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12. 如图，已知：在$△ ABC$和$△ DEC$中，$∠ A=∠ D$，$∠ BCE=∠ ACD$。
（1）求证：$△ ABC ∽ △ DEC$。
（2）如果$S_{△ ABC}:S_{△ DEC}=16:25$，$BC=8$，求$EC$的长。
（1）求证：$△ ABC ∽ △ DEC$。
（2）如果$S_{△ ABC}:S_{△ DEC}=16:25$，$BC=8$，求$EC$的长。
答案
12. (1) 略. (2) 10.
解析
【分析】
（1）要证明两个三角形相似，可优先使用“两角分别相等的两个三角形相似”的判定定理。已知已有一组角$∠ A=∠ D$相等，只需再推导一组对应角相等即可：观察已知$∠ BCE=∠ ACD$，给两个角同时加上公共角$∠ ACE$，就能得到$△ ABC$和$△ DEC$的另一组对应角$∠ ACB=∠ DCE$，满足相似判定条件。
（2）已知相似三角形的面积比，根据相似三角形面积比等于相似比的平方，先求出两三角形的相似比，再找到$BC$的对应边为$EC$，列比例式代入$BC$的长度即可求出$EC$的长。
【解析】
（1）证明：
$\because ∠ BCE=∠ ACD$，
$\therefore ∠ BCE + ∠ ACE = ∠ ACD + ∠ ACE$，
即$∠ ACB=∠ DCE$。
又$\because ∠ A=∠ D$，
$\therefore △ ABC ∽ △ DEC$（两角分别相等的两个三角形相似）。
（2）解：
$\because △ ABC ∽ △ DEC$，
$\therefore \frac{S_{△ ABC}}{S_{△ DEC}} = (\frac{BC}{EC})^2$，
$\because S_{△ ABC}:S_{△ DEC}=16:25$，$BC=8$，
$\therefore (\frac{8}{EC})^2 = \frac{16}{25}$，
边长为正，开平方得$\frac{8}{EC}=\frac{4}{5}$，
解得$EC=10$。
【答案】
（1）略；（2）$\boxed{10}$
【知识点】
相似三角形的判定，相似三角形的性质
【点评】
本题是相似三角形的基础常规考题，解题核心是通过角的和差关系推导相等的对应角证明相似，再结合相似三角形面积比与相似比的关系求解对应边长，熟练掌握相似的判定和性质即可快速解题。
【难度系数】
0.8
（1）要证明两个三角形相似，可优先使用“两角分别相等的两个三角形相似”的判定定理。已知已有一组角$∠ A=∠ D$相等，只需再推导一组对应角相等即可：观察已知$∠ BCE=∠ ACD$，给两个角同时加上公共角$∠ ACE$，就能得到$△ ABC$和$△ DEC$的另一组对应角$∠ ACB=∠ DCE$，满足相似判定条件。
（2）已知相似三角形的面积比，根据相似三角形面积比等于相似比的平方，先求出两三角形的相似比，再找到$BC$的对应边为$EC$，列比例式代入$BC$的长度即可求出$EC$的长。
【解析】
（1）证明：
$\because ∠ BCE=∠ ACD$，
$\therefore ∠ BCE + ∠ ACE = ∠ ACD + ∠ ACE$，
即$∠ ACB=∠ DCE$。
又$\because ∠ A=∠ D$，
$\therefore △ ABC ∽ △ DEC$（两角分别相等的两个三角形相似）。
（2）解：
$\because △ ABC ∽ △ DEC$，
$\therefore \frac{S_{△ ABC}}{S_{△ DEC}} = (\frac{BC}{EC})^2$，
$\because S_{△ ABC}:S_{△ DEC}=16:25$，$BC=8$，
$\therefore (\frac{8}{EC})^2 = \frac{16}{25}$，
边长为正，开平方得$\frac{8}{EC}=\frac{4}{5}$，
解得$EC=10$。
【答案】
（1）略；（2）$\boxed{10}$
【知识点】
相似三角形的判定，相似三角形的性质
【点评】
本题是相似三角形的基础常规考题，解题核心是通过角的和差关系推导相等的对应角证明相似，再结合相似三角形面积比与相似比的关系求解对应边长，熟练掌握相似的判定和性质即可快速解题。
【难度系数】
0.8
13. 如图，已知：在$△ ABC$中，$AG$平分$∠ BAC$，$AD · AG = AF · AB$.
（1）求证：$△ ADF ∽ △ ABG$.
（2）如果$△ ADF$与$△ ABG$的周长之比是$\frac{2}{5}$，$AE=8$，求$AC$的长.
（1）求证：$△ ADF ∽ △ ABG$.
（2）如果$△ ADF$与$△ ABG$的周长之比是$\frac{2}{5}$，$AE=8$，求$AC$的长.
答案
13. (1) 提示：由$\frac{AD}{AB}=\frac{AF}{AG}$，$∠DAF=∠BAG$，得$△ADF∽△ABG$.
(2) $\because △ADF∽△ABG$，$\therefore ∠ADF=∠B$.
$\because ∠DAE=∠BAC$，$\therefore △DAE∽△BAC$. $\therefore \frac{AE}{AC}=\frac{AD}{AB}$.
$\because △ADF$与$△ABG$的周长之比是$\frac{2}{5}$，$\therefore \frac{AD}{AB}=\frac{2}{5}$.
$\because AE=8$，$\therefore \frac{8}{AC}=\frac{2}{5}$，解得$AC=20$，即$AC$的长为20.
(2) $\because △ADF∽△ABG$，$\therefore ∠ADF=∠B$.
$\because ∠DAE=∠BAC$，$\therefore △DAE∽△BAC$. $\therefore \frac{AE}{AC}=\frac{AD}{AB}$.
$\because △ADF$与$△ABG$的周长之比是$\frac{2}{5}$，$\therefore \frac{AD}{AB}=\frac{2}{5}$.
$\because AE=8$，$\therefore \frac{8}{AC}=\frac{2}{5}$，解得$AC=20$，即$AC$的长为20.
解析
【分析】
（1）要证明$△ ADF ∽ △ ABG$，先将已知的乘积式$AD· AG=AF· AB$转化为比例式，再结合AG平分$∠ BAC$得到一组相等的夹角，利用“两边对应成比例且夹角相等”的判定定理即可证明相似。
（2）先根据相似三角形周长比等于相似比，得到$\frac{AD}{AB}=\frac{2}{5}$；再由第一问的相似得到对应角相等，结合公共角证明$△ DAE ∽ △ BAC$，得到对应边的比例关系，代入已知$AE$的长度即可求出$AC$的长。
【解析】
（1）证明：
$\because AG$平分$∠ BAC$，
$\therefore ∠ DAF=∠ BAG$，
$\because AD· AG=AF· AB$，
$\therefore$将乘积式变形为比例式可得$\frac{AD}{AB}=\frac{AF}{AG}$，
在$△ ADF$和$△ ABG$中：
$\begin{cases}\frac{AD}{AB}=\frac{AF}{AG} \\∠ DAF=∠ BAG\end{cases}$
$\therefore △ ADF ∽ △ ABG$（两边对应成比例且夹角相等的两个三角形相似）。
（2）解：
$\because △ ADF ∽ △ ABG$，且两个三角形的周长比为$\frac{2}{5}$，
$\therefore$相似比$\frac{AD}{AB}=\frac{2}{5}$（相似三角形的周长比等于相似比），且$∠ ADF=∠ B$（相似三角形对应角相等），
在$△ DAE$和$△ BAC$中：
$\begin{cases}∠ ADF=∠ B \\∠ DAE=∠ BAC（公共角）\end{cases}$
$\therefore △ DAE ∽ △ BAC$（两角对应相等的两个三角形相似），
$\therefore \frac{AE}{AC}=\frac{AD}{AB}=\frac{2}{5}$，
将$AE=8$代入得$\frac{8}{AC}=\frac{2}{5}$，
解得$AC=8×\frac{5}{2}=20$。
【答案】
（1）$△ ADF ∽ △ ABG$，证明成立；
（2）$\boxed{20}$
【知识点】
相似三角形的判定、相似三角形的性质、比例的基本性质
【点评】
本题考查相似三角形的综合应用，解题关键是灵活转换乘积式为比例式，结合角的关系判定相似，再利用相似的性质建立比例关系求解线段，解题时可直接沿用前一小问的结论简化推导。
【难度系数】
0.7
（1）要证明$△ ADF ∽ △ ABG$，先将已知的乘积式$AD· AG=AF· AB$转化为比例式，再结合AG平分$∠ BAC$得到一组相等的夹角，利用“两边对应成比例且夹角相等”的判定定理即可证明相似。
（2）先根据相似三角形周长比等于相似比，得到$\frac{AD}{AB}=\frac{2}{5}$；再由第一问的相似得到对应角相等，结合公共角证明$△ DAE ∽ △ BAC$，得到对应边的比例关系，代入已知$AE$的长度即可求出$AC$的长。
【解析】
（1）证明：
$\because AG$平分$∠ BAC$，
$\therefore ∠ DAF=∠ BAG$，
$\because AD· AG=AF· AB$，
$\therefore$将乘积式变形为比例式可得$\frac{AD}{AB}=\frac{AF}{AG}$，
在$△ ADF$和$△ ABG$中：
$\begin{cases}\frac{AD}{AB}=\frac{AF}{AG} \\∠ DAF=∠ BAG\end{cases}$
$\therefore △ ADF ∽ △ ABG$（两边对应成比例且夹角相等的两个三角形相似）。
（2）解：
$\because △ ADF ∽ △ ABG$，且两个三角形的周长比为$\frac{2}{5}$，
$\therefore$相似比$\frac{AD}{AB}=\frac{2}{5}$（相似三角形的周长比等于相似比），且$∠ ADF=∠ B$（相似三角形对应角相等），
在$△ DAE$和$△ BAC$中：
$\begin{cases}∠ ADF=∠ B \\∠ DAE=∠ BAC（公共角）\end{cases}$
$\therefore △ DAE ∽ △ BAC$（两角对应相等的两个三角形相似），
$\therefore \frac{AE}{AC}=\frac{AD}{AB}=\frac{2}{5}$，
将$AE=8$代入得$\frac{8}{AC}=\frac{2}{5}$，
解得$AC=8×\frac{5}{2}=20$。
【答案】
（1）$△ ADF ∽ △ ABG$，证明成立；
（2）$\boxed{20}$
【知识点】
相似三角形的判定、相似三角形的性质、比例的基本性质
【点评】
本题考查相似三角形的综合应用，解题关键是灵活转换乘积式为比例式，结合角的关系判定相似，再利用相似的性质建立比例关系求解线段，解题时可直接沿用前一小问的结论简化推导。
【难度系数】
0.7
14 如图，已知：在$△ ABC$中，$BC=BA$，在$△ ADE$中，$DE=DA$，$D$是边$BC$上一点，$∠ EDC=∠ BAD$，$AC$与$DE$交于点$O$，$F$、$G$分别是边$DE$、$BC$上的中点。
（1）求证：$AF · AC=AG · AE$。
（2）求证：$2DF · OE=OA · CE$。
（1）求证：$AF · AC=AG · AE$。
（2）求证：$2DF · OE=OA · CE$。
答案
14. (1) $\because ∠ADC=∠EDC+∠ADE=∠B+∠BAD$，$∠EDC=∠BAD$，$\therefore ∠ADE=∠B$.
$\because BC=BA$，$DE=DA$，$\therefore \frac{AD}{AB}=\frac{DE}{BC}$. $\therefore △ADE∽△ABC$.
$\because F、G$分别是边$DE、BC$上的中点，$\therefore \frac{AF}{AG}=\frac{AE}{AC}$. $\therefore AF· AC=AG· AE$.
(2) $\because △ADE∽△ABC$，$\therefore ∠DAE=∠BAC$.
$\therefore ∠DAE-∠DAO=∠BAC-∠DAO$，即$∠EAC=∠BAD$.
$\because ∠EDC=∠BAD$，$\therefore ∠EAC=∠EDC$.
$\because ∠AOE=∠DOC$，$\therefore △AOE∽△DOC$.
$\therefore \frac{OA}{OD}=\frac{OE}{OC}$.
$\because ∠AOD=∠COE$，$\therefore △AOD∽△EOC$.
$\therefore \frac{AD}{EC}=\frac{OA}{OE}$. $\therefore AD· OE=OA· CE$.
$\because F$是边$DE$上的中点，$\therefore DE=2DF$.
$\because DE=AD$，$\therefore AD=2DF$.
$\therefore 2DF· OE=OA· CE$.
$\because BC=BA$，$DE=DA$，$\therefore \frac{AD}{AB}=\frac{DE}{BC}$. $\therefore △ADE∽△ABC$.
$\because F、G$分别是边$DE、BC$上的中点，$\therefore \frac{AF}{AG}=\frac{AE}{AC}$. $\therefore AF· AC=AG· AE$.
(2) $\because △ADE∽△ABC$，$\therefore ∠DAE=∠BAC$.
$\therefore ∠DAE-∠DAO=∠BAC-∠DAO$，即$∠EAC=∠BAD$.
$\because ∠EDC=∠BAD$，$\therefore ∠EAC=∠EDC$.
$\because ∠AOE=∠DOC$，$\therefore △AOE∽△DOC$.
$\therefore \frac{OA}{OD}=\frac{OE}{OC}$.
$\because ∠AOD=∠COE$，$\therefore △AOD∽△EOC$.
$\therefore \frac{AD}{EC}=\frac{OA}{OE}$. $\therefore AD· OE=OA· CE$.
$\because F$是边$DE$上的中点，$\therefore DE=2DF$.
$\because DE=AD$，$\therefore AD=2DF$.
$\therefore 2DF· OE=OA· CE$.
解析
【分析】
（1）要证明等积式$AF · AC=AG · AE$，可先转化为比例式$\frac{AF}{AG}=\frac{AE}{AC}$，只需证明两组线段所在的三角形相似即可。首先利用三角形外角性质，结合已知$∠EDC=∠BAD$推导出$△ ADE$和$△ ABC$的顶角相等，再结合两个三角形均为等腰三角形，可证$△ ADE∽△ ABC$；最后根据相似三角形对应中线的比等于相似比，得到所需比例式，交叉相乘即可得证。
（2）要证明$2DF · OE=OA · CE$，结合F是DE中点、$DE=DA$的条件，可先转化为证明$AD·OE=OA·CE$，即证$\frac{AD}{CE}=\frac{OA}{OE}$。先利用第一问的相似结论得到角相等，推导出$∠EAC=∠EDC$，结合对顶角相等先证$△ AOE∽△ DOC$，得到对应边成比例后，再结合对顶角相等证$△ AOD∽△ EOC$，即可得到$\frac{AD}{EC}=\frac{OA}{OE}$，最后代入$AD=2DF$即可得证。
【解析】
（1）证明：
∵ $∠ADC=∠EDC+∠ADE=∠B+∠BAD$，且$∠EDC=∠BAD$，
∴ $∠ADE=∠B$。
∵ $BC=BA$，$DE=DA$，
∴ $\frac{AD}{AB}=\frac{DE}{BC}$，
∴ $△ADE∽△ABC$。
∵ F、G分别是边DE、BC上的中点，AF是$△ ADE$的中线，AG是$△ ABC$的中线，
∴ $\frac{AF}{AG}=\frac{AE}{AC}$，
∴ $AF· AC=AG· AE$。
（2）证明：
∵ $△ADE∽△ABC$，
∴ $∠DAE=∠BAC$，
∴ $∠DAE-∠DAO=∠BAC-∠DAO$，即$∠EAC=∠BAD$。
∵ $∠EDC=∠BAD$，
∴ $∠EAC=∠EDC$。
又
∵ $∠AOE=∠DOC$，
∴ $△AOE∽△DOC$，
∴ $\frac{OA}{OD}=\frac{OE}{OC}$。
又
∵ $∠AOD=∠COE$，
∴ $△AOD∽△EOC$，
∴ $\frac{AD}{EC}=\frac{OA}{OE}$，即$AD· OE=OA· CE$。
∵ F是边DE上的中点，
∴ $DE=2DF$，
又
∵ $DE=AD$，
∴ $AD=2DF$，
代入得$2DF· OE=OA· CE$。
【答案】
（1）$AF · AC=AG · AE$得证；
（2）$2DF · OE=OA · CE$得证。
【知识点】
相似三角形的判定与性质、等腰三角形的性质、三角形外角的性质
【点评】
本题是相似三角形的综合应用题，解题关键是结合已知角的关系推导三角形相似，灵活转换等积式和比例式，同时需要熟练运用相似三角形对应线段比等于相似比的性质，对逻辑推理能力有一定要求。
【难度系数】
0.6
（1）要证明等积式$AF · AC=AG · AE$，可先转化为比例式$\frac{AF}{AG}=\frac{AE}{AC}$，只需证明两组线段所在的三角形相似即可。首先利用三角形外角性质，结合已知$∠EDC=∠BAD$推导出$△ ADE$和$△ ABC$的顶角相等，再结合两个三角形均为等腰三角形，可证$△ ADE∽△ ABC$；最后根据相似三角形对应中线的比等于相似比，得到所需比例式，交叉相乘即可得证。
（2）要证明$2DF · OE=OA · CE$，结合F是DE中点、$DE=DA$的条件，可先转化为证明$AD·OE=OA·CE$，即证$\frac{AD}{CE}=\frac{OA}{OE}$。先利用第一问的相似结论得到角相等，推导出$∠EAC=∠EDC$，结合对顶角相等先证$△ AOE∽△ DOC$，得到对应边成比例后，再结合对顶角相等证$△ AOD∽△ EOC$，即可得到$\frac{AD}{EC}=\frac{OA}{OE}$，最后代入$AD=2DF$即可得证。
【解析】
（1）证明：
∵ $∠ADC=∠EDC+∠ADE=∠B+∠BAD$，且$∠EDC=∠BAD$，
∴ $∠ADE=∠B$。
∵ $BC=BA$，$DE=DA$，
∴ $\frac{AD}{AB}=\frac{DE}{BC}$，
∴ $△ADE∽△ABC$。
∵ F、G分别是边DE、BC上的中点，AF是$△ ADE$的中线，AG是$△ ABC$的中线，
∴ $\frac{AF}{AG}=\frac{AE}{AC}$，
∴ $AF· AC=AG· AE$。
（2）证明：
∵ $△ADE∽△ABC$，
∴ $∠DAE=∠BAC$，
∴ $∠DAE-∠DAO=∠BAC-∠DAO$，即$∠EAC=∠BAD$。
∵ $∠EDC=∠BAD$，
∴ $∠EAC=∠EDC$。
又
∵ $∠AOE=∠DOC$，
∴ $△AOE∽△DOC$，
∴ $\frac{OA}{OD}=\frac{OE}{OC}$。
又
∵ $∠AOD=∠COE$，
∴ $△AOD∽△EOC$，
∴ $\frac{AD}{EC}=\frac{OA}{OE}$，即$AD· OE=OA· CE$。
∵ F是边DE上的中点，
∴ $DE=2DF$，
又
∵ $DE=AD$，
∴ $AD=2DF$，
代入得$2DF· OE=OA· CE$。
【答案】
（1）$AF · AC=AG · AE$得证；
（2）$2DF · OE=OA · CE$得证。
【知识点】
相似三角形的判定与性质、等腰三角形的性质、三角形外角的性质
【点评】
本题是相似三角形的综合应用题，解题关键是结合已知角的关系推导三角形相似，灵活转换等积式和比例式，同时需要熟练运用相似三角形对应线段比等于相似比的性质，对逻辑推理能力有一定要求。
【难度系数】
0.6
