8.如图,在矩形ABCD中,AB=10,BC=8,E为AD边上一点,沿CE将$△ CDE$折叠,使点D正好落在AB边上的点F处,则$\tan∠ AFE=$。

8. $\frac{3}{4}$ 【点拨】根据题图得$∠ AFE+∠ EFC+∠ BFC=180°.$根据折叠的性质,知 $∠ EFC=∠ D=90°,\therefore ∠ AFE+∠ BFC=90°.$而在 $\mathrm{Rt}△ BCF$ 中,$∠ BCF+∠ BFC=90°$,$\therefore ∠ AFE=∠ BCF.$ 根据折叠的性质,可得 $CF=CD.$
$\because CD=AB=10,\therefore CF=10.$ 在 $\mathrm{Rt}△ BFC$ 中,$BF=\sqrt{CF^2-BC^2}=6.\therefore \tan∠ BCF=\frac{BF}{BC}=\frac{3}{4}.\therefore \tan∠ AFE=\frac{3}{4}.$

9.小明在学习“锐角三角函数”时发现，将如图所示的矩形纸片ABCD沿过点B的直线折叠，使点A落在BC边上的点E处，展开后，再沿过点E的直线折叠，使点A落在BC边上的点F处，展开后连结AE,AF，这样就可以求出$67.5°$角的正切值，请写出求解过程.

9. 【解】由折叠过程可知 $AB=BE,AE=EF,\therefore ∠ AEB=∠ EAB=45°$,
$\therefore ∠ EAF=∠ EFA=\frac{45°}{2}=22.5°$,
$\therefore ∠ FAB=67.5°.$ 设 $AB=x(x＞0)$,则 $AE=EF=\sqrt{2}x$,
$\therefore \tan∠ FAB=\tan67.5°=\frac{FB}{AB}=\frac{\sqrt{2}x+x}{x}=\sqrt{2}+1.$

10. 如图,在正方形ABCD外作等腰直角三角形CDE,DE=CE,连结BE,则$\tan∠ EBC=$.

10. $\frac{1}{3}$ 【点拨】过点 E 作 $EF⊥ BC$,交 BC 的延长线于 F,如图. 设 $DE=CE=a.$ $\because △ CDE$ 为等腰直角三角形,$\therefore CD=\sqrt{2}CE=\sqrt{2}a,∠ DCE=45°.$ $\because$ 四边形 ABCD 为正方形,
$\therefore CB=CD=\sqrt{2}a,∠ BCD=90°,\therefore ∠ ECF=45°$,
$\therefore △ CEF$ 为等腰直角三角形,$\therefore CF=EF=\frac{\sqrt{2}}{2}CE=\frac{\sqrt{2}}{2}a.$
在 $\mathrm{Rt}△ BEF$ 中,$\tan∠ EBF=\frac{EF}{BF}=\frac{\frac{\sqrt{2}}{2}a}{\sqrt{2}a+\frac{\sqrt{2}}{2}a}=\frac{1}{3}$,即 $\tan∠ EBC=\frac{1}{3}.$

11. 如图,在$□ ABCD$中,对角线AC与BD相交于点O.若$AC⊥ BC$,$OA=BC$,则$\tan∠ ABD=$.

11. $\frac{1}{3}$ 【点拨】如图,过点 A 作 $AF⊥ BD$ 于点 F,过点 D 作 $DE⊥ BC$,交 BC 的延长线于点 E,$\therefore$ 易知四边形 ACED 是矩形,$\therefore AC=DE,CE=AD.$ $\because$ 四边形 ABCD 是平行四边形,$\therefore AD// BC,AD=BC,OA=OC.$ 设 $BC=a$,则 $AD=CE=a,\therefore BE=BC+CE=2a.$ $\because OA=BC=a,\therefore DE=AC=2a=BE,\therefore △ BDE$ 是等腰直角三角形,$\therefore BD=2\sqrt{2}a,∠ DBE=45°.$ $\because AD// BC$,$\therefore ∠ ADF=∠ DBE=45°,\therefore △ ADF$ 是等腰直角三角形,$\therefore AF=DF=\frac{\sqrt{2}}{2}a$,
$\therefore BF=BD-DF=\frac{3\sqrt{2}}{2}a,\therefore \tan∠ ABD=\frac{AF}{BF}=\frac{1}{3}.$

12. 如图，已知钝角三角形ABC，点D在BC的延长线上，连结AD，若∠ACB=2∠D，AD=2，AC=$\frac{3}{2}$，求tan D的值.

12. 【解】如图,过点 C 作 $CH⊥ AD$ 于点 H,
$\because ∠ ACB=2∠ D,∠ ACB=∠ D+∠ CAD,\therefore ∠ D=∠ CAD,\therefore CD=AC=\frac{3}{2}$,
$\because CH⊥ AD,\therefore AH=HD=\frac{1}{2}AD=1$,
$\therefore CH=\sqrt{CD^2-HD^2}=\sqrt{(\frac{3}{2})^2-1^2}=\frac{\sqrt{5}}{2}$,
$\therefore \tan D=\frac{CH}{HD}=\frac{\sqrt{5}}{2}.$

13. 如图，点P在等边三角形ABC的内部，且PC=6，PA=8，PB=10，将线段PC绕点C顺时针旋转60°得到P'C，连结AP'，求$\cos∠ PAP'$的值.

13. 【解】如图,连结 $PP'$,由旋转得 $CP=CP'=6,∠ PCP'=60°$,
$\therefore △ CPP'$ 为等边三角形,
$\therefore PP'=PC=6$,
$\because △ ABC$ 为等边三角形,
$\therefore CB=CA,∠ ACB=60°,\therefore ∠ PCB=∠ P'CA$,
在 $△ PCB$ 和 $△ P'CA$ 中,$\begin{cases} PC=P'C, \\ ∠ PCB=∠ P'CA, \\ CB=CA, \end{cases}$
$\therefore △ PCB≌△ P'CA,\therefore PB=P'A=10$,
$\because PP'^2+AP^2=P'A^2$,
$\therefore △ APP'$ 为直角三角形,$∠ APP'=90°$,
$\therefore \cos∠ PAP'=\frac{PA}{P'A}=\frac{8}{10}=\frac{4}{5}.$