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1. 将二次函数 $y = \frac{1}{2}x^2 + 4x - 3$ 化成 $y = a(x+h)^2 + k$ 的形式，结果为（
A.$y = \frac{1}{2}(x+4)^2 - 3$
B.$y = \frac{1}{2}(x+4)^2 - 11$
C.$y = (x+4)^2 - 3$
D.$y = \frac{1}{2}(x+2)^2 - 11$
B
）A.$y = \frac{1}{2}(x+4)^2 - 3$
B.$y = \frac{1}{2}(x+4)^2 - 11$
C.$y = (x+4)^2 - 3$
D.$y = \frac{1}{2}(x+2)^2 - 11$
答案
1. B 解析:$y=\frac{1}{2}x^2 +4x -3=\frac{1}{2}(x^2 +8x +16 -16)-3=\frac{1}{2}(x+4)^2 -11$,故选 B.
解析
【分析】
本题要求将二次函数的一般式化为顶点式，解题核心是运用配方法。思考步骤如下：第一步，先提取二次项系数，将二次项和一次项放在括号内单独处理；第二步，在括号内加上一次项系数一半的平方，同时减去这个数，保证代数式的值不发生改变；第三步，将括号内的部分写成完全平方形式，再合并常数项即可得到顶点式，对应选项选出答案。
【解析】
对二次函数$y = \frac{1}{2}x^2 + 4x - 3$进行配方：
1. 提取二次项系数$\frac{1}{2}$，得：
$y=\frac{1}{2}(x^2 + 8x) - 3$
2. 括号内凑完全平方，一次项系数为8，一半是4，平方为16，因此加16再减16：
$y=\frac{1}{2}(x^2 + 8x + 16 - 16) - 3$
3. 将完全平方部分整理，展开计算常数项：
$y=\frac{1}{2}[(x+4)^2 -16] - 3 = \frac{1}{2}(x+4)^2 - 8 - 3 = \frac{1}{2}(x+4)^2 - 11$
故选B。
【答案】
B
【知识点】
1. 二次函数一般式化顶点式
2. 配方法的应用
【点评】
本题属于基础题型，主要考查二次函数一般式转化为顶点式的方法，关键是掌握配方法的操作步骤，注意提取二次项系数后凑完全平方时，要保证代数式的值不变，熟练掌握方法即可快速解题。
【难度系数】
0.8
本题要求将二次函数的一般式化为顶点式，解题核心是运用配方法。思考步骤如下：第一步，先提取二次项系数，将二次项和一次项放在括号内单独处理；第二步，在括号内加上一次项系数一半的平方，同时减去这个数，保证代数式的值不发生改变；第三步，将括号内的部分写成完全平方形式，再合并常数项即可得到顶点式，对应选项选出答案。
【解析】
对二次函数$y = \frac{1}{2}x^2 + 4x - 3$进行配方：
1. 提取二次项系数$\frac{1}{2}$，得：
$y=\frac{1}{2}(x^2 + 8x) - 3$
2. 括号内凑完全平方，一次项系数为8，一半是4，平方为16，因此加16再减16：
$y=\frac{1}{2}(x^2 + 8x + 16 - 16) - 3$
3. 将完全平方部分整理，展开计算常数项：
$y=\frac{1}{2}[(x+4)^2 -16] - 3 = \frac{1}{2}(x+4)^2 - 8 - 3 = \frac{1}{2}(x+4)^2 - 11$
故选B。
【答案】
B
【知识点】
1. 二次函数一般式化顶点式
2. 配方法的应用
【点评】
本题属于基础题型，主要考查二次函数一般式转化为顶点式的方法，关键是掌握配方法的操作步骤，注意提取二次项系数后凑完全平方时，要保证代数式的值不变，熟练掌握方法即可快速解题。
【难度系数】
0.8
2. （西藏中考）将抛物线$y=(x-1)^2+5$通过平移后，得到抛物线的表达式为$y=x^2+2x+3$，则平移的方向和距离是（
A.向右平移2个单位，再向上平移3个单位
B.向右平移2个单位，再向下平移3个单位
C.向左平移2个单位，再向上平移3个单位
D.向左平移2个单位，再向下平移3个单位
D
）A.向右平移2个单位，再向上平移3个单位
B.向右平移2个单位，再向下平移3个单位
C.向左平移2个单位，再向上平移3个单位
D.向左平移2个单位，再向下平移3个单位
答案
2. D 解析:抛物线$y=(x-1)^2+5$的顶点坐标为$(1,5)$,抛物线$y=x^2+2x+3=(x+1)^2+2$的顶点坐标为$(-1,2)$,而点$(1,5)$向左平移2个单位,再向下平移3个单位可得到$(-1,2)$,所以抛物线$y=(x-1)^2+5$向左平移2个单位,再向下平移3个单位得到抛物线$y=x^2+2x+3$.故选 D.
解析
【分析】
解决抛物线平移问题的核心是抓住“抛物线平移仅改变顶点位置，形状、开口方向均不变”的特点，解题思路如下：第一步先确定原抛物线的顶点坐标；第二步将平移后的抛物线解析式通过配方转化为顶点式，得到平移后的顶点坐标；第三步对比两个顶点的坐标变化，结合坐标平移“左加右减（横坐标）、上加下减（纵坐标）”的规律，即可判断平移的方向和距离。
【解析】
1. 确定原抛物线顶点：抛物线$y=(x-1)^2+5$为顶点式，其顶点坐标为$(1,5)$。
2. 转化平移后抛物线为顶点式：对$y=x^2+2x+3$配方，可得
$y=x^2+2x+3=(x^2+2x+1)-1+3=(x+1)^2+2$，因此平移后抛物线的顶点坐标为$(-1,2)$。
3. 分析顶点平移规律：横坐标从1变为-1，说明向左平移了$1-(-1)=2$个单位；纵坐标从5变为2，说明向下平移了$5-2=3$个单位。
因此抛物线$y=(x-1)^2+5$向左平移2个单位，再向下平移3个单位得到$y=x^2+2x+3$，故选D。
【答案】
D
【知识点】
二次函数图象平移；配方法化顶点式；坐标平移规律
【点评】
本题考查二次函数的平移变换，将抛物线的平移转化为顶点的坐标平移，是解决此类问题的常用技巧，相比直接对解析式变形更直观，不易混淆平移方向。
【难度系数】
0.75
解决抛物线平移问题的核心是抓住“抛物线平移仅改变顶点位置，形状、开口方向均不变”的特点，解题思路如下：第一步先确定原抛物线的顶点坐标；第二步将平移后的抛物线解析式通过配方转化为顶点式，得到平移后的顶点坐标；第三步对比两个顶点的坐标变化，结合坐标平移“左加右减（横坐标）、上加下减（纵坐标）”的规律，即可判断平移的方向和距离。
【解析】
1. 确定原抛物线顶点：抛物线$y=(x-1)^2+5$为顶点式，其顶点坐标为$(1,5)$。
2. 转化平移后抛物线为顶点式：对$y=x^2+2x+3$配方，可得
$y=x^2+2x+3=(x^2+2x+1)-1+3=(x+1)^2+2$，因此平移后抛物线的顶点坐标为$(-1,2)$。
3. 分析顶点平移规律：横坐标从1变为-1，说明向左平移了$1-(-1)=2$个单位；纵坐标从5变为2，说明向下平移了$5-2=3$个单位。
因此抛物线$y=(x-1)^2+5$向左平移2个单位，再向下平移3个单位得到$y=x^2+2x+3$，故选D。
【答案】
D
【知识点】
二次函数图象平移；配方法化顶点式；坐标平移规律
【点评】
本题考查二次函数的平移变换，将抛物线的平移转化为顶点的坐标平移，是解决此类问题的常用技巧，相比直接对解析式变形更直观，不易混淆平移方向。
【难度系数】
0.75
3. (阜新中考)下列关于二次函数$y=3(x+1)(2-x)$的图象和性质的叙述中，正确的是（
A.点$(0,2)$在函数图象上
B.开口方向是向上
C.对称轴是直线$x=1$
D.与直线$y=3x$有两个交点
D
）A.点$(0,2)$在函数图象上
B.开口方向是向上
C.对称轴是直线$x=1$
D.与直线$y=3x$有两个交点
答案
3. D 解析:A.把$x=0$代入$y=3(x+1)(2-x)$,得$y=6≠2$,$\therefore$ A错误;B.化简得二次函数$y=-3x^2+3x+6$,$\because a=-3＜0$,$\therefore$ 二次函数的图象开口方向向下,$\therefore$ B错误;C.$\because$ 二次函数图象的对称轴是直线$x=-\frac{b}{2a}=\frac{1}{2}$,$\therefore$ C错误;D.$\because 3(x+1)(2-x)=3x$,$\therefore -3x^2+3x+6=3x$,$\therefore -3x^2+6=0$.$\because b^2-4ac=72＞0$,$\therefore$ 二次函数$y=3(x+1)(2-x)$的图象与直线$y=3x$有两个交点,$\therefore$ D正确.故选 D.
解析
【分析】
这是一道二次函数图象与性质的判断类选择题，可采用逐个验证选项的方法解题：①判断点是否在函数图象上，只需将点的横坐标代入解析式，核对计算出的纵坐标与点的纵坐标是否一致；②判断开口方向，需先将交点式转化为一般式$y=ax^2+bx+c$，根据二次项系数$a$的正负判断，$a＞0$开口向上，$a＜0$开口向下；③求对称轴可利用一般式的对称轴公式$x=-\frac{b}{2a}$计算；④判断二次函数与直线的交点个数，需联立两个函数的解析式得到一元二次方程，根据根的判别式$\Delta$的符号判断：$\Delta＞0$有2个交点，$\Delta=0$有1个交点，$\Delta＜0$无交点。按照上述思路逐一验证选项即可。
【解析】
我们逐个分析选项：
A. 把$x=0$代入$y=3(x+1)(2-x)$，得$y=3×1×2=6≠2$，因此点$(0,2)$不在函数图象上，A错误；
B. 将解析式展开为一般式：$y=3(x+1)(2-x)=-3x^2+3x+6$，其中二次项系数$a=-3＜0$，因此二次函数图象开口向下，B错误；
C. 根据对称轴公式$x=-\frac{b}{2a}$，代入$a=-3$，$b=3$，得$x=-\frac{3}{2×(-3)}=\frac{1}{2}$，即对称轴是直线$x=\frac{1}{2}$，不是$x=1$，C错误；
D. 联立二次函数与直线$y=3x$的解析式，可得方程$3(x+1)(2-x)=3x$，整理得$-3x^2+6=0$，该一元二次方程的判别式$\Delta=b^2-4ac=0^2-4×(-3)×6=72＞0$，因此方程有两个不相等的实数根，即二次函数图象与直线$y=3x$有两个交点，D正确。
【答案】
D
【知识点】
二次函数的图象与性质；函数交点的判断；一元二次方程根的判别式
【点评】
本题综合考查二次函数的基础性质，涉及点与函数图象的关系、开口方向、对称轴判断以及函数交点个数的判定，要求学生熟练掌握二次函数不同解析式的转化方法，以及用方程思想解决函数交点问题的能力，属于常考的基础题型。
【难度系数】
0.7
这是一道二次函数图象与性质的判断类选择题，可采用逐个验证选项的方法解题：①判断点是否在函数图象上，只需将点的横坐标代入解析式，核对计算出的纵坐标与点的纵坐标是否一致；②判断开口方向，需先将交点式转化为一般式$y=ax^2+bx+c$，根据二次项系数$a$的正负判断，$a＞0$开口向上，$a＜0$开口向下；③求对称轴可利用一般式的对称轴公式$x=-\frac{b}{2a}$计算；④判断二次函数与直线的交点个数，需联立两个函数的解析式得到一元二次方程，根据根的判别式$\Delta$的符号判断：$\Delta＞0$有2个交点，$\Delta=0$有1个交点，$\Delta＜0$无交点。按照上述思路逐一验证选项即可。
【解析】
我们逐个分析选项：
A. 把$x=0$代入$y=3(x+1)(2-x)$，得$y=3×1×2=6≠2$，因此点$(0,2)$不在函数图象上，A错误；
B. 将解析式展开为一般式：$y=3(x+1)(2-x)=-3x^2+3x+6$，其中二次项系数$a=-3＜0$，因此二次函数图象开口向下，B错误；
C. 根据对称轴公式$x=-\frac{b}{2a}$，代入$a=-3$，$b=3$，得$x=-\frac{3}{2×(-3)}=\frac{1}{2}$，即对称轴是直线$x=\frac{1}{2}$，不是$x=1$，C错误；
D. 联立二次函数与直线$y=3x$的解析式，可得方程$3(x+1)(2-x)=3x$，整理得$-3x^2+6=0$，该一元二次方程的判别式$\Delta=b^2-4ac=0^2-4×(-3)×6=72＞0$，因此方程有两个不相等的实数根，即二次函数图象与直线$y=3x$有两个交点，D正确。
【答案】
D
【知识点】
二次函数的图象与性质；函数交点的判断；一元二次方程根的判别式
【点评】
本题综合考查二次函数的基础性质，涉及点与函数图象的关系、开口方向、对称轴判断以及函数交点个数的判定，要求学生熟练掌握二次函数不同解析式的转化方法，以及用方程思想解决函数交点问题的能力，属于常考的基础题型。
【难度系数】
0.7
4. ★★ 若二次函数$y=4x^2 - mx +5$，当$x＜-2$时，y随x的增大而减小；当$x＞-2$时，y随x的增大而增大，则当$x=1$时，函数y的值为
25
。答案
4. 25 解析:$\because$ 当$x＜-2$时,$y$随$x$的增大而减小,当$x＞-2$时,$y$随$x$的增大而增大,$\therefore$ 对称轴$x=-\frac{b}{2a}=\frac{-m}{2×4}=-2$,解得$m=-16$,$\therefore$ 二次函数表达式为$y=4x^2+16x+5$,当$x=1$时,函数$y=4+16+5=25$.故答案为 25.
解析
【分析】
解决这道题首先要明确二次函数增减性与对称轴的关系：开口向上的二次函数，对称轴左侧y随x增大而减小，右侧y随x增大而增大。题目给出x＜-2时y递减、x＞-2时y递增，说明函数对称轴为x=-2。接下来利用二次函数对称轴公式$x=-\frac{b}{2a}$即可求出参数m的值，得到完整函数解析式后，将x=1代入就能算出对应的y值。
【解析】
解：由题意可知二次函数$y=4x^2 - mx +5$的对称轴为$x=-2$。
对于二次函数$y=ax^2+bx+c$，对称轴公式为$x=-\frac{b}{2a}$，本题中$a=4$，$b=-m$，代入得：
$-\frac{-m}{2×4}=-2$
化简得$\frac{m}{8}=-2$，解得$m=-16$。
因此二次函数表达式为$y=4x^2+16x+5$。
当$x=1$时，代入解析式计算：
$y=4×1^2+16×1+5=4+16+5=25$
【答案】
25
【知识点】
1.二次函数的增减性 2.二次函数对称轴公式 3.二次函数求值
【点评】
本题考查二次函数增减性与对称轴的对应关系，解题突破口是根据函数增减变化规律确定对称轴位置，再结合对称轴公式求解未知参数，属于二次函数性质的基础应用题，需熟练掌握相关性质。
【难度系数】
0.8
解决这道题首先要明确二次函数增减性与对称轴的关系：开口向上的二次函数，对称轴左侧y随x增大而减小，右侧y随x增大而增大。题目给出x＜-2时y递减、x＞-2时y递增，说明函数对称轴为x=-2。接下来利用二次函数对称轴公式$x=-\frac{b}{2a}$即可求出参数m的值，得到完整函数解析式后，将x=1代入就能算出对应的y值。
【解析】
解：由题意可知二次函数$y=4x^2 - mx +5$的对称轴为$x=-2$。
对于二次函数$y=ax^2+bx+c$，对称轴公式为$x=-\frac{b}{2a}$，本题中$a=4$，$b=-m$，代入得：
$-\frac{-m}{2×4}=-2$
化简得$\frac{m}{8}=-2$，解得$m=-16$。
因此二次函数表达式为$y=4x^2+16x+5$。
当$x=1$时，代入解析式计算：
$y=4×1^2+16×1+5=4+16+5=25$
【答案】
25
【知识点】
1.二次函数的增减性 2.二次函数对称轴公式 3.二次函数求值
【点评】
本题考查二次函数增减性与对称轴的对应关系，解题突破口是根据函数增减变化规律确定对称轴位置，再结合对称轴公式求解未知参数，属于二次函数性质的基础应用题，需熟练掌握相关性质。
【难度系数】
0.8
5. （内蒙古中考）已知二次函数 $ y = -ax^2 + 2ax + 3(a＞0) $，若点 $ P(m,3) $ 在该函数的图象上，且 $ m≠0 $，则 $ m $ 的值为
2
。答案
5. 2 解析:点$P(m,3)$在$y=-ax^2+2ax+3$的图象上,$\therefore 3=-am^2+2am+3$,$-am(m-2)=0$,解得$m=2$或$m=0$(舍去),故答案为 2.
解析
【分析】
要解决这道题，首先明确核心依据：若点在函数图象上，则点的横、纵坐标满足函数解析式。我们可以先将点P的坐标代入二次函数解析式，得到关于m的方程，再结合题目给出的$a＞0$、$m≠0$的限制条件排除不符合要求的解，即可求出m的值。
【解析】
∵点$P(m,3)$在二次函数$y = -ax^2 + 2ax + 3(a＞0)$的图象上，
∴将$x=m$，$y=3$代入函数解析式得：
$\begin{aligned}3&=-am^2 + 2am + 3\\-am^2 + 2am &= 0\\-am(m-2)&=0\end{aligned}$
已知$a＞0$，因此$a≠0$，又题目明确$m≠0$，
因此只有$m-2=0$，解得$m=2$。
【答案】
2
【知识点】
二次函数图象上点的坐标特征、因式分解法解一元二次方程
【点评】
本题属于基础题型，核心考查二次函数图象上点的坐标与解析式的对应关系，解题时只需代入坐标转化为方程求解即可，注意题干给出的限制条件，避免出现多解错误。
【难度系数】
0.8
要解决这道题，首先明确核心依据：若点在函数图象上，则点的横、纵坐标满足函数解析式。我们可以先将点P的坐标代入二次函数解析式，得到关于m的方程，再结合题目给出的$a＞0$、$m≠0$的限制条件排除不符合要求的解，即可求出m的值。
【解析】
∵点$P(m,3)$在二次函数$y = -ax^2 + 2ax + 3(a＞0)$的图象上，
∴将$x=m$，$y=3$代入函数解析式得：
$\begin{aligned}3&=-am^2 + 2am + 3\\-am^2 + 2am &= 0\\-am(m-2)&=0\end{aligned}$
已知$a＞0$，因此$a≠0$，又题目明确$m≠0$，
因此只有$m-2=0$，解得$m=2$。
【答案】
2
【知识点】
二次函数图象上点的坐标特征、因式分解法解一元二次方程
【点评】
本题属于基础题型，核心考查二次函数图象上点的坐标与解析式的对应关系，解题时只需代入坐标转化为方程求解即可，注意题干给出的限制条件，避免出现多解错误。
【难度系数】
0.8
6. 抛物线$y_1=ax^2+bx+c$是由抛物线$y_2=x^2-4x+5$先向左平移3个单位再向上平移4个单位得到，则$4a-2b+c=$
6
。答案
6. 6 解析:由题意得,平移后的表达式为$y_1=(x+3)^2-4(x+3)+5+4=x^2+2x+6$,$\therefore a=1,b=2,c=6$,$\therefore 4a-2b+c=4×1-2×2+6=6$.故答案为 6.
解析
【分析】
解题首先要运用二次函数图象的平移规律“左加右减自变量，上加下减常数项”，先根据平移规则推导出平移后抛物线$y_1$的解析式，再将解析式整理为$y=ax^2+bx+c$的一般形式，得到$a、b、c$的具体取值，最后将三个系数代入待求代数式$4a-2b+c$计算即可得到结果。
【解析】
根据平移规则，抛物线$y_2=x^2-4x+5$向左平移3个单位，需将自变量$x$替换为$x+3$，再向上平移4个单位，需在整体表达式后加4，因此平移后$y_1$的解析式为：
$\begin{aligned}y_1&=(x+3)^2 - 4(x+3) + 5 + 4\\&=x^2+6x+9-4x-12+9\\&=x^2+2x+6\end{aligned}$
对比$y_1=ax^2+bx+c$，可得$a=1$，$b=2$，$c=6$。
将$a、b、c$代入$4a-2b+c$得：
$4×1 - 2×2 +6=4-4+6=6$
【答案】
6
【知识点】
二次函数图象平移、代数式求值
【点评】
本题重点考查二次函数图象平移规律的应用，熟记“左加右减、上加下减”的平移规则是解题的前提，计算时要注意多项式展开的符号正确，合并同类项不要出错。
【难度系数】
0.7
解题首先要运用二次函数图象的平移规律“左加右减自变量，上加下减常数项”，先根据平移规则推导出平移后抛物线$y_1$的解析式，再将解析式整理为$y=ax^2+bx+c$的一般形式，得到$a、b、c$的具体取值，最后将三个系数代入待求代数式$4a-2b+c$计算即可得到结果。
【解析】
根据平移规则，抛物线$y_2=x^2-4x+5$向左平移3个单位，需将自变量$x$替换为$x+3$，再向上平移4个单位，需在整体表达式后加4，因此平移后$y_1$的解析式为：
$\begin{aligned}y_1&=(x+3)^2 - 4(x+3) + 5 + 4\\&=x^2+6x+9-4x-12+9\\&=x^2+2x+6\end{aligned}$
对比$y_1=ax^2+bx+c$，可得$a=1$，$b=2$，$c=6$。
将$a、b、c$代入$4a-2b+c$得：
$4×1 - 2×2 +6=4-4+6=6$
【答案】
6
【知识点】
二次函数图象平移、代数式求值
【点评】
本题重点考查二次函数图象平移规律的应用，熟记“左加右减、上加下减”的平移规则是解题的前提，计算时要注意多项式展开的符号正确，合并同类项不要出错。
【难度系数】
0.7
7. (2024·北京中考)在平面直角坐标系$xOy$中,已知抛物线$y=ax^2 - 2a^2x(a≠0)$.
(1)当$a=1$时,求抛物线的顶点坐标.
(2)已知$M(x_1,y_1)$和$N(x_2,y_2)$是抛物线上的两点.若对于$x_1=3a,3≤x_2≤4$,都有$y_1＜y_2$,求$a$的取值范围.
(1)当$a=1$时,求抛物线的顶点坐标.
(2)已知$M(x_1,y_1)$和$N(x_2,y_2)$是抛物线上的两点.若对于$x_1=3a,3≤x_2≤4$,都有$y_1＜y_2$,求$a$的取值范围.
答案
7. (1)把$a=1$代入$y=ax^2-2a^2x$,得$y=x^2-2x=(x-1)^2-1$,$\therefore$ 抛物线的顶点坐标为$(1,-1)$.
(2)抛物线的对称轴是直线$x=-\frac{-2a^2}{2a}=a$.
分两种情况:①当$a＞0$时,如图①
,此时$3a＜3$,$\therefore a＜1$.又$\because a＞0$,$\therefore 0＜a＜1$.②当$a＜0$时,如图②
,此时$-a＞4$,解得$a＜-4$.又$\because a＜0$,$\therefore a＜-4$.综上,当$0＜a＜1$或$a＜-4$时,都有$y_1＜y_2$.解析
【分析】
(1) 求指定参数下二次函数的顶点坐标，只需将$a=1$代入抛物线解析式，通过配方法将一般式转化为顶点式，即可直接得到顶点坐标。
(2) 首先利用二次函数对称轴公式求出抛物线的对称轴，二次函数的函数值大小与开口方向、点到对称轴的距离相关，因此分$a＞0$（开口向上）和$a＜0$（开口向下）两种情况讨论：①$a＞0$时，开口向上，离对称轴越远函数值越大，要使$y_1＜y_2$对$3≤x_2≤4$恒成立，需满足$3a＜3$；②$a＜0$时，开口向下，离对称轴越近函数值越大，结合对称性可知需满足对称点$-a＞4$，最后综合两类情况得到$a$的取值范围。
【解析】
(1) 将$a=1$代入抛物线解析式$y=ax^2-2a^2x$，得：
$y=x^2-2x$
配方得$y=(x-1)^2-1$，根据顶点式$y=a(x-h)^2+k$的顶点为$(h,k)$，可得抛物线的顶点坐标为$(1,-1)$。
(2) 对于二次函数$y=ax^2+bx+c(a≠0)$，对称轴公式为$x=-\frac{b}{2a}$，代入$b=-2a^2$，得抛物线对称轴为直线：
$x=-\frac{-2a^2}{2a}=a$
分两种情况讨论：
①当$a＞0$时，抛物线开口向上，如图①，若对$3≤x_2≤4$都有$y_1＜y_2$，则$3a＜3$，解得$a＜1$，结合$a＞0$，得$0＜a＜1$；
②当$a＜0$时，抛物线开口向下，如图②，$x=3a$关于对称轴$x=a$的对称点为$x=-a$，若对$3≤x_2≤4$都有$y_1＜y_2$，则$-a＞4$，解得$a＜-4$，结合$a＜0$，得$a＜-4$。
综上，$a$的取值范围为$0＜a＜1$或$a＜-4$。
【答案】
(1) $\boxed{(1,-1)}$
(2) $\boxed{0＜a＜1}$或$\boxed{a＜-4}$
【知识点】
二次函数顶点坐标、二次函数图象性质、分类讨论思想
【点评】
本题以二次函数为载体，考查二次函数基本性质的应用，解题时需结合开口方向、对称轴分析函数增减性，对参数的正负分类讨论，结合图象推导参数的取值范围，避免出现漏解的情况。
【难度系数】
0.6
(1) 求指定参数下二次函数的顶点坐标，只需将$a=1$代入抛物线解析式，通过配方法将一般式转化为顶点式，即可直接得到顶点坐标。
(2) 首先利用二次函数对称轴公式求出抛物线的对称轴，二次函数的函数值大小与开口方向、点到对称轴的距离相关，因此分$a＞0$（开口向上）和$a＜0$（开口向下）两种情况讨论：①$a＞0$时，开口向上，离对称轴越远函数值越大，要使$y_1＜y_2$对$3≤x_2≤4$恒成立，需满足$3a＜3$；②$a＜0$时，开口向下，离对称轴越近函数值越大，结合对称性可知需满足对称点$-a＞4$，最后综合两类情况得到$a$的取值范围。
【解析】
(1) 将$a=1$代入抛物线解析式$y=ax^2-2a^2x$，得：
$y=x^2-2x$
配方得$y=(x-1)^2-1$，根据顶点式$y=a(x-h)^2+k$的顶点为$(h,k)$，可得抛物线的顶点坐标为$(1,-1)$。
(2) 对于二次函数$y=ax^2+bx+c(a≠0)$，对称轴公式为$x=-\frac{b}{2a}$，代入$b=-2a^2$，得抛物线对称轴为直线：
$x=-\frac{-2a^2}{2a}=a$
分两种情况讨论：
①当$a＞0$时，抛物线开口向上，如图①
，若对$3≤x_2≤4$都有$y_1＜y_2$，则$3a＜3$，解得$a＜1$，结合$a＞0$，得$0＜a＜1$；②当$a＜0$时，抛物线开口向下，如图②
，$x=3a$关于对称轴$x=a$的对称点为$x=-a$，若对$3≤x_2≤4$都有$y_1＜y_2$，则$-a＞4$，解得$a＜-4$，结合$a＜0$，得$a＜-4$。综上，$a$的取值范围为$0＜a＜1$或$a＜-4$。
【答案】
(1) $\boxed{(1,-1)}$
(2) $\boxed{0＜a＜1}$或$\boxed{a＜-4}$
【知识点】
二次函数顶点坐标、二次函数图象性质、分类讨论思想
【点评】
本题以二次函数为载体，考查二次函数基本性质的应用，解题时需结合开口方向、对称轴分析函数增减性，对参数的正负分类讨论，结合图象推导参数的取值范围，避免出现漏解的情况。
【难度系数】
0.6
8. 已知函数$y=ax^2+2ax+1$在$-3≤ x≤2$上有最大值9，则常数$a$的值是（
A.1
B.$\dfrac{8}{3}$
C.$\dfrac{8}{3}$或$-8$
D.1或$-8$
D
）A.1
B.$\dfrac{8}{3}$
C.$\dfrac{8}{3}$或$-8$
D.1或$-8$
答案
8. D 解析:$\because$ 二次函数表达式为$y=ax^2+2ax+1$,$\therefore$ 二次函数对称轴为直线$x=-1$.
①当$a＜0$时,二次函数的图象开口向下,当$x=-1$时,函数有最大值为9,$\therefore a-2a+1=9$,解得$a=-8$.
②当$a＞0$时,二次函数的图象开口向上,在$-3≤ x≤2$上有最大值9,$\therefore$ 当$x=2$时,函数有最大值为9,即$4a+4a+1=9$,解得$a=1$.
综上分析,$a$的值为$-8$或1.故选 D.
①当$a＜0$时,二次函数的图象开口向下,当$x=-1$时,函数有最大值为9,$\therefore a-2a+1=9$,解得$a=-8$.
②当$a＞0$时,二次函数的图象开口向上,在$-3≤ x≤2$上有最大值9,$\therefore$ 当$x=2$时,函数有最大值为9,即$4a+4a+1=9$,解得$a=1$.
综上分析,$a$的值为$-8$或1.故选 D.
解析
【分析】
本题是含参数的二次函数在给定区间上的最值问题，解题思路如下：第一步先求出二次函数的对称轴；第二步根据二次项系数$a$的正负分类讨论，$a$的正负决定抛物线开口方向，开口方向不同，区间内最大值的取值位置不同：开口向下时最大值在对称轴处取得，开口向上时最大值在离对称轴更远的区间端点处取得；第三步分别代入取值点列方程求解，验证解是否符合分类条件即可，注意$a=0$时函数为常函数1，不符合最大值为9的条件，无需讨论。
【解析】
对于二次函数$y=ax^2+2ax+1$，由对称轴公式可得对称轴为直线$x=-\frac{2a}{2a}=-1$。
①当$a＜0$时，二次函数图象开口向下，在对称轴$x=-1$处取得最大值9，将$x=-1$代入函数得：
$a×(-1)^2+2a×(-1)+1=9$
化简得$a-2a+1=9$，解得$a=-8$，符合$a＜0$的条件。
②当$a＞0$时，二次函数图象开口向上，在区间$-3≤ x≤2$内，端点$x=2$离对称轴$x=-1$更远，因此在$x=2$处取得最大值9，将$x=2$代入函数得：
$a×2^2+2a×2+1=9$
化简得$4a+4a+1=9$，解得$a=1$，符合$a＞0$的条件。
综上，$a$的值为1或$-8$，故选D。
【答案】
D
【知识点】
二次函数对称轴；二次函数最值；分类讨论
【点评】
本题重点考查二次函数闭区间最值的求解方法，解题核心是结合开口方向和对称轴判断最值点的位置，易错点是容易忽略对二次项系数正负的讨论，导致漏解。
【难度系数】
0.7
本题是含参数的二次函数在给定区间上的最值问题，解题思路如下：第一步先求出二次函数的对称轴；第二步根据二次项系数$a$的正负分类讨论，$a$的正负决定抛物线开口方向，开口方向不同，区间内最大值的取值位置不同：开口向下时最大值在对称轴处取得，开口向上时最大值在离对称轴更远的区间端点处取得；第三步分别代入取值点列方程求解，验证解是否符合分类条件即可，注意$a=0$时函数为常函数1，不符合最大值为9的条件，无需讨论。
【解析】
对于二次函数$y=ax^2+2ax+1$，由对称轴公式可得对称轴为直线$x=-\frac{2a}{2a}=-1$。
①当$a＜0$时，二次函数图象开口向下，在对称轴$x=-1$处取得最大值9，将$x=-1$代入函数得：
$a×(-1)^2+2a×(-1)+1=9$
化简得$a-2a+1=9$，解得$a=-8$，符合$a＜0$的条件。
②当$a＞0$时，二次函数图象开口向上，在区间$-3≤ x≤2$内，端点$x=2$离对称轴$x=-1$更远，因此在$x=2$处取得最大值9，将$x=2$代入函数得：
$a×2^2+2a×2+1=9$
化简得$4a+4a+1=9$，解得$a=1$，符合$a＞0$的条件。
综上，$a$的值为1或$-8$，故选D。
【答案】
D
【知识点】
二次函数对称轴；二次函数最值；分类讨论
【点评】
本题重点考查二次函数闭区间最值的求解方法，解题核心是结合开口方向和对称轴判断最值点的位置，易错点是容易忽略对二次项系数正负的讨论，导致漏解。
【难度系数】
0.7
9. ★★★ (2024·西藏中考)如图,已知二次函数$y=ax^2+bx+c(a≠0)$的图象与x轴相交于点$A(-3,0),B(1,0)$,则下列结论正确的个数是 (
①$abc＜0$;②$3b+2c＞0$;③对任意实数$m$,$am^2+bm≥a-b$均成立;④若点$(-4,y_1),(\dfrac{1}{2},y_2)$在抛物线上,则$y_1＜y_2$.
A.1
B.2
C.3
D.4
B
)①$abc＜0$;②$3b+2c＞0$;③对任意实数$m$,$am^2+bm≥a-b$均成立;④若点$(-4,y_1),(\dfrac{1}{2},y_2)$在抛物线上,则$y_1＜y_2$.
A.1
B.2
C.3
D.4
答案
9. B 解析:由图象可得,抛物线开口向上,对称轴在$y$轴左侧,交$y$轴于负半轴,$\therefore a＞0$,$x=-\frac{b}{2a}＜0$,$c＜0$,$\therefore b＞0$,$\therefore abc＜0$,故①正确;$\because$ 二次函数$y=ax^2+bx+c(a≠0)$的图象与$x$轴相交于点$A(-3,0)$,$B(1,0)$,$\therefore$ 二次函数的对称轴为直线$x=\frac{-3+1}{2}=-1$,$a+b+c=0$ ①,$9a-3b+c=0$ ②,由①+②得,$10a-2b+2c=0$.$\because x=-\frac{b}{2a}=-1$,$\therefore b=2a$,$\therefore 5b-2b+2c=0$,即$3b+2c=0$,故②错误;当$x=-1$时,二次函数有最小值$a-b+c$,由图象可得,对任意实数$m$,$am^2+bm+c≥ a-b+c$,$\therefore$ 对任意实数$m$,$am^2+bm≥ a-b$均成立,故③正确;$\because$ 点$(-4,y_1)$,$(\frac{1}{2},y_2)$在抛物线上,且$|-4-(-1)|＞\left|-1-\frac{1}{2}\right|$,$\therefore y_1＞y_2$,故④错误;综上所述,正确的有①③,共2个,故选 B.
解析
【分析】
解题时先根据二次函数的图象特征确定a、b、c的符号，再结合与x轴的交点坐标求出对称轴，结合二次函数的性质逐一判断4个结论是否正确：1. 先由开口方向、对称轴位置、与y轴交点判断abc的符号，验证①；2. 将两个交点坐标代入解析式，结合对称轴得到的a与b的关系，推导3b+2c的大小，验证②；3. 根据二次函数在对称轴处取得最小值，变形不等式验证③；4. 计算两个点到对称轴的距离，结合开口方向判断y₁和y₂的大小，验证④，最后统计正确结论的个数即可。
【解析】
步骤1：判断a、b、c的符号，验证结论①
由图象可知抛物线开口向上，
∴$a＞0$；对称轴在y轴左侧，即$x=-\frac{b}{2a}＜0$，结合$a＞0$可得$b＞0$；抛物线与y轴交于负半轴，
∴$c＜0$；因此$abc＜0$，故①正确。
步骤2：结合交点坐标与对称轴，验证结论②
∵抛物线与x轴交于$A(-3,0)$、$B(1,0)$，
∴对称轴为直线$x=\frac{-3+1}{2}=-1$，即$-\frac{b}{2a}=-1$，得$b=2a$；
将$B(1,0)$代入解析式得$a+b+c=0$，将$A(-3,0)$代入得$9a-3b+c=0$，两式相加得$10a-2b+2c=0$，把$a=\frac{b}{2}$代入得$10×\frac{b}{2}-2b+2c=3b+2c=0$，故②错误。
步骤3：利用二次函数最值性质，验证结论③
当$x=-1$时，二次函数取得最小值，最小值为$a· (-1)^2 +b· (-1)+c=a-b+c$，因此对任意实数$m$，都有$am^2+bm+c≥ a-b+c$，两边同时减去$c$可得$am^2+bm≥ a-b$，故③正确。
步骤4：比较点到对称轴的距离，验证结论④
点$(-4,y_1)$到对称轴$x=-1$的距离为$|-4-(-1)|=3$，点$(\frac{1}{2},y_2)$到对称轴$x=-1$的距离为$|\frac{1}{2}-(-1)|=\frac{3}{2}$，
∵抛物线开口向上，离对称轴越远函数值越大，$3＞\frac{3}{2}$，
∴$y_1＞y_2$，故④错误。
综上，正确的结论为①③，共2个。
【答案】
B
【知识点】
二次函数图象与系数的关系；二次函数的最值；二次函数上点的坐标特征
【点评】
本题是二次函数图象性质的综合考题，需要熟练掌握二次函数系数与图象特征的对应关系、最值性质以及比较函数值的方法，解题时要结合已知条件逐个推导结论，避免遗漏隐含信息。
【难度系数】
0.6
解题时先根据二次函数的图象特征确定a、b、c的符号，再结合与x轴的交点坐标求出对称轴，结合二次函数的性质逐一判断4个结论是否正确：1. 先由开口方向、对称轴位置、与y轴交点判断abc的符号，验证①；2. 将两个交点坐标代入解析式，结合对称轴得到的a与b的关系，推导3b+2c的大小，验证②；3. 根据二次函数在对称轴处取得最小值，变形不等式验证③；4. 计算两个点到对称轴的距离，结合开口方向判断y₁和y₂的大小，验证④，最后统计正确结论的个数即可。
【解析】
步骤1：判断a、b、c的符号，验证结论①
由图象可知抛物线开口向上，
∴$a＞0$；对称轴在y轴左侧，即$x=-\frac{b}{2a}＜0$，结合$a＞0$可得$b＞0$；抛物线与y轴交于负半轴，
∴$c＜0$；因此$abc＜0$，故①正确。
步骤2：结合交点坐标与对称轴，验证结论②
∵抛物线与x轴交于$A(-3,0)$、$B(1,0)$，
∴对称轴为直线$x=\frac{-3+1}{2}=-1$，即$-\frac{b}{2a}=-1$，得$b=2a$；
将$B(1,0)$代入解析式得$a+b+c=0$，将$A(-3,0)$代入得$9a-3b+c=0$，两式相加得$10a-2b+2c=0$，把$a=\frac{b}{2}$代入得$10×\frac{b}{2}-2b+2c=3b+2c=0$，故②错误。
步骤3：利用二次函数最值性质，验证结论③
当$x=-1$时，二次函数取得最小值，最小值为$a· (-1)^2 +b· (-1)+c=a-b+c$，因此对任意实数$m$，都有$am^2+bm+c≥ a-b+c$，两边同时减去$c$可得$am^2+bm≥ a-b$，故③正确。
步骤4：比较点到对称轴的距离，验证结论④
点$(-4,y_1)$到对称轴$x=-1$的距离为$|-4-(-1)|=3$，点$(\frac{1}{2},y_2)$到对称轴$x=-1$的距离为$|\frac{1}{2}-(-1)|=\frac{3}{2}$，
∵抛物线开口向上，离对称轴越远函数值越大，$3＞\frac{3}{2}$，
∴$y_1＞y_2$，故④错误。
综上，正确的结论为①③，共2个。
【答案】
B
【知识点】
二次函数图象与系数的关系；二次函数的最值；二次函数上点的坐标特征
【点评】
本题是二次函数图象性质的综合考题，需要熟练掌握二次函数系数与图象特征的对应关系、最值性质以及比较函数值的方法，解题时要结合已知条件逐个推导结论，避免遗漏隐含信息。
【难度系数】
0.6
