系数】
0.6
(1) 解题时先运用相似多边形对应边成比例的性质，结合直线l是矩形对称轴的条件，可知CF的长度为AD的一半，再结合已知CD=AB=2cm，将对应边长度代入比例式列方程求解，即可得到AD的长度。
(2) 对于存在性问题，先假设存在符合条件的点E，分两种情况讨论：①矩形EDCF与原矩形相似；②矩形ABFE与原矩形相似，根据相似矩形对应边成比例列方程计算对应边长，验证结果符合边长范围后得到AE的取值，再根据计算结果判断E点的位置特殊性即可。
【解析】
(1)
∵矩形DEFC∽矩形ABCD，
∴$\frac{AD}{CD}=\frac{CD}{CF}$。
又
∵CD=AB=2，且直线l是矩形的对称轴，故AD=BC=2CF，
设CF=x cm，则AD=2x cm，
代入比例式得：$\frac{2x}{2}=\frac{2}{x}$，
解得$x=\sqrt{2}$（负根不符合实际意义，舍去），
∴$AD=2x=2\sqrt{2}$ cm。
(2) 存在符合条件的点E，理由如下：
若矩形DEFC与矩形ABCD相似，
则$\frac{DC}{AD}=\frac{CF}{DC}$，即$DC^2=AD·CF$，
已知DC=2 cm，AD=$\sqrt{5}+1$ cm，且ED=CF，
∴$ED=CF=\frac{DC^2}{AD}=\frac{4}{\sqrt{5}+1}=\sqrt{5}-1$（cm），
此时$AE=AD-ED=(\sqrt{5}+1)-(\sqrt{5}-1)=2$（cm），符合边长要求。
依据矩形的对称性，当矩形ABFE与矩形ABCD相似时，同理可得$AE=\sqrt{5}-1$ cm，也符合要求。
【答案】
(1) $AD=2\sqrt{2}$ cm；
(2) 存在，AE的值为$(\sqrt{5}-1)$ cm或2 cm，点E是边AD的黄金分割点。
【知识点】
相似多边形的性质，矩形的性质，分母有理化
【点评】
本题是相似多边形与矩形性质的综合应用题，第一问侧重基础，考查对称轴性质和相似比例式的列写求解；第二问属于存在性探究题，需要分类讨论两种矩形相似的情况，避免漏解，同时考查了根式计算能力，有助于锻炼逻辑思维的严谨性。
【难度系数】
0.6
