10.如图,在$△ ABC$中,$AB=AC$,点$D,B,C,E$在同一条直线上,且$∠ D=∠ CAE$。
(1)求证:$△ ABD ∽ △ ECA$;
(2)若$AC=6$,$CE=4$,求$BD$的长。

10. (1)证明:$\because AB=AC$,
$\therefore ∠ABC=∠ACB$,
$\therefore ∠ABD=∠ACE$。
$\because ∠D=∠CAE$,
$\therefore △ABD∽△ECA$。
(2)解:$\because AB=AC,AC=6$,
$\therefore AB=AC=6$。
$\because △ABD∽△ECA$,
$\therefore \frac{BD}{CA}=\frac{AB}{EC}$,
$\therefore \frac{BD}{6}=\frac{6}{4},\therefore BD=9$。

【分析】
(1) 要证明△ABD∽△ECA，可利用“两角分别相等的两个三角形相似”的判定定理推导。首先由AB=AC可得等腰三角形底角相等，进而推出底角的邻补角∠ABD=∠ACE，再结合已知条件∠D=∠CAE，即可得到两组对应角相等，完成相似证明。
(2) 求BD的长度时，可利用相似三角形的性质：相似三角形对应边成比例。先根据已知条件得到AB的长度，再代入相似的比例关系式，即可求出BD的长。
【解析】
(1) 证明：$\because AB=AC$，
$\therefore ∠ABC=∠ACB$，
$\because ∠ABD=180°-∠ABC$，$∠ACE=180°-∠ACB$，
$\therefore ∠ABD=∠ACE$。
又$\because ∠D=∠CAE$，
$\therefore △ABD∽△ECA$。
(2) 解：$\because AB=AC,AC=6$，
$\therefore AB=AC=6$。
$\because △ABD∽△ECA$，
$\therefore \frac{BD}{CA}=\frac{AB}{EC}$，
将$AC=6$，$AB=6$，$CE=4$代入得：$\frac{BD}{6}=\frac{6}{4}$，
解得$BD=9$。
【答案】
(1) 证明如上；(2) $BD=9$
【知识点】
等腰三角形的性质、相似三角形的判定、相似三角形的性质
【点评】
本题是相似三角形应用的基础题型，核心是先通过等腰三角形性质推导等角完成相似证明，再利用相似的边比例关系求解线段长度，是三角形章节的常规考法。
【难度系数】
0.8

11.如图，四边形ABCD为菱形，点E在AC的延长线上，∠ACD=∠ABE。
(1)求证：△ABC∽△AEB；
(2)当AB=6，AC=4时，求AE的长。

11. (1)证明:$\because$ 四边形 $ABCD$ 为菱形，
$\therefore ∠ACD=∠BCA$。
$\because ∠ACD=∠ABE$,
$\therefore ∠BCA=∠ABE$。
$\because ∠BAC=∠EAB$,
$\therefore △ABC∽△AEB$。
(2)解:$\because △ABC∽△AEB$,
$\therefore \frac{AB}{AE}=\frac{AC}{AB}$。
$\because AB=6,AC=4$,
$\therefore \frac{6}{AE}=\frac{4}{6}$,
$\therefore AE=\frac{36}{4}=9$。

【分析】
(1)要证明△ABC∽△AEB，可通过“两角分别相等的两个三角形相似”的判定定理推导。首先利用菱形的性质可得∠ACD=∠BCA，结合已知∠ACD=∠ABE，可推出∠BCA=∠ABE，再结合两个三角形的公共角∠BAC=∠EAB，即可完成相似证明。
(2)在已证△ABC∽△AEB的基础上，利用相似三角形对应边成比例的性质，列出对应边的比例关系式，代入已知的AB、AC的长度，即可求解AE的长。
【解析】
(1)证明：
∵四边形ABCD为菱形，
∴AC平分∠BCD，即$∠ ACD=∠ BCA$。
∵$∠ ACD=∠ ABE$，
∴$∠ BCA=∠ ABE$。
又
∵$∠ BAC=∠ EAB$（公共角），
∴$△ ABC ∽ △ AEB$。
(2)解：
∵$△ ABC ∽ △ AEB$，
∴对应边成比例，即$\frac{AB}{AE}=\frac{AC}{AB}$。
将$AB=6$，$AC=4$代入得：
$\frac{6}{AE}=\frac{4}{6}$，
交叉计算得$4AE=36$，
解得$AE=9$。
【答案】
(1)证明见上述解析；(2)$AE=9$
【知识点】
菱形的性质；相似三角形的判定；相似三角形的性质
【点评】
本题属于几何基础综合题，核心是利用菱形的角的性质推导等角，完成相似三角形的证明，再借助相似的性质求解线段长度，是相似章节的典型常规考题。
【难度系数】
0.7

12. 如图①，△ABC为等边三角形，AB＝20，D为边BC上的动点（点D不与点B，C重合），且∠ADE＝∠B，DE交边AC于点E。
（1）求证：△ABD∽△DCE；
（2）如图②，当点D运动到BC的中点时，求CE的长。

12. (1)证明:$\because △ABC$ 是等边三角形，
$\therefore ∠B=∠C=60°$。
$\because ∠ADC=∠B+∠BAD,∠ADC=∠ADE+∠CDE$,
$\therefore ∠B+∠BAD=∠ADE+∠CDE$。
$\because ∠ADE=∠B$,
$\therefore ∠BAD=∠CDE$。
$\because ∠B=∠C$,
$\therefore △ABD∽△DCE$。
(2)解:$\because △ABC$ 是等边三角形,D 是 BC 中点，
$\therefore AD⊥BC,BD=CD=\frac{1}{2}BC=10$,
$\therefore ∠ADC=90°$。
$\because ∠ADE=60°$,
$\therefore ∠CDE=30°$。
$\because ∠C=60°$,
$\therefore ∠DEC=90°$,
$\therefore CE=\frac{1}{2}CD=5$。

【分析】
（1）要证明△ABD∽△DCE，可选用“两角对应相等的两个三角形相似”的判定定理推导。首先由等边三角形性质可直接得到∠B=∠C=60°，再利用三角形外角的性质，∠ADC既是△ABD的外角，也可拆分为∠ADE与∠CDE的和，结合已知∠ADE=∠B，可推导出∠BAD=∠CDE，两组对应角相等即可证得相似。
（2）当D为BC中点时，根据等边三角形“三线合一”的性质，可得AD⊥BC，且BD=CD=10，再结合∠ADE=60°可算出∠CDE=30°，在△DEC中利用内角和可证得△DEC是含30°角的直角三角形，根据30°角所对直角边为斜边一半的性质即可求出CE的长，也可借助第一问的相似三角形对应边成比例计算结果。
【解析】
(1)证明:$\because △ABC$ 是等边三角形，
$\therefore ∠B=∠C=60°$。
$\because ∠ADC=∠B+∠BAD,∠ADC=∠ADE+∠CDE$,
$\therefore ∠B+∠BAD=∠ADE+∠CDE$。
$\because ∠ADE=∠B$,
$\therefore ∠BAD=∠CDE$。
$\because ∠B=∠C$,
$\therefore △ABD∽△DCE$。
(2)解:$\because △ABC$ 是等边三角形,D 是 BC 中点，
$\therefore AD⊥BC,BD=CD=\frac{1}{2}BC=\frac{1}{2}AB=10$,
$\therefore ∠ADC=90°$。
$\because ∠ADE=∠B=60°$,
$\therefore ∠CDE=∠ADC-∠ADE=90°-60°=30°$。
$\because ∠C=60°$,
$\therefore ∠DEC=180°-∠C-∠CDE=90°$,
$\therefore CE=\frac{1}{2}CD=5$。
【答案】
(1) 已证△ABD∽△DCE；
(2) $CE=5$
【知识点】
等边三角形的性质、相似三角形的判定、含30°角的直角三角形的性质
【点评】
本题是三角形相似的基础常考题，解题核心是通过角的等量代换得到相似判定所需的对应等角，第二问结合等边三角形的特殊性质可简化计算，需熟练掌握两角判定相似的方法，以及等边三角形、特殊直角三角形性质的综合运用。
【难度系数】
0.7