1. (教材例题变式)一元二次方程$x^2 - 5x + 2 = 0$的根的判别式的值是 （ ）
A. 33
B. 23
C. 17
D. $\sqrt{17}$

C

2. (2024·自贡)关于$x$的方程$x^2 + mx - 2 = 0$的根的情况是 （ ）
A. 有两个不相等的实数根
B. 有两个相等的实数根
C. 只有一个实数根
D. 没有实数根

A

3. (2024·黑龙江)关于$x$的一元二次方程$(m-2)x^2 + 4x + 2 = 0$有两个实数根,则$m$的取值范围是 ( )
A. $m≤4$
B. $m≥4$
C. $m≥-4$且$m≠2$
D. $m≤4$且$m≠2$

D

4. 对于一元二次方程 $ x^2 - 3x - 4 = 0 $，计算 $ b^2 - 4ac $ 的结果是 ______。

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5. (1)不解方程,方程$\frac{1}{2}x^2 + x + \frac{1}{2} = 0$的根的情况为______。
(2)一元二次方程$x(x-1)=2$的一般形式是______,根的情况为______。

有两个相等的实数根
; $x^{2}-x - 2 = 0$ ; 有两个不相等的实数根

6. (1)(2024·河南)若关于 $ x $ 的方程 $\frac{1}{2}x^2 - x + c = 0$ 有两个相等的实数根，则 $ c $ 的值为 ______．
(2)(教材例题变式)如果关于 $ x $ 的一元二次方程 $ ax^2 + 6x + 1 = 0 $ 没有实数根，那么 $ a $ 的取值范围是 ______．
(3)如果关于 $ x $ 的一元二次方程 $ x^2 + 2x + 4c = 0 $ 有两个不相等的实数根，那么 $ c $ 可以取的整数值是 ______（写出一个满足条件的整数值即可）．

$\frac{1}{2}$ ; $a＞9$ ; 0

7. 已知关于 $ x $ 的一元二次方程 $ mx^2 + (2m + 3)x + m + 1 = 0 $ 有两个不相等的实数根.
(1)求 $ m $ 的取值范围.
(2)当 $ m $ 取最小整数时,求方程的根.

(1) 解：因为一元二次方程$mx^{2}+(2m + 3)x + m + 1 = 0$有两个不相等的实数根，所以$\Delta=(2m + 3)^{2}-4m(m + 1)＞0$且$m\neq0。$ 先计算$(2m + 3)^{2}-4m(m + 1)$： $\begin{aligned}(2m + 3)^{2}-4m(m + 1)&=(4m^{2}+12m + 9)-(4m^{2}+4m)\\&=4m^{2}+12m + 9 - 4m^{2}-4m\\&=8m + 9\end{aligned}$ 则$8m + 9＞0，$解得$m＞-\frac{9}{8}。$ 综上，$m$的取值范围是$m＞-\frac{9}{8}$且$m\neq0。$ (2) 解：满足条件的$m$的最小整数为$-1，$此时方程为$-x^{2}+x = 0，$即$x^{2}-x = 0，$$x(x - 1)=0，$解得$x_{1}=0，$$x_{2}=1。$

8. 已知关于 $ x $ 的方程 $ x^2 - 2kx + k^2 - 1 = 0 $。
(1)若方程有一个根为 5,求 $ k $ 的值.
(2)求证:不论 $ k $ 取何值,方程总有两个不相等的实数根.

(1) 解：把$x = 5$代入$x^{2}-2kx + k^{2}-1 = 0，$得$25-10k + k^{2}-1 = 0，$即$k^{2}-10k + 24 = 0。$ 对于方程$k^{2}-10k + 24 = 0，$其中$a = 1，$$b=-10，$$c = 24，$$\Delta=b^{2}-4ac=(-10)^{2}-4\times1\times24=100 - 96 = 4。$ 由求根公式$k=\frac{-b\pm\sqrt{\Delta}}{2a}=\frac{10\pm\sqrt{4}}{2}=\frac{10\pm2}{2}，$解得$k_{1}=\frac{10 + 2}{2}=6，$$k_{2}=\frac{10 - 2}{2}=4。$ 所以$k$的值为$4$或$6。$ (2) 证明：在方程$x^{2}-2kx + k^{2}-1 = 0$中，$a = 1，$$b=-2k，$$c = k^{2}-1，$则$\Delta=b^{2}-4ac=(-2k)^{2}-4(k^{2}-1)=4k^{2}-4k^{2}+4 = 4＞0。$ 所以不论$k$取何值，方程总有两个不相等的实数根。