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10. 若所求的二次函数图象与抛物线$y=2x^2 -4x -1$有相同的顶点，并且在对称轴的左侧，$y$随$x$的增大而增大，在对称轴的右侧，$y$随$x$的增大而减小，则所求二次函数的表达式为（
A.$y=-x^2 +2x +4$
B.$y=-ax^2 -2ax -3(a＞0)$
C.$y=-2x^2 -4x -5$
D.$y=ax^2 -2ax +a -3(a＜0)$
D
）A.$y=-x^2 +2x +4$
B.$y=-ax^2 -2ax -3(a＞0)$
C.$y=-2x^2 -4x -5$
D.$y=ax^2 -2ax +a -3(a＜0)$
答案
10. D 解析:
∵抛物线$y=2x^2-4x-1$的顶点坐标为$(1,-3)$,根据题意得所求的二次函数的图象的顶点坐标是$(1,-3)$,且抛物线开口向下,
∴所求二次函数的表达式为$y=a(x-1)^2-3(a＜0)$,即$y=ax^2-2ax+a-3(a＜0)$,故选 D.
∵抛物线$y=2x^2-4x-1$的顶点坐标为$(1,-3)$,根据题意得所求的二次函数的图象的顶点坐标是$(1,-3)$,且抛物线开口向下,
∴所求二次函数的表达式为$y=a(x-1)^2-3(a＜0)$,即$y=ax^2-2ax+a-3(a＜0)$,故选 D.
解析
【分析】
解题时首先要明确两个核心条件：①所求二次函数与已知抛物线顶点相同；②增减性符合左增右减。第一步先求出已知抛物线$y=2x^2-4x-1$的顶点坐标，可通过配方法或者顶点坐标公式计算；第二步根据增减性判断抛物线开口方向（左增右减说明开口向下，二次项系数小于0）；第三步要么推导所求二次函数的一般式对应选项，要么逐一验证选项的顶点和开口方向是否符合要求，最终确定正确答案。
【解析】
首先求已知抛物线的顶点坐标：
对$y=2x^2-4x-1$配方：
$y=2(x^2-2x)-1=2(x^2-2x+1-1)-1=2(x-1)^2-3$，
可得顶点坐标为$(1, -3)$。
根据题意，所求二次函数在对称轴左侧$y$随$x$增大而增大，右侧$y$随$x$增大而减小，说明抛物线开口向下，即二次项系数$a＜0$。
因此所求二次函数的顶点式为$y=a(x-1)^2-3（a＜0）$，将其展开为一般式：
$y=a(x^2-2x+1)-3=ax^2-2ax+a-3（a＜0）$，与选项D完全一致。
也可通过排除法验证其他选项：
A选项：$y=-x^2+2x+4=-(x-1)^2+5$，顶点为$(1,5)$，不符合顶点要求，排除；
B选项：对称轴为$x=\frac{-(-2a)}{2×(-a)}=-1$，顶点横坐标为-1，不符合，排除；
C选项：对称轴为$x=\frac{-(-4)}{2×(-2)}=-1$，顶点横坐标为-1，不符合，排除。
综上，答案选D。
【答案】
D
【知识点】
二次函数的性质；二次函数顶点坐标；二次函数表达式确定
【点评】
本题考查二次函数的图象性质与表达式的确定，解题的关键是熟练掌握顶点坐标的求法、增减性与开口方向的对应关系，既可以通过推导解析式直接匹配选项，也可以用排除法快速筛选错误选项。
【难度系数】
0.7
解题时首先要明确两个核心条件：①所求二次函数与已知抛物线顶点相同；②增减性符合左增右减。第一步先求出已知抛物线$y=2x^2-4x-1$的顶点坐标，可通过配方法或者顶点坐标公式计算；第二步根据增减性判断抛物线开口方向（左增右减说明开口向下，二次项系数小于0）；第三步要么推导所求二次函数的一般式对应选项，要么逐一验证选项的顶点和开口方向是否符合要求，最终确定正确答案。
【解析】
首先求已知抛物线的顶点坐标：
对$y=2x^2-4x-1$配方：
$y=2(x^2-2x)-1=2(x^2-2x+1-1)-1=2(x-1)^2-3$，
可得顶点坐标为$(1, -3)$。
根据题意，所求二次函数在对称轴左侧$y$随$x$增大而增大，右侧$y$随$x$增大而减小，说明抛物线开口向下，即二次项系数$a＜0$。
因此所求二次函数的顶点式为$y=a(x-1)^2-3（a＜0）$，将其展开为一般式：
$y=a(x^2-2x+1)-3=ax^2-2ax+a-3（a＜0）$，与选项D完全一致。
也可通过排除法验证其他选项：
A选项：$y=-x^2+2x+4=-(x-1)^2+5$，顶点为$(1,5)$，不符合顶点要求，排除；
B选项：对称轴为$x=\frac{-(-2a)}{2×(-a)}=-1$，顶点横坐标为-1，不符合，排除；
C选项：对称轴为$x=\frac{-(-4)}{2×(-2)}=-1$，顶点横坐标为-1，不符合，排除。
综上，答案选D。
【答案】
D
【知识点】
二次函数的性质；二次函数顶点坐标；二次函数表达式确定
【点评】
本题考查二次函数的图象性质与表达式的确定，解题的关键是熟练掌握顶点坐标的求法、增减性与开口方向的对应关系，既可以通过推导解析式直接匹配选项，也可以用排除法快速筛选错误选项。
【难度系数】
0.7
11. ★★★ 已知二次函数y有最大值4，且图象与x轴两交点间的距离是8，对称轴为直线x=-3，则此二次函数的表达式为
$y=-\frac{1}{4}x^2-\frac{3}{2}x+\frac{7}{4}$
。答案
11. $y=-\frac{1}{4}x^2-\frac{3}{2}x+\frac{7}{4}$ 解析:
∵该函数图象与x轴两交点间的距离是8,对称轴为直线$x=-3$,
∴抛物线与x轴的两个交点坐标是$(-7,0)$,$(1,0)$.故设该抛物线的表达式为$y=a(x+7)(x-1)(a≠0)$.把顶点$(-3,4)$代入,得$4=a(-3+7)×(-3-1)$,解得$a=-\frac{1}{4}$,
∴该二次函数的表达式为$y=-\frac{1}{4}(x+7)(x-1)=-\frac{1}{4}x^2-\frac{3}{2}x+\frac{7}{4}.$
∵该函数图象与x轴两交点间的距离是8,对称轴为直线$x=-3$,
∴抛物线与x轴的两个交点坐标是$(-7,0)$,$(1,0)$.故设该抛物线的表达式为$y=a(x+7)(x-1)(a≠0)$.把顶点$(-3,4)$代入,得$4=a(-3+7)×(-3-1)$,解得$a=-\frac{1}{4}$,
∴该二次函数的表达式为$y=-\frac{1}{4}(x+7)(x-1)=-\frac{1}{4}x^2-\frac{3}{2}x+\frac{7}{4}.$
解析
【分析】
解题时先利用二次函数的对称性求与x轴的交点坐标：已知对称轴为x=-3，图象与x轴两交点距离为8，说明两个交点关于直线x=-3对称，每个交点到对称轴的距离为8÷2=4，因此可算出两个交点的横坐标分别为-3-4=-7、-3+4=1，即交点为(-7,0)和(1,0)。又因为二次函数有最大值4，所以顶点坐标为(-3,4)。此时选择交点式设函数解析式，代入顶点坐标即可求出系数a，最后整理为一般式即可。
【解析】
∵二次函数图象的对称轴为直线x=-3，与x轴两交点间的距离是8，
∴两个交点关于直线x=-3对称，每个交点到对称轴的距离为8÷2=4，
∴两个交点的横坐标分别为-3-4=-7，-3+4=1，即交点坐标为(-7,0)，(1,0)。
∵二次函数有最大值4，
∴顶点坐标为(-3,4)。
设二次函数的交点式为$y=a(x+7)(x-1)(a≠0)$，
将顶点(-3,4)代入解析式得：$4=a(-3+7)×(-3-1)$，
即$4=a×4×(-4)$，解得$a=-\frac{1}{4}$。
将$a=-\frac{1}{4}$代入交点式展开得：
$y=-\frac{1}{4}(x+7)(x-1)=-\frac{1}{4}(x^2+6x-7)=-\frac{1}{4}x^2-\frac{3}{2}x+\frac{7}{4}$。
【答案】
$y=-\frac{1}{4}x^2-\frac{3}{2}x+\frac{7}{4}$
【知识点】
二次函数的对称性；待定系数法求解析式；二次函数顶点性质
【点评】
本题是二次函数解析式求解的典型题型，核心是利用二次函数的对称性快速得到与x轴的交点坐标，再结合已知的顶点条件用待定系数法求解，熟练掌握二次函数的基本性质是解题的关键。
【难度系数】
0.6
解题时先利用二次函数的对称性求与x轴的交点坐标：已知对称轴为x=-3，图象与x轴两交点距离为8，说明两个交点关于直线x=-3对称，每个交点到对称轴的距离为8÷2=4，因此可算出两个交点的横坐标分别为-3-4=-7、-3+4=1，即交点为(-7,0)和(1,0)。又因为二次函数有最大值4，所以顶点坐标为(-3,4)。此时选择交点式设函数解析式，代入顶点坐标即可求出系数a，最后整理为一般式即可。
【解析】
∵二次函数图象的对称轴为直线x=-3，与x轴两交点间的距离是8，
∴两个交点关于直线x=-3对称，每个交点到对称轴的距离为8÷2=4，
∴两个交点的横坐标分别为-3-4=-7，-3+4=1，即交点坐标为(-7,0)，(1,0)。
∵二次函数有最大值4，
∴顶点坐标为(-3,4)。
设二次函数的交点式为$y=a(x+7)(x-1)(a≠0)$，
将顶点(-3,4)代入解析式得：$4=a(-3+7)×(-3-1)$，
即$4=a×4×(-4)$，解得$a=-\frac{1}{4}$。
将$a=-\frac{1}{4}$代入交点式展开得：
$y=-\frac{1}{4}(x+7)(x-1)=-\frac{1}{4}(x^2+6x-7)=-\frac{1}{4}x^2-\frac{3}{2}x+\frac{7}{4}$。
【答案】
$y=-\frac{1}{4}x^2-\frac{3}{2}x+\frac{7}{4}$
【知识点】
二次函数的对称性；待定系数法求解析式；二次函数顶点性质
【点评】
本题是二次函数解析式求解的典型题型，核心是利用二次函数的对称性快速得到与x轴的交点坐标，再结合已知的顶点条件用待定系数法求解，熟练掌握二次函数的基本性质是解题的关键。
【难度系数】
0.6
12. ★★★ 如图，抛物线$y=ax^2+bx+4$经过点$A(-3,0)$，点B在抛物线上，$CB// x$轴，且AB平分$∠ CAO$，则此抛物线的表达式为
$y=-\frac{1}{6}x^2+\frac{5}{6}x+4$
。答案
12. $y=-\frac{1}{6}x^2+\frac{5}{6}x+4$ 解析:
∵抛物线$y=ax^2+bx+4$与y轴交于点 C,
∴$C(0,4)$,
∴$OC=4$.
∵$A(-3,0)$,
∴$OA=3$,
∴$AC=5$.
∵AB 平分$∠CAO$,
∴$∠BAC=∠BAO$.
∵$BC// x$轴,
∴$∠CBA=∠BAO$,
∴$∠BAC=∠CBA$,
∴$CB=CA=5$,
∴$B(5,4)$.把$A(-3,0)$,$B(5,4)$代入$y=ax^2+bx+4$,得$\begin{cases}9a-3b+4=0,\\25a+5b+4=4,\end{cases}$解得$\begin{cases}a=-\frac{1}{6},\\b=\frac{5}{6},\end{cases}$
∴抛物线的表达式为$y=-\frac{1}{6}x^2+\frac{5}{6}x+4.$
∵抛物线$y=ax^2+bx+4$与y轴交于点 C,
∴$C(0,4)$,
∴$OC=4$.
∵$A(-3,0)$,
∴$OA=3$,
∴$AC=5$.
∵AB 平分$∠CAO$,
∴$∠BAC=∠BAO$.
∵$BC// x$轴,
∴$∠CBA=∠BAO$,
∴$∠BAC=∠CBA$,
∴$CB=CA=5$,
∴$B(5,4)$.把$A(-3,0)$,$B(5,4)$代入$y=ax^2+bx+4$,得$\begin{cases}9a-3b+4=0,\\25a+5b+4=4,\end{cases}$解得$\begin{cases}a=-\frac{1}{6},\\b=\frac{5}{6},\end{cases}$
∴抛物线的表达式为$y=-\frac{1}{6}x^2+\frac{5}{6}x+4.$
解析
【分析】
解题思路如下：第一步，先确定抛物线与y轴交点C的坐标，结合已知点A的坐标，用勾股定理求出AC的长度；第二步，根据角平分线的性质和平行线的内错角相等，推导得出△ABC是等腰三角形，得到CB=AC，进而求出点B的坐标；第三步，将A、B两点坐标代入抛物线的解析式，得到关于a、b的二元一次方程组，解方程组求出a、b的值，即可得到抛物线的表达式。
【解析】
解：
∵抛物线$y=ax^2+bx+4$与y轴交于点C，当x=0时，y=4，
∴$C(0,4)$，即$OC=4$，
∵点A坐标为$(-3,0)$，
∴$OA=3$，
在Rt△AOC中，由勾股定理得$AC=\sqrt{OA^2+OC^2}=\sqrt{3^2+4^2}=5$，
∵AB平分$∠CAO$，
∴$∠BAC=∠BAO$，
∵$CB// x$轴，
∴$∠CBA=∠BAO$（两直线平行，内错角相等），
∴$∠BAC=∠CBA$，
∴$CB=AC=5$（等角对等边），
∵CB平行x轴，点C纵坐标为4，
∴点B纵坐标为4，横坐标为$0+5=5$，即$B(5,4)$，
把$A(-3,0)$、$B(5,4)$代入$y=ax^2+bx+4$，得：
$\begin{cases}9a-3b+4=0\\25a+5b+4=4\end{cases}$
解这个方程组，得$\begin{cases}a=-\frac{1}{6}\\b=\frac{5}{6}\end{cases}$，
∴抛物线的表达式为$y=-\frac{1}{6}x^2+\frac{5}{6}x+4$。
【答案】
$y=-\frac{1}{6}x^2+\frac{5}{6}x+4$
【知识点】
待定系数法求二次函数解析式、等腰三角形的判定、平行线的性质
【点评】
本题将二次函数与几何性质相结合，解题的关键是利用角平分线和平行线的性质推出等腰三角形，进而求出未知点B的坐标，再用待定系数法求解，考查了数形结合的思想和基本的几何推理能力。
【难度系数】
0.6
解题思路如下：第一步，先确定抛物线与y轴交点C的坐标，结合已知点A的坐标，用勾股定理求出AC的长度；第二步，根据角平分线的性质和平行线的内错角相等，推导得出△ABC是等腰三角形，得到CB=AC，进而求出点B的坐标；第三步，将A、B两点坐标代入抛物线的解析式，得到关于a、b的二元一次方程组，解方程组求出a、b的值，即可得到抛物线的表达式。
【解析】
解：
∵抛物线$y=ax^2+bx+4$与y轴交于点C，当x=0时，y=4，
∴$C(0,4)$，即$OC=4$，
∵点A坐标为$(-3,0)$，
∴$OA=3$，
在Rt△AOC中，由勾股定理得$AC=\sqrt{OA^2+OC^2}=\sqrt{3^2+4^2}=5$，
∵AB平分$∠CAO$，
∴$∠BAC=∠BAO$，
∵$CB// x$轴，
∴$∠CBA=∠BAO$（两直线平行，内错角相等），
∴$∠BAC=∠CBA$，
∴$CB=AC=5$（等角对等边），
∵CB平行x轴，点C纵坐标为4，
∴点B纵坐标为4，横坐标为$0+5=5$，即$B(5,4)$，
把$A(-3,0)$、$B(5,4)$代入$y=ax^2+bx+4$，得：
$\begin{cases}9a-3b+4=0\\25a+5b+4=4\end{cases}$
解这个方程组，得$\begin{cases}a=-\frac{1}{6}\\b=\frac{5}{6}\end{cases}$，
∴抛物线的表达式为$y=-\frac{1}{6}x^2+\frac{5}{6}x+4$。
【答案】
$y=-\frac{1}{6}x^2+\frac{5}{6}x+4$
【知识点】
待定系数法求二次函数解析式、等腰三角形的判定、平行线的性质
【点评】
本题将二次函数与几何性质相结合，解题的关键是利用角平分线和平行线的性质推出等腰三角形，进而求出未知点B的坐标，再用待定系数法求解，考查了数形结合的思想和基本的几何推理能力。
【难度系数】
0.6
13. 如图,在平面直角坐标系中,抛物线经过点A(0,4),B(1,0),C(5,0),其对称轴与x轴相交于点M.
(1)求抛物线的表达式和对称轴.
(2)求△ABM的面积.
(3)在抛物线的对称轴上是否存在一点P,使△PAB的周长最小?若存在,请求出点P的坐标;若不存在,请说明理由.
(1)求抛物线的表达式和对称轴.
(2)求△ABM的面积.
(3)在抛物线的对称轴上是否存在一点P,使△PAB的周长最小?若存在,请求出点P的坐标;若不存在,请说明理由.
答案
13. (1)根据已知条件可设抛物线的表达式为$y=a(x-1)(x-5)$,把点$A(0,4)$代入,解得$a=\frac{4}{5}$,
∴$y=\frac{4}{5}(x-1)(x-5)=\frac{4}{5}(x-3)^2-\frac{16}{5}$,
∴抛物线的对称轴是直线$x=3$.
(2)
∵抛物线的对称轴与x轴相交于点 M,
∴$M(3,0)$.
∵$A(0,4)$,$B(1,0)$,
∴$BM=2$,$OA=4$,
∴$S_{△ ABM}=\frac{1}{2}BM· OA=\frac{1}{2}×2×4=4$.
(3)存在.
∵点$A(0,4)$,抛物线的对称轴是直线$x=3$,
∴点A关于对称轴的对称点$A'$的坐标为$(6,4)$,如图,连接$BA'$交对称轴于点 P,连接 AP,此时$△PAB$的周长最小,
设直线$BA'$的表达式为$y=kx+b(k≠0)$,把$A'(6,4)$,$B(1,0)$代入,得$\begin{cases}4=6k+b,\\0=k+b,\end{cases}$解得$\begin{cases}k=\frac{4}{5},\\b=-\frac{4}{5},\end{cases}$
∴$y=\frac{4}{5}x-\frac{4}{5}$.
∵点 P 的横坐标为 3,
∴令$x=3$,则$y=\frac{4}{5}×3-\frac{4}{5}=\frac{8}{5}$,
∴$P(3,\frac{8}{5}).$
解析
【分析】
(1) 已知抛物线与x轴交于B(1,0)、C(5,0)两个交点，优先选择交点式设抛物线解析式，代入点A的坐标求出参数a即可得到解析式；抛物线的对称轴可通过两个交点横坐标求中点得到，也可将解析式转化为顶点式得到。
(2) 先根据对称轴求出点M的坐标，△ABM的底为BM的长度，高为点A到x轴的距离（即OA的长度），代入三角形面积公式即可计算出面积。
(3) △PAB的周长中AB为定值，要使周长最小只需PA+PB最小，利用轴对称性质，作点A关于抛物线对称轴的对称点A'，连接A'B，A'B与对称轴的交点即为所求的点P；再求出直线A'B的解析式，代入对称轴的横坐标即可得到P点坐标。
【解析】
(1) 设抛物线的表达式为$y=a(x-1)(x-5)$，把点$A(0,4)$代入解析式，解得$a=\frac{4}{5}$，
∴$y=\frac{4}{5}(x-1)(x-5)=\frac{4}{5}(x-3)^2-\frac{16}{5}$，
抛物线的对称轴是直线$x=3$。
(2)
∵抛物线的对称轴与x轴相交于点 M，
∴$M(3,0)$。
∵$A(0,4)$，$B(1,0)$，
∴$BM=3-1=2$，$OA=4$，
∴$S_{△ ABM}=\frac{1}{2}BM· OA=\frac{1}{2}×2×4=4$。
(3) 存在。
∵点$A(0,4)$，抛物线的对称轴是直线$x=3$，
∴点A关于对称轴的对称点$A'$的坐标为$(6,4)$，如图，连接$BA'$交对称轴于点 P，连接 AP，此时$△PAB$的周长最小，
设直线$BA'$的表达式为$y=kx+b(k≠0)$，把$A'(6,4)$，$B(1,0)$代入，得$\begin{cases}4=6k+b,\\0=k+b,\end{cases}$解得$\begin{cases}k=\frac{4}{5},\\b=-\frac{4}{5},\end{cases}$
∴直线$BA'$的解析式为$y=\frac{4}{5}x-\frac{4}{5}$。
∵点 P 的横坐标为 3，
∴令$x=3$，则$y=\frac{4}{5}×3-\frac{4}{5}=\frac{8}{5}$，
∴$P(3,\frac{8}{5})$。
【答案】
(1) 抛物线的表达式为$y=\frac{4}{5}(x-3)^2-\frac{16}{5}$（或$y=\frac{4}{5}x^2-\frac{24}{5}x+4$），对称轴为直线$x=3$；
(2) $△ ABM$的面积为$4$；
(3) 存在，点P的坐标为$(3,\frac{8}{5})$。
【知识点】
二次函数解析式确定，三角形面积计算，轴对称最短路径
【点评】
本题是二次函数基础综合题，结合了函数解析式求解、图形面积计算和最短路径构造三个考点，解题时要合理选择二次函数的解析式形式降低计算量，同时熟练掌握最短路径问题的对称构造方法，属于中考常见考法。
【难度系数】
0.7
(1) 已知抛物线与x轴交于B(1,0)、C(5,0)两个交点，优先选择交点式设抛物线解析式，代入点A的坐标求出参数a即可得到解析式；抛物线的对称轴可通过两个交点横坐标求中点得到，也可将解析式转化为顶点式得到。
(2) 先根据对称轴求出点M的坐标，△ABM的底为BM的长度，高为点A到x轴的距离（即OA的长度），代入三角形面积公式即可计算出面积。
(3) △PAB的周长中AB为定值，要使周长最小只需PA+PB最小，利用轴对称性质，作点A关于抛物线对称轴的对称点A'，连接A'B，A'B与对称轴的交点即为所求的点P；再求出直线A'B的解析式，代入对称轴的横坐标即可得到P点坐标。
【解析】
(1) 设抛物线的表达式为$y=a(x-1)(x-5)$，把点$A(0,4)$代入解析式，解得$a=\frac{4}{5}$，
∴$y=\frac{4}{5}(x-1)(x-5)=\frac{4}{5}(x-3)^2-\frac{16}{5}$，
抛物线的对称轴是直线$x=3$。
(2)
∵抛物线的对称轴与x轴相交于点 M，
∴$M(3,0)$。
∵$A(0,4)$，$B(1,0)$，
∴$BM=3-1=2$，$OA=4$，
∴$S_{△ ABM}=\frac{1}{2}BM· OA=\frac{1}{2}×2×4=4$。
(3) 存在。
∵点$A(0,4)$，抛物线的对称轴是直线$x=3$，
∴点A关于对称轴的对称点$A'$的坐标为$(6,4)$，如图，连接$BA'$交对称轴于点 P，连接 AP，此时$△PAB$的周长最小，
设直线$BA'$的表达式为$y=kx+b(k≠0)$，把$A'(6,4)$，$B(1,0)$代入，得$\begin{cases}4=6k+b,\\0=k+b,\end{cases}$解得$\begin{cases}k=\frac{4}{5},\\b=-\frac{4}{5},\end{cases}$
∴直线$BA'$的解析式为$y=\frac{4}{5}x-\frac{4}{5}$。
∵点 P 的横坐标为 3，
∴令$x=3$，则$y=\frac{4}{5}×3-\frac{4}{5}=\frac{8}{5}$，
∴$P(3,\frac{8}{5})$。
【答案】
(1) 抛物线的表达式为$y=\frac{4}{5}(x-3)^2-\frac{16}{5}$（或$y=\frac{4}{5}x^2-\frac{24}{5}x+4$），对称轴为直线$x=3$；
(2) $△ ABM$的面积为$4$；
(3) 存在，点P的坐标为$(3,\frac{8}{5})$。
【知识点】
二次函数解析式确定，三角形面积计算，轴对称最短路径
【点评】
本题是二次函数基础综合题，结合了函数解析式求解、图形面积计算和最短路径构造三个考点，解题时要合理选择二次函数的解析式形式降低计算量，同时熟练掌握最短路径问题的对称构造方法，属于中考常见考法。
【难度系数】
0.7
14. （济南中考）在平面直角坐标系 $ xOy $ 中，正方形 $ ABCD $ 的顶点 $ A,B $ 在 $ x $ 轴上，$ C(2,3), D(-1,3) $。抛物线 $ y=ax^2 -2ax + c(a＜0) $ 与 $ x $ 轴交于点 $ E(-2,0) $ 和点 $ F $。
(1) 如图①，若抛物线过点 $ C $，求抛物线的表达式和点 $ F $ 的坐标；
(2) 如图②，在(1)的条件下，连接 $ CF $，作直线 $ CE $，平移线段 $ CF $，使点 $ C $ 的对应点 $ P $ 落在直线 $ CE $ 上，点 $ F $ 的对应点 $ Q $ 落在抛物线上，求点 $ Q $ 的坐标；
(3) 若抛物线 $ y=ax^2 -2ax + c(a＜0) $ 与正方形 $ ABCD $ 恰有两个交点，求 $ a $ 的取值范围。
(1) 如图①，若抛物线过点 $ C $，求抛物线的表达式和点 $ F $ 的坐标；
(2) 如图②，在(1)的条件下，连接 $ CF $，作直线 $ CE $，平移线段 $ CF $，使点 $ C $ 的对应点 $ P $ 落在直线 $ CE $ 上，点 $ F $ 的对应点 $ Q $ 落在抛物线上，求点 $ Q $ 的坐标；
(3) 若抛物线 $ y=ax^2 -2ax + c(a＜0) $ 与正方形 $ ABCD $ 恰有两个交点，求 $ a $ 的取值范围。
答案
14. (1)
∵抛物线$y=ax^2-2ax+c$过点$C(2,3)$,$E(-2,0)$,
∴$\begin{cases}4a-4a+c=3,\\4a+4a+c=0,\end{cases}$解得$\begin{cases}a=-\frac{3}{8},\\c=3,\end{cases}$
∴抛物线表达式为$y=-\frac{3}{8}x^2+\frac{3}{4}x+3$,当$y=0$时,$-\frac{3}{8}x^2+\frac{3}{4}x+3=0$,解得$x_1=-2$(舍去),$x_2=4$,
∴$F(4,0)$.
(2)设直线 CE 的表达式为$y=kx+b$,
∵直线过点$C(2,3)$,$E(-2,0)$,
∴$\begin{cases}2k+b=3,\\-2k+b=0,\end{cases}$解得$\begin{cases}k=\frac{3}{4},\\b=\frac{3}{2},\end{cases}$
∴直线 CE 的表达式为$y=\frac{3}{4}x+\frac{3}{2}$.线段 CF 平移后的示意图如图①所示.
∵点 Q 在抛物线$y=-\frac{3}{8}x^2+\frac{3}{4}x+3$上,
∴设点$Q(t,-\frac{3}{8}t^2+\frac{3}{4}t+3)$.
∵$C(2,3)$,$F(4,0)$,且 PQ 由 CF 平移得到,
∴点Q向左平移2个单位,向上平移3个单位得到点$P(t-2,-\frac{3}{8}t^2+\frac{3}{4}t+6)$.
∵点 P 在直线 CE 上,
∴将$P(t-2,-\frac{3}{8}t^2+\frac{3}{4}t+6)$代入$y=\frac{3}{4}x+\frac{3}{2}$,
∴$\frac{3}{4}(t-2)+\frac{3}{2}=-\frac{3}{8}t^2+\frac{3}{4}t+6$,整理得$t^2=16$,解得$t_1=-4$,$t_2=4$(舍去),当$t=-4$时,$-\frac{3}{8}×(-4)^2+\frac{3}{4}×(-4)+3=-6$,
∴点 Q 坐标为$(-4,-6)$.
(3)
∵四边形 ABCD 是正方形,$C(2,3)$,
∴$BC=AB=3$,$OB=2$,
∴$OA=AB-OB=1$,
∴点 A 和点 D 的横坐标为-1,点 B 和点 C 的横坐标为 2.将$E(-2,0)$代入$y=ax^2-2ax+c$,得$c=-8a$,
∴$y=ax^2-2ax-8a=a(x-1)^2-9a$,
∴顶点坐标为$(1,-9a)$.
①如图②,当抛物线顶点在正方形内部时,与正方形有两个交点,
∴$\begin{cases}-9a＜3,\\-9a＞0,\end{cases}$解得$-\frac{1}{3}＜a＜0$;
②如图③,当抛物线与直线 BC 交点在点 C 上方,且与直线 AD 交点在点 D 下方时,与正方形有两个交点,
∴$\begin{cases}a×2^2-2a×2-8a＞3,\\a×(-1)^2-2a×(-1)-8a＜3,\end{cases}$解得$-\frac{3}{5}＜a＜-\frac{3}{8}.$
综上所述,$a$的取值范围为$-\frac{1}{3}＜a＜0$或$-\frac{3}{5}＜a＜-\frac{3}{8}.$
解析
【分析】
(1) 求抛物线表达式使用待定系数法，已知抛物线过$E(-2,0)$和$C(2,3)$，将两点坐标代入解析式得到关于$a$、$c$的二元一次方程组，求解即可得到抛物线表达式；求$F$点坐标时，$F$是抛物线与$x$轴的交点，令$y=0$解一元二次方程，舍去已知的$E$点横坐标即可得到$F$的坐标。
(2) 先用待定系数法求出直线$CE$的解析式；线段平移过程中坐标变化规律一致，由$C$、$F$的坐标可得到平移的坐标变化关系，设出抛物线上$Q$点的坐标（用含$t$的式子表示），根据平移规律得到对应$P$点的坐标，再将$P$点坐标代入直线$CE$的解析式，解方程求出$t$的值，舍去不符合的解即可得到$Q$点坐标。
(3) 先将$E$点坐标代入抛物线表达式，得到$c$与$a$的关系，将抛物线整理为顶点式得到顶点坐标；结合正方形各顶点的坐标特征，分两种情况讨论：①抛物线顶点落在正方形内部时，抛物线与正方形恰有两个交点，根据顶点纵坐标的范围列不等式求解；②抛物线与$BC$边的交点在$C$点上方，且与$AD$边的交点在$D$点下方时，也恰有两个交点，代入$AD$、$BC$对应的横坐标列不等式求解；最后合并两种情况的$a$的取值范围即可。
【解析】
(1)
∵抛物线$y=ax^2-2ax+c$过点$C(2,3)$,$E(-2,0)$,
∴$\begin{cases}4a-4a+c=3,\\4a+4a+c=0,\end{cases}$解得$\begin{cases}a=-\frac{3}{8},\\c=3,\end{cases}$
∴抛物线表达式为$y=-\frac{3}{8}x^2+\frac{3}{4}x+3$,当$y=0$时,$-\frac{3}{8}x^2+\frac{3}{4}x+3=0$,解得$x_1=-2$(舍去),$x_2=4$,
∴$F(4,0)$.
(2) 设直线 CE 的表达式为$y=kx+b$,
∵直线过点$C(2,3)$,$E(-2,0)$,
∴$\begin{cases}2k+b=3,\\-2k+b=0,\end{cases}$解得$\begin{cases}k=\frac{3}{4},\\b=\frac{3}{2},\end{cases}$
∴直线 CE 的表达式为$y=\frac{3}{4}x+\frac{3}{2}$.线段 CF 平移后的示意图如图①所示.
∵点 Q 在抛物线$y=-\frac{3}{8}x^2+\frac{3}{4}x+3$上,
∴设点$Q(t,-\frac{3}{8}t^2+\frac{3}{4}t+3)$.
∵$C(2,3)$,$F(4,0)$,且 PQ 由 CF 平移得到,
∴点Q向左平移2个单位,向上平移3个单位得到点$P(t-2,-\frac{3}{8}t^2+\frac{3}{4}t+6)$.
∵点 P 在直线 CE 上,
∴将$P(t-2,-\frac{3}{8}t^2+\frac{3}{4}t+6)$代入$y=\frac{3}{4}x+\frac{3}{2}$,
∴$\frac{3}{4}(t-2)+\frac{3}{2}=-\frac{3}{8}t^2+\frac{3}{4}t+6$,整理得$t^2=16$,解得$t_1=-4$,$t_2=4$(舍去),当$t=-4$时,$-\frac{3}{8}×(-4)^2+\frac{3}{4}×(-4)+3=-6$,
∴点 Q 坐标为$(-4,-6)$.
(3)
∵四边形 ABCD 是正方形,$C(2,3)$,
∴$BC=AB=3$,$OB=2$,
∴$OA=AB-OB=1$,
∴点 A 和点 D 的横坐标为-1,点 B 和点 C 的横坐标为 2.将$E(-2,0)$代入$y=ax^2-2ax+c$,得$c=-8a$,
∴$y=ax^2-2ax-8a=a(x-1)^2-9a$,
∴顶点坐标为$(1,-9a)$.
①如图②,当抛物线顶点在正方形内部时,与正方形有两个交点,
∴$\begin{cases}-9a＜3,\\-9a＞0,\end{cases}$解得$-\frac{1}{3}＜a＜0$;
②如图③,当抛物线与直线 BC 交点在点 C 上方,且与直线 AD 交点在点 D 下方时,与正方形有两个交点,
∴$\begin{cases}a×2^2-2a×2-8a＞3,\\a×(-1)^2-2a×(-1)-8a＜3,\end{cases}$解得$-\frac{3}{5}＜a＜-\frac{3}{8}.$
综上所述,$a$的取值范围为$-\frac{1}{3}＜a＜0$或$-\frac{3}{5}＜a＜-\frac{3}{8}.$
【答案】
(1) 抛物线表达式为$\boldsymbol{y=-\frac{3}{8}x^2+\frac{3}{4}x+3}$，点$F$的坐标为$\boldsymbol{(4,0)}$；
(2) 点$Q$的坐标为$\boldsymbol{(-4,-6)}$；
(3) $a$的取值范围为$\boldsymbol{-\frac{1}{3}＜a＜0}$或$\boldsymbol{-\frac{3}{5}＜a＜-\frac{3}{8}}$。
【知识点】
待定系数法求解析式，平移的坐标性质，二次函数交点分类讨论
【点评】
本题为二次函数综合题，融合了正方形性质、平移的坐标特征、函数交点判断等考点，解题时需要结合图形分类讨论不同的交点情况，既考查基础运算能力，也对逻辑分析能力有一定要求。
【难度系数】
0.3
(1) 求抛物线表达式使用待定系数法，已知抛物线过$E(-2,0)$和$C(2,3)$，将两点坐标代入解析式得到关于$a$、$c$的二元一次方程组，求解即可得到抛物线表达式；求$F$点坐标时，$F$是抛物线与$x$轴的交点，令$y=0$解一元二次方程，舍去已知的$E$点横坐标即可得到$F$的坐标。
(2) 先用待定系数法求出直线$CE$的解析式；线段平移过程中坐标变化规律一致，由$C$、$F$的坐标可得到平移的坐标变化关系，设出抛物线上$Q$点的坐标（用含$t$的式子表示），根据平移规律得到对应$P$点的坐标，再将$P$点坐标代入直线$CE$的解析式，解方程求出$t$的值，舍去不符合的解即可得到$Q$点坐标。
(3) 先将$E$点坐标代入抛物线表达式，得到$c$与$a$的关系，将抛物线整理为顶点式得到顶点坐标；结合正方形各顶点的坐标特征，分两种情况讨论：①抛物线顶点落在正方形内部时，抛物线与正方形恰有两个交点，根据顶点纵坐标的范围列不等式求解；②抛物线与$BC$边的交点在$C$点上方，且与$AD$边的交点在$D$点下方时，也恰有两个交点，代入$AD$、$BC$对应的横坐标列不等式求解；最后合并两种情况的$a$的取值范围即可。
【解析】
(1)
∵抛物线$y=ax^2-2ax+c$过点$C(2,3)$,$E(-2,0)$,
∴$\begin{cases}4a-4a+c=3,\\4a+4a+c=0,\end{cases}$解得$\begin{cases}a=-\frac{3}{8},\\c=3,\end{cases}$
∴抛物线表达式为$y=-\frac{3}{8}x^2+\frac{3}{4}x+3$,当$y=0$时,$-\frac{3}{8}x^2+\frac{3}{4}x+3=0$,解得$x_1=-2$(舍去),$x_2=4$,
∴$F(4,0)$.
(2) 设直线 CE 的表达式为$y=kx+b$,
∵直线过点$C(2,3)$,$E(-2,0)$,
∴$\begin{cases}2k+b=3,\\-2k+b=0,\end{cases}$解得$\begin{cases}k=\frac{3}{4},\\b=\frac{3}{2},\end{cases}$
∴直线 CE 的表达式为$y=\frac{3}{4}x+\frac{3}{2}$.线段 CF 平移后的示意图如图①所示.
∵点 Q 在抛物线$y=-\frac{3}{8}x^2+\frac{3}{4}x+3$上,
∴设点$Q(t,-\frac{3}{8}t^2+\frac{3}{4}t+3)$.
∵$C(2,3)$,$F(4,0)$,且 PQ 由 CF 平移得到,
∴点Q向左平移2个单位,向上平移3个单位得到点$P(t-2,-\frac{3}{8}t^2+\frac{3}{4}t+6)$.
∵点 P 在直线 CE 上,
∴将$P(t-2,-\frac{3}{8}t^2+\frac{3}{4}t+6)$代入$y=\frac{3}{4}x+\frac{3}{2}$,
∴$\frac{3}{4}(t-2)+\frac{3}{2}=-\frac{3}{8}t^2+\frac{3}{4}t+6$,整理得$t^2=16$,解得$t_1=-4$,$t_2=4$(舍去),当$t=-4$时,$-\frac{3}{8}×(-4)^2+\frac{3}{4}×(-4)+3=-6$,
∴点 Q 坐标为$(-4,-6)$.
(3)
∵四边形 ABCD 是正方形,$C(2,3)$,
∴$BC=AB=3$,$OB=2$,
∴$OA=AB-OB=1$,
∴点 A 和点 D 的横坐标为-1,点 B 和点 C 的横坐标为 2.将$E(-2,0)$代入$y=ax^2-2ax+c$,得$c=-8a$,
∴$y=ax^2-2ax-8a=a(x-1)^2-9a$,
∴顶点坐标为$(1,-9a)$.
①如图②,当抛物线顶点在正方形内部时,与正方形有两个交点,
∴$\begin{cases}-9a＜3,\\-9a＞0,\end{cases}$解得$-\frac{1}{3}＜a＜0$;
②如图③,当抛物线与直线 BC 交点在点 C 上方,且与直线 AD 交点在点 D 下方时,与正方形有两个交点,
∴$\begin{cases}a×2^2-2a×2-8a＞3,\\a×(-1)^2-2a×(-1)-8a＜3,\end{cases}$解得$-\frac{3}{5}＜a＜-\frac{3}{8}.$
综上所述,$a$的取值范围为$-\frac{1}{3}＜a＜0$或$-\frac{3}{5}＜a＜-\frac{3}{8}.$
【答案】
(1) 抛物线表达式为$\boldsymbol{y=-\frac{3}{8}x^2+\frac{3}{4}x+3}$，点$F$的坐标为$\boldsymbol{(4,0)}$；
(2) 点$Q$的坐标为$\boldsymbol{(-4,-6)}$；
(3) $a$的取值范围为$\boldsymbol{-\frac{1}{3}＜a＜0}$或$\boldsymbol{-\frac{3}{5}＜a＜-\frac{3}{8}}$。
【知识点】
待定系数法求解析式，平移的坐标性质，二次函数交点分类讨论
【点评】
本题为二次函数综合题，融合了正方形性质、平移的坐标特征、函数交点判断等考点，解题时需要结合图形分类讨论不同的交点情况，既考查基础运算能力，也对逻辑分析能力有一定要求。
【难度系数】
0.3
