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9. ★★★(宁波中考)点$A(m-1,y_1)$，$B(m,y_2)$都在二次函数$y=(x-1)^2 +n$的图象上.若$y_1 ＜ y_2$，则$m$的取值范围是 (
A.$m＞2$
B.$m＞\dfrac{3}{2}$
C.$m＜1$
D.$\dfrac{3}{2}＜m＜2$
B
)A.$m＞2$
B.$m＞\dfrac{3}{2}$
C.$m＜1$
D.$\dfrac{3}{2}＜m＜2$
答案
B 解析:$\because$ 点$A(m-1,y_1)$,$B(m,y_2)$都在二次函数$y=(x-1)^2 +n$的图象上,$\therefore y_1=(m-1-1)^2+n=(m-2)^2+n$,$y_2=(m-1)^2+n$.$\because y_1＜y_2$,$\therefore (m-2)^2+n＜(m-1)^2+n$,$\therefore (m-2)^2-(m-1)^2＜0$,即$-2m+3＜0$,$\therefore m＞\frac{3}{2}$,故选 B.
解析
【分析】
解题思路如下：首先，二次函数图象上的点的坐标满足函数解析式，因此可以将A、B两点的横坐标分别代入二次函数表达式，用含m的代数式表示出y₁和y₂；再结合已知条件y₁＜y₂列出关于m的不等式，最后化简求解不等式即可得到m的取值范围。
【解析】
∵ 点$A(m-1,y_1)$，$B(m,y_2)$都在二次函数$y=(x-1)^2 +n$的图象上，
∴ 将$x=m-1$代入解析式得：$y_1=(m-1-1)^2+n=(m-2)^2+n$，
将$x=m$代入解析式得：$y_2=(m-1)^2+n$，
∵ $y_1＜y_2$，
∴ $(m-2)^2+n＜(m-1)^2+n$，
两边同时减去$n$得：$(m-2)^2＜(m-1)^2$，
展开整理得：$m^2-4m+4＜m^2-2m+1$，
移项合并同类项得：$-2m＜-3$，
系数化为1得：$m＞\dfrac{3}{2}$。
故选B。
【答案】
B
【知识点】
1.二次函数图象上点的坐标特征
2.解一元一次不等式
【点评】
本题属于二次函数的基础应用题型，既可以通过代入解析式直接列不等式求解，也可以结合二次函数的开口方向、对称轴，利用点到对称轴的距离和函数值的对应关系解答，方法灵活，能考查学生对二次函数性质的掌握程度和运算能力。
【难度系数】
0.7
解题思路如下：首先，二次函数图象上的点的坐标满足函数解析式，因此可以将A、B两点的横坐标分别代入二次函数表达式，用含m的代数式表示出y₁和y₂；再结合已知条件y₁＜y₂列出关于m的不等式，最后化简求解不等式即可得到m的取值范围。
【解析】
∵ 点$A(m-1,y_1)$，$B(m,y_2)$都在二次函数$y=(x-1)^2 +n$的图象上，
∴ 将$x=m-1$代入解析式得：$y_1=(m-1-1)^2+n=(m-2)^2+n$，
将$x=m$代入解析式得：$y_2=(m-1)^2+n$，
∵ $y_1＜y_2$，
∴ $(m-2)^2+n＜(m-1)^2+n$，
两边同时减去$n$得：$(m-2)^2＜(m-1)^2$，
展开整理得：$m^2-4m+4＜m^2-2m+1$，
移项合并同类项得：$-2m＜-3$，
系数化为1得：$m＞\dfrac{3}{2}$。
故选B。
【答案】
B
【知识点】
1.二次函数图象上点的坐标特征
2.解一元一次不等式
【点评】
本题属于二次函数的基础应用题型，既可以通过代入解析式直接列不等式求解，也可以结合二次函数的开口方向、对称轴，利用点到对称轴的距离和函数值的对应关系解答，方法灵活，能考查学生对二次函数性质的掌握程度和运算能力。
【难度系数】
0.7
10. ★★★ 已知二次函数 $y=a(x-1)^2 -a(a≠0)$，当$-1≤x≤4$时，$y$ 的最小值为$-4$，则 $a$ 的值为（
A.$\frac{1}{2}$或4
B.$\frac{4}{3}$或$-\frac{1}{2}$
C.$-\frac{4}{3}$或4
D.$-\frac{1}{2}$或4
D
）A.$\frac{1}{2}$或4
B.$\frac{4}{3}$或$-\frac{1}{2}$
C.$-\frac{4}{3}$或4
D.$-\frac{1}{2}$或4
答案
D 解析:二次函数 $y=a(x-1)^2 -a(a≠0)$ 的对称轴为直线 $x=1$.①若 $a＞0$,当$-1≤x≤1$时,$y$ 随 $x$ 的增大而减小,当 $1＜x≤4$ 时,$y$ 随 $x$ 的增大而增大,$\therefore$ 当 $x=1$ 时,$y$ 取得最小值,$\therefore y=a(1-1)^2-a=-4$,$\therefore a=4$;②若 $a＜0$,当$-1≤x≤1$时,$y$ 随 $x$ 的增大而增大,当 $1＜x≤4$ 时,$y$ 随 $x$ 的增大而减小,$\therefore$ 当 $x=4$ 时,$y$ 取得最小值,$\therefore y=a(4-1)^2-a=-4$,$\therefore a=-\frac{1}{2}$.故选 D.
解析
【分析】
本题考查二次函数在给定区间的最值求解，解题思路如下：首先从二次函数的顶点式入手，先确定函数的对称轴为直线$x=1$；由于二次项系数$a$的正负不确定，会影响函数的开口方向和增减性，因此需要分$a＞0$（开口向上）和$a＜0$（开口向下）两种情况讨论；再结合函数在区间$[-1,4]$上的增减性，找到对应情况下$y$取最小值时的$x$值，代入解析式列方程求解$a$，最后验证所得$a$是否符合分类的前提条件即可。
【解析】
二次函数$y=a(x-1)^2 -a(a≠0)$的对称轴为直线$x=1$，分两种情况讨论：
① 当$a＞0$时，抛物线开口向上，在$-1≤x≤1$时，$y$随$x$的增大而减小，在$1＜x≤4$时，$y$随$x$的增大而增大，因此$x=1$时$y$取得最小值。
将$x=1$代入解析式得：$y=a(1-1)^2 -a=-a=-4$，解得$a=4$，符合$a＞0$的条件。
② 当$a＜0$时，抛物线开口向下，在$-1≤x≤1$时，$y$随$x$的增大而增大，在$1＜x≤4$时，$y$随$x$的增大而减小，区间内$x=4$离对称轴更远，对应函数值更小，故$x=4$时$y$取得最小值。
将$x=4$代入解析式得：$y=a(4-1)^2 -a=9a -a=8a=-4$，解得$a=-\frac{1}{2}$，符合$a＜0$的条件。
综上，$a$的值为$4$或$-\frac{1}{2}$，答案选D。
【答案】
D
【知识点】
1. 二次函数顶点式性质 2. 二次函数区间最值 3. 分类讨论思想
【点评】
本题核心是结合二次函数的开口方向、对称轴判断给定区间内的最值位置，易错点是忽略$a$的正负对开口方向的影响，未分类讨论，或判断错误最值对应的$x$取值，解题时需熟练掌握二次函数增减性与对称轴的关系。
【难度系数】
0.6
本题考查二次函数在给定区间的最值求解，解题思路如下：首先从二次函数的顶点式入手，先确定函数的对称轴为直线$x=1$；由于二次项系数$a$的正负不确定，会影响函数的开口方向和增减性，因此需要分$a＞0$（开口向上）和$a＜0$（开口向下）两种情况讨论；再结合函数在区间$[-1,4]$上的增减性，找到对应情况下$y$取最小值时的$x$值，代入解析式列方程求解$a$，最后验证所得$a$是否符合分类的前提条件即可。
【解析】
二次函数$y=a(x-1)^2 -a(a≠0)$的对称轴为直线$x=1$，分两种情况讨论：
① 当$a＞0$时，抛物线开口向上，在$-1≤x≤1$时，$y$随$x$的增大而减小，在$1＜x≤4$时，$y$随$x$的增大而增大，因此$x=1$时$y$取得最小值。
将$x=1$代入解析式得：$y=a(1-1)^2 -a=-a=-4$，解得$a=4$，符合$a＞0$的条件。
② 当$a＜0$时，抛物线开口向下，在$-1≤x≤1$时，$y$随$x$的增大而增大，在$1＜x≤4$时，$y$随$x$的增大而减小，区间内$x=4$离对称轴更远，对应函数值更小，故$x=4$时$y$取得最小值。
将$x=4$代入解析式得：$y=a(4-1)^2 -a=9a -a=8a=-4$，解得$a=-\frac{1}{2}$，符合$a＜0$的条件。
综上，$a$的值为$4$或$-\frac{1}{2}$，答案选D。
【答案】
D
【知识点】
1. 二次函数顶点式性质 2. 二次函数区间最值 3. 分类讨论思想
【点评】
本题核心是结合二次函数的开口方向、对称轴判断给定区间内的最值位置，易错点是忽略$a$的正负对开口方向的影响，未分类讨论，或判断错误最值对应的$x$取值，解题时需熟练掌握二次函数增减性与对称轴的关系。
【难度系数】
0.6
11. ★★★ 如图,如果把抛物线$y=x^2$沿直线$y=x$向上平移$2\sqrt{2}$个单位后,其顶点在直线$y=x$上的A处,那么平移后的抛物线所对应的函数表达式为
$y=(x-2)^2+2$
。答案
$y=(x-2)^2+2$ 解析:如图,过点 $A$ 作 $AB⊥ x$ 轴于 $B$,$\because$ 直线 $y=x$ 与 $x$ 轴的夹角为 $45°$,$OA=2\sqrt{2}$,$\therefore OB=AB=2$,$\therefore$ 点 $A$ 的坐标为 $(2,2)$,$\therefore$ 平移后的抛物线所对应的函数表达式为 $y=(x-2)^2+2$.
解析
【分析】
要得到平移后抛物线的函数表达式，首先需要确定平移后抛物线的顶点坐标。已知抛物线沿直线$y=x$平移$2\sqrt{2}$个单位后顶点A在直线$y=x$上，首先利用直线$y=x$与x轴夹角为45°的特点，结合平移距离$OA=2\sqrt{2}$，通过构造直角三角形求出点A的坐标，再根据二次函数顶点式即可写出平移后的函数表达式。
【解析】
过点A作$AB⊥x$轴于点B。
∵ 直线$y=x$上的点横、纵坐标相等，
∴ 直线$y=x$与x轴正方向的夹角为45°，即$△ OAB$是等腰直角三角形。
已知平移距离$OA=2\sqrt{2}$，设$OB=AB=x$，由勾股定理得：
$x^2 + x^2 = (2\sqrt{2})^2$
$2x^2 = 8$
解得$x=2$（坐标为正，舍去负解）
∴ 点A的坐标为$(2,2)$。
原抛物线$y=x^2$的顶点为$(0,0)$，平移后抛物线顶点为$A(2,2)$，且二次项系数不变，因此平移后的抛物线解析式为$y=(x-2)^2+2$。
【答案】
$y=(x-2)^2+2$
【知识点】
二次函数图象平移；等腰直角三角形性质；一次函数图象特征
【点评】
本题属于二次函数平移的综合应用，解题核心是将沿直线的平移距离转化为平移后顶点的坐标，需要结合一次函数的图象特点和几何计算求解，是考查二次函数顶点式应用的典型题目。
【难度系数】
0.65
要得到平移后抛物线的函数表达式，首先需要确定平移后抛物线的顶点坐标。已知抛物线沿直线$y=x$平移$2\sqrt{2}$个单位后顶点A在直线$y=x$上，首先利用直线$y=x$与x轴夹角为45°的特点，结合平移距离$OA=2\sqrt{2}$，通过构造直角三角形求出点A的坐标，再根据二次函数顶点式即可写出平移后的函数表达式。
【解析】
过点A作$AB⊥x$轴于点B。
∵ 直线$y=x$上的点横、纵坐标相等，
∴ 直线$y=x$与x轴正方向的夹角为45°，即$△ OAB$是等腰直角三角形。
已知平移距离$OA=2\sqrt{2}$，设$OB=AB=x$，由勾股定理得：
$x^2 + x^2 = (2\sqrt{2})^2$
$2x^2 = 8$
解得$x=2$（坐标为正，舍去负解）
∴ 点A的坐标为$(2,2)$。
原抛物线$y=x^2$的顶点为$(0,0)$，平移后抛物线顶点为$A(2,2)$，且二次项系数不变，因此平移后的抛物线解析式为$y=(x-2)^2+2$。
【答案】
$y=(x-2)^2+2$
【知识点】
二次函数图象平移；等腰直角三角形性质；一次函数图象特征
【点评】
本题属于二次函数平移的综合应用，解题核心是将沿直线的平移距离转化为平移后顶点的坐标，需要结合一次函数的图象特点和几何计算求解，是考查二次函数顶点式应用的典型题目。
【难度系数】
0.65
12. ★★★（长春中考）如图,在平面直角坐标系中,点A的坐标为$(0,2)$,点B的坐标为$(4,2)$.若抛物线$y=-\dfrac{3}{2}(x-h)^2 + k$（$h,k$为常数）与线段AB交于C,D两点,且$CD=\dfrac{1}{2}AB$,则k的值为
$\frac{7}{2}$
.答案
$\frac{7}{2}$ 解析:$\because$ 点 $A$ 的坐标为 $(0,2)$,点 $B$ 的坐标为 $(4,2)$,$\therefore AB=4$.$\because$ 抛物线 $y=-\frac{3}{2}(x-h)^2+k$($h,k$为常数)与线段 $AB$ 交于 $C,D$ 两点,且 $CD=\frac{1}{2}AB=2$,$\therefore$ 设点 $C$ 的坐标为 $(c,2)$,则点 $D$ 的坐标为 $(c+2,2)$,$\therefore h=c+1$,$\therefore 2=-\frac{3}{2}[c-(c+1)]^2+k$,解得 $k=\frac{7}{2}$.
解析
【分析】
首先观察线段AB的特点：A、B两点纵坐标相同，因此AB是平行于x轴的水平线段，可先求出AB的长度，再结合CD=$\frac{1}{2}$AB得到CD的长度。由于C、D是抛物线与线段AB的交点，因此C、D的纵坐标也为2，且两点关于抛物线的对称轴x=h对称。我们可先设出C点坐标，根据CD长度得到D点坐标，再结合对称轴性质得到h与两点横坐标的关系，最后将点的坐标代入抛物线解析式，消去未知参数即可求出k的值。
【解析】
1. 计算AB的长度：
已知点A的坐标为$(0,2)$，点B的坐标为$(4,2)$，两点纵坐标相等，因此$AB=4-0=4$。
2. 计算CD的长度：
由$CD=\frac{1}{2}AB$，得$CD=\frac{1}{2}×4=2$。
3. 设交点坐标：
因为C、D在AB上，两点纵坐标均为2，设点C的坐标为$(c,2)$，则点D的坐标为$(c+2,2)$。
4. 结合抛物线对称性推导h的表达式：
抛物线$y=-\dfrac{3}{2}(x-h)^2 + k$的对称轴为直线$x=h$，C、D关于对称轴对称，因此对称轴为两点横坐标的中点，即$h=\frac{c+(c+2)}{2}=c+1$。
5. 代入解析式求解k：
将点C$(c,2)$代入抛物线解析式，得：
$2=-\dfrac{3}{2}(c-h)^2 +k$
把$h=c+1$代入上式：
$2=-\dfrac{3}{2}[c-(c+1)]^2 +k$
化简计算：
$2=-\dfrac{3}{2}×(-1)^2 +k$
$2=-\dfrac{3}{2}+k$
解得$k=2+\dfrac{3}{2}=\dfrac{7}{2}$。
【答案】
$\dfrac{7}{2}$
【知识点】
二次函数的图象性质，抛物线的对称性，点在函数图象上的坐标特征
【点评】
本题考查二次函数与线段交点的计算，解题的关键是抓住AB平行于x轴、交点纵坐标相等的特点，结合抛物线的对称性简化运算，无需单独求解h的值，整体代入即可得到结果，侧重考查对二次函数性质的灵活运用能力。
【难度系数】
0.6
首先观察线段AB的特点：A、B两点纵坐标相同，因此AB是平行于x轴的水平线段，可先求出AB的长度，再结合CD=$\frac{1}{2}$AB得到CD的长度。由于C、D是抛物线与线段AB的交点，因此C、D的纵坐标也为2，且两点关于抛物线的对称轴x=h对称。我们可先设出C点坐标，根据CD长度得到D点坐标，再结合对称轴性质得到h与两点横坐标的关系，最后将点的坐标代入抛物线解析式，消去未知参数即可求出k的值。
【解析】
1. 计算AB的长度：
已知点A的坐标为$(0,2)$，点B的坐标为$(4,2)$，两点纵坐标相等，因此$AB=4-0=4$。
2. 计算CD的长度：
由$CD=\frac{1}{2}AB$，得$CD=\frac{1}{2}×4=2$。
3. 设交点坐标：
因为C、D在AB上，两点纵坐标均为2，设点C的坐标为$(c,2)$，则点D的坐标为$(c+2,2)$。
4. 结合抛物线对称性推导h的表达式：
抛物线$y=-\dfrac{3}{2}(x-h)^2 + k$的对称轴为直线$x=h$，C、D关于对称轴对称，因此对称轴为两点横坐标的中点，即$h=\frac{c+(c+2)}{2}=c+1$。
5. 代入解析式求解k：
将点C$(c,2)$代入抛物线解析式，得：
$2=-\dfrac{3}{2}(c-h)^2 +k$
把$h=c+1$代入上式：
$2=-\dfrac{3}{2}[c-(c+1)]^2 +k$
化简计算：
$2=-\dfrac{3}{2}×(-1)^2 +k$
$2=-\dfrac{3}{2}+k$
解得$k=2+\dfrac{3}{2}=\dfrac{7}{2}$。
【答案】
$\dfrac{7}{2}$
【知识点】
二次函数的图象性质，抛物线的对称性，点在函数图象上的坐标特征
【点评】
本题考查二次函数与线段交点的计算，解题的关键是抓住AB平行于x轴、交点纵坐标相等的特点，结合抛物线的对称性简化运算，无需单独求解h的值，整体代入即可得到结果，侧重考查对二次函数性质的灵活运用能力。
【难度系数】
0.6
13. ★★★ 抛物线 $y_1=\frac{1}{2}(x-h)^2 +k$ 与 $y_2=a(x+3)^2 -1$ 交于点A，分别交y轴于点P,Q，过点A作x轴的平行线，分别交两条抛物线于点B,C。已知B(3,3), BC=10.
(1)求a的值；
(2)若点(2,m),(3,n)及(4,p)都在抛物线$y_1$上，判断m,n,p的大小关系，并说明理由；
(3)求PQ的值.
(1)求a的值；
(2)若点(2,m),(3,n)及(4,p)都在抛物线$y_1$上，判断m,n,p的大小关系，并说明理由；
(3)求PQ的值.
答案
(1)$\because B(3,3), BC=10$,$\therefore C(-7,3)$.把 $C(-7,3)$ 代入 $y_2=a(x+3)^2 -1$,得 $3=a(-7+3)^2-1$,解得 $a=\frac{1}{4}$.
(2)$\because a=\frac{1}{4}$,$\therefore y_2=\frac{1}{4}(x+3)^2-1$,令 $y=3$,得 $3=\frac{1}{4}(x+3)^2-1$,解得 $x=1$ 或 $x=-7$,$\therefore A(1,3)$,$\therefore h=\frac{1+3}{2}=2$,$\therefore$ 抛物线 $y_1=\frac{1}{2}(x-h)^2+k$ 的对称轴为直线 $x=2$.$\because$ 点$(2,m),(3,n)$及$(4,p)$都在抛物线 $y_1$ 上,抛物线 $y_1=\frac{1}{2}(x-h)^2+k$ 开口向上,$\therefore$ 在对称轴右侧,$y$ 随 $x$ 的增大而增大,$\therefore m＜n＜p$.
(3)把 $B(3,3)$ 代入 $y_1=\frac{1}{2}(x-2)^2+k$,解得 $k=\frac{5}{2}$,$\therefore y_1=\frac{1}{2}(x-2)^2+\frac{5}{2}$,令 $x=0$,$y=\frac{9}{2}$,$\therefore P(0,\frac{9}{2})$.在 $y_2=\frac{1}{4}(x+3)^2-1$ 中,令 $x=0$,$y=\frac{5}{4}$,$\therefore Q(0,\frac{5}{4})$,$\therefore PQ=\frac{9}{2}-\frac{5}{4}=\frac{13}{4}$.
(2)$\because a=\frac{1}{4}$,$\therefore y_2=\frac{1}{4}(x+3)^2-1$,令 $y=3$,得 $3=\frac{1}{4}(x+3)^2-1$,解得 $x=1$ 或 $x=-7$,$\therefore A(1,3)$,$\therefore h=\frac{1+3}{2}=2$,$\therefore$ 抛物线 $y_1=\frac{1}{2}(x-h)^2+k$ 的对称轴为直线 $x=2$.$\because$ 点$(2,m),(3,n)$及$(4,p)$都在抛物线 $y_1$ 上,抛物线 $y_1=\frac{1}{2}(x-h)^2+k$ 开口向上,$\therefore$ 在对称轴右侧,$y$ 随 $x$ 的增大而增大,$\therefore m＜n＜p$.
(3)把 $B(3,3)$ 代入 $y_1=\frac{1}{2}(x-2)^2+k$,解得 $k=\frac{5}{2}$,$\therefore y_1=\frac{1}{2}(x-2)^2+\frac{5}{2}$,令 $x=0$,$y=\frac{9}{2}$,$\therefore P(0,\frac{9}{2})$.在 $y_2=\frac{1}{4}(x+3)^2-1$ 中,令 $x=0$,$y=\frac{5}{4}$,$\therefore Q(0,\frac{5}{4})$,$\therefore PQ=\frac{9}{2}-\frac{5}{4}=\frac{13}{4}$.
解析
【分析】
(1) 求解a值首先要得到$y_2$上点C的坐标：BC平行于x轴，因此C点纵坐标与B(3,3)相同为3，结合BC=10，可得C点横坐标为$3-10=-7$，将C点代入$y_2$的解析式即可求出a；
(2) 比较函数值大小需先确定$y_1$的对称轴：先通过$y_2$的解析式求出交点A的坐标，A、B都在$y_1$上且纵坐标相同，因此$y_1$的对称轴为A、B横坐标的中点，再结合$y_1$开口向上的性质，对称轴右侧y随x增大而增大，即可比较m、n、p的大小；
(3) 求PQ长度需先得到P、Q两点坐标：P、Q分别是两条抛物线与y轴的交点，即x=0时对应的y值，先求出$y_1$的完整解析式，再分别令x=0得到P、Q纵坐标，相减即可得到PQ的长度。
【解析】
(1)
∵ B(3,3)，过A的直线平行于x轴，BC=10，
∴ C点纵坐标为3，横坐标为$3-10=-7$，即$C(-7,3)$，
将$C(-7,3)$代入$y_2=a(x+3)^2 -1$得：
$3=a(-7+3)^2-1$，解得$a=\frac{1}{4}$。
(2) 大小关系为$m＜n＜p$，理由如下：
将$a=\frac{1}{4}$代入$y_2$得$y_2=\frac{1}{4}(x+3)^2-1$，
令$y=3$，则$3=\frac{1}{4}(x+3)^2-1$，解得$x=1$或$x=-7$，
∴ 交点A的坐标为$(1,3)$，
∵ A、B都在抛物线$y_1$上且纵坐标相同，
∴ $y_1$的对称轴为直线$x=\frac{1+3}{2}=2$，
∵ $y_1=\frac{1}{2}(x-h)^2 +k$中$\frac{1}{2}＞0$，抛物线开口向上，在对称轴右侧y随x的增大而增大，
又
∵ $2＜3＜4$，三点都在对称轴右侧，
∴ $m＜n＜p$。
(3) 将$B(3,3)$和$h=2$代入$y_1=\frac{1}{2}(x-2)^2 +k$得：
$3=\frac{1}{2}(3-2)^2 +k$，解得$k=\frac{5}{2}$，
∴ $y_1=\frac{1}{2}(x-2)^2 +\frac{5}{2}$，
令$x=0$，代入$y_1$得$y_1=\frac{1}{2}×4 +\frac{5}{2}=\frac{9}{2}$，即$P(0,\frac{9}{2})$，
令$x=0$，代入$y_2=\frac{1}{4}(x+3)^2-1$得$y_2=\frac{1}{4}×9 -1=\frac{5}{4}$，即$Q(0,\frac{5}{4})$，
∴ $PQ=\frac{9}{2}-\frac{5}{4}=\frac{13}{4}$。
【答案】
(1)$\boldsymbol{a=\frac{1}{4}}$；(2)$\boldsymbol{m＜n＜p}$；(3)$\boldsymbol{PQ=\frac{13}{4}}$
【知识点】
二次函数的性质，待定系数法求解析式，二次函数的对称性
【点评】
本题围绕二次函数顶点式展开考查，解题的突破口是利用平行于x轴的直线上点纵坐标相等的特征，结合抛物线的对称性快速确定对称轴，整体解题思路清晰，是二次函数章节的典型基础综合题，需熟练掌握二次函数增减性、点坐标与解析式的关系等核心知识。
【难度系数】
0.65
(1) 求解a值首先要得到$y_2$上点C的坐标：BC平行于x轴，因此C点纵坐标与B(3,3)相同为3，结合BC=10，可得C点横坐标为$3-10=-7$，将C点代入$y_2$的解析式即可求出a；
(2) 比较函数值大小需先确定$y_1$的对称轴：先通过$y_2$的解析式求出交点A的坐标，A、B都在$y_1$上且纵坐标相同，因此$y_1$的对称轴为A、B横坐标的中点，再结合$y_1$开口向上的性质，对称轴右侧y随x增大而增大，即可比较m、n、p的大小；
(3) 求PQ长度需先得到P、Q两点坐标：P、Q分别是两条抛物线与y轴的交点，即x=0时对应的y值，先求出$y_1$的完整解析式，再分别令x=0得到P、Q纵坐标，相减即可得到PQ的长度。
【解析】
(1)
∵ B(3,3)，过A的直线平行于x轴，BC=10，
∴ C点纵坐标为3，横坐标为$3-10=-7$，即$C(-7,3)$，
将$C(-7,3)$代入$y_2=a(x+3)^2 -1$得：
$3=a(-7+3)^2-1$，解得$a=\frac{1}{4}$。
(2) 大小关系为$m＜n＜p$，理由如下：
将$a=\frac{1}{4}$代入$y_2$得$y_2=\frac{1}{4}(x+3)^2-1$，
令$y=3$，则$3=\frac{1}{4}(x+3)^2-1$，解得$x=1$或$x=-7$，
∴ 交点A的坐标为$(1,3)$，
∵ A、B都在抛物线$y_1$上且纵坐标相同，
∴ $y_1$的对称轴为直线$x=\frac{1+3}{2}=2$，
∵ $y_1=\frac{1}{2}(x-h)^2 +k$中$\frac{1}{2}＞0$，抛物线开口向上，在对称轴右侧y随x的增大而增大，
又
∵ $2＜3＜4$，三点都在对称轴右侧，
∴ $m＜n＜p$。
(3) 将$B(3,3)$和$h=2$代入$y_1=\frac{1}{2}(x-2)^2 +k$得：
$3=\frac{1}{2}(3-2)^2 +k$，解得$k=\frac{5}{2}$，
∴ $y_1=\frac{1}{2}(x-2)^2 +\frac{5}{2}$，
令$x=0$，代入$y_1$得$y_1=\frac{1}{2}×4 +\frac{5}{2}=\frac{9}{2}$，即$P(0,\frac{9}{2})$，
令$x=0$，代入$y_2=\frac{1}{4}(x+3)^2-1$得$y_2=\frac{1}{4}×9 -1=\frac{5}{4}$，即$Q(0,\frac{5}{4})$，
∴ $PQ=\frac{9}{2}-\frac{5}{4}=\frac{13}{4}$。
【答案】
(1)$\boldsymbol{a=\frac{1}{4}}$；(2)$\boldsymbol{m＜n＜p}$；(3)$\boldsymbol{PQ=\frac{13}{4}}$
【知识点】
二次函数的性质，待定系数法求解析式，二次函数的对称性
【点评】
本题围绕二次函数顶点式展开考查，解题的突破口是利用平行于x轴的直线上点纵坐标相等的特征，结合抛物线的对称性快速确定对称轴，整体解题思路清晰，是二次函数章节的典型基础综合题，需熟练掌握二次函数增减性、点坐标与解析式的关系等核心知识。
【难度系数】
0.65
14. 将抛物线 $ C_1: y = x^2 $ 平移，使其顶点为 $ D(1,-4) $，得到抛物线 $ C_2 $，抛物线 $ C_2 $ 交 $ x $ 轴的正半轴于 $ A $ 点，交 $ y $ 轴于 $ C $ 点。
(1)直接写出抛物线 $ C_2 $ 的表达式。
(2)如图①，抛物线 $ C_2 $ 的对称轴与直线 $ AC $ 相交于点 $ B $，$ G $ 为直线 $ AC $ 上的点，过点 $ G $ 作 $ GF // BD $ 交抛物线 $ C_2 $ 于点 $ F $，当以 $ B,D,G,F $ 为顶点的四边形为平行四边形时，求点 $ G $ 的横坐标。
(3)如图②，$ △ MNE $ 的顶点 $ M,N $ 在抛物线 $ C_1 $ 上，点 $ M $ 在点 $ N $ 右边，两条直线 $ ME,NE $ 与抛物线 $ C_1 $ 均有唯一公共点，$ ME,NE $ 均与 $ y $ 轴不平行。若 $ △ MNE $ 的面积为 16，设 $ M,N $ 两点的横坐标分别为 $ m,n $，求 $ m $ 与 $ n $ 的数量关系。
(1)直接写出抛物线 $ C_2 $ 的表达式。
(2)如图①，抛物线 $ C_2 $ 的对称轴与直线 $ AC $ 相交于点 $ B $，$ G $ 为直线 $ AC $ 上的点，过点 $ G $ 作 $ GF // BD $ 交抛物线 $ C_2 $ 于点 $ F $，当以 $ B,D,G,F $ 为顶点的四边形为平行四边形时，求点 $ G $ 的横坐标。
(3)如图②，$ △ MNE $ 的顶点 $ M,N $ 在抛物线 $ C_1 $ 上，点 $ M $ 在点 $ N $ 右边，两条直线 $ ME,NE $ 与抛物线 $ C_1 $ 均有唯一公共点，$ ME,NE $ 均与 $ y $ 轴不平行。若 $ △ MNE $ 的面积为 16，设 $ M,N $ 两点的横坐标分别为 $ m,n $，求 $ m $ 与 $ n $ 的数量关系。
答案
(1)抛物线 $ C_2 $:$y=(x-1)^2-4$.
(2)$\because y=(x-1)^2-4$,$\therefore A(3,0)$,$C(0,-3)$,$\therefore AC$:$y=x-3$.$\because D(1,-4)$,$\therefore B(1,-2)$.设 $ G(x,x-3) $,①当点 $ G $ 在线段 $ AC $ 上时,点 $ F $ 在点 $ G $ 下方,则 $ F(x,x^2-2x-3) $,$\because GF=DB$,$\therefore (x-3)-x^2+2x+3=-2+4=2$,解得 $ x=2 $ 或 $ x=1 $(舍去),则点 $ G $ 的横坐标为 2;②当点 $ G $ 在线段 $ AC $(或 $ CA $)的延长线上时,点 $ F $ 在点 $ G $ 上方,则 $ F(x,x^2-2x-3) $,$\because GF=DB$,$\therefore (x^2-2x-3)-(x-3)=2$,解得 $ x=\frac{3+\sqrt{17}}{2} $ 或 $ x=\frac{3-\sqrt{17}}{2} $,即点 $ G $ 的横坐标为 $ \frac{3+\sqrt{17}}{2} $ 或 $ \frac{3-\sqrt{17}}{2} $.综上可得,满足条件的点 $ G $ 的横坐标为 2 或 $ \frac{3+\sqrt{17}}{2} $ 或 $ \frac{3-\sqrt{17}}{2} $.
(3)设经过 $ M(m,m^2) $ 的直线表达式为 $ y=k(x-m)+m^2 $,$\begin{cases}y=x^2,\\y=k(x-m)+m^2,\end{cases}$则有 $ x^2-kx+km-m^2=0 $,$\because$ 直线 $ ME $ 与 $ C_1 $ 有唯一公共点,$\therefore \Delta=k^2-4km+4m^2=(k-2m)^2=0$,$\therefore k=2m$,直线 $ ME $ 的表达式为 $ y=2mx-m^2 $,同理可求得直线 $ NE $ 的表达式为 $ y=2nx-n^2 $,$\begin{cases}y=2mx-m^2,\\y=2nx-n^2,\end{cases}$$\therefore E(\frac{m+n}{2},mn)$,如图,过 $ E $ 作直线 $ l// x $ 轴,分别过 $ M,N $ 作 $ l $ 的垂线,垂足为 $ C,D $,$S_{\mathrm{梯形}MNDC}-S_{△ NDE}-S_{△ MEC}=S_{△ MNE}=16$,$\therefore \frac{1}{2}[(n^2-mn)+(m^2-mn)]×(m-n)-\frac{1}{2}(n^2-mn)×(\frac{m+n}{2}-n)-\frac{1}{2}(m^2-mn)×(m-\frac{m+n}{2})=16$,$\therefore (m-n)^3=64$,$\therefore m-n=4$.
解析
【分析】
(1) 抛物线平移时二次项系数不变，已知平移后顶点为$D(1,-4)$，直接利用二次函数顶点式即可写出$C_2$的表达式。
(2) 先求抛物线$C_2$与x轴正半轴交点$A$、y轴交点$C$的坐标，再求直线$AC$的解析式，结合对称轴$x=1$得到点$B$坐标，算出$BD$的长度；由于$GF// BD$，$BD$是竖直线段，因此$G$、$F$横坐标相同，设$G$的横坐标为$x$，分别表示$G$、$F$的纵坐标，分$G$在线段$AC$上、$G$在$AC$延长线上两种情况，根据$GF=BD$列方程求解即可。
(3) 先设过$M$点的直线$ME$的解析式，与抛物线$C_1$联立，由直线和抛物线只有唯一公共点得判别式$\Delta=0$，求出直线$ME$的斜率，同理求出$NE$的解析式，联立两个直线解析式得到$E$点坐标；再通过作水平辅助线用割补法表示$△ MNE$的面积，结合面积为16化简即可得到$m$、$n$的数量关系。
【解析】
(1) 抛物线平移不改变二次项系数，顶点为$D(1,-4)$，因此抛物线$C_2$的表达式为$y=(x-1)^2-4$。
(2) 对于$y=(x-1)^2-4$：
令$y=0$，解得$x_1=3$，$x_2=-1$，$A$在x轴正半轴，故$A(3,0)$；令$x=0$，得$y=-3$，故$C(0,-3)$。
设直线$AC$解析式为$y=kx+b$，代入$A$、$C$坐标解得$k=1,b=-3$，即$AC:y=x-3$。
抛物线对称轴为$x=1$，代入直线$AC$解析式得$y=-2$，故$B(1,-2)$，则$BD=-2-(-4)=2$。
设$G(x,x-3)$，因$GF// BD$，故$F$横坐标也为$x$，即$F(x,x^2-2x-3)$：
① 当$G$在线段$AC$上时，$F$在$G$下方，$(x-3)-(x^2-2x-3)=2$，解得$x=2$或$x=1$（舍去）；
② 当$G$在$AC$或$CA$延长线上时，$F$在$G$上方，$(x^2-2x-3)-(x-3)=2$，解得$x=\frac{3+\sqrt{17}}{2}$或$x=\frac{3-\sqrt{17}}{2}$。
综上可得$G$的横坐标。
(3) 设过$M(m,m^2)$的直线$ME$为$y=k(x-m)+m^2$，联立$y=x^2$得$x^2-kx+km-m^2=0$，因直线与抛物线只有唯一公共点，故$\Delta=(k-2m)^2=0$，得$k=2m$，即$ME:y=2mx-m^2$，同理$NE:y=2nx-n^2$。
联立两直线解析式解得$E(\frac{m+n}{2},mn)$，过$E$作平行于x轴的直线$l$，过$M$、$N$作$l$的垂线，用割补法表示$△ MNE$的面积：
$\frac{1}{2}[(n^2-mn)+(m^2-mn)]×(m-n)-\frac{1}{2}(n^2-mn)×(\frac{m+n}{2}-n)-\frac{1}{2}(m^2-mn)×(m-\frac{m+n}{2})=16$，化简得$(m-n)^3=64$，即$m-n=4$。
【答案】
(1)$y=(x-1)^2-4$
(2)点$ G $的横坐标为 2 或 $\frac{3+\sqrt{17}}{2}$ 或 $\frac{3-\sqrt{17}}{2}$
(3)$m-n=4$
【知识点】
二次函数图象平移；平行四边形的性质；直线与抛物线的交点问题
【点评】
本题属于二次函数综合题，结合了几何性质和代数运算，考查分类讨论思想与知识综合运用能力，需要熟练掌握二次函数的基本性质、平行四边形判定及直线与抛物线相切的特点，同时要具备较强的运算化简能力。
【难度系数】
0.3
(1) 抛物线平移时二次项系数不变，已知平移后顶点为$D(1,-4)$，直接利用二次函数顶点式即可写出$C_2$的表达式。
(2) 先求抛物线$C_2$与x轴正半轴交点$A$、y轴交点$C$的坐标，再求直线$AC$的解析式，结合对称轴$x=1$得到点$B$坐标，算出$BD$的长度；由于$GF// BD$，$BD$是竖直线段，因此$G$、$F$横坐标相同，设$G$的横坐标为$x$，分别表示$G$、$F$的纵坐标，分$G$在线段$AC$上、$G$在$AC$延长线上两种情况，根据$GF=BD$列方程求解即可。
(3) 先设过$M$点的直线$ME$的解析式，与抛物线$C_1$联立，由直线和抛物线只有唯一公共点得判别式$\Delta=0$，求出直线$ME$的斜率，同理求出$NE$的解析式，联立两个直线解析式得到$E$点坐标；再通过作水平辅助线用割补法表示$△ MNE$的面积，结合面积为16化简即可得到$m$、$n$的数量关系。
【解析】
(1) 抛物线平移不改变二次项系数，顶点为$D(1,-4)$，因此抛物线$C_2$的表达式为$y=(x-1)^2-4$。
(2) 对于$y=(x-1)^2-4$：
令$y=0$，解得$x_1=3$，$x_2=-1$，$A$在x轴正半轴，故$A(3,0)$；令$x=0$，得$y=-3$，故$C(0,-3)$。
设直线$AC$解析式为$y=kx+b$，代入$A$、$C$坐标解得$k=1,b=-3$，即$AC:y=x-3$。
抛物线对称轴为$x=1$，代入直线$AC$解析式得$y=-2$，故$B(1,-2)$，则$BD=-2-(-4)=2$。
设$G(x,x-3)$，因$GF// BD$，故$F$横坐标也为$x$，即$F(x,x^2-2x-3)$：
① 当$G$在线段$AC$上时，$F$在$G$下方，$(x-3)-(x^2-2x-3)=2$，解得$x=2$或$x=1$（舍去）；
② 当$G$在$AC$或$CA$延长线上时，$F$在$G$上方，$(x^2-2x-3)-(x-3)=2$，解得$x=\frac{3+\sqrt{17}}{2}$或$x=\frac{3-\sqrt{17}}{2}$。
综上可得$G$的横坐标。
(3) 设过$M(m,m^2)$的直线$ME$为$y=k(x-m)+m^2$，联立$y=x^2$得$x^2-kx+km-m^2=0$，因直线与抛物线只有唯一公共点，故$\Delta=(k-2m)^2=0$，得$k=2m$，即$ME:y=2mx-m^2$，同理$NE:y=2nx-n^2$。
联立两直线解析式解得$E(\frac{m+n}{2},mn)$，过$E$作平行于x轴的直线$l$，过$M$、$N$作$l$的垂线，用割补法表示$△ MNE$的面积：
$\frac{1}{2}[(n^2-mn)+(m^2-mn)]×(m-n)-\frac{1}{2}(n^2-mn)×(\frac{m+n}{2}-n)-\frac{1}{2}(m^2-mn)×(m-\frac{m+n}{2})=16$，化简得$(m-n)^3=64$，即$m-n=4$。
【答案】
(1)$y=(x-1)^2-4$
(2)点$ G $的横坐标为 2 或 $\frac{3+\sqrt{17}}{2}$ 或 $\frac{3-\sqrt{17}}{2}$
(3)$m-n=4$
【知识点】
二次函数图象平移；平行四边形的性质；直线与抛物线的交点问题
【点评】
本题属于二次函数综合题，结合了几何性质和代数运算，考查分类讨论思想与知识综合运用能力，需要熟练掌握二次函数的基本性质、平行四边形判定及直线与抛物线相切的特点，同时要具备较强的运算化简能力。
【难度系数】
0.3
