等腰三角形的判定
有两个角的三角形是等腰三角形(简写成“等角对”)。

1. 相等
2. 等边

典例1 如图,在$△ ABC$中,$AD$平分$∠ BAC$,$EG// AD$,找出图中的等腰三角形,并给出证明.

举一反三 如图,$AD$平分$∠ BAC$,$AD⊥ BD$,垂足为$D$,$DE// AC$.$△ BDE$是等腰三角形吗？请说明理由.

1. 解 △BDE 是等腰三角形.
∵DE//AC,
∴∠CAD=∠ADE.
∵AD平分∠BAC,
∴∠CAD=∠BAD.
∴∠BAD=∠ADE.
∵AD⊥BD,
∴∠BAD+∠B=90°,
∠ADE+∠BDE=90°,
∴∠B=∠BDE.
∴BE=DE.
∴△BDE 是等腰三角形.

典例2 利用直尺和圆规作图:已知线段$a$,求作等腰三角形$ABC$,使$AB=AC$,$BC=a$,高$AD=\frac{1}{2}a$.

解：
作法：
1. 作线段$BC = a$；
2. 作线段$BC$的垂直平分线，交$BC$于点$D$；
3. 在垂直平分线上，以点$D$为端点截取$DA=\frac{1}{2}a$；
4. 连接$AB$、$AC$。
则$△ ABC$就是所求作的等腰三角形。

举一反三 如图,已知线段$a,b$,求作等腰三角形$ABC$,使腰长为$b$,底边上的高为$a(a＜b)$.
典例解析
典例1
解 $△ AEF$是等腰三角形.证明如下:
∵AD平分$∠ BAC$,
∴$∠ BAD=∠ CAD$.
∵$EG// AD$,
∴$∠ E=∠ CAD,∠ EFA=∠ BAD$,
∴$∠ E=∠ EFA$,
∴$AE=AF$,
∴$△ AEF$是等腰三角形.
典例2
作法 如图.
(1)作$BC=a$.
(2)作线段$BC$的垂直平分线$MN$,与$BC$相交于点$D$.
(3)在$DM$上取一点$A$,使$DA=BD=\frac{1}{2}a$.
(4)连接$AB,AC$,则$△ ABC$就是所求作的等腰三角形.

2. 作法:如图.
(1)在平面内画一条水平直线 MN,以直线外一点为圆心画弧,交 MN 于 P,Q 两点,作线段 PQ 的垂直平分线 EF,交 MN 于点 D.
(2)在射线 DE 上取一点 C,使 DC=a.
(3)以点 C 为圆心,b 为半径画弧交 MN 于点 A,B.
(4)连接 AC,BC,则△ABC 就是所求作的等腰三角形.