1.如图，点A,B,C是边长相同的正方形网格中的三个格点(即正方形的顶点)，则$\cos∠ ABC$的值为（）

A.$\dfrac{1}{2}$
B.$\dfrac{\sqrt{2}}{2}$
C.$\dfrac{\sqrt{3}}{3}$
D.$\dfrac{\sqrt{5}}{5}$

1. D 【点拨】如图，连结AC,设每个小正方形的边长为1,则 $AC= \sqrt{2^2+2^2}=2\sqrt{2}, BC= \sqrt{1^2+1^2}=\sqrt{2}, AB=\sqrt{1^2+3^2}= \sqrt{10}, \therefore AB^2=AC^2+BC^2, \therefore ∠ ACB=90°, \therefore \cos∠ ABC=\dfrac{BC}{AB}=\dfrac{\sqrt{2}}{\sqrt{10}}=\dfrac{\sqrt{5}}{5}.$

2. 新视角主题探究题【问题呈现】如图①，在边长为1的正方形网格中，连结格点D，N和E，C，DN与EC相交于点P，求$\tan∠ CPN$的值.
【方法归纳】求一个锐角的三角函数值，我们往往需要找出(或构造出)一个直角三角形.观察发现，问题中$∠ CPN$不在直角三角形中，我们常常利用网格画平行线等方法解决此类问题，比如连结格点M，N，可得$MN// EC$，则$∠ DNM=∠ CPN$，连结DM，那么$∠ CPN$就变换到$\mathrm{Rt}△ DMN$中了.
【问题解决】(1)图①中$\tan∠ CPN$的值为；(2)如图②，在边长为1的正方形网格中，AN与CM相交于点P，则$\cos∠ CPN$的值为；

【思维拓展】(3)如图③，$AB⊥ BC$，$AB=4BC$，点M在AB上，且$AM=BC$，延长CB到N，使$BN=2BC$，连结AN交CM的延长线于点P，用上述方法构造网格求$∠ CPN$的度数.

2.【解】(1)2
(2)$\dfrac{\sqrt{2}}{2}$ 【点拨】如图①,取格点 B,连结 AB,可得 $AB// MC,\therefore ∠ CPN=∠ BAN.$ 连结 BN,易知$△ ABN$ 为直角三角形. 在$\mathrm{Rt}△ ABN$中,$AB=\sqrt{5},AN=\sqrt{10}$,
$\therefore \cos∠ BAN=\dfrac{AB}{AN}=\dfrac{\sqrt{5}}{\sqrt{10}}=\dfrac{\sqrt{2}}{2}.$
$\therefore \cos∠ CPN=\dfrac{\sqrt{2}}{2}.$
(3)设 BC 的长为 1,构造如图②所示的网格,取格点 D,连结 AD,可得 $AD// CM,\therefore ∠ CPN=∠ DAN.$
连结 DN,易知$△ ADN$ 为直角三角形.
在$\mathrm{Rt}△ ADN$中,$AD=\sqrt{10},AN=2\sqrt{5}$,
$\therefore \cos∠ DAN=\dfrac{AD}{AN}=\dfrac{\sqrt{2}}{2}.\therefore \cos∠ CPN=\dfrac{\sqrt{2}}{2}.$
$\therefore ∠ CPN=45°.$

3. ★★ 如图，网格中的每个小正方形的边长都是1，△ABC的每个顶点都在格点上，则∠BAC的余弦值为。

3.$\dfrac{4}{5}$ 【点拨】如图,过点 C 作 $CD⊥ AB$,垂足为 D. 由题意得,$△ ABC$的面积$=4× 4-\dfrac{1}{2}× 2× 4-\dfrac{1}{2}× 2× 2-\dfrac{1}{2}× 2× 4=16-4-2-4=6. \because AB^2=2^2+4^2=20,AC^2=2^2+4^2=20,\therefore AC=2\sqrt{5},AB=2\sqrt{5}.\because △ ABC$的面积$=\dfrac{1}{2}AB· CD=6,\therefore \dfrac{1}{2}× 2\sqrt{5}CD=6$,解得 $CD=\dfrac{6}{5}\sqrt{5}$. 在$\mathrm{Rt}△ ACD$ 中, $AD= \sqrt{AC^2-CD^2} =\sqrt{(2\sqrt{5})^2-(\dfrac{6}{5}\sqrt{5})^2}=\dfrac{8}{5}\sqrt{5}$,
$\therefore \cos∠ CAB=\dfrac{AD}{AC}=\dfrac{\dfrac{8}{5}\sqrt{5}}{2\sqrt{5}}=\dfrac{4}{5}.$

4. 一题多解 如图，在边长相同的小正方形网格中，点A,B,C,D都在这些小正方形的顶点上，AB,CD相交于点P，则$\tan∠ APD$的值为。

4. 2 【点拨】方法1:如图①,连结 BE,与 CD 交于点 F. $\because$ 四边形 BCEG 是正方形,$\therefore GF=CF=\dfrac{1}{2}CG,BF=EF=\dfrac{1}{2}BE$,$CG=BE,BE⊥ CG. \therefore BF=GF.$ 根据题意,得$AC// BG$,$\therefore$ 易得$△ ACP∽△ BGP.\therefore GP:CP=BG:AC=1:3.\therefore GP:GF=1:2.$
$\therefore GP=PF=\dfrac{1}{2}GF=\dfrac{1}{2}BF.$ 在$\mathrm{Rt}△ PBF$中,$\tan∠ BPF=\dfrac{BF}{PF}=2.$
$\because ∠ APD=∠ BPF$,
$\therefore \tan∠ APD=2.$
方法 2:取格点 E,连结 AE,BE,如图②所示. 根据图形可知 $BE// CD$,$\therefore ∠ ABE=∠ APD$,设每个小正方形的边长为 1,则 $AE=\sqrt{2^2+2^2}=2\sqrt{2},BE=\sqrt{1^2+1^2}=\sqrt{2},AB=\sqrt{1^2+3^2}=\sqrt{10}$,$\because (2\sqrt{2})^2+(\sqrt{2})^2=10=(\sqrt{10})^2$,$\therefore △ ABE$ 为直角三角形,$\therefore \tan∠ APD=\tan∠ ABE=\dfrac{AE}{BE}=\dfrac{2\sqrt{2}}{\sqrt{2}}=2.$

5. 如图是6个形状、大小完全相同的菱形组成的网格,菱形的顶点称为格点.已知菱形的一个角(∠O)为$60°$,A,B,C,D都在格点上,且线段AB,CD相交于点P,求$\tan∠ BPD$的值.

5. 【解】如图,取格点 E,连结 EC,DE. 设菱形的边长为 1. 易得 $EC// AB,\therefore ∠ BPD=∠ ECD.$ 易知 $∠ CDO=60°$,$∠ EDB=30°,\therefore ∠ CDE=90°.$ 易得$CD=2,DE=\sqrt{3},\therefore \tan∠ BPD=\tan∠ ECD=\dfrac{DE}{CD}=\dfrac{\sqrt{3}}{2}.$

6.如图，网格中小正方形的边长均为1，点A,B,C都在格点(小正方形的顶点)上，D是CA延长线上一点，求$\tan∠ BAD$的值.

6. 【解法1】如图,连结 AM,由勾股定理得 $AB=\sqrt{1^2+3^2}=\sqrt{10}.\because BM=2,BC=5,\therefore BM:AB=2:\sqrt{10},AB:BC=\sqrt{10}:5=2:\sqrt{10},\therefore BM:AB=AB:BC.\because ∠ ABM=∠ CBA,\therefore △ BAM ∽ △ BCA,\therefore ∠ BAM=∠ ACB$,$\therefore ∠ BAD=∠ ABC+∠ ACB=∠ ABC+∠ BAM.$ 易知$∠ B+ ∠ BAM = ∠ AMC = 45°,\therefore ∠ BAD=45°$,$\therefore \tan∠ BAD=1.$
【解法2】如图,延长 CA,交格点于点 N. 连结 BN. 由勾股定理得 $AN=\sqrt{1^2+2^2}=\sqrt{5}$,$BN=\sqrt{1^2+2^2}=\sqrt{5},AB=\sqrt{3^2+1^2}=\sqrt{10}.\therefore AN=BN$,$AN^2+BN^2=5+5=10=AB^2$,$\therefore △ ABN$ 是等腰直角三角形,且$∠ ANB=90°. \therefore ∠ BAD=45°$,$\therefore \tan∠ BAD=1.$