8 已知关于 $ x $ 的一元二次方程 $ 2x^2 - mx + n = 0 $。
（1）当 $ m - n = 3 $ 时，请判断方程根的情况；
（2）若方程有两个相等的实数根，当 $ n = 8 $ 时，求此时方程的根。

解：​$(1)$​∵​$m - n = 3，$​∴​$n = m - 3$​∴​$∆=(-m)^2 - 4×2n=\mathrm {m^2} - 8n=\mathrm {m^2} - 8\ \mathrm {m} + 24=(m - 4)^2 + 8$​∵​$(m - 4)^2\geq 0，$​∴​$(m - 4)^2 + 8＞0，$​即​$∆＞0$​∴该方程有两个不相等的实数根​$ (2)$​∵方程有两个相等的实数根∴​$∆=(-m)^2 - 4×2n = 0，$​∴​$\mathrm {m^2} = 8n$​∵​$n = 8，$​∴​$m=\pm 8$​​$ $​当​$m = 8$​时，原方程为​$2x^2 - 8x + 8 = 0，$​解得​$x_{1} = x_{2} = 2$​​$ $​当​$m = -8$​时，原方程为​$2x^2 + 8x + 8 = 0，$​解得​$x_{1} = x_{2} = -2$​

9 已知$x_1,x_2$是关于$x$的一元二次方程$2x^2 -5x +1=0$的两个实数根,求下列各式的值:
(1) $x_1x_2^2 + x_1^2x_2$;
(2) $x_1^2 + x_2^2$.

解：由根与系数的关系，得​$x_{1} + x_{2}=\frac 52，$​​$x_{1}x_{2}=\frac 12$​​$ (1)$​原式​$=x_{1}x_{2}(x_{1} + x_{2})=\frac 12×\frac 52=\frac 54$​​$ (2)$​原式​$=(x_{1} + x_{2})^2 - 2x_{1}x_{2}=(\frac 52)^2 - 2×\frac 12=\frac {25}4-1=\frac {21}4$​

10 已知关于 $ x $ 的一元二次方程 $ mx^2 + (3m+1)x + 3 = 0(m ≠ 0) $。
（1）求证：无论 $ m $ 取任何实数，方程总有两个实数根；
（2）若 $ m ＜ 0 $，方程的两个实数根分别为 $ x_1, x_2 $（其中 $ x_1 ＜ x_2 $），若 $ y $ 是 $ m $ 的函数，且 $ y = x_1 - \dfrac{1}{x_2} $，求这个函数的表达式；
（3）若 $ m $ 为正整数，关于 $ x $ 的一元二次方程 $ mx^2 + (3m+1)x + 3 = 0(m ≠ 0) $ 的两个根都是整数，$ a $ 与 $ a+b(b ≠ 0) $ 分别是关于 $ x $ 的方程 $ mx^2 + (3m+1)x + 3 = 0 $ 的两个根。求代数式 $ 4a^2 + 12ab + 5b^2 + 16b + 8 $ 的值。

解：​$(1)$​∵​$∆=(3m + 1)^2 - 4m×3=9\ \mathrm {m^2} - 6m + 1=(3m - 1)^2\geq 0$​∴无论​$m $​取任何实数，方程总有两个实数根​$ (2)$​∵​$x=\frac {-3m - 1\pm (3m - 1)}{2m}，$​​$m＜0，$​​$x_{1}＜x_{2}$​∴​$x_{1} = -3，$​​$x_{2} = -\frac 1{m}$​∴​$y=x_{1}-\frac 1{x_{2}}=-3 + m(m＜0)$​∴该函数的表达式为​$y=-3 + m(m＜0)$​​$ (3)$​∵​$a$​与​$a + b(b\neq 0)$​分别是关于​$x$​的一元二次方程​$mx^2+(3m + 1)x + 3 = 0(m\neq 0)$​的两个根∴​$a+a + b=-\frac {3m + 1}{m}=-3-\frac 1{m}，$​​$a(a + b)=\frac 3{m}$​∵​$a$​与​$a + b$​是整数，∴​$\frac 1{m}$​与​$\frac 3{m}$​均为整数∵​$m $​是正整数，∴​$m = 1$​∴​$a+a + b=-4，$​∴​$a=\frac {-4 - b}2$​​$ $​将​$a=\frac {-4 - b}2$​代入，得​$4×(\frac {-4 - b}2)^2+12b×(\frac {-4 - b}2)+5b^2+16b + 8=16+8b+b^2-24b-6b^2+5b^2+16b+8=24$​

11 李师傅家的超市今年1月盈利3 000元，3月盈利3 630元.若从1月到3月，每月盈利的平均增长率都相同，求这个平均增长率.

解：设从​$1$​月到​$3$​月，每月盈利的平均增长率为​$x$​ 根据题意，得​$3000(1 + x)^2 = 3630$​​$ $​解得​$x_{1} = 0.1，$​​$x_{2} = -2.1($​舍去​$)$​​$ $​故每月盈利的平均增长率为​$10\%。$​