10 如图，在平面直角坐标系中，已知点$A(1,0)$、$B(0,2)$，将$△ AOB$沿直线$AB$翻折得到$△ ACB$。如果以原点为位似中心作$△ ACB$的位似图形$△ DFE$，其中点$C$的对应点为点$F$，$△ DFE$与$△ ACB$的位似比为2，点$F$恰好在反比例函数$y=\frac{k}{x}(x＞0)$的图像上，那么$k$的值为。

10. $\frac{128}{25}$. 提示：由翻折的性质，得 $BC=OB=2$，$AC=OA=1$. 如图，过点 C 作 $CD⊥x$ 轴，垂足为 D，过点 B 作 $BH⊥y$ 轴，垂足为 B，交 CD 于点 H. 设点 C 的坐标为 $(x,y)$. 由 $△ BCH ∽ △ CAD$，得 $\frac{BH}{CD}=\frac{CH}{AD}=\frac{BC}{CA}=2$，即 $\frac{x}{y}=\frac{2-y}{x-1}=2$，解得 $x=\frac{8}{5}$，$y=\frac{4}{5}$，即点 C 的坐标为 $(\frac{8}{5},\frac{4}{5})$. 因为 $△ DFE$ 与 $△ ACB$ 的位似比为 2，所以点 F 的坐标为 $(\frac{16}{5},\frac{8}{5})$，则 $k=\frac{128}{25}$.

【分析】
解题时首先利用翻折的性质得到对应边相等：$BC=OB=2$，$AC=OA=1$，且$∠ ACB=∠ AOB=90°$。要得到反比例函数的$k$值，需先求点$F$的坐标，因此第一步先求点$C$的坐标：过点$C$作$CD⊥ x$轴，过$B$作$BH⊥ CD$，构造出相似三角形$△ BCH$和$△ CAD$，根据相似三角形对应边成比例，结合点$C$的坐标设元列方程，求解得到点$C$的坐标。再根据位似的性质：以原点为位似中心的位似图形，对应点的坐标为原坐标乘以位似比（本题点$F$在$x＞0$的区域，故取正位似比），得到点$F$的坐标，最后将点$F$坐标代入反比例函数解析式，计算$k=xy$即可。
【解析】
解：由翻折的性质可得：$BC=OB=2$，$AC=OA=1$，$∠ ACB=∠ AOB=90°$。
过点$C$作$CD⊥ x$轴于$D$，过点$B$作$BH⊥ CD$于$H$，如图。
$\therefore ∠ H=∠ CDA=90°$，
$\because ∠ BCH+∠ ACD=90°$，$∠ ACD+∠ CAD=90°$，
$\therefore ∠ BCH=∠ CAD$，
$\therefore △ BCH∽△ CAD$，相似比$\frac{BC}{CA}=\frac{2}{1}=2$，即$\frac{BH}{CD}=\frac{CH}{AD}=2$。
设点$C$坐标为$(x,y)$，则$BH=x$，$CD=y$，$CH=2-y$，$AD=x-1$，
代入比例式得：$\frac{x}{y}=2$，$\frac{2-y}{x-1}=2$，
联立解得$x=\frac{8}{5}$，$y=\frac{4}{5}$，即$C(\frac{8}{5},\frac{4}{5})$。
$\because △ DFE$与$△ ACB$以原点为位似中心，位似比为2，且点$F$在$x＞0$的反比例函数图像上，
$\therefore$点$F$的坐标为$(\frac{8}{5}×2,\frac{4}{5}×2)$，即$(\frac{16}{5},\frac{8}{5})$。
将$F(\frac{16}{5},\frac{8}{5})$代入$y=\frac{k}{x}$得：
$k=\frac{16}{5}×\frac{8}{5}=\frac{128}{25}$。
【答案】
$\frac{128}{25}$
【知识点】
翻折的性质；相似三角形的判定与性质；位似图形的性质
【点评】
本题是几何与函数的综合题，融合了图形翻折、相似三角形、位似变换和反比例函数的核心知识点，解题关键是通过构造辅助线求出点$C$的坐标，再结合位似性质得到反比例函数上点的坐标，侧重考查知识的综合运用能力和数形结合思想。
【难度系数】
0.5

三、解答题
11. 如图，在平面直角坐标系中，△ABC 的各顶点坐标分别为 A(-1,1)、B(-2,0)、C(0,-2). 画出与△ABC 关于原点位似的△A'B'C'，使它与△ABC 的位似比为−2，并写出其各顶点的坐标.

11. 图略. 各顶点的坐标为 $A'(2,-2)$、$B'(4,0)$、$C'(0,4)$.

【分析】
要解决这道题，首先明确位似变换的要求：位似中心是原点，位似比为-2。回忆平面直角坐标系中以原点为位似中心的位似变换的坐标规律：若位似比为k，则原图形上点(x,y)对应的位似图形上的点的坐标为(kx,ky)。本题中位似比k=-2，只需要将△ABC三个顶点的横、纵坐标分别乘-2，就能得到对应位似点的坐标，再描点连线即可画出所求的位似图形。
【解析】
解：在平面直角坐标系中，以原点为位似中心的位似变换，若位似比为k，则原图形上任意一点(x,y)的对应位似点的坐标为(kx,ky)。
本题中位似比k=-2，已知△ABC的顶点坐标分别为A(-1,1)、B(-2,0)、C(0,-2)，分别计算对应点坐标：
点A的对应点$A'$的坐标：$(-1×(-2), 1×(-2))=(2,-2)$
点B的对应点$B'$的坐标：$(-2×(-2), 0×(-2))=(4,0)$
点C的对应点$C'$的坐标：$(0×(-2), -2×(-2))=(0,4)$
在平面直角坐标系中描出$A'(2,-2)$、$B'(4,0)$、$C'(0,4)$，顺次连接三点即可得到与△ABC位似、位似比为-2的△A'B'C'，画图略。
【答案】
图略，各顶点的坐标为 $A'(2,-2)$、$B'(4,0)$、$C'(0,4)$。
【知识点】
1. 位似图形的性质
2. 平面直角坐标系中位似变换的坐标规律
【点评】
本题是位似变换的基础应用题，重点考查以原点为位似中心的坐标计算，解题时要注意位似比为负数时，对应点在原点另一侧，计算时不要弄错符号。
【难度系数】
0.8

12. 如图，已知五边形ABCDE与五边形A'B'C'D'E'关于原点位似，已知点A(2,0)、A'(3,0)，AB的长为3，求A'B'的长。 (第12题)

12. $\frac{9}{2}$.

【分析】
解决本题首先回忆位似图形的性质：关于原点位似的两个图形，对应点到原点的距离之比等于位似比，且对应边的比等于位似比。解题第一步先根据点A和A'的坐标，求出两个五边形的位似比；第二步利用位似图形对应边成比例的性质，代入已知的AB长度，即可求出A'B'的长。
【解析】
解：
∵五边形ABCDE与五边形A'B'C'D'E'关于原点位似，点A(2,0)，A'(3,0)
∴两个五边形的位似比$k=\frac{OA}{OA'}=\frac{2}{3}$
根据位似图形的性质，对应边的比等于位似比，可得：
$\frac{AB}{A'B'}=k=\frac{2}{3}$
把$AB=3$代入上式：
$\frac{3}{A'B'}=\frac{2}{3}$
解得：$A'B'=\frac{3×3}{2}=\frac{9}{2}$
【答案】
$\frac{9}{2}$
【知识点】
位似图形的性质、平面直角坐标系中的位似变换
【点评】
本题是位似性质的基础应用题，解题的核心是准确求出位似比，再利用对应边成比例列式计算，掌握位似的基本性质就能轻松解答。
【难度系数】
0.8