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5. 如图，在平面直角坐标系中，已知点$A(-3,6)$、$B(-9,-3)$，以原点为位似中心作$△ AOB$的位似图形$△ A'OB'$，使之与$△ AOB$的位似比为$-\dfrac{1}{3}$，那么点$B$的对应点$B'$的坐标为
$(3,1)$
。答案
5. $(3,1)$.
解析
【分析】
解决本题首先要回忆平面直角坐标系中以原点为位似中心的位似图形的坐标变化规律：若位似比为k，则原图形上任意一点(x,y)，其对应位似图形上的点的坐标为(kx,ky)。本题已知位似中心是原点，位似比为$-\dfrac{1}{3}$，点B的坐标已知，直接代入规律计算即可，注意位似比为负时，对应点与原点位似中心异侧，坐标符号会发生改变。
【解析】
在平面直角坐标系中，当位似中心为原点时，原图形上点$(x,y)$对应的位似图形上的点的坐标为$(kx,ky)$（$k$为位似比）。
已知位似比$k=-\dfrac{1}{3}$，点$B$的坐标为$(-9,-3)$，
则点$B'$的横坐标为：$-9×(-\dfrac{1}{3})=3$，
点$B'$的纵坐标为：$-3×(-\dfrac{1}{3})=1$，
因此点$B$的对应点$B'$的坐标为$(3,1)$。
【答案】
$(3,1)$
【知识点】
1. 位似的坐标变换
2. 平面直角坐标系
【点评】
本题考查位似变换下的坐标计算，核心是掌握以原点为位似中心时的坐标变化规则，解题时要重点关注位似比的符号，避免因忽略符号导致计算错误。
【难度系数】
0.7
解决本题首先要回忆平面直角坐标系中以原点为位似中心的位似图形的坐标变化规律：若位似比为k，则原图形上任意一点(x,y)，其对应位似图形上的点的坐标为(kx,ky)。本题已知位似中心是原点，位似比为$-\dfrac{1}{3}$，点B的坐标已知，直接代入规律计算即可，注意位似比为负时，对应点与原点位似中心异侧，坐标符号会发生改变。
【解析】
在平面直角坐标系中，当位似中心为原点时，原图形上点$(x,y)$对应的位似图形上的点的坐标为$(kx,ky)$（$k$为位似比）。
已知位似比$k=-\dfrac{1}{3}$，点$B$的坐标为$(-9,-3)$，
则点$B'$的横坐标为：$-9×(-\dfrac{1}{3})=3$，
点$B'$的纵坐标为：$-3×(-\dfrac{1}{3})=1$，
因此点$B$的对应点$B'$的坐标为$(3,1)$。
【答案】
$(3,1)$
【知识点】
1. 位似的坐标变换
2. 平面直角坐标系
【点评】
本题考查位似变换下的坐标计算，核心是掌握以原点为位似中心时的坐标变化规则，解题时要重点关注位似比的符号，避免因忽略符号导致计算错误。
【难度系数】
0.7
6. 如图，在平面直角坐标系中，正方形ABCD与正方形BEFG关于原点位似，且位似比为$\frac{1}{3}$，点A、B、E在x轴上。如果OA=1，那么点G的坐标为
$(3,6)$
。答案
6. $(3,6)$.
解析
【分析】
本题可结合位似图形与正方形的性质求解：首先，位似图形的对应点连线过位似中心，对应边的比等于位似比；两个正方形关于原点位似且位似比为$\frac{1}{3}$，可知大正方形边长是小正方形的3倍，且点D、G共线且都在过原点的直线上。我们可以先设小正方形边长为$a$，表示出点D、G的坐标，再利用过原点直线上的点横纵坐标比值相等列方程，求出$a$的值后即可得到点G的坐标。
【解析】
解：
∵正方形ABCD与正方形BEFG关于原点位似，位似比为$\frac{1}{3}$，
∴两个正方形的边长比为$\frac{1}{3}$，且对应点连线过原点O。
设正方形ABCD的边长为$a$，
由OA=1，点A、B、E在x轴上，可得：
A点坐标为$(1,0)$，D点坐标为$(1,a)$，B点坐标为$(1+a, 0)$。
∵大正方形BEFG的边长为$3a$，且BG垂直于x轴，
∴G点坐标为$(1+a, 3a)$。
∵D、G都在过原点的直线上，该直线上点的纵坐标与横坐标的比值相等，
∴$\frac{a}{1}=\frac{3a}{1+a}$，
∵$a≠0$，等式两边同时除以$a$得：$1=\frac{3}{1+a}$，
解得$1+a=3$，即$a=2$。
将$a=2$代入G点坐标表达式，得横坐标为$1+2=3$，纵坐标为$3×2=6$，
即G点坐标为$(3,6)$。
【答案】
$(3,6)$
【知识点】
位似图形的性质，正方形的性质，平面直角坐标系点的坐标
【点评】
本题考查位似图形与坐标系结合的应用，解题关键是抓住位似图形对应点连线过位似中心的特征，结合直线上点的坐标关系建立方程求解，能较好地考查学生对图形性质的综合运用能力。
【难度系数】
0.7
本题可结合位似图形与正方形的性质求解：首先，位似图形的对应点连线过位似中心，对应边的比等于位似比；两个正方形关于原点位似且位似比为$\frac{1}{3}$，可知大正方形边长是小正方形的3倍，且点D、G共线且都在过原点的直线上。我们可以先设小正方形边长为$a$，表示出点D、G的坐标，再利用过原点直线上的点横纵坐标比值相等列方程，求出$a$的值后即可得到点G的坐标。
【解析】
解：
∵正方形ABCD与正方形BEFG关于原点位似，位似比为$\frac{1}{3}$，
∴两个正方形的边长比为$\frac{1}{3}$，且对应点连线过原点O。
设正方形ABCD的边长为$a$，
由OA=1，点A、B、E在x轴上，可得：
A点坐标为$(1,0)$，D点坐标为$(1,a)$，B点坐标为$(1+a, 0)$。
∵大正方形BEFG的边长为$3a$，且BG垂直于x轴，
∴G点坐标为$(1+a, 3a)$。
∵D、G都在过原点的直线上，该直线上点的纵坐标与横坐标的比值相等，
∴$\frac{a}{1}=\frac{3a}{1+a}$，
∵$a≠0$，等式两边同时除以$a$得：$1=\frac{3}{1+a}$，
解得$1+a=3$，即$a=2$。
将$a=2$代入G点坐标表达式，得横坐标为$1+2=3$，纵坐标为$3×2=6$，
即G点坐标为$(3,6)$。
【答案】
$(3,6)$
【知识点】
位似图形的性质，正方形的性质，平面直角坐标系点的坐标
【点评】
本题考查位似图形与坐标系结合的应用，解题关键是抓住位似图形对应点连线过位似中心的特征，结合直线上点的坐标关系建立方程求解，能较好地考查学生对图形性质的综合运用能力。
【难度系数】
0.7
7. 如图，在平面直角坐标系中，△OAB和△OCD关于原点位似. 已知点B的坐标为(-4,0)，点D的坐标为(2,0)，那么△OCD与△OAB的面积比为
$\frac{1}{4}$
.答案
7. $\frac{1}{4}$.
解析
【分析】
要解决这道题，首先回忆位似图形的性质：位似图形是特殊的相似图形，相似比等于对应点到位似中心的距离之比；其次相似三角形的面积比等于相似比的平方。解题步骤为：1. 找到两个三角形的对应点B、D，计算二者到位似中心原点O的长度；2. 求出△OCD与△OAB的相似比，注意比的先后顺序；3. 利用面积比和相似比的关系计算最终结果。
【解析】
解：
∵△OAB和△OCD关于原点位似
∴△OAB∽△OCD，且相似比等于对应点到原点O的距离之比
已知点B坐标为(-4,0)，点D坐标为(2,0)
∴$OB=|-4|=4$，$OD=|2|=2$
则△OCD与△OAB的相似比$k=\frac{OD}{OB}=\frac{2}{4}=\frac{1}{2}$
∵相似三角形的面积比等于相似比的平方
∴$\frac{S_{△ OCD}}{S_{△ OAB}}=k^2=(\frac{1}{2})^2=\frac{1}{4}$
【答案】
$\frac{1}{4}$
【知识点】
位似图形的性质；相似三角形面积比规律
【点评】
本题是位似性质的基础应用题，解题时需注意两个三角形的先后顺序，避免相似比搞反，熟练掌握相似图形面积比和相似比的关系即可快速求解。
【难度系数】
0.8
要解决这道题，首先回忆位似图形的性质：位似图形是特殊的相似图形，相似比等于对应点到位似中心的距离之比；其次相似三角形的面积比等于相似比的平方。解题步骤为：1. 找到两个三角形的对应点B、D，计算二者到位似中心原点O的长度；2. 求出△OCD与△OAB的相似比，注意比的先后顺序；3. 利用面积比和相似比的关系计算最终结果。
【解析】
解：
∵△OAB和△OCD关于原点位似
∴△OAB∽△OCD，且相似比等于对应点到原点O的距离之比
已知点B坐标为(-4,0)，点D坐标为(2,0)
∴$OB=|-4|=4$，$OD=|2|=2$
则△OCD与△OAB的相似比$k=\frac{OD}{OB}=\frac{2}{4}=\frac{1}{2}$
∵相似三角形的面积比等于相似比的平方
∴$\frac{S_{△ OCD}}{S_{△ OAB}}=k^2=(\frac{1}{2})^2=\frac{1}{4}$
【答案】
$\frac{1}{4}$
【知识点】
位似图形的性质；相似三角形面积比规律
【点评】
本题是位似性质的基础应用题，解题时需注意两个三角形的先后顺序，避免相似比搞反，熟练掌握相似图形面积比和相似比的关系即可快速求解。
【难度系数】
0.8
8. 在平面直角坐标系中，$△ AOB$ 的顶点坐标分别为 $A(8,0)$、$O(0,0)$、$B(8,-6)$，$M$ 为 $OB$ 的中点。如果作与 $△ AOB$ 关于原点位似的 $△ A'O'B'$，且它与 $△ AOB$ 的位似比为$-\dfrac{1}{2}$，$M'$为 $O'B'$的中点，那么 $MM'$的长为
$\frac{15}{2}$
。答案
8. $\frac{15}{2}$.
解析
【分析】
解题思路可分三步展开：第一步，先根据中点坐标公式求出OB中点M的坐标；第二步，利用关于原点位似的图形的坐标变化规律，结合位似比求出对应点M'的坐标，位似比为负时对应点与原点位似中心异侧，坐标为原坐标乘位似比；第三步，代入两点间距离公式计算MM'的长度即可。
【解析】
1. 求点M的坐标：
已知$O(0,0)$，$B(8,-6)$，M为OB中点，根据中点坐标公式$x=\frac{x_1+x_2}{2},y=\frac{y_1+y_2}{2}$，可得M的坐标为$(\frac{0+8}{2},\frac{0+(-6)}{2})=(4,-3)$。
2. 求点M'的坐标：
因为$△ A'O'B'$与$△ AOB$关于原点位似，位似比为$-\frac{1}{2}$，则对应点的坐标为原坐标乘位似比，M是M'的对应点，所以M'的坐标为$(4×(-\frac{1}{2}), -3×(-\frac{1}{2}))=(-2,\frac{3}{2})$。
3. 计算MM'的长度：
根据两点间距离公式$d=\sqrt{(x_1-x_2)^2+(y_1-y_2)^2}$，代入M$(4,-3)$和M'$(-2,\frac{3}{2})$可得：
$MM'=\sqrt{(4 - (-2))^2 + (-3 - \frac{3}{2})^2}=\sqrt{6^2 + (-\frac{9}{2})^2}=\sqrt{36+\frac{81}{4}}=\sqrt{\frac{225}{4}}=\frac{15}{2}$。
【答案】
$\frac{15}{2}$
【知识点】
位似图形的性质；中点坐标公式；两点间距离公式
【点评】
本题综合考查位似图形的坐标变换规则，结合中点坐标、两点距离的相关知识求解，解题的核心是熟练掌握关于原点位似的点的坐标变化规律，注意位似比的符号对坐标正负的影响。
【难度系数】
0.7
解题思路可分三步展开：第一步，先根据中点坐标公式求出OB中点M的坐标；第二步，利用关于原点位似的图形的坐标变化规律，结合位似比求出对应点M'的坐标，位似比为负时对应点与原点位似中心异侧，坐标为原坐标乘位似比；第三步，代入两点间距离公式计算MM'的长度即可。
【解析】
1. 求点M的坐标：
已知$O(0,0)$，$B(8,-6)$，M为OB中点，根据中点坐标公式$x=\frac{x_1+x_2}{2},y=\frac{y_1+y_2}{2}$，可得M的坐标为$(\frac{0+8}{2},\frac{0+(-6)}{2})=(4,-3)$。
2. 求点M'的坐标：
因为$△ A'O'B'$与$△ AOB$关于原点位似，位似比为$-\frac{1}{2}$，则对应点的坐标为原坐标乘位似比，M是M'的对应点，所以M'的坐标为$(4×(-\frac{1}{2}), -3×(-\frac{1}{2}))=(-2,\frac{3}{2})$。
3. 计算MM'的长度：
根据两点间距离公式$d=\sqrt{(x_1-x_2)^2+(y_1-y_2)^2}$，代入M$(4,-3)$和M'$(-2,\frac{3}{2})$可得：
$MM'=\sqrt{(4 - (-2))^2 + (-3 - \frac{3}{2})^2}=\sqrt{6^2 + (-\frac{9}{2})^2}=\sqrt{36+\frac{81}{4}}=\sqrt{\frac{225}{4}}=\frac{15}{2}$。
【答案】
$\frac{15}{2}$
【知识点】
位似图形的性质；中点坐标公式；两点间距离公式
【点评】
本题综合考查位似图形的坐标变换规则，结合中点坐标、两点距离的相关知识求解，解题的核心是熟练掌握关于原点位似的点的坐标变化规律，注意位似比的符号对坐标正负的影响。
【难度系数】
0.7
9. 如图，点A在反比例函数$y=\frac{9}{x}$的图像上，过点A作$AB ⊥ x$轴，$AC ⊥ y$轴，垂足分别为B、C，四边形$OB'A'C'$与四边形$OBAC$关于原点位似。如果点$A'$在反比例函数$y=\frac{4}{x}$的图像上，那么四边形$OB'A'C'$与四边形$OBAC$的位似比为
$\frac{2}{3}$
。答案
9. $\frac{2}{3}$.
解析
【分析】
解题时首先回忆反比例函数k的几何意义：过反比例函数$y=\frac{k}{x}$图像上任意一点作x轴、y轴的垂线，所得矩形的面积为$|k|$，可先算出两个矩形的面积。再结合位似图形的性质：位似图形是相似图形，面积比等于位似比的平方，就可以通过面积比求出位似比，注意位似比是前一个图形和后一个图形的对应边的比，结果取正值即可。
【解析】
解：
∵$AC⊥y$轴，$AB⊥x$轴，$∠ COB=90°$，
∴四边形$OBAC$是矩形，
∵点A在反比例函数$y=\frac{9}{x}$的图像上，
∴$S_{矩形OBAC}=|9|=9$。
同理，四边形$OB'A'C'$是矩形，
∵点$A'$在反比例函数$y=\frac{4}{x}$的图像上，
∴$S_{矩形OB'A'C'}=|4|=4$。
∵四边形$OB'A'C'$与四边形$OBAC$关于原点位似，
∴两个四边形是相似图形，面积比等于位似比的平方。
设四边形$OB'A'C'$与四边形$OBAC$的位似比为$k$，
则$k^2=\frac{S_{矩形OB'A'C'}}{S_{矩形OBAC}}=\frac{4}{9}$，
∵位似比为正数，
∴$k=\frac{2}{3}$（负值舍去）。
【答案】
$\frac{2}{3}$
【知识点】
反比例函数k的几何意义；位似图形的性质；相似图形面积与相似比的关系
【点评】
本题属于基础综合题，将反比例函数的性质和位似图形的性质结合考查，解题的关键是熟练掌握反比例函数k的几何意义，以及位似图形面积比和位似比的关系，计算难度低，容易上手。
【难度系数】
0.7
解题时首先回忆反比例函数k的几何意义：过反比例函数$y=\frac{k}{x}$图像上任意一点作x轴、y轴的垂线，所得矩形的面积为$|k|$，可先算出两个矩形的面积。再结合位似图形的性质：位似图形是相似图形，面积比等于位似比的平方，就可以通过面积比求出位似比，注意位似比是前一个图形和后一个图形的对应边的比，结果取正值即可。
【解析】
解：
∵$AC⊥y$轴，$AB⊥x$轴，$∠ COB=90°$，
∴四边形$OBAC$是矩形，
∵点A在反比例函数$y=\frac{9}{x}$的图像上，
∴$S_{矩形OBAC}=|9|=9$。
同理，四边形$OB'A'C'$是矩形，
∵点$A'$在反比例函数$y=\frac{4}{x}$的图像上，
∴$S_{矩形OB'A'C'}=|4|=4$。
∵四边形$OB'A'C'$与四边形$OBAC$关于原点位似，
∴两个四边形是相似图形，面积比等于位似比的平方。
设四边形$OB'A'C'$与四边形$OBAC$的位似比为$k$，
则$k^2=\frac{S_{矩形OB'A'C'}}{S_{矩形OBAC}}=\frac{4}{9}$，
∵位似比为正数，
∴$k=\frac{2}{3}$（负值舍去）。
【答案】
$\frac{2}{3}$
【知识点】
反比例函数k的几何意义；位似图形的性质；相似图形面积与相似比的关系
【点评】
本题属于基础综合题，将反比例函数的性质和位似图形的性质结合考查，解题的关键是熟练掌握反比例函数k的几何意义，以及位似图形面积比和位似比的关系，计算难度低，容易上手。
【难度系数】
0.7
