9. (2023·广安)已知a、b、c为常数，点P(a,c)在第四象限，则关于x的方程$ax^2+bx+c=0$的根的情况是 （ ）
A. 有两个不相等的实数根
B. 有两个相等的实数根
C. 没有实数根
D. 无法判断

A

10. 在平面直角坐标系 $ xOy $ 中,若直线 $ y=-x+m $ 不经过第一象限,则关于 $ x $ 的方程 $ mx^2 + x + 1 = 0 $ 的实数根有 （ ）
A. 0个
B. 1个
C. 2个
D. 1个或2个

D

11. 如果关于 $ x $ 的一元二次方程 $ 2x(ax - 4) - x^2 + 6 = 0 $ 没有实数根，那么 $ a $ 的最小整数值是 ______．

2

12. 已知关于$x$的一元二次方程$x^2 - \sqrt{2k + 4}x + k = 0$有两个不相等的实数根，则$k$的取值范围是______．

$-2\leqslant k＜2$

13. 已知关于 $ x $ 的方程 $ kx^2 - (k - 2)x - 2 = 0 $。
(1) 试证明:无论 $ k $ 取何值,方程总有实数根.
(2) 若方程的两个实数根都为正整数,求整数 $ k $ 的值.

(1) 证明：当$k = 0$时，原方程为$2x - 2 = 0，$解得$x = 1，$此时原方程有实数根； 当$k\neq0$时，方程$kx^{2}-(k - 2)x - 2 = 0$是一元二次方程，$\Delta=[-(k - 2)]^{2}-4k\times(-2)=k^{2}-4k + 4 + 8k=k^{2}+4k + 4=(k + 2)^{2}\geqslant0，$所以方程总有两个实数根。 综上，无论$k$取何值，方程总有实数根。 (2) 解：对于方程$kx^{2}-(k - 2)x - 2 = 0，$由求根公式$x=\frac{(k - 2)\pm\sqrt{(k + 2)^{2}}}{2k}=\frac{(k - 2)\pm(k + 2)}{2k}。$ $x_{1}=\frac{(k - 2)+(k + 2)}{2k}=\frac{2k}{2k}=1，$$x_{2}=\frac{(k - 2)-(k + 2)}{2k}=\frac{k - 2 - k - 2}{2k}=-\frac{2}{k}。$ 因为方程的两个实数根都为正整数，所以$k=-1$或$k=-2，$即整数$k$的值为$-1$或$-2。$

14. 已知关于$ x $的一元二次方程$ x^2 - 2x + m - 1 = 0 $有两个实数根.
(1)求$ m $的取值范围.
(2)设$ p $是方程的一个实数根,且满足$ (p^2 - 2p + 3)(m + 4) = 7 $,求$ m $的值.

(1) 解：因为关于$x$的一元二次方程$x^{2}-2x + m - 1 = 0$有两个实数根，所以$\Delta=(-2)^{2}-4(m - 1)\geqslant0。$ 即$4-4m + 4\geqslant0，$$8-4m\geqslant0，$$4m\leqslant8，$解得$m\leqslant2。$ (2) 解：因为$p$是方程$x^{2}-2x + m - 1 = 0$的一个实数根，所以$p^{2}-2p + m - 1 = 0，$即$p^{2}-2p=1 - m。$ 又因为$(p^{2}-2p + 3)(m + 4)=7，$把$p^{2}-2p=1 - m$代入得$(1 - m + 3)(m + 4)=7，$即$(4 - m)(m + 4)=7。$ 展开得$16 - m^{2}=7，$$m^{2}=9，$解得$m = 3$或$m=-3。$ 又由
(1)可知$m\leqslant2，$所以$m=-3。$

15. 我们规定:对于任意实数$a、b、c、d$有$[a,b]*[c,d]=ac-bd$,其中等式右边是通常的乘法和减法运算,例如:$[3,2]*[5,1]=3×5-2×1=13$.
(1)已知$[x,3]*[x-1,4]$的值为$0$,求$x$的值.
(2)若关于$x$的方程$[x,2x-1]*[mx+1,m]=0$有两个实数根,求$m$的取值范围.

(1) 解：因为$[x,3]*[x - 1,4]=0，$根据定义$[a,b]*[c,d]=ac - bd，$则$x(x - 1)-3\times4 = 0。$ 即$x^{2}-x - 12 = 0，$对于方程$x^{2}-x - 12 = 0，$其中$a = 1，$$b=-1，$$c=-12，$$\Delta=b^{2}-4ac=(-1)^{2}-4\times1\times(-12)=1 + 48 = 49。$ 由求根公式$x=\frac{-b\pm\sqrt{\Delta}}{2a}=\frac{1\pm\sqrt{49}}{2}=\frac{1\pm7}{2}，$解得$x_{1}=\frac{1 + 7}{2}=4，$$x_{2}=\frac{1 - 7}{2}=-3。$ (2) 解：因为$[x,2x - 1]*[mx + 1,m]=0，$根据定义可得$x(mx + 1)-m(2x - 1)=0。$ 整理得$mx^{2}+x-2mx + m = 0，$即$mx^{2}+(1 - 2m)x + m = 0。$ 因为关于$x$的方程有两个实数根，所以$\Delta=(1 - 2m)^{2}-4m\cdot m\geqslant0$且$m\neq0。$ 先计算$(1 - 2m)^{2}-4m\cdot m$： $\begin{aligned}(1 - 2m)^{2}-4m\cdot m&=1 - 4m + 4m^{2}-4m^{2}\\&=1 - 4m\end{aligned}$ 则$1 - 4m\geqslant0，$$4m\leqslant1，$解得$m\leqslant\frac{1}{4}$且$m\neq0。$