1. 在$\mathrm{Rt}△ ABC$中，$∠ C=90°$，$AB=13$，$AC=5$，下列结论中，正确的是（）

A.$\tan B=\frac{12}{5}$
B.$\tan A=\frac{5}{12}$
C.$\sin A=\frac{12}{13}$
D.$\cos B=\frac{5}{13}$

1. C

2. 新趋势 学科内综合 如图，点 A，B 分别在反比例函数$y=\frac{1}{x}(x＞0), y=\frac{k}{x}(k＜0,x＞0)$的图象上。点 B 的横坐标为 4，且点 B 在直线$y=x-5$上。
(1)求 k 的值；
(2)若$OA⊥OB$，求$\tan∠ABO$的值。

2. 【解】(1)对于 $y=x-5$,令 $x=4$,则 $y=-1$,$\therefore B(4,-1)$.
$\because$ 点 B 在反比例函数 $y=\frac{k}{x}(k＜0,x＞0)$ 的图象上,
$\therefore k=4×(-1)=-4$.
(2)如图,过点 A 作 $AC⊥ y$ 轴于点 C,过点 B 作 $BD⊥ y$ 轴于点 D,则 $∠ ACO=∠ BDO=90°$,
$\therefore ∠ AOC+∠ OAC=90°$.
$\because OA⊥ OB,\therefore ∠ AOB=90°.\therefore ∠ AOC+∠ BOD=90°$.
$\therefore ∠ OAC=∠ BOD.\therefore △ AOC∽△ OBD$.
$\because$ 点 A,B 分别在反比例函数 $y=\frac{1}{x}(x＞0),y=-\frac{4}{x}(x＞0)$ 的图象上,
$\therefore S_{△ AOC}=\frac{1}{2},S_{△ OBD}=2.\therefore \frac{S_{△ AOC}}{S_{△ OBD}}=\frac{1}{4}$.
$\therefore (\frac{OA}{OB})^2=\frac{1}{4}.\therefore \frac{OA}{OB}=\frac{1}{2}$(负值已舍去).
$\therefore$ 在 $\mathrm{Rt}△ AOB$ 中,$\tan ∠ ABO=\frac{OA}{OB}=\frac{1}{2}$.

3. 已知$∠ A$为锐角，且$\tan A=\dfrac{2}{3}$，则$\cos A=$（）

A.$\dfrac{3\sqrt{5}}{5}$
B.$\dfrac{2\sqrt{5}}{5}$
C.$\dfrac{3\sqrt{13}}{13}$
D.$\dfrac{2\sqrt{13}}{13}$

3. C 【点拨】$\because \tan A=\frac{2}{3},\therefore \tan A=\frac{\sin A}{\cos A}=\frac{2}{3},\therefore \sin A=\frac{2}{3}\cos A.\because \sin^2 A+\cos^2 A=1,\therefore \frac{13}{9}\cos^2 A=1,$解得 $\cos A=\pm \frac{3\sqrt{13}}{13}.$又$\because ∠ A$ 为锐角,$\therefore \cos A＞0,\therefore \cos A=\frac{3\sqrt{13}}{13}.$

4.已知∠A为锐角，且$\sin A · \cos A = \frac{1}{2}$，则∠A的度数为。

4. 45° 【点拨】设 $\sin A=x(x＞0)$,则 $\sin^2 A=x^2,\therefore \cos^2 A=1-x^2.\because \sin A· \cos A=\frac{1}{2},\therefore \sin^2 A· \cos^2 A=\frac{1}{4}.\therefore x^2(1-x^2)=\frac{1}{4}$,即 $4x^4-4x^2+1=0.\therefore (2x^2-1)^2=0.\therefore 2x^2-1=0$,即 $x^2=\frac{1}{2}.\therefore x=\frac{\sqrt{2}}{2}$,即 $\sin A=\frac{\sqrt{2}}{2}.\therefore ∠ A=45°.$

5. 初高衔接 宽与长的比是$\frac{\sqrt{5}-1}{2}$的矩形叫做黄金矩形，黄金矩形给我们以协调、匀称的美感.如图，把黄金矩形ABCD沿对角线AC翻折，点B落在点$B'$处，$AB'$交CD于点E，则$\sin∠ DAE$的值为（）

A.$\frac{\sqrt{5}}{5}$
B.$\frac{1}{2}$
C.$\frac{3}{5}$
D.$\frac{2\sqrt{5}}{5}$

5. A 【点拨】设 $AD=x,DE=y$,由题意可得 $CD=\frac{\sqrt{5}+1}{2}x.$在矩形 $ABCD$ 中,$∠ D=90°,AB// CD,\therefore ∠ ACD=∠ CAB.$由折叠可知$∠ B'AC=∠ CAB,\therefore ∠ ACD=∠ B'AC.\therefore AE=CE=CD-DE=\frac{\sqrt{5}+1}{2}x-y.$ 在 $\mathrm{Rt}△ ADE$ 中,$x^2+y^2=(\frac{\sqrt{5}+1}{2}x-y)^2$,整理,得 $\frac{y}{x}=\frac{1}{2},\therefore AD=2y,AE=\sqrt{5}y.$
$\therefore \sin∠ DAE=\frac{DE}{AE}=\frac{y}{\sqrt{5}y}=\frac{\sqrt{5}}{5}.$

6. ★★ 新考法 分类讨论法 在等边三角形ABC中，点D在射线CA上，且AB=2AD，求tan∠DBC的值.

6. 【解】如图①,当 D 在线段 AC 上时,
$\because$ 在等边三角形 ABC 中,$AB=AC=BC$,$∠ C=60°$,$AB=2AD$,
$\therefore AD=CD,\therefore BD⊥ AC,\therefore ∠ BDC=90°$,
$\therefore ∠ DBC=30°,\therefore \tan∠ DBC=\frac{\sqrt{3}}{3}.$
如图②,当 D 在 CA 延长线上时,过点 D 作 $DE⊥ BC$ 于点 E. $\because$ 在等边三角形 ABC 中,$AB=AC=BC$,$∠ C=60°$,$AB=2AD$,$\therefore$ 设 $AD=x$,则 $AB=AC=BC=2x.\therefore CD=3x.$
$\because DE⊥ BC,\therefore ∠ DEC=90°,\therefore ∠ CDE=30°$,
$\therefore EC=\frac{3}{2}x,ED=\frac{3\sqrt{3}}{2}x,\therefore BE=\frac{1}{2}x$,
$\therefore \tan∠ DBC=\frac{DE}{BE}=3\sqrt{3}.$
综上,$\tan∠ DBC=\frac{\sqrt{3}}{3}$ 或 $3\sqrt{3}.$

7. [成都武侯区模拟] 如图，$△ ABC$，$△ DCE$，$△ FEG$是三个全等的等腰三角形，底边$BC$，$CE$，$EG$在同一条直线上，连结$AG$，与边$DC$，$DE$，$FE$分别交于点$P$，$Q$，$N$.若$△ DPQ$是以$∠ DPQ$为直角的直角三角形，求$\sin∠ BAC$的值.

7. 【解】$\because △ ABC,△ DCE,△ FEG$ 是三个全等的等腰三角形,
$\therefore BC=CE=EG,∠ B=∠ DCE$,
$\therefore AB// DC.\therefore △ CPG∽△ BAG,\therefore \frac{PC}{AB}=\frac{GC}{GB}.$
由题意设 $AB=AC=m$,则 $\frac{PC}{m}=\frac{2}{3},\therefore PC=\frac{2}{3}m.$
$\because ∠ DPQ=90°,\therefore ∠ APC=90°.$
在 $\mathrm{Rt}△ APC$ 中,$AP=\sqrt{m^2-(\frac{2}{3}m)^2}=\frac{\sqrt{5}}{3}m$,
$\therefore \sin∠ ACP=\frac{AP}{AC}=\frac{\frac{\sqrt{5}}{3}m}{m}=\frac{\sqrt{5}}{3}.$
$\because AB// CD,\therefore ∠ BAC=∠ ACP$,
$\therefore \sin∠ BAC=\sin∠ ACP=\frac{\sqrt{5}}{3}.$
点方法 等角转换法:当一个锐角的三角函数不能直接求解或锐角不在直角三角形中时,可以将此角通过等角转换到能够求出三角函数值的直角三角形中,利用“若两锐角相等,则三角函数值也相等”来解决.