登录
13. 如图，在平面直角坐标系中，已知点$A(-2,2)$、$B(-4,0)$、$C(-4,-4)$、$D(3,-2)$、$E(1,-3)$、$F(4,-4)$. 在图中完成以下作图：（保留作图痕迹，不写作法）
（1）以原点为位似中心，画出$△ ABC$的位似图形$△ A'B'C'$，使它与$△ ABC$的位似比为$-\dfrac{1}{2}$.
（2）仅用无刻度直尺在线段$AC$上找一点$P$，使$AP:PC=3:2$.
（3）仅用无刻度直尺作$△ DEF$的角平分线$DM$.
（1）以原点为位似中心，画出$△ ABC$的位似图形$△ A'B'C'$，使它与$△ ABC$的位似比为$-\dfrac{1}{2}$.
（2）仅用无刻度直尺在线段$AC$上找一点$P$，使$AP:PC=3:2$.
（3）仅用无刻度直尺作$△ DEF$的角平分线$DM$.
答案
13.（1）如图
，$△ A'B'C'$即为所求的图形. （2）如图，P 即为所求的点.（3）如图
，DM 即为所求的角平分线.解析
【分析】
（1）位似作图以原点为位似中心，位似比为$-\dfrac{1}{2}$说明新图形与原图形在原点两侧，对应点坐标为原坐标乘位似比$-\dfrac{1}{2}$，算出坐标后描点连线即可。
（2）要得到$AP:PC=3:2$，可利用平行线分线段成比例的性质，在网格中构造对应比例的平行线，它与AC的交点就是所求点P。
（3）作△DEF的角平分线时，先计算边长可发现DE=DF，△DEF是等腰三角形，根据等腰三角形三线合一的性质，顶角的角平分线和底边EF的中线重合，找到EF中点M连接DM即可。
【解析】
（1）根据位似变换规则，原点为位似中心，位似比$-\dfrac{1}{2}$，计算对应点坐标：
$A'(-2×(-\dfrac{1}{2}),2×(-\dfrac{1}{2}))=(1,-1)$，$B'(-4×(-\dfrac{1}{2}),0×(-\dfrac{1}{2}))=(2,0)$，$C'(-4×(-\dfrac{1}{2}),-4×(-\dfrac{1}{2}))=(2,2)$，描出三点后顺次连接得到△A'B'C'。
（2）结合网格构造能分线段为3:2的平行线，该线与AC交于P，此时$AP:PC=3:2$。
（3）计算边长：$DE=\sqrt{(3-1)^2+(-2+3)^2}=\sqrt{5}$，$DF=\sqrt{(4-3)^2+(-4+2)^2}=\sqrt{5}$，故$DE=DF$，△DEF为等腰三角形，∠EDF的角平分线与底边EF的中线重合，找到EF中点M连接DM，DM就是所求角平分线。
【答案】
13.（1）如图，$△ A'B'C'$即为所求的图形. （2）如图，P 即为所求的点.
（3）如图，DM 即为所求的角平分线.
【知识点】
位似图形作图，平行线分线段成比例，等腰三角形三线合一
【点评】
本题综合考查了位似变换、线段比例分割、角平分线作图的相关知识，需要结合网格特征灵活运用几何性质解决作图问题，既考查基础作图技能，也对几何性质的迁移应用能力有一定要求。
【难度系数】
0.6
（1）位似作图以原点为位似中心，位似比为$-\dfrac{1}{2}$说明新图形与原图形在原点两侧，对应点坐标为原坐标乘位似比$-\dfrac{1}{2}$，算出坐标后描点连线即可。
（2）要得到$AP:PC=3:2$，可利用平行线分线段成比例的性质，在网格中构造对应比例的平行线，它与AC的交点就是所求点P。
（3）作△DEF的角平分线时，先计算边长可发现DE=DF，△DEF是等腰三角形，根据等腰三角形三线合一的性质，顶角的角平分线和底边EF的中线重合，找到EF中点M连接DM即可。
【解析】
（1）根据位似变换规则，原点为位似中心，位似比$-\dfrac{1}{2}$，计算对应点坐标：
$A'(-2×(-\dfrac{1}{2}),2×(-\dfrac{1}{2}))=(1,-1)$，$B'(-4×(-\dfrac{1}{2}),0×(-\dfrac{1}{2}))=(2,0)$，$C'(-4×(-\dfrac{1}{2}),-4×(-\dfrac{1}{2}))=(2,2)$，描出三点后顺次连接得到△A'B'C'。
（2）结合网格构造能分线段为3:2的平行线，该线与AC交于P，此时$AP:PC=3:2$。
（3）计算边长：$DE=\sqrt{(3-1)^2+(-2+3)^2}=\sqrt{5}$，$DF=\sqrt{(4-3)^2+(-4+2)^2}=\sqrt{5}$，故$DE=DF$，△DEF为等腰三角形，∠EDF的角平分线与底边EF的中线重合，找到EF中点M连接DM，DM就是所求角平分线。
【答案】
13.（1）如图
，$△ A'B'C'$即为所求的图形. （2）如图，P 即为所求的点.（3）如图
，DM 即为所求的角平分线.【知识点】
位似图形作图，平行线分线段成比例，等腰三角形三线合一
【点评】
本题综合考查了位似变换、线段比例分割、角平分线作图的相关知识，需要结合网格特征灵活运用几何性质解决作图问题，既考查基础作图技能，也对几何性质的迁移应用能力有一定要求。
【难度系数】
0.6
14 教科书在本节第72页提出了对四边形ABCD放大2倍的方法：
如图28-4-1，给定四边形ABCD，可以用如下的方法将它放大为原来的2倍：在平面上任取一点O，在射线OA、OB、OC、OD上分别取点$A_1$、$B_1$、$C_1$、$D_1$，使得$OA_1=2OA$，$OB_1=2OB$，$OC_1=2OC$，$OD_1=2OD$. 根据相似三角形的知识，可知四边形$A_1B_1C_1D_1$与四边形ABCD相似，并且相似比为2.
用上述方法按一定比例进行放缩所得的两个图形之间的关系就是位似关系. 显然，位似关系是一种特殊的相似关系.
如图(1)，已知在$\mathrm{Rt}△ ABC$中，$∠ C=90°$，$AC=12$，$BC=6$，矩形EFGH的边EF在直角边AC上，点H在斜边AB上，$EF=2$，$HE=1$. 小海阅读
教科书受到启发，尝试用尺规在$\mathrm{Rt}△ ABC$中作出一个与矩形EFGH位似的矩形. 他的作法如下：
如图(2)，
① 连接AG并延长，交边BC于点D；
② 作AC的垂直平分线MN，交AB于点M，交AC于点N；
③ 连接MD，则四边形NCDM就是所求作的矩形.
请证明小海作图方法的正确性.
如图28-4-1，给定四边形ABCD，可以用如下的方法将它放大为原来的2倍：在平面上任取一点O，在射线OA、OB、OC、OD上分别取点$A_1$、$B_1$、$C_1$、$D_1$，使得$OA_1=2OA$，$OB_1=2OB$，$OC_1=2OC$，$OD_1=2OD$. 根据相似三角形的知识，可知四边形$A_1B_1C_1D_1$与四边形ABCD相似，并且相似比为2.
用上述方法按一定比例进行放缩所得的两个图形之间的关系就是位似关系. 显然，位似关系是一种特殊的相似关系.
如图(1)，已知在$\mathrm{Rt}△ ABC$中，$∠ C=90°$，$AC=12$，$BC=6$，矩形EFGH的边EF在直角边AC上，点H在斜边AB上，$EF=2$，$HE=1$. 小海阅读
教科书受到启发，尝试用尺规在$\mathrm{Rt}△ ABC$中作出一个与矩形EFGH位似的矩形. 他的作法如下：
如图(2)，
① 连接AG并延长，交边BC于点D；
② 作AC的垂直平分线MN，交AB于点M，交AC于点N；
③ 连接MD，则四边形NCDM就是所求作的矩形.
请证明小海作图方法的正确性.
答案
14. 如图
，连接 EG.$\because$ 四边形 EFGH 是矩形，$EF=2$，$HE=1$，
$\therefore HG=EF=2$，$GF=HE=1$，$∠ GFE=90°$，$HG // EF$，$HE // GF$.
$\because ∠ C=90°$，
$\therefore GF // BC$.
$\therefore HE // BC$.
$\because AC=12$，$BC=6$，
$\therefore \frac{HE}{BC}=\frac{AE}{AC}=\frac{2}{12}=\frac{1}{6}$，解得 $AE=2$.
$\therefore AF=4$.
$\because GF // CD. \therefore \frac{GF}{CD}=\frac{AF}{AC}. \therefore \frac{1}{CD}=\frac{4}{12}$，解得 $CD=3. \therefore CD=\frac{1}{2}BC$.
$\because MN$ 是AC 的垂直平分线，$\therefore AN=CN=\frac{1}{2}AC=6$，$∠ ANM=90°$.
$\because ∠ ANM=∠ C=90°. \therefore MN // BC. \therefore \frac{MN}{BC}=\frac{AN}{AC}=\frac{1}{2}. \therefore MN=3. \therefore MN=CD$.
$\therefore$ 四边形 NCDM 是平行四边形.
$\because ∠ C=90°$，$\therefore$ 四边形 NCDM 是矩形.
$\because$ 在矩形 EFGH 与矩形 NCDM 中，内角均为直角，且 $\frac{HE}{MN}=\frac{EF}{CN}=\frac{FG}{CD}=\frac{GH}{DM}=\frac{1}{3}$，
$\therefore$ 矩形 EFGH 与矩形 NCDM 相似.
$\because HG // AC$，$MD // AC$，$\therefore HG // MD. \therefore \frac{AH}{AM}=\frac{AG}{AD}=\frac{HG}{MD}=\frac{1}{3}$.
$\because \frac{AE}{AN}=\frac{2}{6}=\frac{1}{3}$，$\frac{AF}{AC}=\frac{4}{12}=\frac{1}{3}$，$\therefore \frac{AH}{AM}=\frac{AG}{AD}=\frac{AE}{AN}=\frac{AF}{AC}=\frac{1}{3}$.
$\therefore AH=\frac{1}{3}AM$，$AG=\frac{1}{3}AD$，$AF=\frac{1}{3}AC$，$AE=\frac{1}{3}AN$.
$\therefore$ 矩形 EFGH 与矩形 NCDM 关于点 A 位似.
解析
【分析】
要证明小海的作图方法正确，需证明两个核心结论：一是作出的四边形NCDM是矩形，二是该矩形与矩形EFGH为位似图形。解题可按如下思路推进：首先利用矩形EFGH对边平行、邻边垂直的性质，结合Rt△ABC的边长，通过平行线分线段成比例求出AE、AF、CD的长度；再根据AC垂直平分线的性质得到AN、CN的长度，证明MN与BC平行，推导MN的长度，进而证明四边形NCDM是矩形；最后先验证两个矩形对应角相等、对应边成比例得到两矩形相似，再验证所有对应顶点的连线都经过点A，对应点到点A的距离之比等于相似比，且对应边互相平行，符合位似图形的定义，即可证得作图正确。
【解析】
如图，连接 EG.
∵ 四边形 EFGH 是矩形，$EF=2$，$HE=1$，
∴ $HG=EF=2$，$GF=HE=1$，$∠ GFE=90°$，$HG // EF$，$HE // GF$.
∵ $∠ C=90°$，
∴ $GF // BC$.
∴ $HE // BC$.
∵ $AC=12$，$BC=6$，
∴ $\frac{HE}{BC}=\frac{AE}{AC}=\frac{1}{6}$，解得 $AE=2$.
∴ $AF=AE+EF=4$.
∵ $GF // CD$，
∴ $\frac{GF}{CD}=\frac{AF}{AC}$.
∴ $\frac{1}{CD}=\frac{4}{12}$，解得 $CD=3$，即$CD=\frac{1}{2}BC$.
∵ $MN$ 是AC 的垂直平分线，$\therefore AN=CN=\frac{1}{2}AC=6$，$∠ ANM=90°$.
∵ $∠ ANM=∠ C=90°$，
∴ $MN // BC$.
∴ $\frac{MN}{BC}=\frac{AN}{AC}=\frac{1}{2}$，
∴ $MN=3$，即$MN=CD$.
∵ $MN// CD$且$MN=CD$，
∴ 四边形 NCDM 是平行四边形.
∵ $∠ C=90°$，$\therefore$ 四边形 NCDM 是矩形.
∵ 在矩形 EFGH 与矩形 NCDM 中，内角均为直角，且 $\frac{HE}{MN}=\frac{EF}{CN}=\frac{FG}{CD}=\frac{GH}{DM}=\frac{1}{3}$，
∴ 矩形 EFGH 与矩形 NCDM 相似.
∵ $HG // AC$，$MD // AC$，$\therefore HG // MD$.
∴ $\frac{AH}{AM}=\frac{AG}{AD}=\frac{HG}{MD}=\frac{1}{3}$.
∵ $\frac{AE}{AN}=\frac{2}{6}=\frac{1}{3}$，$\frac{AF}{AC}=\frac{4}{12}=\frac{1}{3}$，$\therefore \frac{AH}{AM}=\frac{AG}{AD}=\frac{AE}{AN}=\frac{AF}{AC}=\frac{1}{3}$.
∴ $AH=\frac{1}{3}AM$，$AG=\frac{1}{3}AD$，$AF=\frac{1}{3}AC$，$AE=\frac{1}{3}AN$.
∴ 矩形 EFGH 与矩形 NCDM 关于点 A 位似，小海的作图方法正确。
【答案】
如图，连接 EG.
$\because$ 四边形 EFGH 是矩形，$EF=2$，$HE=1$，
$\therefore HG=EF=2$，$GF=HE=1$，$∠ GFE=90°$，$HG // EF$，$HE // GF$.
$\because ∠ C=90°$，
$\therefore GF // BC$.
$\therefore HE // BC$.
$\because AC=12$，$BC=6$，
$\therefore \frac{HE}{BC}=\frac{AE}{AC}=\frac{2}{12}=\frac{1}{6}$，解得 $AE=2$.
$\therefore AF=4$.
$\because GF // CD. \therefore \frac{GF}{CD}=\frac{AF}{AC}. \therefore \frac{1}{CD}=\frac{4}{12}$，解得 $CD=3. \therefore CD=\frac{1}{2}BC$.
$\because MN$ 是AC 的垂直平分线，$\therefore AN=CN=\frac{1}{2}AC=6$，$∠ ANM=90°$.
$\because ∠ ANM=∠ C=90°. \therefore MN // BC. \therefore \frac{MN}{BC}=\frac{AN}{AC}=\frac{1}{2}. \therefore MN=3. \therefore MN=CD$.
$\therefore$ 四边形 NCDM 是平行四边形.
$\because ∠ C=90°$，$\therefore$ 四边形 NCDM 是矩形.
$\because$ 在矩形 EFGH 与矩形 NCDM 中，内角均为直角，且 $\frac{HE}{MN}=\frac{EF}{CN}=\frac{FG}{CD}=\frac{GH}{DM}=\frac{1}{3}$，
$\therefore$ 矩形 EFGH 与矩形 NCDM 相似.
$\because HG // AC$，$MD // AC$，$\therefore HG // MD. \therefore \frac{AH}{AM}=\frac{AG}{AD}=\frac{HG}{MD}=\frac{1}{3}$.
$\because \frac{AE}{AN}=\frac{2}{6}=\frac{1}{3}$，$\frac{AF}{AC}=\frac{4}{12}=\frac{1}{3}$，$\therefore \frac{AH}{AM}=\frac{AG}{AD}=\frac{AE}{AN}=\frac{AF}{AC}=\frac{1}{3}$.
$\therefore AH=\frac{1}{3}AM$，$AG=\frac{1}{3}AD$，$AF=\frac{1}{3}AC$，$AE=\frac{1}{3}AN$.
$\therefore$ 矩形 EFGH 与矩形 NCDM 关于点 A 位似.
【知识点】
位似的判定；矩形的判定与性质；平行线分线段成比例
【点评】
本题结合位似作图的原理，综合考查了矩形性质、平行线分线段成比例、位似定义等知识，需要结合图形特征逐步推导验证，能有效锻炼逻辑推理能力和几何概念的应用能力。
【难度系数】
0.6
要证明小海的作图方法正确，需证明两个核心结论：一是作出的四边形NCDM是矩形，二是该矩形与矩形EFGH为位似图形。解题可按如下思路推进：首先利用矩形EFGH对边平行、邻边垂直的性质，结合Rt△ABC的边长，通过平行线分线段成比例求出AE、AF、CD的长度；再根据AC垂直平分线的性质得到AN、CN的长度，证明MN与BC平行，推导MN的长度，进而证明四边形NCDM是矩形；最后先验证两个矩形对应角相等、对应边成比例得到两矩形相似，再验证所有对应顶点的连线都经过点A，对应点到点A的距离之比等于相似比，且对应边互相平行，符合位似图形的定义，即可证得作图正确。
【解析】
如图
，连接 EG.∵ 四边形 EFGH 是矩形，$EF=2$，$HE=1$，
∴ $HG=EF=2$，$GF=HE=1$，$∠ GFE=90°$，$HG // EF$，$HE // GF$.
∵ $∠ C=90°$，
∴ $GF // BC$.
∴ $HE // BC$.
∵ $AC=12$，$BC=6$，
∴ $\frac{HE}{BC}=\frac{AE}{AC}=\frac{1}{6}$，解得 $AE=2$.
∴ $AF=AE+EF=4$.
∵ $GF // CD$，
∴ $\frac{GF}{CD}=\frac{AF}{AC}$.
∴ $\frac{1}{CD}=\frac{4}{12}$，解得 $CD=3$，即$CD=\frac{1}{2}BC$.
∵ $MN$ 是AC 的垂直平分线，$\therefore AN=CN=\frac{1}{2}AC=6$，$∠ ANM=90°$.
∵ $∠ ANM=∠ C=90°$，
∴ $MN // BC$.
∴ $\frac{MN}{BC}=\frac{AN}{AC}=\frac{1}{2}$，
∴ $MN=3$，即$MN=CD$.
∵ $MN// CD$且$MN=CD$，
∴ 四边形 NCDM 是平行四边形.
∵ $∠ C=90°$，$\therefore$ 四边形 NCDM 是矩形.
∵ 在矩形 EFGH 与矩形 NCDM 中，内角均为直角，且 $\frac{HE}{MN}=\frac{EF}{CN}=\frac{FG}{CD}=\frac{GH}{DM}=\frac{1}{3}$，
∴ 矩形 EFGH 与矩形 NCDM 相似.
∵ $HG // AC$，$MD // AC$，$\therefore HG // MD$.
∴ $\frac{AH}{AM}=\frac{AG}{AD}=\frac{HG}{MD}=\frac{1}{3}$.
∵ $\frac{AE}{AN}=\frac{2}{6}=\frac{1}{3}$，$\frac{AF}{AC}=\frac{4}{12}=\frac{1}{3}$，$\therefore \frac{AH}{AM}=\frac{AG}{AD}=\frac{AE}{AN}=\frac{AF}{AC}=\frac{1}{3}$.
∴ $AH=\frac{1}{3}AM$，$AG=\frac{1}{3}AD$，$AF=\frac{1}{3}AC$，$AE=\frac{1}{3}AN$.
∴ 矩形 EFGH 与矩形 NCDM 关于点 A 位似，小海的作图方法正确。
【答案】
如图
，连接 EG.$\because$ 四边形 EFGH 是矩形，$EF=2$，$HE=1$，
$\therefore HG=EF=2$，$GF=HE=1$，$∠ GFE=90°$，$HG // EF$，$HE // GF$.
$\because ∠ C=90°$，
$\therefore GF // BC$.
$\therefore HE // BC$.
$\because AC=12$，$BC=6$，
$\therefore \frac{HE}{BC}=\frac{AE}{AC}=\frac{2}{12}=\frac{1}{6}$，解得 $AE=2$.
$\therefore AF=4$.
$\because GF // CD. \therefore \frac{GF}{CD}=\frac{AF}{AC}. \therefore \frac{1}{CD}=\frac{4}{12}$，解得 $CD=3. \therefore CD=\frac{1}{2}BC$.
$\because MN$ 是AC 的垂直平分线，$\therefore AN=CN=\frac{1}{2}AC=6$，$∠ ANM=90°$.
$\because ∠ ANM=∠ C=90°. \therefore MN // BC. \therefore \frac{MN}{BC}=\frac{AN}{AC}=\frac{1}{2}. \therefore MN=3. \therefore MN=CD$.
$\therefore$ 四边形 NCDM 是平行四边形.
$\because ∠ C=90°$，$\therefore$ 四边形 NCDM 是矩形.
$\because$ 在矩形 EFGH 与矩形 NCDM 中，内角均为直角，且 $\frac{HE}{MN}=\frac{EF}{CN}=\frac{FG}{CD}=\frac{GH}{DM}=\frac{1}{3}$，
$\therefore$ 矩形 EFGH 与矩形 NCDM 相似.
$\because HG // AC$，$MD // AC$，$\therefore HG // MD. \therefore \frac{AH}{AM}=\frac{AG}{AD}=\frac{HG}{MD}=\frac{1}{3}$.
$\because \frac{AE}{AN}=\frac{2}{6}=\frac{1}{3}$，$\frac{AF}{AC}=\frac{4}{12}=\frac{1}{3}$，$\therefore \frac{AH}{AM}=\frac{AG}{AD}=\frac{AE}{AN}=\frac{AF}{AC}=\frac{1}{3}$.
$\therefore AH=\frac{1}{3}AM$，$AG=\frac{1}{3}AD$，$AF=\frac{1}{3}AC$，$AE=\frac{1}{3}AN$.
$\therefore$ 矩形 EFGH 与矩形 NCDM 关于点 A 位似.
【知识点】
位似的判定；矩形的判定与性质；平行线分线段成比例
【点评】
本题结合位似作图的原理，综合考查了矩形性质、平行线分线段成比例、位似定义等知识，需要结合图形特征逐步推导验证，能有效锻炼逻辑推理能力和几何概念的应用能力。
【难度系数】
0.6
