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1. 已知二次函数$y=ax^2+4x+c$，当$x=-2$时，函数值是-1；当$x=1$时，函数值是5，则此二次函数的表达式为（
A.$y=2x^2+4x-1$
B.$y=x^2+4x-2$
C.$y=-2x^2+4x+1$
D.$y=2x^2+4x+1$
A
）A.$y=2x^2+4x-1$
B.$y=x^2+4x-2$
C.$y=-2x^2+4x+1$
D.$y=2x^2+4x+1$
答案
1. A 解析:根据题意得$\begin{cases}4a-8+c=-1,\\a+4+c=5,\end{cases}$解得$\begin{cases}a=2,\\c=-1.\end{cases}$
∴抛物线的表达式为$y=2x^2+4x-1$.故选 A.
∴抛物线的表达式为$y=2x^2+4x-1$.故选 A.
解析
【分析】
本题要求确定二次函数的表达式，已知函数中含有a、c两个未知系数，同时给出了两组x与对应函数值y的条件，因此可采用待定系数法解题：第一步将两组x、y的值分别代入函数解析式，得到关于a、c的二元一次方程组；第二步解方程组求出a、c的值；第三步将a、c代回原解析式即可得到结果，也可直接将选项代入题干给出的两个x值验证函数值是否匹配，快速排除错误选项。
【解析】
解：将$x=-2$，$y=-1$代入$y=ax^2+4x+c$，得：
$a×(-2)^2 +4×(-2)+c=-1$，即$4a-8+c=-1$ ①
将$x=1$，$y=5$代入$y=ax^2+4x+c$，得：
$a×1^2 +4×1 +c=5$，即$a+4+c=5$ ②
用①-②消去c，得：$3a-12=-6$，解得$a=2$
将$a=2$代入②，得：$2+4+c=5$，解得$c=-1$
将$a=2$，$c=-1$代入原二次函数，得表达式为$y=2x^2+4x-1$
故选A。
【答案】
A
【知识点】
待定系数法求二次函数表达式，二元一次方程组的求解
【点评】
本题是二次函数解析式确定的基础题型，核心考查待定系数法的应用，解题关键是准确代入已知条件列出方程组，也可通过代入验证选项的方法提高解题效率。
【难度系数】
0.8
本题要求确定二次函数的表达式，已知函数中含有a、c两个未知系数，同时给出了两组x与对应函数值y的条件，因此可采用待定系数法解题：第一步将两组x、y的值分别代入函数解析式，得到关于a、c的二元一次方程组；第二步解方程组求出a、c的值；第三步将a、c代回原解析式即可得到结果，也可直接将选项代入题干给出的两个x值验证函数值是否匹配，快速排除错误选项。
【解析】
解：将$x=-2$，$y=-1$代入$y=ax^2+4x+c$，得：
$a×(-2)^2 +4×(-2)+c=-1$，即$4a-8+c=-1$ ①
将$x=1$，$y=5$代入$y=ax^2+4x+c$，得：
$a×1^2 +4×1 +c=5$，即$a+4+c=5$ ②
用①-②消去c，得：$3a-12=-6$，解得$a=2$
将$a=2$代入②，得：$2+4+c=5$，解得$c=-1$
将$a=2$，$c=-1$代入原二次函数，得表达式为$y=2x^2+4x-1$
故选A。
【答案】
A
【知识点】
待定系数法求二次函数表达式，二元一次方程组的求解
【点评】
本题是二次函数解析式确定的基础题型，核心考查待定系数法的应用，解题关键是准确代入已知条件列出方程组，也可通过代入验证选项的方法提高解题效率。
【难度系数】
0.8
2. 在二次函数 $ y = ax^2 + bx + c $ 中，函数 $ y $ 与自变量 $ x $ 的部分对应值如下表，则该二次函数的表达式为 (
A.$ y = x^2 + 4x +5 $
B.$ y = x^2 +4x -5 $
C.$ y = x^2 -4x +5 $
D.$ y = x^2 -4x -5 $
C
)A.$ y = x^2 + 4x +5 $
B.$ y = x^2 +4x -5 $
C.$ y = x^2 -4x +5 $
D.$ y = x^2 -4x -5 $
答案
2. C 解析:把$(0,5),(1,2),(2,1)$分别代入$y=ax^2+bx+c$中,得$\begin{cases}c=5,\\a+b+c=2,\\4a+2b+c=1,\end{cases}$ 解得$\begin{cases}a=1,\\b=-4,\\c=5,\end{cases}$所以抛物线的表达式为$y=x^2-4x+5.$
解析
【分析】
本题要求二次函数的表达式，可采用待定系数法求解：二次函数的一般式为$y=ax^2+bx+c$，含有3个未知系数$a、b、c$，因此只需从表格中选取3组方便计算的$x、y$对应值代入一般式，得到三元一次方程组，解方程组即可求出三个系数的值，进而得到函数表达式。选点时优先选择坐标数值简单的点，比如$x=0$的点，可直接得出$c$的值，简化计算过程。
【解析】
选择表格中$(0,5)、(1,2)、(2,1)$三组值代入二次函数一般式$y=ax^2+bx+c$，可得方程组：
$\begin{cases}c=5 \\a+b+c=2 \\4a+2b+c=1\end{cases}$
将$c=5$代入后两个方程，化简得：
$\begin{cases}a+b=-3 \\2a+b=-2\end{cases}$
用第二个方程减去第一个方程，得$a=1$，将$a=1$代入$a+b=-3$，解得$b=-4$。
因此$a=1，b=-4，c=5$，二次函数的表达式为$y=x^2-4x+5$，对应选项C。
【答案】
C
【知识点】
待定系数法求解析式；二次函数一般式；解三元一次方程组
【点评】
本题是二次函数解析式求解的基础题型，核心考查待定系数法的应用，解题时优先选取计算简单的点可有效降低运算量，也可结合二次函数的对称性对结果进行验证，掌握基本方法即可顺利解答。
【难度系数】
0.8
本题要求二次函数的表达式，可采用待定系数法求解：二次函数的一般式为$y=ax^2+bx+c$，含有3个未知系数$a、b、c$，因此只需从表格中选取3组方便计算的$x、y$对应值代入一般式，得到三元一次方程组，解方程组即可求出三个系数的值，进而得到函数表达式。选点时优先选择坐标数值简单的点，比如$x=0$的点，可直接得出$c$的值，简化计算过程。
【解析】
选择表格中$(0,5)、(1,2)、(2,1)$三组值代入二次函数一般式$y=ax^2+bx+c$，可得方程组：
$\begin{cases}c=5 \\a+b+c=2 \\4a+2b+c=1\end{cases}$
将$c=5$代入后两个方程，化简得：
$\begin{cases}a+b=-3 \\2a+b=-2\end{cases}$
用第二个方程减去第一个方程，得$a=1$，将$a=1$代入$a+b=-3$，解得$b=-4$。
因此$a=1，b=-4，c=5$，二次函数的表达式为$y=x^2-4x+5$，对应选项C。
【答案】
C
【知识点】
待定系数法求解析式；二次函数一般式；解三元一次方程组
【点评】
本题是二次函数解析式求解的基础题型，核心考查待定系数法的应用，解题时优先选取计算简单的点可有效降低运算量，也可结合二次函数的对称性对结果进行验证，掌握基本方法即可顺利解答。
【难度系数】
0.8
3. 已知二次函数$y=ax^2 -2ax +c$（其中$x$是自变量），当$2≤x≤3$时，$5≤y≤8$，求二次函数表达式.
答案
3. 由题意易得对称轴为直线$x=1$,分情况讨论:当$x=2$时,$y=5$;$x=3$时,$y=8$,则$\begin{cases}4a-4a+c=5,\\9a-6a+c=8,\end{cases}$解得$\begin{cases}a=1,\\c=5.\end{cases}$当$x=2$时,$y=8$;$x=3$时,$y=5$,则$\begin{cases}4a-4a+c=8,\\9a-6a+c=5,\end{cases}$解得$\begin{cases}a=-1,\\c=8,\end{cases}$
∴二次函数的表达式为$y=x^2-2x+5$或$y=-x^2+2x+8.$
∴二次函数的表达式为$y=x^2-2x+5$或$y=-x^2+2x+8.$
解析
【分析】
要求二次函数表达式，已知表达式仅含a、c两个未知参数，可结合二次函数性质求解：第一步先计算二次函数的对称轴，由对称轴公式$x=-\frac{b}{2a}$可算出对称轴为直线$x=1$，观察给定自变量范围$2≤x≤3$，全部在对称轴右侧，因此该区间内函数具有单调性，最值在区间端点$x=2$和$x=3$处取得。接下来分两种情况讨论：开口向上（$a＞0$）时，对称轴右侧函数递增，$x=2$时y取最小值5，$x=3$时y取最大值8；开口向下（$a＜0$）时，对称轴右侧函数递减，$x=2$时y取最大值8，$x=3$时y取最小值5，分别代入列方程组求解a、c即可得到表达式。
【解析】
对于二次函数$y=ax^2 -2ax +c$，其对称轴为直线$x=-\frac{-2a}{2a}=1$。
∵自变量取值范围$2≤x≤3$在对称轴右侧，
∴该区间内函数具有单调性，最值在区间端点处取得，分两种情况讨论：
① 当$a＞0$时，函数在对称轴右侧单调递增，此时$x=2$时$y=5$，$x=3$时$y=8$，代入得：
$\begin{cases}4a-4a+c=5\\9a-6a+c=8\end{cases}$
解得$\begin{cases}a=1\\c=5\end{cases}$
② 当$a＜0$时，函数在对称轴右侧单调递减，此时$x=2$时$y=8$，$x=3$时$y=5$，代入得：
$\begin{cases}4a-4a+c=8\\9a-6a+c=5\end{cases}$
解得$\begin{cases}a=-1\\c=8\end{cases}$
将求得的参数代入原表达式即可。
【答案】
$y=x^2-2x+5$或$y=-x^2+2x+8$
【知识点】
二次函数对称轴计算、二次函数的单调性、待定系数法求表达式
【点评】
本题结合二次函数性质与待定系数法考查，解题核心是先确定对称轴，判断给定区间内函数的单调性，再结合开口方向分类讨论端点的函数值，注意不要遗漏开口向下的情况，避免漏解。
【难度系数】
0.6
要求二次函数表达式，已知表达式仅含a、c两个未知参数，可结合二次函数性质求解：第一步先计算二次函数的对称轴，由对称轴公式$x=-\frac{b}{2a}$可算出对称轴为直线$x=1$，观察给定自变量范围$2≤x≤3$，全部在对称轴右侧，因此该区间内函数具有单调性，最值在区间端点$x=2$和$x=3$处取得。接下来分两种情况讨论：开口向上（$a＞0$）时，对称轴右侧函数递增，$x=2$时y取最小值5，$x=3$时y取最大值8；开口向下（$a＜0$）时，对称轴右侧函数递减，$x=2$时y取最大值8，$x=3$时y取最小值5，分别代入列方程组求解a、c即可得到表达式。
【解析】
对于二次函数$y=ax^2 -2ax +c$，其对称轴为直线$x=-\frac{-2a}{2a}=1$。
∵自变量取值范围$2≤x≤3$在对称轴右侧，
∴该区间内函数具有单调性，最值在区间端点处取得，分两种情况讨论：
① 当$a＞0$时，函数在对称轴右侧单调递增，此时$x=2$时$y=5$，$x=3$时$y=8$，代入得：
$\begin{cases}4a-4a+c=5\\9a-6a+c=8\end{cases}$
解得$\begin{cases}a=1\\c=5\end{cases}$
② 当$a＜0$时，函数在对称轴右侧单调递减，此时$x=2$时$y=8$，$x=3$时$y=5$，代入得：
$\begin{cases}4a-4a+c=8\\9a-6a+c=5\end{cases}$
解得$\begin{cases}a=-1\\c=8\end{cases}$
将求得的参数代入原表达式即可。
【答案】
$y=x^2-2x+5$或$y=-x^2+2x+8$
【知识点】
二次函数对称轴计算、二次函数的单调性、待定系数法求表达式
【点评】
本题结合二次函数性质与待定系数法考查，解题核心是先确定对称轴，判断给定区间内函数的单调性，再结合开口方向分类讨论端点的函数值，注意不要遗漏开口向下的情况，避免漏解。
【难度系数】
0.6
4. (2025·秦皇岛期末)如果一条抛物线的形状和开口方向与$y=-2x^2+2$相同，且顶点坐标是$(4,2)$，则它的表达式是 (
A.$y=2(x-4)^2+2$
B.$y=-2(x-4)^2-2$
C.$y=-2(x-4)^2+2$
D.$y=-2(x+4)^2-2$
C
)A.$y=2(x-4)^2+2$
B.$y=-2(x-4)^2-2$
C.$y=-2(x-4)^2+2$
D.$y=-2(x+4)^2-2$
答案
4. C 解析:
∵一条抛物线的形状和开口方向与$y=-2x^2+2$相同,
∴$a=-2$.
∵顶点坐标是$(4,2)$,
∴它的表达式为$y=-2(x-4)^2+2$,故C满足条件,故选 C.
∵一条抛物线的形状和开口方向与$y=-2x^2+2$相同,
∴$a=-2$.
∵顶点坐标是$(4,2)$,
∴它的表达式为$y=-2(x-4)^2+2$,故C满足条件,故选 C.
解析
【分析】
解题时首先明确抛物线的形状和开口方向仅由二次项系数$a$决定，因此先根据已知抛物线的解析式确定所求抛物线的$a$值；再结合题目给出的顶点坐标，直接代入二次函数的顶点式$y=a(x-h)^2+k$（其中$(h,k)$为顶点坐标），即可求出对应的函数表达式，对应选项选出答案即可。
【解析】
∵抛物线的形状和开口方向与$y=-2x^2+2$相同，
∴所求抛物线的二次项系数$a=-2$。
又
∵该抛物线的顶点坐标为$(4,2)$，
∴将$a=-2$、$h=4$、$k=2$代入顶点式$y=a(x-h)^2+k$，可得表达式为$y=-2(x-4)^2+2$，对应选项C。
【答案】
C
【知识点】
1.二次函数图象与系数的关系 2.二次函数的顶点式
【点评】
本题是二次函数的基础题型，解题核心是掌握二次项系数对抛物线开口、形状的决定作用，以及顶点式的结构特征，计算量小，容易得分。
【难度系数】
0.8
解题时首先明确抛物线的形状和开口方向仅由二次项系数$a$决定，因此先根据已知抛物线的解析式确定所求抛物线的$a$值；再结合题目给出的顶点坐标，直接代入二次函数的顶点式$y=a(x-h)^2+k$（其中$(h,k)$为顶点坐标），即可求出对应的函数表达式，对应选项选出答案即可。
【解析】
∵抛物线的形状和开口方向与$y=-2x^2+2$相同，
∴所求抛物线的二次项系数$a=-2$。
又
∵该抛物线的顶点坐标为$(4,2)$，
∴将$a=-2$、$h=4$、$k=2$代入顶点式$y=a(x-h)^2+k$，可得表达式为$y=-2(x-4)^2+2$，对应选项C。
【答案】
C
【知识点】
1.二次函数图象与系数的关系 2.二次函数的顶点式
【点评】
本题是二次函数的基础题型，解题核心是掌握二次项系数对抛物线开口、形状的决定作用，以及顶点式的结构特征，计算量小，容易得分。
【难度系数】
0.8
5. ★★ 已知抛物线 $y=x^2+bx+c$ 的顶点坐标为$(1,3)$，则抛物线的表达式为（
A.$y=x^2-2x+4$
B.$y=x^2-2x-3$
C.$y=-x^2+2x+1$
D.$y=x^2-2x+1$
A
）A.$y=x^2-2x+4$
B.$y=x^2-2x-3$
C.$y=-x^2+2x+1$
D.$y=x^2-2x+1$
答案
5. A 解析:
∵抛物线$y=x^2+bx+c$的顶点坐标为$(1,3)$,
∴抛物线的表达式为$y=(x-1)^2+3$,即$y=x^2-2x+4$.故选 A.
∵抛物线$y=x^2+bx+c$的顶点坐标为$(1,3)$,
∴抛物线的表达式为$y=(x-1)^2+3$,即$y=x^2-2x+4$.故选 A.
解析
【分析】
本题已知二次函数的二次项系数和顶点坐标，求解函数表达式，可优先用顶点式解题：首先回忆二次函数顶点式为$y=a(x-h)^2+k$，其中$(h,k)$为顶点坐标，$a$为二次项系数；本题中原式二次项系数$a=1$，顶点坐标$(h,k)=(1,3)$，代入顶点式后展开为一般式，再和选项对比即可得到答案；也可利用顶点坐标公式$(-\frac{b}{2a},\frac{4ac-b^2}{4a})$，代入$a=1$和顶点坐标列方程求解$b、c$的值，其中顶点式解法更简便。
【解析】
已知抛物线$y=x^2+bx+c$的二次项系数$a=1$，顶点坐标为$(1,3)$，根据二次函数顶点式$y=a(x-h)^2+k$（$(h,k)$为顶点坐标），可得抛物线的顶点式为：
$y=(x-1)^2+3$
将其展开为一般式：
$y=x^2-2x+1+3=x^2-2x+4$
对应选项A。
【答案】
A
【知识点】
二次函数顶点式；二次函数表达式的确定；完全平方公式
【点评】
本题是二次函数解析式求解的基础题型，核心考查利用顶点坐标确定二次函数表达式的方法，熟练掌握顶点式的结构能大幅提升解题效率，解题时需注意顶点式中横坐标$h$的符号，避免出现符号错误。
【难度系数】
0.8
本题已知二次函数的二次项系数和顶点坐标，求解函数表达式，可优先用顶点式解题：首先回忆二次函数顶点式为$y=a(x-h)^2+k$，其中$(h,k)$为顶点坐标，$a$为二次项系数；本题中原式二次项系数$a=1$，顶点坐标$(h,k)=(1,3)$，代入顶点式后展开为一般式，再和选项对比即可得到答案；也可利用顶点坐标公式$(-\frac{b}{2a},\frac{4ac-b^2}{4a})$，代入$a=1$和顶点坐标列方程求解$b、c$的值，其中顶点式解法更简便。
【解析】
已知抛物线$y=x^2+bx+c$的二次项系数$a=1$，顶点坐标为$(1,3)$，根据二次函数顶点式$y=a(x-h)^2+k$（$(h,k)$为顶点坐标），可得抛物线的顶点式为：
$y=(x-1)^2+3$
将其展开为一般式：
$y=x^2-2x+1+3=x^2-2x+4$
对应选项A。
【答案】
A
【知识点】
二次函数顶点式；二次函数表达式的确定；完全平方公式
【点评】
本题是二次函数解析式求解的基础题型，核心考查利用顶点坐标确定二次函数表达式的方法，熟练掌握顶点式的结构能大幅提升解题效率，解题时需注意顶点式中横坐标$h$的符号，避免出现符号错误。
【难度系数】
0.8
6. | 教材P29习题T12变式 已知抛物线 $y = a(x+h)^2 + k$ 经过点$(5,-6)$，且当$x=3$时，$y$有最大值2，求该抛物线的表达式。
答案
6.
∵抛物线$y=a(x+h)^2+k$,当$x=3$时,$y$有最大值2,
∴$-h=3$,$k=2$,
∴$y=a(x-3)^2+2$.把$(5,-6)$代入,得$-6=4a+2$,
∴$a=-2$,
∴该抛物线的表达式为$y=-2(x-3)^2+2.$
∵抛物线$y=a(x+h)^2+k$,当$x=3$时,$y$有最大值2,
∴$-h=3$,$k=2$,
∴$y=a(x-3)^2+2$.把$(5,-6)$代入,得$-6=4a+2$,
∴$a=-2$,
∴该抛物线的表达式为$y=-2(x-3)^2+2.$
解析
【分析】
本题考查利用顶点式确定二次函数解析式，解题思路如下：首先回忆二次函数顶点式$y=a(x+h)^2+k$的性质：其顶点坐标为$(-h,k)$，若抛物线有最大值，说明开口向下，且最大值就是顶点的纵坐标。题目给出当$x=3$时$y$有最大值2，即可直接确定顶点坐标为$(3,2)$，从而求出$h$、$k$的值，得到仅含参数$a$的解析式；再将抛物线经过的点$(5,-6)$代入解析式，解一元一次方程求出$a$，即可得到最终的抛物线表达式。
【解析】
$\because$ 抛物线$y=a(x+h)^2+k$当$x=3$时，$y$有最大值2，
$\therefore$ 抛物线的顶点坐标为$(3,2)$，即$-h=3$，$k=2$，
$\therefore$ 抛物线的解析式可写为$y=a(x-3)^2+2$。
将点$(5,-6)$代入上式，得：
$-6=a(5-3)^2+2$，即$-6=4a+2$，
解得$a=-2$，
$\therefore$ 该抛物线的表达式为$y=-2(x-3)^2+2$。
【答案】
$y=-2(x-3)^2+2$
【知识点】
二次函数顶点式性质；待定系数法求解析式；二次函数最值
【点评】
本题是二次函数解析式求解的基础题型，核心是掌握顶点式中各参数与顶点坐标、最值的对应关系，只要找准顶点坐标，再代入已知点求解未知参数即可，是二次函数部分必须掌握的基础技能。
【难度系数】
0.8
本题考查利用顶点式确定二次函数解析式，解题思路如下：首先回忆二次函数顶点式$y=a(x+h)^2+k$的性质：其顶点坐标为$(-h,k)$，若抛物线有最大值，说明开口向下，且最大值就是顶点的纵坐标。题目给出当$x=3$时$y$有最大值2，即可直接确定顶点坐标为$(3,2)$，从而求出$h$、$k$的值，得到仅含参数$a$的解析式；再将抛物线经过的点$(5,-6)$代入解析式，解一元一次方程求出$a$，即可得到最终的抛物线表达式。
【解析】
$\because$ 抛物线$y=a(x+h)^2+k$当$x=3$时，$y$有最大值2，
$\therefore$ 抛物线的顶点坐标为$(3,2)$，即$-h=3$，$k=2$，
$\therefore$ 抛物线的解析式可写为$y=a(x-3)^2+2$。
将点$(5,-6)$代入上式，得：
$-6=a(5-3)^2+2$，即$-6=4a+2$，
解得$a=-2$，
$\therefore$ 该抛物线的表达式为$y=-2(x-3)^2+2$。
【答案】
$y=-2(x-3)^2+2$
【知识点】
二次函数顶点式性质；待定系数法求解析式；二次函数最值
【点评】
本题是二次函数解析式求解的基础题型，核心是掌握顶点式中各参数与顶点坐标、最值的对应关系，只要找准顶点坐标，再代入已知点求解未知参数即可，是二次函数部分必须掌握的基础技能。
【难度系数】
0.8
7. ★★ 如图是一个二次函数的图象，则其表达式为（
A.$y=x^2 - 2x + 3$
B.$y=x^2 - 2x - 3$
C.$y=x^2 + 2x + 3$
D.$y=x^2 + 2x - 3$
B
）A.$y=x^2 - 2x + 3$
B.$y=x^2 - 2x - 3$
C.$y=x^2 + 2x + 3$
D.$y=x^2 + 2x - 3$
答案
7. B 解析:设抛物线表达式为$y=a(x+1)(x-3)$,又抛物线过$(0,-3)$,
∴$-3a=-3$,解得$a=1$,
∴$y=(x+1)(x-3)=x^2-2x-3$,这个二次函数的表达式为$y=x^2-2x-3$.故选 B.
∴$-3a=-3$,解得$a=1$,
∴$y=(x+1)(x-3)=x^2-2x-3$,这个二次函数的表达式为$y=x^2-2x-3$.故选 B.
解析
【分析】
解题时首先观察二次函数图象，可得到抛物线与x轴的两个交点坐标为(-1,0)、(3,0)，与y轴交点坐标为(0,-3)。已知二次函数与x轴的两个交点时，选择交点式设解析式会大幅简化计算：设解析式为$y=a(x-x_1)(x-x_2)$（$x_1$、$x_2$为抛物线与x轴交点的横坐标），再将y轴交点坐标代入求出系数a，最后将解析式展开为一般式，和选项对比即可得到答案。
【解析】
解：由图象可知，二次函数与x轴的交点为$(-1,0)$、$(3,0)$，因此设二次函数的交点式为$y=a(x+1)(x-3)$。
又因为抛物线与y轴交于点$(0,-3)$，将$x=0$，$y=-3$代入解析式得：
$-3=a(0+1)(0-3)$
整理得$-3a=-3$，解得$a=1$。
将$a=1$代入交点式展开得：
$y=(x+1)(x-3)=x^2-3x+x-3=x^2-2x-3$
因此该二次函数的表达式为$y=x^2-2x-3$。
【答案】
B
【知识点】
二次函数解析式确定；二次函数交点式；二次函数图象性质
【点评】
本题考查二次函数解析式的求解，解题的关键是根据图象给出的交点特征选择合适的解析式形式，降低计算量，熟悉二次函数的不同解析式形式及其适用场景可以提升解题效率。
【难度系数】
0.8
解题时首先观察二次函数图象，可得到抛物线与x轴的两个交点坐标为(-1,0)、(3,0)，与y轴交点坐标为(0,-3)。已知二次函数与x轴的两个交点时，选择交点式设解析式会大幅简化计算：设解析式为$y=a(x-x_1)(x-x_2)$（$x_1$、$x_2$为抛物线与x轴交点的横坐标），再将y轴交点坐标代入求出系数a，最后将解析式展开为一般式，和选项对比即可得到答案。
【解析】
解：由图象可知，二次函数与x轴的交点为$(-1,0)$、$(3,0)$，因此设二次函数的交点式为$y=a(x+1)(x-3)$。
又因为抛物线与y轴交于点$(0,-3)$，将$x=0$，$y=-3$代入解析式得：
$-3=a(0+1)(0-3)$
整理得$-3a=-3$，解得$a=1$。
将$a=1$代入交点式展开得：
$y=(x+1)(x-3)=x^2-3x+x-3=x^2-2x-3$
因此该二次函数的表达式为$y=x^2-2x-3$。
【答案】
B
【知识点】
二次函数解析式确定；二次函数交点式；二次函数图象性质
【点评】
本题考查二次函数解析式的求解，解题的关键是根据图象给出的交点特征选择合适的解析式形式，降低计算量，熟悉二次函数的不同解析式形式及其适用场景可以提升解题效率。
【难度系数】
0.8
8. ★★ 如图,二次函数的图象过A,C,B三点,点A的坐标为$(-1,0)$,点B的坐标为$(3,0)$,点C在y轴的正半轴上,且$AB=OC$.求二次函数的表达式.
答案
8.
∵$A(-1,0)$,$B(3,0)$,
∴$AO=1$,$OB=3$,即$AB=AO+OB=1+3=4$,
∴$OC=4$,即点 C 的坐标为$(0,4)$.设图象经过 A,C,B 三点的二次函数的表达式为$y=a(x+1)(x-3)$,把$C(0,4)$代入,得$4=-3a$,解得$a=-\frac{4}{3}$,
∴所求二次函数的表达式为$y=-\frac{4}{3}(x+1)(x-3)=-\frac{4}{3}x^2+\frac{8}{3}x+4.$
∵$A(-1,0)$,$B(3,0)$,
∴$AO=1$,$OB=3$,即$AB=AO+OB=1+3=4$,
∴$OC=4$,即点 C 的坐标为$(0,4)$.设图象经过 A,C,B 三点的二次函数的表达式为$y=a(x+1)(x-3)$,把$C(0,4)$代入,得$4=-3a$,解得$a=-\frac{4}{3}$,
∴所求二次函数的表达式为$y=-\frac{4}{3}(x+1)(x-3)=-\frac{4}{3}x^2+\frac{8}{3}x+4.$
解析
【分析】
要确定二次函数的表达式，本题已知抛物线与x轴的两个交点A、B的坐标，优先选用交点式设解析式，仅需求出未知系数a即可，计算更简便。首先根据A、B的坐标求出AB的长度，结合AB=OC得到OC的长度，再结合点C在y轴正半轴确定C点坐标，最后将C点坐标代入所设的交点式求出a的值，整理即可得到二次函数表达式。
【解析】
解：已知点A坐标为$(-1,0)$，点B坐标为$(3,0)$，
则$AB$的长度为$3 - (-1)=4$，
由题知$AB=OC$，因此$OC=4$，
又因为点C在y轴正半轴上，所以点C的坐标为$(0,4)$。
因为二次函数图像与x轴交于$A(-1,0)$、$B(3,0)$，设二次函数的表达式为$y=a(x+1)(x-3)$（$a≠0$），
将$C(0,4)$代入表达式得：$4=a×(0+1)×(0-3)$，
即$4=-3a$，解得$a=-\frac{4}{3}$。
将$a=-\frac{4}{3}$代入所设表达式并整理：
$y=-\frac{4}{3}(x+1)(x-3)=-\frac{4}{3}x^2+\frac{8}{3}x+4$。
【答案】
$y=-\frac{4}{3}x^2+\frac{8}{3}x+4$
【知识点】
1. 待定系数法求解析式
2. 二次函数交点式
3. 坐标轴上点的坐标特征
【点评】
本题是二次函数解析式求解的基础题型，解题的关键是结合已知条件求出点C的坐标，当已知抛物线与x轴的两个交点时，选择交点式设解析式可大幅简化计算，降低出错概率。
【难度系数】
0.8
要确定二次函数的表达式，本题已知抛物线与x轴的两个交点A、B的坐标，优先选用交点式设解析式，仅需求出未知系数a即可，计算更简便。首先根据A、B的坐标求出AB的长度，结合AB=OC得到OC的长度，再结合点C在y轴正半轴确定C点坐标，最后将C点坐标代入所设的交点式求出a的值，整理即可得到二次函数表达式。
【解析】
解：已知点A坐标为$(-1,0)$，点B坐标为$(3,0)$，
则$AB$的长度为$3 - (-1)=4$，
由题知$AB=OC$，因此$OC=4$，
又因为点C在y轴正半轴上，所以点C的坐标为$(0,4)$。
因为二次函数图像与x轴交于$A(-1,0)$、$B(3,0)$，设二次函数的表达式为$y=a(x+1)(x-3)$（$a≠0$），
将$C(0,4)$代入表达式得：$4=a×(0+1)×(0-3)$，
即$4=-3a$，解得$a=-\frac{4}{3}$。
将$a=-\frac{4}{3}$代入所设表达式并整理：
$y=-\frac{4}{3}(x+1)(x-3)=-\frac{4}{3}x^2+\frac{8}{3}x+4$。
【答案】
$y=-\frac{4}{3}x^2+\frac{8}{3}x+4$
【知识点】
1. 待定系数法求解析式
2. 二次函数交点式
3. 坐标轴上点的坐标特征
【点评】
本题是二次函数解析式求解的基础题型，解题的关键是结合已知条件求出点C的坐标，当已知抛物线与x轴的两个交点时，选择交点式设解析式可大幅简化计算，降低出错概率。
【难度系数】
0.8
9. ★★ 如果抛物线经过点$A(2,0)$和$B(-1,0)$，且与$y$轴交于点$C$，若$OC=2$，则这条抛物线的表达式为 (
A.$y=x^2 -x -2$
B.$y=-x^2 -x -2$ 或 $y=x^2 +x +2$
C.$y=-x^2 +x +2$
D.$y=x^2 -x -2$ 或 $y=-x^2 +x +2$
D
)A.$y=x^2 -x -2$
B.$y=-x^2 -x -2$ 或 $y=x^2 +x +2$
C.$y=-x^2 +x +2$
D.$y=x^2 -x -2$ 或 $y=-x^2 +x +2$
答案
9. D 解析:设抛物线表达式为$y=a(x-2)(x+1)$,
∵$OC=2$,
∴点 C 坐标为$(0,2)$或$(0,-2)$.把$C(0,2)$代入$y=a(x-2)(x+1)$,得$a·(-2)·1=2$,解得$a=-1$,此时抛物线表达式为$y=-(x-2)(x+1)$,即$y=-x^2+x+2$;把$C(0,-2)$代入$y=a(x-2)(x+1)$,得$a·(-2)·1=-2$,解得$a=1$,此时抛物线表达式为$y=(x-2)(x+1)$,即$y=x^2-x-2$.即抛物线表达式为$y=-x^2+x+2$或$y=x^2-x-2$.故选 D.
∵$OC=2$,
∴点 C 坐标为$(0,2)$或$(0,-2)$.把$C(0,2)$代入$y=a(x-2)(x+1)$,得$a·(-2)·1=2$,解得$a=-1$,此时抛物线表达式为$y=-(x-2)(x+1)$,即$y=-x^2+x+2$;把$C(0,-2)$代入$y=a(x-2)(x+1)$,得$a·(-2)·1=-2$,解得$a=1$,此时抛物线表达式为$y=(x-2)(x+1)$,即$y=x^2-x-2$.即抛物线表达式为$y=-x^2+x+2$或$y=x^2-x-2$.故选 D.
解析
【分析】
已知抛物线与x轴交于A(2,0)、B(-1,0)两个点，优先选择交点式设二次函数的解析式，可简化计算过程；已知OC=2，即y轴上的点C到原点的距离为2，因此点C的纵坐标有2和-2两种可能，需分两种情况代入所设解析式求出未知参数a，再将解析式整理为一般式即可得到最终结果，注意不要漏解。
【解析】
设抛物线的表达式为交点式：$y=a(x-2)(x+1)$（$a≠0$）。
∵$OC=2$，点C在y轴上，横坐标为0，
∴点C的坐标为$(0,2)$或$(0,-2)$，分两种情况计算：
① 把$C(0,2)$代入$y=a(x-2)(x+1)$，得：
$a×(-2)×1=2$，解得$a=-1$，
此时抛物线表达式为$y=-(x-2)(x+1)$，展开整理得$y=-x^2+x+2$；
② 把$C(0,-2)$代入$y=a(x-2)(x+1)$，得：
$a×(-2)×1=-2$，解得$a=1$，
此时抛物线表达式为$y=(x-2)(x+1)$，展开整理得$y=x^2-x-2$。
综上，抛物线的表达式为$y=x^2 -x -2$ 或 $y=-x^2 +x +2$，故选D。
【答案】
D
【知识点】
交点式求二次函数解析式；点到坐标轴的距离；分类讨论思想
【点评】
本题属于二次函数解析式确定的基础题型，核心是根据已知交点特征选择合适的解析式形式简化运算，易错点是忽略距离对应的坐标存在正负两种情况，造成漏解，熟练掌握二次函数不同解析式的适用场景可提升解题速度与准确率。
【难度系数】
0.7
已知抛物线与x轴交于A(2,0)、B(-1,0)两个点，优先选择交点式设二次函数的解析式，可简化计算过程；已知OC=2，即y轴上的点C到原点的距离为2，因此点C的纵坐标有2和-2两种可能，需分两种情况代入所设解析式求出未知参数a，再将解析式整理为一般式即可得到最终结果，注意不要漏解。
【解析】
设抛物线的表达式为交点式：$y=a(x-2)(x+1)$（$a≠0$）。
∵$OC=2$，点C在y轴上，横坐标为0，
∴点C的坐标为$(0,2)$或$(0,-2)$，分两种情况计算：
① 把$C(0,2)$代入$y=a(x-2)(x+1)$，得：
$a×(-2)×1=2$，解得$a=-1$，
此时抛物线表达式为$y=-(x-2)(x+1)$，展开整理得$y=-x^2+x+2$；
② 把$C(0,-2)$代入$y=a(x-2)(x+1)$，得：
$a×(-2)×1=-2$，解得$a=1$，
此时抛物线表达式为$y=(x-2)(x+1)$，展开整理得$y=x^2-x-2$。
综上，抛物线的表达式为$y=x^2 -x -2$ 或 $y=-x^2 +x +2$，故选D。
【答案】
D
【知识点】
交点式求二次函数解析式；点到坐标轴的距离；分类讨论思想
【点评】
本题属于二次函数解析式确定的基础题型，核心是根据已知交点特征选择合适的解析式形式简化运算，易错点是忽略距离对应的坐标存在正负两种情况，造成漏解，熟练掌握二次函数不同解析式的适用场景可提升解题速度与准确率。
【难度系数】
0.7
