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10. ★★★ 已知关于x的二次函数$y=x^2+2x+2$.
(1)当$-1≤x≤t$时,$y$有最大值4,则$t$的值为________;
(2)当$t≤x≤t+1$时,$y$有最小值$\frac{3}{2}$,则$t$的值为________.
(1)当$-1≤x≤t$时,$y$有最大值4,则$t$的值为________;
(2)当$t≤x≤t+1$时,$y$有最小值$\frac{3}{2}$,则$t$的值为________.
答案
10. (1)$-1+\sqrt{3}$ 解析:$\because y=x^2+2x+2=(x+1)^2+1$,$\therefore$ 抛物线开口向上,对称轴为直线$x=-1$,顶点坐标为$(-1,1)$.$\because$ 当$-1≤ x≤ t$时,$y$有最大值4,$\therefore x=t(t＞-1)$时,$y=(t+1)^2+1=4$,解得$t=-1-\sqrt{3}$(舍去)或$t=-1+\sqrt{3}$,故答案为$-1+\sqrt{3}$.
(2)$-2-\frac{\sqrt{2}}{2}$或$-1+\frac{\sqrt{2}}{2}$ 解析:$\because y=x^2+2x+2=(x+1)^2+1$,$\therefore$ 抛物线开口向上,对称轴为直线$x=-1$,顶点坐标为$(-1,1)$.要使$y$的最小值为$\frac{3}{2}$,$x$的取值范围在对称轴左侧或右侧.①当$t+1＜-1$时,$t＜-2$,当$x=t+1$时,$y=(t+2)^2+1=\frac{3}{2}$,解得$t=-2+\frac{\sqrt{2}}{2}$(舍去)或$t=-2-\frac{\sqrt{2}}{2}$;②当$t＞-1$时,$x=t$,$y=(t+1)^2+1=\frac{3}{2}$,解得$t=-1+\frac{\sqrt{2}}{2}$或$t=-1-\frac{\sqrt{2}}{2}$(舍去),故答案为$-2-\frac{\sqrt{2}}{2}$或$-1+\frac{\sqrt{2}}{2}$.
(2)$-2-\frac{\sqrt{2}}{2}$或$-1+\frac{\sqrt{2}}{2}$ 解析:$\because y=x^2+2x+2=(x+1)^2+1$,$\therefore$ 抛物线开口向上,对称轴为直线$x=-1$,顶点坐标为$(-1,1)$.要使$y$的最小值为$\frac{3}{2}$,$x$的取值范围在对称轴左侧或右侧.①当$t+1＜-1$时,$t＜-2$,当$x=t+1$时,$y=(t+2)^2+1=\frac{3}{2}$,解得$t=-2+\frac{\sqrt{2}}{2}$(舍去)或$t=-2-\frac{\sqrt{2}}{2}$;②当$t＞-1$时,$x=t$,$y=(t+1)^2+1=\frac{3}{2}$,解得$t=-1+\frac{\sqrt{2}}{2}$或$t=-1-\frac{\sqrt{2}}{2}$(舍去),故答案为$-2-\frac{\sqrt{2}}{2}$或$-1+\frac{\sqrt{2}}{2}$.
解析
【分析】
这是二次函数的区间最值问题，解题核心思路为：①先将二次函数一般式化为顶点式，确定抛物线的开口方向、对称轴和顶点坐标，明确函数增减性；②第(1)问给定区间左端点为对称轴$x=-1$，抛物线开口向上，区间内$y$随$x$增大而增大，因此最大值出现在区间右端点$x=t$处，代入$y=4$求解后结合$t$的范围舍去不符合的解即可；③第(2)问中顶点处函数最小值为$1＜\frac{3}{2}$，说明给定区间$[t,t+1]$不包含对称轴$x=-1$，需分区间全在对称轴左侧、全在对称轴右侧两种情况讨论，分别找到对应最小值的自变量位置，代入求解后舍去不符合范围的解即可。
【解析】
首先将二次函数化为顶点式：$y=x^2+2x+2=(x+1)^2+1$，因此抛物线开口向上，对称轴为直线$x=-1$，顶点坐标为$(-1,1)$，顶点处函数最小值为1。
(1) 当$-1≤x≤t$时，区间在对称轴右侧，$y$随$x$的增大而增大，因此$y$的最大值在$x=t$处取得。
由题意得：$(t+1)^2+1=4$
整理得：$(t+1)^2=3$
解得：$t=-1+\sqrt{3}$ 或 $t=-1-\sqrt{3}$
∵ $t＞-1$，故$t=-1-\sqrt{3}$舍去
因此$t=-1+\sqrt{3}$。
(2) 若区间$[t,t+1]$包含对称轴$x=-1$，则$y$的最小值为顶点处的1，不符合题意中最小值为$\frac{3}{2}$，因此区间在对称轴同侧，分两种情况讨论：
① 当区间在对称轴左侧，即$t+1＜-1$，也就是$t＜-2$时，$y$随$x$的增大而减小，最小值在$x=t+1$处取得。
代入得：$(t+1+1)^2+1=\frac{3}{2}$
整理得：$(t+2)^2=\frac{1}{2}$
解得：$t=-2-\frac{\sqrt{2}}{2}$ 或 $t=-2+\frac{\sqrt{2}}{2}$
∵ $t＜-2$，故$t=-2+\frac{\sqrt{2}}{2}$舍去；
② 当区间在对称轴右侧，即$t＞-1$时，$y$随$x$的增大而增大，最小值在$x=t$处取得。
代入得：$(t+1)^2+1=\frac{3}{2}$
整理得：$(t+1)^2=\frac{1}{2}$
解得：$t=-1+\frac{\sqrt{2}}{2}$ 或 $t=-1-\frac{\sqrt{2}}{2}$
∵ $t＞-1$，故$t=-1-\frac{\sqrt{2}}{2}$舍去。
综上，$t$的值为$-2-\frac{\sqrt{2}}{2}$或$-1+\frac{\sqrt{2}}{2}$。
【答案】
(1)$-1+\sqrt{3}$；(2)$-2-\frac{\sqrt{2}}{2}$或$-1+\frac{\sqrt{2}}{2}$
【知识点】
二次函数顶点式转化；二次函数增减性；二次函数区间最值
【点评】
本题考查二次函数性质的应用，解题关键是先明确二次函数的开口方向与对称轴，再结合区间与对称轴的位置关系判断最值对应的自变量取值，解题时要注意分类讨论思想的运用，同时对求解出的结果要结合区间范围进行取舍，避免出现增根。
【难度系数】
0.6
这是二次函数的区间最值问题，解题核心思路为：①先将二次函数一般式化为顶点式，确定抛物线的开口方向、对称轴和顶点坐标，明确函数增减性；②第(1)问给定区间左端点为对称轴$x=-1$，抛物线开口向上，区间内$y$随$x$增大而增大，因此最大值出现在区间右端点$x=t$处，代入$y=4$求解后结合$t$的范围舍去不符合的解即可；③第(2)问中顶点处函数最小值为$1＜\frac{3}{2}$，说明给定区间$[t,t+1]$不包含对称轴$x=-1$，需分区间全在对称轴左侧、全在对称轴右侧两种情况讨论，分别找到对应最小值的自变量位置，代入求解后舍去不符合范围的解即可。
【解析】
首先将二次函数化为顶点式：$y=x^2+2x+2=(x+1)^2+1$，因此抛物线开口向上，对称轴为直线$x=-1$，顶点坐标为$(-1,1)$，顶点处函数最小值为1。
(1) 当$-1≤x≤t$时，区间在对称轴右侧，$y$随$x$的增大而增大，因此$y$的最大值在$x=t$处取得。
由题意得：$(t+1)^2+1=4$
整理得：$(t+1)^2=3$
解得：$t=-1+\sqrt{3}$ 或 $t=-1-\sqrt{3}$
∵ $t＞-1$，故$t=-1-\sqrt{3}$舍去
因此$t=-1+\sqrt{3}$。
(2) 若区间$[t,t+1]$包含对称轴$x=-1$，则$y$的最小值为顶点处的1，不符合题意中最小值为$\frac{3}{2}$，因此区间在对称轴同侧，分两种情况讨论：
① 当区间在对称轴左侧，即$t+1＜-1$，也就是$t＜-2$时，$y$随$x$的增大而减小，最小值在$x=t+1$处取得。
代入得：$(t+1+1)^2+1=\frac{3}{2}$
整理得：$(t+2)^2=\frac{1}{2}$
解得：$t=-2-\frac{\sqrt{2}}{2}$ 或 $t=-2+\frac{\sqrt{2}}{2}$
∵ $t＜-2$，故$t=-2+\frac{\sqrt{2}}{2}$舍去；
② 当区间在对称轴右侧，即$t＞-1$时，$y$随$x$的增大而增大，最小值在$x=t$处取得。
代入得：$(t+1)^2+1=\frac{3}{2}$
整理得：$(t+1)^2=\frac{1}{2}$
解得：$t=-1+\frac{\sqrt{2}}{2}$ 或 $t=-1-\frac{\sqrt{2}}{2}$
∵ $t＞-1$，故$t=-1-\frac{\sqrt{2}}{2}$舍去。
综上，$t$的值为$-2-\frac{\sqrt{2}}{2}$或$-1+\frac{\sqrt{2}}{2}$。
【答案】
(1)$-1+\sqrt{3}$；(2)$-2-\frac{\sqrt{2}}{2}$或$-1+\frac{\sqrt{2}}{2}$
【知识点】
二次函数顶点式转化；二次函数增减性；二次函数区间最值
【点评】
本题考查二次函数性质的应用，解题关键是先明确二次函数的开口方向与对称轴，再结合区间与对称轴的位置关系判断最值对应的自变量取值，解题时要注意分类讨论思想的运用，同时对求解出的结果要结合区间范围进行取舍，避免出现增根。
【难度系数】
0.6
11. （2024·内蒙古中考）在平面直角坐标系中，抛物线$y=x^2-2bx-4$经过点$(-1,m)$。
(1) 若$m=1$，则$b=$
(2) 已知点$(x_1,y_1),(x_2,y_2)$在抛物线上，其中$x_1＜x_2$。若$m＞0$且$2x_1+2x_2≤5$，比较$y_1$与$y_2$的大小关系，并说明理由。
(3) 若$b=0$，将抛物线向上平移4个单位得到的新抛物线与直线$y=kx+\frac{1}{4}$交于$A,B$两点，直线与$y$轴交于点$C$，点$E$为$AC$中点，过点$E$作$x$轴的垂线，垂足为点$F$，连接$AF$，$CF$。求证：$CF^2=\frac{1}{2}CE$。
(1) 若$m=1$，则$b=$
2
，通过配方可以将其化成顶点式为$y=(x-2)^2-8$
。(2) 已知点$(x_1,y_1),(x_2,y_2)$在抛物线上，其中$x_1＜x_2$。若$m＞0$且$2x_1+2x_2≤5$，比较$y_1$与$y_2$的大小关系，并说明理由。
(3) 若$b=0$，将抛物线向上平移4个单位得到的新抛物线与直线$y=kx+\frac{1}{4}$交于$A,B$两点，直线与$y$轴交于点$C$，点$E$为$AC$中点，过点$E$作$x$轴的垂线，垂足为点$F$，连接$AF$，$CF$。求证：$CF^2=\frac{1}{2}CE$。
答案
11. (1)$2$ $y=(x-2)^2-8$ 解析:$\because$ 抛物线$y=x^2-2bx-4$经过点$(-1,m)$,且$m=1$,$\therefore$ 将点$(-1,1)$代入$y=x^2-2bx-4$,得$1+2b-4=1$,解得$b=2$,则$y=x^2-4x-4$化成顶点式为$y=(x-2)^2-8$,故答案为$2$;$y=(x-2)^2-8$.
(2)$y_1＞y_2$,理由如下:$\because$ 抛物线$y=x^2-2bx-4$经过点$(-1,m)$,$\therefore m=1+2b-4$.$\because m＞0$,$\therefore 1+2b-4＞0$,即$b＞\frac{3}{2}$.抛物线$y=x^2-2bx-4=(x-b)^2-4-b^2$的对称轴为直线$x=b＞\frac{3}{2}$.$\because 2x_1+2x_2≤5$,$\therefore \frac{x_1+x_2}{2}≤\frac{5}{4}$,$\therefore \frac{x_1+x_2}{2}＜b$.又$\because x_1＜x_2$,$\therefore$ 点$(x_1,y_1)$到对称轴的距离大于点$(x_2,y_2)$到对称轴的距离.又$\because$ 抛物线的开口向上,$\therefore y_1＞y_2$.
(3)若$b=0$,则$y=x^2-4$,将$y=x^2-4$向上平移4个单位得到新抛物线$y=x^2-4+4=x^2$.$\because$ 抛物线$y=x^2$与直线$y=kx+\frac{1}{4}$交于点$A$,$\therefore$ 设点$A$的坐标为$A(n,n^2)$,将$x=0$代入$y=kx+\frac{1}{4}$,得$y=\frac{1}{4}$,$\therefore C(0,\frac{1}{4})$.$\because$ 点$E$为$AC$中点,$\therefore E(\frac{n}{2},\frac{n^2}{2}+\frac{1}{8})$.$\because EF⊥ x$轴于点$F$,$\therefore F(\frac{n}{2},0)$,$\therefore CF^2=(\frac{n}{2}-0)^2+(0-\frac{1}{4})^2=\frac{n^2}{4}+\frac{1}{16}$,$\frac{1}{2}CE=\frac{1}{2}\sqrt{(\frac{n}{2}-0)^2+(\frac{n^2}{2}+\frac{1}{8}-\frac{1}{4})^2}=\frac{1}{2}(\frac{n^2}{2}+\frac{1}{8})=\frac{n^2}{4}+\frac{1}{16}$,$\therefore CF^2=\frac{1}{2}CE$.
(2)$y_1＞y_2$,理由如下:$\because$ 抛物线$y=x^2-2bx-4$经过点$(-1,m)$,$\therefore m=1+2b-4$.$\because m＞0$,$\therefore 1+2b-4＞0$,即$b＞\frac{3}{2}$.抛物线$y=x^2-2bx-4=(x-b)^2-4-b^2$的对称轴为直线$x=b＞\frac{3}{2}$.$\because 2x_1+2x_2≤5$,$\therefore \frac{x_1+x_2}{2}≤\frac{5}{4}$,$\therefore \frac{x_1+x_2}{2}＜b$.又$\because x_1＜x_2$,$\therefore$ 点$(x_1,y_1)$到对称轴的距离大于点$(x_2,y_2)$到对称轴的距离.又$\because$ 抛物线的开口向上,$\therefore y_1＞y_2$.
(3)若$b=0$,则$y=x^2-4$,将$y=x^2-4$向上平移4个单位得到新抛物线$y=x^2-4+4=x^2$.$\because$ 抛物线$y=x^2$与直线$y=kx+\frac{1}{4}$交于点$A$,$\therefore$ 设点$A$的坐标为$A(n,n^2)$,将$x=0$代入$y=kx+\frac{1}{4}$,得$y=\frac{1}{4}$,$\therefore C(0,\frac{1}{4})$.$\because$ 点$E$为$AC$中点,$\therefore E(\frac{n}{2},\frac{n^2}{2}+\frac{1}{8})$.$\because EF⊥ x$轴于点$F$,$\therefore F(\frac{n}{2},0)$,$\therefore CF^2=(\frac{n}{2}-0)^2+(0-\frac{1}{4})^2=\frac{n^2}{4}+\frac{1}{16}$,$\frac{1}{2}CE=\frac{1}{2}\sqrt{(\frac{n}{2}-0)^2+(\frac{n^2}{2}+\frac{1}{8}-\frac{1}{4})^2}=\frac{1}{2}(\frac{n^2}{2}+\frac{1}{8})=\frac{n^2}{4}+\frac{1}{16}$,$\therefore CF^2=\frac{1}{2}CE$.
解析
【分析】
(1) 已知抛物线过点(-1,m)，当m=1时，直接将点(-1,1)代入抛物线解析式得到关于b的一元一次方程，解方程即可求出b的值；再用配方法将二次函数一般式转化为顶点式即可。
(2) 首先将点(-1,m)代入解析式，用含b的式子表示m，结合m＞0求出b的取值范围；再将抛物线配方得到对称轴为直线x=b，把已知不等式2x₁+2x₂≤5变形为两点横坐标的平均值≤5/4，和b的取值范围对比，判断两点中点与对称轴的位置关系；最后结合抛物线开口向上时，离对称轴越远函数值越大的性质，即可比较y₁和y₂的大小。
(3) 先根据平移规则“上加下减”求出平移后的新抛物线解析式；再求出直线与y轴交点C的坐标，设出点A的坐标，利用中点坐标公式求出AC中点E的坐标，结合EF垂直x轴得到F点坐标；最后分别利用两点间距离公式计算CF²和$\frac{1}{2}CE$的长度，化简后证明二者相等即可。
【解析】
(1)
∵抛物线$y=x^2-2bx-4$经过点$(-1,1)$，将点代入解析式得：
$1=(-1)^2-2b×(-1)-4$，即$1+2b-4=1$，
解得$b=2$。
此时抛物线解析式为$y=x^2-4x-4$，配方得：
$y=x^2-4x+4-4-4=(x-2)^2-8$，即顶点式为$y=(x-2)^2-8$。
(2) $y_1＞y_2$，理由如下：
∵抛物线$y=x^2-2bx-4$经过点$(-1,m)$，代入得：
$m=(-1)^2-2b×(-1)-4=1+2b-4$，
∵$m＞0$，
∴$1+2b-4＞0$，解得$b＞\frac{3}{2}$。
将抛物线配方得$y=(x-b)^2-b^2-4$，
∴抛物线开口向上，对称轴为直线$x=b＞\frac{3}{2}$。
∵$2x_1+2x_2≤5$，两边同除以4得$\frac{x_1+x_2}{2}≤\frac{5}{4}＜\frac{3}{2}＜b$，即两点横坐标的中点在对称轴左侧。
又
∵$x_1＜x_2$，
∴点$(x_1,y_1)$到对称轴$x=b$的距离大于点$(x_2,y_2)$到对称轴的距离。
∵抛物线开口向上，离对称轴越远函数值越大，
∴$y_1＞y_2$。
(3) 证明：当$b=0$时，原抛物线解析式为$y=x^2-4$，向上平移4个单位后，新抛物线解析式为$y=x^2-4+4=x^2$。
直线$y=kx+\frac{1}{4}$与y轴交于点C，令$x=0$，得$y=\frac{1}{4}$，
∴$C(0,\frac{1}{4})$。
设点A的坐标为$(n,n^2)$（点A在新抛物线上），
∵E是AC的中点，根据中点坐标公式得：
$E(\frac{n+0}{2},\frac{n^2+\frac{1}{4}}{2})$，即$E(\frac{n}{2},\frac{n^2}{2}+\frac{1}{8})$。
∵EF⊥x轴，垂足为F，
∴F点横坐标与E相同，纵坐标为0，即$F(\frac{n}{2},0)$。
根据两点间距离公式：
$CF^2=(\frac{n}{2}-0)^2+(0-\frac{1}{4})^2=\frac{n^2}{4}+\frac{1}{16}$。
先计算CE的长度：
$CE=\sqrt{(\frac{n}{2}-0)^2+(\frac{n^2}{2}+\frac{1}{8}-\frac{1}{4})^2}=\sqrt{(\frac{n}{2})^2+(\frac{n^2}{2}-\frac{1}{8})^2}$
$=\sqrt{\frac{n^2}{4}+\frac{n^4}{4}-\frac{n^2}{8}+\frac{1}{64}}=\sqrt{\frac{n^4}{4}+\frac{n^2}{8}+\frac{1}{64}}=\sqrt{(\frac{n^2}{2}+\frac{1}{8})^2}=\frac{n^2}{2}+\frac{1}{8}$
∴$\frac{1}{2}CE=\frac{1}{2}×(\frac{n^2}{2}+\frac{1}{8})=\frac{n^2}{4}+\frac{1}{16}$。
∴$CF^2=\frac{1}{2}CE$，得证。
【答案】
(1) $2$；$y=(x-2)^2-8$
(2) $y_1＞y_2$
(3) 证明成立，$CF^2=\frac{1}{2}CE$
【知识点】
二次函数的图象与性质，二次函数的平移，两点间距离公式
【点评】
本题是二次函数综合题，梯度设置合理，第一问考察代入求值与配方法的基础技能，难度较低；第二问需要结合不等式判断点与对称轴的位置关系，考察二次函数增减性的灵活应用；第三问融合了一次函数、中点坐标、距离公式等知识点，考察综合运算与逻辑推导能力，整体注重对基础知识点的理解与运用。
【难度系数】
0.6
(1) 已知抛物线过点(-1,m)，当m=1时，直接将点(-1,1)代入抛物线解析式得到关于b的一元一次方程，解方程即可求出b的值；再用配方法将二次函数一般式转化为顶点式即可。
(2) 首先将点(-1,m)代入解析式，用含b的式子表示m，结合m＞0求出b的取值范围；再将抛物线配方得到对称轴为直线x=b，把已知不等式2x₁+2x₂≤5变形为两点横坐标的平均值≤5/4，和b的取值范围对比，判断两点中点与对称轴的位置关系；最后结合抛物线开口向上时，离对称轴越远函数值越大的性质，即可比较y₁和y₂的大小。
(3) 先根据平移规则“上加下减”求出平移后的新抛物线解析式；再求出直线与y轴交点C的坐标，设出点A的坐标，利用中点坐标公式求出AC中点E的坐标，结合EF垂直x轴得到F点坐标；最后分别利用两点间距离公式计算CF²和$\frac{1}{2}CE$的长度，化简后证明二者相等即可。
【解析】
(1)
∵抛物线$y=x^2-2bx-4$经过点$(-1,1)$，将点代入解析式得：
$1=(-1)^2-2b×(-1)-4$，即$1+2b-4=1$，
解得$b=2$。
此时抛物线解析式为$y=x^2-4x-4$，配方得：
$y=x^2-4x+4-4-4=(x-2)^2-8$，即顶点式为$y=(x-2)^2-8$。
(2) $y_1＞y_2$，理由如下：
∵抛物线$y=x^2-2bx-4$经过点$(-1,m)$，代入得：
$m=(-1)^2-2b×(-1)-4=1+2b-4$，
∵$m＞0$，
∴$1+2b-4＞0$，解得$b＞\frac{3}{2}$。
将抛物线配方得$y=(x-b)^2-b^2-4$，
∴抛物线开口向上，对称轴为直线$x=b＞\frac{3}{2}$。
∵$2x_1+2x_2≤5$，两边同除以4得$\frac{x_1+x_2}{2}≤\frac{5}{4}＜\frac{3}{2}＜b$，即两点横坐标的中点在对称轴左侧。
又
∵$x_1＜x_2$，
∴点$(x_1,y_1)$到对称轴$x=b$的距离大于点$(x_2,y_2)$到对称轴的距离。
∵抛物线开口向上，离对称轴越远函数值越大，
∴$y_1＞y_2$。
(3) 证明：当$b=0$时，原抛物线解析式为$y=x^2-4$，向上平移4个单位后，新抛物线解析式为$y=x^2-4+4=x^2$。
直线$y=kx+\frac{1}{4}$与y轴交于点C，令$x=0$，得$y=\frac{1}{4}$，
∴$C(0,\frac{1}{4})$。
设点A的坐标为$(n,n^2)$（点A在新抛物线上），
∵E是AC的中点，根据中点坐标公式得：
$E(\frac{n+0}{2},\frac{n^2+\frac{1}{4}}{2})$，即$E(\frac{n}{2},\frac{n^2}{2}+\frac{1}{8})$。
∵EF⊥x轴，垂足为F，
∴F点横坐标与E相同，纵坐标为0，即$F(\frac{n}{2},0)$。
根据两点间距离公式：
$CF^2=(\frac{n}{2}-0)^2+(0-\frac{1}{4})^2=\frac{n^2}{4}+\frac{1}{16}$。
先计算CE的长度：
$CE=\sqrt{(\frac{n}{2}-0)^2+(\frac{n^2}{2}+\frac{1}{8}-\frac{1}{4})^2}=\sqrt{(\frac{n}{2})^2+(\frac{n^2}{2}-\frac{1}{8})^2}$
$=\sqrt{\frac{n^2}{4}+\frac{n^4}{4}-\frac{n^2}{8}+\frac{1}{64}}=\sqrt{\frac{n^4}{4}+\frac{n^2}{8}+\frac{1}{64}}=\sqrt{(\frac{n^2}{2}+\frac{1}{8})^2}=\frac{n^2}{2}+\frac{1}{8}$
∴$\frac{1}{2}CE=\frac{1}{2}×(\frac{n^2}{2}+\frac{1}{8})=\frac{n^2}{4}+\frac{1}{16}$。
∴$CF^2=\frac{1}{2}CE$，得证。
【答案】
(1) $2$；$y=(x-2)^2-8$
(2) $y_1＞y_2$
(3) 证明成立，$CF^2=\frac{1}{2}CE$
【知识点】
二次函数的图象与性质，二次函数的平移，两点间距离公式
【点评】
本题是二次函数综合题，梯度设置合理，第一问考察代入求值与配方法的基础技能，难度较低；第二问需要结合不等式判断点与对称轴的位置关系，考察二次函数增减性的灵活应用；第三问融合了一次函数、中点坐标、距离公式等知识点，考察综合运算与逻辑推导能力，整体注重对基础知识点的理解与运用。
【难度系数】
0.6
12. (2025·长春月考)在平面直角坐标系中,抛物线$y=-\dfrac{1}{4}x^2+bx+c$($b,c$为常数)的对称轴为直线$x=2$,且经过点$A(4,3)$.点$P$在该抛物线上,其横坐标为$m$.
(1)求此抛物线对应的函数表达式;
(2)当$0≤ x≤6$时,求函数$y$的最大值和最小值;
(3)将此抛物线上$P,A$两点之间的部分(包括$P,A$两点)记为图象$G$,当图象$G$与直线$y=m+\dfrac{3}{2}$只有一个公共点时,求$m$的取值范围;
(4)设点$Q$的坐标为$(-1,3-m)$,当$PQ$不与坐标轴平行时,以$PQ$为对角线构造矩形$PMQN$,且$PM⊥ y$轴.当抛物线在矩形$PMQN$内部的点的纵坐标$y$随$x$的增大而增大或$y$随$x$的增大而减小时,直接写出$m$的取值范围.
(1)求此抛物线对应的函数表达式;
(2)当$0≤ x≤6$时,求函数$y$的最大值和最小值;
(3)将此抛物线上$P,A$两点之间的部分(包括$P,A$两点)记为图象$G$,当图象$G$与直线$y=m+\dfrac{3}{2}$只有一个公共点时,求$m$的取值范围;
(4)设点$Q$的坐标为$(-1,3-m)$,当$PQ$不与坐标轴平行时,以$PQ$为对角线构造矩形$PMQN$,且$PM⊥ y$轴.当抛物线在矩形$PMQN$内部的点的纵坐标$y$随$x$的增大而增大或$y$随$x$的增大而减小时,直接写出$m$的取值范围.
答案
12. (1)由题意得,$-\frac{b}{2×(-\frac{1}{4})}=2$,$\therefore b=1$.$\because$ 抛物线经过点$A(4,3)$,$\therefore$ 将$A(4,3)$代入$y=-\frac{1}{4}x^2+x+c$,得$-\frac{1}{4}×4^2+4+c=3$,解得$c=3$,$\therefore$ 抛物线对应的函数表达式为$y=-\frac{1}{4}x^2+x+3$.
(2)$\because$ 对称轴为直线$x=2$,且$-\frac{1}{4}＜0$,$\therefore$ 当$0≤ x≤6$时,$y_{\mathrm{max}}=-\frac{1}{4}×2^2+2+3=4$,当$x=0$时,$y=3$;当$x=6$时,$y=-\frac{1}{4}×6^2+6+3=0$,$\therefore y_{\mathrm{min}}=0$.
(3)由题意得,$P(m,-\frac{1}{4}m^2+m+3)$,当点$P$在$y$轴左侧,且正好落在$y=m+\frac{3}{2}$上时,如图①
,此时$-\frac{1}{4}m^2+m+3=m+\frac{3}{2}$,解得$m=-\sqrt{6}$(舍去正值),此时符合题意;当$m＜-\sqrt{6}$时,如图②
,符合题意;当$m＞-\sqrt{6}$时,如图③
,此时,不符合题意.当点$P$在$y$轴右侧时,点$A$恰好落在$y=m+\frac{3}{2}$上,如图④
,此时,$m+\frac{3}{2}=3$,解得$m=\frac{3}{2}$,此时符合题意;当$P$正好落在$y=m+\frac{3}{2}$上时,如图⑤
,此时$-\frac{1}{4}m^2+m+3=m+\frac{3}{2}$,解得$m=\sqrt{6}$(舍去负值),此时符合题意;当$\frac{3}{2}＜m＜\sqrt{6}$时,如图⑥
,此时符合题意;当$m＞\sqrt{6}$时,如图⑦
,此时不符合题意.综上,当图象$G$与直线$y=m+\frac{3}{2}$只有一个公共点时,$m$的取值范围为$m≤-\sqrt{6}$或$\frac{3}{2}≤ m≤\sqrt{6}$.
(4)$m$的取值范围是$m＜-1$或$0＜m＜5$或$m＞8$. 解析:$\because$ 四边形$PMQN$是矩形,$\therefore QM// PN// y$轴,$\therefore x_M=x_Q=-1$,当点$P$在点$M$左侧,且矩形在$y$轴左侧时,如图⑧
,此时$m＜-1$,符合题意;当$P,M$重合,此时$m=-1$,$PQ// y$轴,不符合题意,如图⑨
;当$-1＜m＜0$时,矩形在抛物线的外部,不符合题意,如图⑩
;当$m=0$时,$PQ// x$轴,不符合题意,如图⑪
;当$m＞0$时,此时符合题意,如图⑫
;当点$M$落在抛物线上时,如图⑬
,此时$x_M=-1$,由于对称轴为直线$x=2$,$\therefore m=5$,$\therefore 0＜m＜5$时符合题意;当$PQ// x$轴时,不符合题意,如图⑭
,此时$y_P=y_Q$,$\therefore -\frac{1}{4}m^2+m+3=3-m$,解得$m=8$或$m=0$(舍);当$m＞8$时,如图⑮
,符合题意.综上所述,$m$的取值范围是$m＜-1$或$0＜m＜5$或$m＞8$.
解析
【分析】
(1) 求抛物线解析式可先利用二次函数对称轴公式求出参数b，再将已知点A的坐标代入解析式求解参数c即可。
(2) 求定区间内的二次函数最值，首先判断开口方向和对称轴与区间的位置关系：本题抛物线开口向下，对称轴在区间内部，因此顶点处取最大值，再比较区间两个端点的函数值，较小的即为区间最小值。
(3) 图象G是P、A之间的抛物线部分，要与直线只有1个公共点，需结合图象分类讨论：分点P在y轴左侧、右侧两种情况，分别考虑直线过点P、过点A的临界情况，再根据图象判断符合条件的m的范围。
(4) 矩形PMQN的边平行于坐标轴（PM垂直y轴），要使矩形内部的抛物线部分单调，即矩形内的抛物线全部在对称轴左侧（递增）或全部在对称轴右侧（递减），同时排除PQ与坐标轴平行的情况，分情况讨论即可得到m的取值范围。
【解析】
(1) 由题意得抛物线$y=-\dfrac{1}{4}x^2+bx+c$的对称轴为直线$x=2$，根据对称轴公式$x=-\dfrac{b}{2a}$（其中$a=-\dfrac{1}{4}$），代入得：
$-\dfrac{b}{2×(-\dfrac{1}{4})}=2$，解得$b=1$。
∵抛物线经过点$A(4,3)$，将$A(4,3)$代入$y=-\dfrac{1}{4}x^2+x+c$得：
$-\dfrac{1}{4}×4^2+4+c=3$，解得$c=3$。
∴抛物线对应的函数表达式为$y=-\dfrac{1}{4}x^2+x+3$。
(2)
∵抛物线$a=-\dfrac{1}{4}＜0$，开口向下，对称轴为直线$x=2$，且$x=2$在$0≤x≤6$范围内，
∴当$x=2$时，y取得最大值：$y_{\mathrm{max}}=-\dfrac{1}{4}×2^2+2+3=4$。
分别计算区间端点的函数值：
当$x=0$时，$y=-\dfrac{1}{4}×0+0+3=3$；
当$x=6$时，$y=-\dfrac{1}{4}×6^2+6+3=0$。
比较得$y_{\mathrm{min}}=0$。
(3) 点P横坐标为m，故P点坐标为$(m,-\dfrac{1}{4}m^2+m+3)$，分情况讨论：
① 点P在y轴左侧（$m＜0$）：
若点P落在直线$y=m+\dfrac{3}{2}$上，得$-\dfrac{1}{4}m^2+m+3=m+\dfrac{3}{2}$，解得$m=\pm\sqrt{6}$，取负值得$m=-\sqrt{6}$，此时符合题意，如图①；
当$m＜-\sqrt{6}$时，图象G与直线只有1个公共点，符合题意，如图②；
当$-\sqrt{6}＜m＜0$时，图象G与直线有2个公共点，不符合题意，如图③。
② 点P在y轴右侧（$m≥0$）：
若点A落在直线$y=m+\dfrac{3}{2}$上，得$m+\dfrac{3}{2}=3$，解得$m=\dfrac{3}{2}$，此时符合题意，如图④；
若点P落在直线$y=m+\dfrac{3}{2}$上，解得$m=\sqrt{6}$（舍去负值），此时符合题意，如图⑤；
当$\dfrac{3}{2}＜m＜\sqrt{6}$时，图象G与直线只有1个公共点，符合题意，如图⑥；
当$m＞\sqrt{6}$时，图象G与直线无公共点或有2个公共点，不符合题意，如图⑦。
综上，$m$的取值范围为$m≤-\sqrt{6}$或$\dfrac{3}{2}≤m≤\sqrt{6}$。
(4)
∵四边形PMQN是矩形，$PM⊥y$轴，
∴矩形的边分别平行于x轴、y轴，$x_M=x_Q=-1$，分情况讨论：
当$m＜-1$时，矩形全在y轴左侧，对应抛物线部分y随x增大而增大，符合题意，如图⑧；
当$m=-1$时，PQ平行于y轴，不符合题意，如图⑨；
当$-1＜m＜0$时，矩形内无符合要求的抛物线部分或抛物线部分不单调，不符合题意，如图⑩；
当$m=0$时，PQ平行于x轴，不符合题意，如图⑪；
当$0＜m＜5$时，矩形内的抛物线部分全在对称轴左侧，y随x增大而增大，符合题意，如图⑫；当$x_M=-1$落在抛物线上时，由抛物线对称性得$m=2×2-(-1)=5$，为临界值，如图⑬；
当$m=8$时，$y_P=y_Q$，PQ平行于x轴，不符合题意，如图⑭；
当$m＞8$时，矩形内的抛物线部分全在对称轴右侧，y随x增大而减小，符合题意，如图⑮。
综上，m的取值范围是$m＜-1$或$0＜m＜5$或$m＞8$。
【答案】
(1) $\boldsymbol{y=-\dfrac{1}{4}x^2+x+3}$
(2) 最大值为$\boldsymbol{4}$，最小值为$\boldsymbol{0}$
(3) $\boldsymbol{m≤-\sqrt{6}}$或$\boldsymbol{\dfrac{3}{2}≤ m≤\sqrt{6}}$
对应图：如图①、如图②、如图③、如图④、如图⑤、如图⑥、如图⑦
(4) $\boldsymbol{m＜-1}$或$\boldsymbol{0＜m＜5}$或$\boldsymbol{m＞8}$
对应图：如图⑧、如图⑨、如图⑩、如图⑪、如图⑫、如图⑬、如图⑭、如图⑮
【知识点】
待定系数法求二次函数解析式，二次函数的最值，二次函数与几何综合
【点评】
本题综合考查二次函数的图象与性质，涵盖解析式求解、定区间最值计算、函数交点个数判断、二次函数与矩形结合等考点，解题时需灵活运用数形结合、分类讨论的思想，对图象分析和逻辑推理能力有一定要求。
【难度系数】
0.3
(1) 求抛物线解析式可先利用二次函数对称轴公式求出参数b，再将已知点A的坐标代入解析式求解参数c即可。
(2) 求定区间内的二次函数最值，首先判断开口方向和对称轴与区间的位置关系：本题抛物线开口向下，对称轴在区间内部，因此顶点处取最大值，再比较区间两个端点的函数值，较小的即为区间最小值。
(3) 图象G是P、A之间的抛物线部分，要与直线只有1个公共点，需结合图象分类讨论：分点P在y轴左侧、右侧两种情况，分别考虑直线过点P、过点A的临界情况，再根据图象判断符合条件的m的范围。
(4) 矩形PMQN的边平行于坐标轴（PM垂直y轴），要使矩形内部的抛物线部分单调，即矩形内的抛物线全部在对称轴左侧（递增）或全部在对称轴右侧（递减），同时排除PQ与坐标轴平行的情况，分情况讨论即可得到m的取值范围。
【解析】
(1) 由题意得抛物线$y=-\dfrac{1}{4}x^2+bx+c$的对称轴为直线$x=2$，根据对称轴公式$x=-\dfrac{b}{2a}$（其中$a=-\dfrac{1}{4}$），代入得：
$-\dfrac{b}{2×(-\dfrac{1}{4})}=2$，解得$b=1$。
∵抛物线经过点$A(4,3)$，将$A(4,3)$代入$y=-\dfrac{1}{4}x^2+x+c$得：
$-\dfrac{1}{4}×4^2+4+c=3$，解得$c=3$。
∴抛物线对应的函数表达式为$y=-\dfrac{1}{4}x^2+x+3$。
(2)
∵抛物线$a=-\dfrac{1}{4}＜0$，开口向下，对称轴为直线$x=2$，且$x=2$在$0≤x≤6$范围内，
∴当$x=2$时，y取得最大值：$y_{\mathrm{max}}=-\dfrac{1}{4}×2^2+2+3=4$。
分别计算区间端点的函数值：
当$x=0$时，$y=-\dfrac{1}{4}×0+0+3=3$；
当$x=6$时，$y=-\dfrac{1}{4}×6^2+6+3=0$。
比较得$y_{\mathrm{min}}=0$。
(3) 点P横坐标为m，故P点坐标为$(m,-\dfrac{1}{4}m^2+m+3)$，分情况讨论：
① 点P在y轴左侧（$m＜0$）：
若点P落在直线$y=m+\dfrac{3}{2}$上，得$-\dfrac{1}{4}m^2+m+3=m+\dfrac{3}{2}$，解得$m=\pm\sqrt{6}$，取负值得$m=-\sqrt{6}$，此时符合题意，如图①
；当$m＜-\sqrt{6}$时，图象G与直线只有1个公共点，符合题意，如图②
；当$-\sqrt{6}＜m＜0$时，图象G与直线有2个公共点，不符合题意，如图③
。② 点P在y轴右侧（$m≥0$）：
若点A落在直线$y=m+\dfrac{3}{2}$上，得$m+\dfrac{3}{2}=3$，解得$m=\dfrac{3}{2}$，此时符合题意，如图④
；若点P落在直线$y=m+\dfrac{3}{2}$上，解得$m=\sqrt{6}$（舍去负值），此时符合题意，如图⑤
；当$\dfrac{3}{2}＜m＜\sqrt{6}$时，图象G与直线只有1个公共点，符合题意，如图⑥
；当$m＞\sqrt{6}$时，图象G与直线无公共点或有2个公共点，不符合题意，如图⑦
。综上，$m$的取值范围为$m≤-\sqrt{6}$或$\dfrac{3}{2}≤m≤\sqrt{6}$。
(4)
∵四边形PMQN是矩形，$PM⊥y$轴，
∴矩形的边分别平行于x轴、y轴，$x_M=x_Q=-1$，分情况讨论：
当$m＜-1$时，矩形全在y轴左侧，对应抛物线部分y随x增大而增大，符合题意，如图⑧
；当$m=-1$时，PQ平行于y轴，不符合题意，如图⑨
；当$-1＜m＜0$时，矩形内无符合要求的抛物线部分或抛物线部分不单调，不符合题意，如图⑩
；当$m=0$时，PQ平行于x轴，不符合题意，如图⑪
；当$0＜m＜5$时，矩形内的抛物线部分全在对称轴左侧，y随x增大而增大，符合题意，如图⑫
；当$x_M=-1$落在抛物线上时，由抛物线对称性得$m=2×2-(-1)=5$，为临界值，如图⑬；当$m=8$时，$y_P=y_Q$，PQ平行于x轴，不符合题意，如图⑭
；当$m＞8$时，矩形内的抛物线部分全在对称轴右侧，y随x增大而减小，符合题意，如图⑮
。综上，m的取值范围是$m＜-1$或$0＜m＜5$或$m＞8$。
【答案】
(1) $\boldsymbol{y=-\dfrac{1}{4}x^2+x+3}$
(2) 最大值为$\boldsymbol{4}$，最小值为$\boldsymbol{0}$
(3) $\boldsymbol{m≤-\sqrt{6}}$或$\boldsymbol{\dfrac{3}{2}≤ m≤\sqrt{6}}$
对应图：如图①
、如图②、如图③、如图④、如图⑤、如图⑥、如图⑦(4) $\boldsymbol{m＜-1}$或$\boldsymbol{0＜m＜5}$或$\boldsymbol{m＞8}$
对应图：如图⑧
、如图⑨、如图⑩、如图⑪、如图⑫、如图⑬、如图⑭、如图⑮【知识点】
待定系数法求二次函数解析式，二次函数的最值，二次函数与几何综合
【点评】
本题综合考查二次函数的图象与性质，涵盖解析式求解、定区间最值计算、函数交点个数判断、二次函数与矩形结合等考点，解题时需灵活运用数形结合、分类讨论的思想，对图象分析和逻辑推理能力有一定要求。
【难度系数】
0.3
