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一、选择题
1. 如图，已知在$Rt△ ABC$中，$∠ ABC=90°$，正方形$BMGF$和正方形$DENF$的边长分别为3和2，那么边$BC$的长为 （
A.4.5；
B.5.5；
C.6；
D.7.5.
1. 如图，已知在$Rt△ ABC$中，$∠ ABC=90°$，正方形$BMGF$和正方形$DENF$的边长分别为3和2，那么边$BC$的长为 （
A
）A.4.5；
B.5.5；
C.6；
D.7.5.
答案
1. A.
解析
【分析】
本题考查正方形性质与相似三角形的综合应用。解题时先利用正方形的边互相平行且垂直的性质，得到与Rt△ABC的直角边平行的线段，从而证明得到相似三角形，再根据相似三角形对应边成比例的性质列方程，求解即可得到BC的长度。
【解析】
解：
∵四边形BMGF和DENF都是正方形，
∴各内角均为90°，对边平行，可得GF//BC，EN//AB，∠AGF=∠CNE=∠B=90°，
∴△AGF∽△ABC，△CNE∽△CBA。
结合正方形边长为3和2，设BC的长度为x，AB的长度为y，根据相似三角形对应边成比例列得关系式，联立消去y后求解，可得x=4.5。
【答案】
A
【知识点】
正方形的性质；相似三角形的判定与性质
【点评】
本题是相似三角形的常规应用题型，解题关键是准确找到相似三角形，明确对应边的比例关系，计算时注意避免出错。
【难度系数】
0.65
本题考查正方形性质与相似三角形的综合应用。解题时先利用正方形的边互相平行且垂直的性质，得到与Rt△ABC的直角边平行的线段，从而证明得到相似三角形，再根据相似三角形对应边成比例的性质列方程，求解即可得到BC的长度。
【解析】
解：
∵四边形BMGF和DENF都是正方形，
∴各内角均为90°，对边平行，可得GF//BC，EN//AB，∠AGF=∠CNE=∠B=90°，
∴△AGF∽△ABC，△CNE∽△CBA。
结合正方形边长为3和2，设BC的长度为x，AB的长度为y，根据相似三角形对应边成比例列得关系式，联立消去y后求解，可得x=4.5。
【答案】
A
【知识点】
正方形的性质；相似三角形的判定与性质
【点评】
本题是相似三角形的常规应用题型，解题关键是准确找到相似三角形，明确对应边的比例关系，计算时注意避免出错。
【难度系数】
0.65
2. 如图，在$\mathrm{Rt}△ ABC$中，$∠ BAC=90°$，斜边$BC$上的高$AH=3$，矩形$DEFG$的边$DE$在边$BC$上，顶点$G$、$F$分别在边$AB$、$AC$上，如果$GF$正好经过$△ ABC$的重心，那么$BD· EC$的积为（
A.$4$；
B.$1$；
C.$\dfrac{16}{25}$；
D.$\dfrac{9}{25}$。
B
）A.$4$；
B.$1$；
C.$\dfrac{16}{25}$；
D.$\dfrac{9}{25}$。
答案
2. B.
解析
【分析】
解题时先利用三角形重心的性质得到矩形的高，再通过相似三角形得到BD、EC和BH、HC的关系，最后结合直角三角形射影定理整体计算BD·EC的积。第一步：重心分中线（本题中高AH同时是对应中线所在线段）的比为2:1，结合GF//BC可得△AGF与△ABC的相似比，求出矩形的边DG、EF的长度；第二步：通过公共角和直角证明△BDG∽△BHA、△EFC∽△AHC，推导BD、EC的表达式；第三步：利用射影定理得到BH·HC的值，代入乘积式计算即可。
【解析】
1. 求矩形的高：
△ABC的重心在高AH上，且重心分AH的比为$AG:GH=2:1$。
∵四边形DEFG是矩形，
∴$GF// BC$，则$△ AGF ∽ △ ABC$，相似比等于对应高的比$\frac{2}{3}$，因此矩形的高$DG=EF=GH=\frac{1}{3}AH=\frac{1}{3}×3=1$。
2. 证明相似推导边的关系：
∵$DG⊥ BC$，$AH⊥ BC$，∠B为公共角，
∴$△ BDG ∽ △ BHA$，得$\frac{BD}{BH}=\frac{DG}{AH}=\frac{1}{3}$，即$BD=\frac{BH}{3}$。
同理，$EF⊥ BC$，∠C为公共角，
∴$△ EFC ∽ △ AHC$，得$\frac{EC}{HC}=\frac{EF}{AH}=\frac{1}{3}$，即$EC=\frac{HC}{3}$。
3. 结合射影定理计算：
在$Rt△ ABC$中，$AH⊥ BC$，由射影定理得$AH^2=BH· HC$，即$BH· HC=3^2=9$。
因此$BD· EC=\frac{BH}{3}·\frac{HC}{3}=\frac{BH· HC}{9}=\frac{9}{9}=1$。
【答案】
B
【知识点】
相似三角形的性质，重心的性质，射影定理
【点评】
本题是相似三角形的综合应用题，核心是通过重心性质建立矩形边长和已知高的关系，再利用相似三角形转化所求边，最后用射影定理整体求值，避免了单独计算各段边长的繁琐。
【难度系数】
0.6
解题时先利用三角形重心的性质得到矩形的高，再通过相似三角形得到BD、EC和BH、HC的关系，最后结合直角三角形射影定理整体计算BD·EC的积。第一步：重心分中线（本题中高AH同时是对应中线所在线段）的比为2:1，结合GF//BC可得△AGF与△ABC的相似比，求出矩形的边DG、EF的长度；第二步：通过公共角和直角证明△BDG∽△BHA、△EFC∽△AHC，推导BD、EC的表达式；第三步：利用射影定理得到BH·HC的值，代入乘积式计算即可。
【解析】
1. 求矩形的高：
△ABC的重心在高AH上，且重心分AH的比为$AG:GH=2:1$。
∵四边形DEFG是矩形，
∴$GF// BC$，则$△ AGF ∽ △ ABC$，相似比等于对应高的比$\frac{2}{3}$，因此矩形的高$DG=EF=GH=\frac{1}{3}AH=\frac{1}{3}×3=1$。
2. 证明相似推导边的关系：
∵$DG⊥ BC$，$AH⊥ BC$，∠B为公共角，
∴$△ BDG ∽ △ BHA$，得$\frac{BD}{BH}=\frac{DG}{AH}=\frac{1}{3}$，即$BD=\frac{BH}{3}$。
同理，$EF⊥ BC$，∠C为公共角，
∴$△ EFC ∽ △ AHC$，得$\frac{EC}{HC}=\frac{EF}{AH}=\frac{1}{3}$，即$EC=\frac{HC}{3}$。
3. 结合射影定理计算：
在$Rt△ ABC$中，$AH⊥ BC$，由射影定理得$AH^2=BH· HC$，即$BH· HC=3^2=9$。
因此$BD· EC=\frac{BH}{3}·\frac{HC}{3}=\frac{BH· HC}{9}=\frac{9}{9}=1$。
【答案】
B
【知识点】
相似三角形的性质，重心的性质，射影定理
【点评】
本题是相似三角形的综合应用题，核心是通过重心性质建立矩形边长和已知高的关系，再利用相似三角形转化所求边，最后用射影定理整体求值，避免了单独计算各段边长的繁琐。
【难度系数】
0.6
3. 如图，已知在矩形ABCD中，E是边AD的中点，BE⊥AC，交AC于点F。根据上述条件，给出以下两个结论：①$\frac{C_{△ ABF}}{C_{△ AEF}}=\sqrt{2}$；②$\frac{S_{△ AEF}}{S_{△ ACD}}=\frac{1}{6}$。对于结论①和②，下列说法中，正确的是（
A.①正确，②错误；
B.①错误，②正确；
C.①和②都正确；
D.①和②都错误。
AC
C
）A.①正确，②错误；
B.①错误，②正确；
C.①和②都正确；
D.①和②都错误。
AC
答案
3. C.
解析
【分析】
解题时先结合矩形的性质找相似三角形：第一步，由矩形对边平行可证△AEF∽△CBF，结合E是AD中点得相似比为1:2，推导出EF:BF=1:2；第二步，由BE⊥AC利用同角的余角相等证△ABF∽△EAF，根据相似三角形周长比等于相似比判断结论①；第三步，设△AEF面积为参数，结合相似三角形面积比等于相似比的平方求出相关三角形面积，再利用矩形对角线分矩形为两个面积相等的三角形，判断结论②。
【解析】
解：
∵四边形ABCD是矩形，
∴AD//BC，AD=BC，且矩形对角线分得的△ACD与△ABC面积相等。
∵E是AD的中点，
∴$AE=\frac{1}{2}AD=\frac{1}{2}BC$。
①
∵AD//BC，
∴∠EAF=∠BCF，∠AEF=∠CBF，
∴$△ AEF ∽ △ CBF$，相似比为$\frac{AE}{BC}=\frac{1}{2}$，
∴$\frac{EF}{BF}=\frac{AF}{FC}=\frac{1}{2}$，即BF=2EF。
∵BE⊥AC，
∴∠AFE=∠AFB=90°，
∵∠AEF+∠EAF=90°，∠BAF+∠EAF=90°，
∴∠AEF=∠BAF，
∴$△ ABF ∽ △ EAF$。
设EF=a，则BF=2a，由相似性质得$AF^2=EF· BF=2a^2$，即$AF=\sqrt{2}a$，
∴两三角形相似比为$\frac{BF}{AF}=\frac{2a}{\sqrt{2}a}=\sqrt{2}$，
∵相似三角形周长比等于相似比，
∴$\frac{C_{△ ABF}}{C_{△ AEF}}=\sqrt{2}$，结论①正确。
② 设$S_{△ AEF}=S$，
∵$△ ABF$与$△ AEF$相似比为$\sqrt{2}$，
∴面积比为$(\sqrt{2})^2=2$，即$S_{△ ABF}=2S$，
∵$△ AEF ∽ △ CBF$相似比为$\frac{1}{2}$，
∴面积比为$(\frac{1}{2})^2=\frac{1}{4}$，即$S_{△ CBF}=4S$，
∴$S_{△ ABC}=S_{△ ABF}+S_{△ CBF}=2S+4S=6S$，
∵$S_{△ ACD}=S_{△ ABC}=6S$，
∴$\frac{S_{△ AEF}}{S_{△ ACD}}=\frac{S}{6S}=\frac{1}{6}$，结论②正确。
综上①②都正确，故选C。
【答案】
C
【知识点】
相似三角形的判定与性质，矩形的性质
【点评】
本题是相似三角形的典型综合题，核心是通过角的等量关系找到多组相似三角形，利用相似的性质推导周长、面积的比例关系，对学生的逻辑推理能力有一定要求。
【难度系数】
0.6
解题时先结合矩形的性质找相似三角形：第一步，由矩形对边平行可证△AEF∽△CBF，结合E是AD中点得相似比为1:2，推导出EF:BF=1:2；第二步，由BE⊥AC利用同角的余角相等证△ABF∽△EAF，根据相似三角形周长比等于相似比判断结论①；第三步，设△AEF面积为参数，结合相似三角形面积比等于相似比的平方求出相关三角形面积，再利用矩形对角线分矩形为两个面积相等的三角形，判断结论②。
【解析】
解：
∵四边形ABCD是矩形，
∴AD//BC，AD=BC，且矩形对角线分得的△ACD与△ABC面积相等。
∵E是AD的中点，
∴$AE=\frac{1}{2}AD=\frac{1}{2}BC$。
①
∵AD//BC，
∴∠EAF=∠BCF，∠AEF=∠CBF，
∴$△ AEF ∽ △ CBF$，相似比为$\frac{AE}{BC}=\frac{1}{2}$，
∴$\frac{EF}{BF}=\frac{AF}{FC}=\frac{1}{2}$，即BF=2EF。
∵BE⊥AC，
∴∠AFE=∠AFB=90°，
∵∠AEF+∠EAF=90°，∠BAF+∠EAF=90°，
∴∠AEF=∠BAF，
∴$△ ABF ∽ △ EAF$。
设EF=a，则BF=2a，由相似性质得$AF^2=EF· BF=2a^2$，即$AF=\sqrt{2}a$，
∴两三角形相似比为$\frac{BF}{AF}=\frac{2a}{\sqrt{2}a}=\sqrt{2}$，
∵相似三角形周长比等于相似比，
∴$\frac{C_{△ ABF}}{C_{△ AEF}}=\sqrt{2}$，结论①正确。
② 设$S_{△ AEF}=S$，
∵$△ ABF$与$△ AEF$相似比为$\sqrt{2}$，
∴面积比为$(\sqrt{2})^2=2$，即$S_{△ ABF}=2S$，
∵$△ AEF ∽ △ CBF$相似比为$\frac{1}{2}$，
∴面积比为$(\frac{1}{2})^2=\frac{1}{4}$，即$S_{△ CBF}=4S$，
∴$S_{△ ABC}=S_{△ ABF}+S_{△ CBF}=2S+4S=6S$，
∵$S_{△ ACD}=S_{△ ABC}=6S$，
∴$\frac{S_{△ AEF}}{S_{△ ACD}}=\frac{S}{6S}=\frac{1}{6}$，结论②正确。
综上①②都正确，故选C。
【答案】
C
【知识点】
相似三角形的判定与性质，矩形的性质
【点评】
本题是相似三角形的典型综合题，核心是通过角的等量关系找到多组相似三角形，利用相似的性质推导周长、面积的比例关系，对学生的逻辑推理能力有一定要求。
【难度系数】
0.6
二、填空题
4. 如图，AB、CD相交于点O，OC=2，OD=3，AC//BD，EF是△ODB的中位线。如果EF=3，那么AC的长为
4. 如图，AB、CD相交于点O，OC=2，OD=3，AC//BD，EF是△ODB的中位线。如果EF=3，那么AC的长为
4
。答案
4. 4.
解析
【分析】
解题时可按以下思路思考：首先看到EF是△ODB的中位线，根据三角形中位线定理，可先求出BD的长度；再由AC//BD的条件，结合对顶角相等，可证明△AOC和△BOD相似，最后利用相似三角形对应边成比例的性质，代入已知边长即可算出AC的长。
【解析】
1. 求BD的长度：
∵EF是△ODB的中位线，根据三角形中位线定理，中位线长度等于第三边的一半，
∴BD=2EF=2×3=6。
2. 证明△AOC∽△BOD：
∵AC//BD，
∴∠A=∠B，∠C=∠D（两直线平行，内错角相等），
又
∵∠AOC=∠BOD（对顶角相等），
∴△AOC∽△BOD（两角分别相等的两个三角形相似）。
3. 计算AC的长度：
根据相似三角形对应边成比例，可得$\frac{AC}{BD}=\frac{OC}{OD}$，
代入OC=2，OD=3，BD=6，得$\frac{AC}{6}=\frac{2}{3}$，
解得$AC=6×\frac{2}{3}=4$。
【答案】
4
【知识点】
三角形中位线定理；相似三角形的判定与性质
【点评】
本题属于几何基础综合题，解题逻辑清晰，先通过中位线求出未知边BD的长度，再结合平行线的性质得到相似三角形，利用相似性质即可求解，是相似三角形章节的常规考查题型。
【难度系数】
0.7
解题时可按以下思路思考：首先看到EF是△ODB的中位线，根据三角形中位线定理，可先求出BD的长度；再由AC//BD的条件，结合对顶角相等，可证明△AOC和△BOD相似，最后利用相似三角形对应边成比例的性质，代入已知边长即可算出AC的长。
【解析】
1. 求BD的长度：
∵EF是△ODB的中位线，根据三角形中位线定理，中位线长度等于第三边的一半，
∴BD=2EF=2×3=6。
2. 证明△AOC∽△BOD：
∵AC//BD，
∴∠A=∠B，∠C=∠D（两直线平行，内错角相等），
又
∵∠AOC=∠BOD（对顶角相等），
∴△AOC∽△BOD（两角分别相等的两个三角形相似）。
3. 计算AC的长度：
根据相似三角形对应边成比例，可得$\frac{AC}{BD}=\frac{OC}{OD}$，
代入OC=2，OD=3，BD=6，得$\frac{AC}{6}=\frac{2}{3}$，
解得$AC=6×\frac{2}{3}=4$。
【答案】
4
【知识点】
三角形中位线定理；相似三角形的判定与性质
【点评】
本题属于几何基础综合题，解题逻辑清晰，先通过中位线求出未知边BD的长度，再结合平行线的性质得到相似三角形，利用相似性质即可求解，是相似三角形章节的常规考查题型。
【难度系数】
0.7
