1（2024 镇江月考）下列方程中，是一元二次方程的是 （ ）
A. $x^2 + y = 11$
B. $x^2 + \dfrac{1}{x} = 3$
C. $x^2 - 13 = 0$
D. $2x + 1 = 0$

C

2 (2024 惠山区期中)已知关于$x$的方程$(m+1)x^{|4m|-2}+27mx+5=0$是一元二次方程，则$m=$______．

1

3（2024南通海门月考）已知关于$x$的一元二次方程$(a-1)x^2 + x + a^2 = 1$的一个根为0，则$a$的值为 （ ）
A. 1
B. $-1$
C. 1或$-1$
D. 0

B

4 (2024 苏州吴江月考)若$a$为方程$x^2 - 3x - 6 = 0$的一个根，则代数式$-3a^2 + 9a - 5$的值为______．

-23

5 (2024 盐城阜宁期中)若将一元二次方程$x^2 + 16x = 16$化为$(x + m)^2 = n$的形式，则$m + n =$
$\underline{\hspace{5em}}$．

88

6（2024 南京鼓楼月考）解方程：
（1）$4(x-1)^2=25$；
（2）$x^2-6x-7=0$（用配方法解）；
（3）$3x^2+2x-2=0$（公式法）；
（4）$2(x-2)^2=x^2-4$。

解：（1）两边除以4，得$(x - 1)^2=\frac{25}{4}，$ 所以$x - 1=\frac{5}{2}$或$x - 1=-\frac{5}{2}，$ 解得$x_1=\frac{7}{2},x_2=-\frac{3}{2}。$ ; 解：（2）移项，得$x^2 - 6x = 7，$ 所以$x^2 - 6x + 9 = 7 + 9，$ 所以$(x - 3)^2 = 16，$ 即$x - 3 = 4$或$x - 3 = -4，$ 解得$x_1 = 7,x_2 = -1。$ ; 解：（3）因为$a = 3,b = 2,c = -2，$ 所以$\Delta = b^2 - 4ac = 2^2 - 4\times3\times(-2)=4 + 24 = 28，$ 所以$x=\frac{-2\pm2\sqrt{7}}{6}=\frac{-1\pm\sqrt{7}}{3}，$ 故$x_1=\frac{-1 + \sqrt{7}}{3},x_2=\frac{-1 - \sqrt{7}}{3}。$ ; 解：（4）移项，得$2(x - 2)^2 - (x + 2)(x - 2)=0，$ 所以$(x - 2)[2(x - 2)-(x + 2)] = 0，$ 即$(x - 2)(x - 6)=0，$ 所以$x - 2 = 0$或$x - 6 = 0，$ 解得$x_1 = 2,x_2 = 6。$

7 已知关于 $ x $ 的一元二次方程 $ mx^2 - (2m - 3)x + (m - 1) = 0 $ 有两个实数根。
（1）求 $ m $ 的取值范围；
（2）若 $ m $ 为最大负整数，求此时方程的根。

解：​$(1)$​由题意，得​$m\neq 0$​且​$∆=(2\ \mathrm {m} - 3)^2 - 4\ \mathrm {m}(m - 1)\geq 0$​​$ $​解得​$m\leq \frac 98，$​且​$m\neq 0$​​$ (2)$​根据题意，得​$m = -1$​​$ $​此时方程变形为​$x^2 - 5x + 2 = 0$​​$ $​所以​$∆= 25 - 4×2 = 17$​​$ $​解得​$x_{1}=\frac {5+\sqrt {17}}2，$​​$x_{2}=\frac {5 - \sqrt {17}}2$​