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5. 如图，已知在梯形ABCD中，$AD // BC$，$\frac{S_{△ ABD}}{S_{△ BCD}}=\frac{1}{2}$，那么$\frac{OA}{OC}$的值为
$\frac{1}{2}$
。答案
5. $\frac{1}{2}$.
解析
【分析】
第一步，先分析△ABD和△BCD的面积关系：因为AD//BC，两个三角形的高都等于梯形的高，高相等时三角形面积比等于底边长的比，由此可求出AD与BC的比值；第二步，由AD//BC可证△AOD与△COB相似，根据相似三角形对应边成比例，即可得到OA与OC的比值。
【解析】
∵AD//BC，
∴△ABD中AD边上的高与△BCD中BC边上的高相等，均等于梯形ABCD的高。
根据三角形面积公式$S=\frac{1}{2}ah$，高相等时面积比等于底的比，
∴$\frac{S_{△ ABD}}{S_{△ BCD}}=\frac{AD}{BC}=\frac{1}{2}$。
又
∵AD//BC，
∴∠OAD=∠OCB，∠ODA=∠OBC，
∴△AOD∽△COB（两角分别相等的两个三角形相似），
∴$\frac{OA}{OC}=\frac{AD}{BC}=\frac{1}{2}$。
【答案】
$\frac{1}{2}$
【知识点】
1. 三角形面积计算
2. 相似三角形的判定与性质
3. 平行线的性质
【点评】
本题属于基础题，解题的关键是先利用等高三角形的面积比等于对应底的比得到梯形上下底的比值，再结合相似三角形的性质得到所求线段的比，考查了学生对基础性质的应用能力。
【难度系数】
0.75
第一步，先分析△ABD和△BCD的面积关系：因为AD//BC，两个三角形的高都等于梯形的高，高相等时三角形面积比等于底边长的比，由此可求出AD与BC的比值；第二步，由AD//BC可证△AOD与△COB相似，根据相似三角形对应边成比例，即可得到OA与OC的比值。
【解析】
∵AD//BC，
∴△ABD中AD边上的高与△BCD中BC边上的高相等，均等于梯形ABCD的高。
根据三角形面积公式$S=\frac{1}{2}ah$，高相等时面积比等于底的比，
∴$\frac{S_{△ ABD}}{S_{△ BCD}}=\frac{AD}{BC}=\frac{1}{2}$。
又
∵AD//BC，
∴∠OAD=∠OCB，∠ODA=∠OBC，
∴△AOD∽△COB（两角分别相等的两个三角形相似），
∴$\frac{OA}{OC}=\frac{AD}{BC}=\frac{1}{2}$。
【答案】
$\frac{1}{2}$
【知识点】
1. 三角形面积计算
2. 相似三角形的判定与性质
3. 平行线的性质
【点评】
本题属于基础题，解题的关键是先利用等高三角形的面积比等于对应底的比得到梯形上下底的比值，再结合相似三角形的性质得到所求线段的比，考查了学生对基础性质的应用能力。
【难度系数】
0.75
6. 如图，在$△ ABC$中，正方形$DEFG$的边$DE$在边$BC$上，点$G$、$F$分别在边$AB$、$AC$上，$AH$是边$BC$上的高，$AH$与$GF$相交于点$O$，已知$AH=8$，$BC=10$，那么$GF=$
$\frac{40}{9}$
。答案
6. $\frac{40}{9}$.
解析
【分析】
首先根据正方形的性质得到GF//BC，可判定△AGF与△ABC相似；再结合相似三角形的性质：相似三角形对应高的比等于相似比，设GF的长度为x，用含x的式子表示出△AGF的高AO，代入相似比列方程求解即可得到GF的长度。
【解析】
∵四边形DEFG是正方形，
∴GF//DE，即GF//BC，
∴△AGF∽△ABC。
∵AH是△ABC中BC边上的高，且GF//BC，
∴AO⊥GF，即AO是△AGF中GF边上的高。
根据相似三角形的性质，相似三角形对应高的比等于相似比，可得：
$\frac{GF}{BC}=\frac{AO}{AH}$
设正方形边长GF=x，则OH=x，因此AO=AH-OH=8-x，将AH=8、BC=10代入上式得：
$\frac{x}{10}=\frac{8-x}{8}$
交叉相乘得：$8x=10(8-x)$
整理得：$18x=80$
解得：$x=\frac{40}{9}$
【答案】
$\frac{40}{9}$
【知识点】
相似三角形的判定与性质；正方形的性质
【点评】
本题属于相似三角形的基础应用题，核心是利用三角形内接正方形的平行关系得到相似三角形，再结合相似三角形对应高的比等于相似比建立方程求解，是相似三角形实际应用的常见题型。
【难度系数】
0.7
首先根据正方形的性质得到GF//BC，可判定△AGF与△ABC相似；再结合相似三角形的性质：相似三角形对应高的比等于相似比，设GF的长度为x，用含x的式子表示出△AGF的高AO，代入相似比列方程求解即可得到GF的长度。
【解析】
∵四边形DEFG是正方形，
∴GF//DE，即GF//BC，
∴△AGF∽△ABC。
∵AH是△ABC中BC边上的高，且GF//BC，
∴AO⊥GF，即AO是△AGF中GF边上的高。
根据相似三角形的性质，相似三角形对应高的比等于相似比，可得：
$\frac{GF}{BC}=\frac{AO}{AH}$
设正方形边长GF=x，则OH=x，因此AO=AH-OH=8-x，将AH=8、BC=10代入上式得：
$\frac{x}{10}=\frac{8-x}{8}$
交叉相乘得：$8x=10(8-x)$
整理得：$18x=80$
解得：$x=\frac{40}{9}$
【答案】
$\frac{40}{9}$
【知识点】
相似三角形的判定与性质；正方形的性质
【点评】
本题属于相似三角形的基础应用题，核心是利用三角形内接正方形的平行关系得到相似三角形，再结合相似三角形对应高的比等于相似比建立方程求解，是相似三角形实际应用的常见题型。
【难度系数】
0.7
7. 如图，已知在四边形ABCD中，对角线AC和BD相交于点O，∠BAC=∠BDC. 如果∠ADB=52°，那么∠ACB=
$52°$
.答案
7. $52°$.
解析
【分析】
解题时先从已知的等角∠BAC=∠BDC入手，结合对顶角相等，先判定△AOB与△DOC相似，得到对应边成比例，再将比例式变形，结合另一组对顶角相等，判定△AOD与△BOC相似，最后利用相似三角形对应角相等，即可求出∠ACB的度数。
【解析】
解：
∵ ∠BAC = ∠BDC，∠AOB = ∠DOC（对顶角相等）
∴ △AOB ∽ △DOC（两角分别相等的两个三角形相似）
∴ $\frac{AO}{DO}=\frac{BO}{CO}$，变形可得 $\frac{AO}{BO}=\frac{DO}{CO}$
又
∵ ∠AOD = ∠BOC（对顶角相等）
∴ △AOD ∽ △BOC（两边对应成比例且夹角相等的两个三角形相似）
∴ ∠ADB = ∠ACB
已知∠ADB = 52°，因此∠ACB = 52°
【答案】
$52°$
【知识点】
相似三角形的判定、相似三角形的性质
【点评】
本题是相似三角形的基础综合题，解题的关键是灵活运用相似三角形的判定定理，结合对顶角相等的隐含条件，通过两次相似推导得到所求角和已知角相等，需要熟练掌握相似的判定和性质。
【难度系数】
0.7
解题时先从已知的等角∠BAC=∠BDC入手，结合对顶角相等，先判定△AOB与△DOC相似，得到对应边成比例，再将比例式变形，结合另一组对顶角相等，判定△AOD与△BOC相似，最后利用相似三角形对应角相等，即可求出∠ACB的度数。
【解析】
解：
∵ ∠BAC = ∠BDC，∠AOB = ∠DOC（对顶角相等）
∴ △AOB ∽ △DOC（两角分别相等的两个三角形相似）
∴ $\frac{AO}{DO}=\frac{BO}{CO}$，变形可得 $\frac{AO}{BO}=\frac{DO}{CO}$
又
∵ ∠AOD = ∠BOC（对顶角相等）
∴ △AOD ∽ △BOC（两边对应成比例且夹角相等的两个三角形相似）
∴ ∠ADB = ∠ACB
已知∠ADB = 52°，因此∠ACB = 52°
【答案】
$52°$
【知识点】
相似三角形的判定、相似三角形的性质
【点评】
本题是相似三角形的基础综合题，解题的关键是灵活运用相似三角形的判定定理，结合对顶角相等的隐含条件，通过两次相似推导得到所求角和已知角相等，需要熟练掌握相似的判定和性质。
【难度系数】
0.7
8. 如图，已知在$△ ABC$中，$∠ C=90°$，$AB=5$，$AC=2BC$，正方形$DEFG$的顶点$G$、$F$分别在边$AC$、$BC$上，点$D$、$E$在斜边$AB$上，那么正方形$DEFG$的边长为
$\frac{10}{7}$
。答案
8. $\frac{10}{7}$.
解析
【分析】
解题思路可分为三步：①先利用勾股定理求出Rt△ABC的两条直角边长度，再通过面积法计算出斜边AB上的高；②根据正方形对边平行的性质可得GF//AB，进而推出△CGF∽△CAB；③设正方形边长为a，利用相似三角形对应高的比等于相似比列方程，求解即可得到正方形边长。
【解析】
解：设$BC=x$，由$AC=2BC$得$AC=2x$，
在$Rt△ ABC$中，$∠ C=90°$，由勾股定理得：
$AC^2+BC^2=AB^2$，代入$AB=5$得：
$(2x)^2+x^2=5^2$，解得$x=\sqrt{5}$（边长为正，舍去负根），
即$BC=\sqrt{5}$，$AC=2\sqrt{5}$。
过点$C$作$CH⊥ AB$于$H$，交$GF$于$M$，
由$△ ABC$面积公式：$S_{△ ABC}=\frac{1}{2}AC· BC=\frac{1}{2}AB· CH$，
代入数值：$\frac{1}{2}×2\sqrt{5}×\sqrt{5}=\frac{1}{2}×5× CH$，
计算得$CH=2$。
设正方形$DEFG$的边长为$a$，
∵四边形$DEFG$是正方形，
∴$GF// AB$，$GF=a$，$MH=a$，
∴$△ CGF∽△ CAB$，$CM=CH-MH=2-a$。
根据相似三角形对应高的比等于相似比，得：
$\frac{CM}{CH}=\frac{GF}{AB}$，即$\frac{2-a}{2}=\frac{a}{5}$，
解方程得：$5(2-a)=2a$，$10=7a$，$a=\frac{10}{7}$。
【答案】
$\frac{10}{7}$
【知识点】
勾股定理，相似三角形的性质，三角形面积计算
【点评】
本题是相似三角形实际应用的典型题型，解题核心是通过构造斜边上的高，利用相似比建立方程，同时结合了勾股定理、面积法等知识点，对学生的知识融合应用能力有一定要求。
【难度系数】
0.6
解题思路可分为三步：①先利用勾股定理求出Rt△ABC的两条直角边长度，再通过面积法计算出斜边AB上的高；②根据正方形对边平行的性质可得GF//AB，进而推出△CGF∽△CAB；③设正方形边长为a，利用相似三角形对应高的比等于相似比列方程，求解即可得到正方形边长。
【解析】
解：设$BC=x$，由$AC=2BC$得$AC=2x$，
在$Rt△ ABC$中，$∠ C=90°$，由勾股定理得：
$AC^2+BC^2=AB^2$，代入$AB=5$得：
$(2x)^2+x^2=5^2$，解得$x=\sqrt{5}$（边长为正，舍去负根），
即$BC=\sqrt{5}$，$AC=2\sqrt{5}$。
过点$C$作$CH⊥ AB$于$H$，交$GF$于$M$，
由$△ ABC$面积公式：$S_{△ ABC}=\frac{1}{2}AC· BC=\frac{1}{2}AB· CH$，
代入数值：$\frac{1}{2}×2\sqrt{5}×\sqrt{5}=\frac{1}{2}×5× CH$，
计算得$CH=2$。
设正方形$DEFG$的边长为$a$，
∵四边形$DEFG$是正方形，
∴$GF// AB$，$GF=a$，$MH=a$，
∴$△ CGF∽△ CAB$，$CM=CH-MH=2-a$。
根据相似三角形对应高的比等于相似比，得：
$\frac{CM}{CH}=\frac{GF}{AB}$，即$\frac{2-a}{2}=\frac{a}{5}$，
解方程得：$5(2-a)=2a$，$10=7a$，$a=\frac{10}{7}$。
【答案】
$\frac{10}{7}$
【知识点】
勾股定理，相似三角形的性质，三角形面积计算
【点评】
本题是相似三角形实际应用的典型题型，解题核心是通过构造斜边上的高，利用相似比建立方程，同时结合了勾股定理、面积法等知识点，对学生的知识融合应用能力有一定要求。
【难度系数】
0.6
9. 已知两个命题：①腰和腰上的高对应成比例的两个等腰三角形相似；②腰上的高和底边对应成比例的两个等腰三角形相似.这两个命题中，是真命题的为
②
.（填序号）答案
9. ②. 提示：对于命题①，如图，在△ABC中，D、E都是边BC上的点，AD=BD=CD，AE⊥CD，垂足为E，则△ABD、△ADC都是等腰三角形，此时满足$\frac{BD}{DC}=\frac{AE}{AE}=1$，但是△ABD与△ADC不相似，故命题①是假命题. 对于命题②，由两个等腰三角形腰上的高和底边对应成比例，得这两个等腰三角形的底角相等，所以这两个等腰三角形相似，故命题②是真命题.
解析
【分析】
要判断两个命题的真假，假命题可通过举反例验证，真命题需结合几何性质推导证明。对于命题①，可构造两个腰和腰上的高对应成比例但形状不同的等腰三角形判断；对于命题②，结合等腰三角形底角为锐角的特点，通过腰上的高与底边的比值推导底角的关系，再结合相似三角形的判定定理判断。
【解析】
1. 判断命题①：
如题图，在△ABC中，AD=BD=CD，AE⊥BC于E，则△ABD、△ADC均为等腰三角形。
△ABD的腰为BD、AD，腰BD上的高为AE；△ADC的腰为DC、AD，腰DC上的高也为AE。
此时腰的比$\frac{BD}{DC}=1$，腰上高的比$\frac{AE}{AE}=1$，满足腰和腰上的高对应成比例，但∠ADB+∠ADC=180°，∠ADB≠∠ADC，两个三角形的角不对应相等，故△ABD与△ADC不相似，因此命题①是假命题。
2. 判断命题②：
设两个等腰三角形分别为△ABC（AB=AC）和△A'B'C'（A'B'=A'C'），腰AB、A'B'上的高分别为$h$、$h'$，底边$BC=a$，$B'C'=a'$，已知$\frac{h}{h'}=\frac{a}{a'}$。
过C作CF⊥AB于F，则$CF=h$，在Rt△CFB中，$\sin B=\frac{CF}{BC}=\frac{h}{a}$；同理可得△A'B'C'中$\sin B'=\frac{h'}{a'}$。
由$\frac{h}{h'}=\frac{a}{a'}$得$\frac{h}{a}=\frac{h'}{a'}$，即$\sin B=\sin B'$。
因为等腰三角形的底角B、B'均为锐角，所以∠B=∠B'，两个等腰三角形底角对应相等，三个角均对应相等，故两个三角形相似，因此命题②是真命题。
【答案】
②
【知识点】
相似三角形的判定、等腰三角形的性质、命题真假判断
【点评】
本题需要结合等腰三角形和相似三角形的性质分析命题，解题时注意假命题可通过举反例快速判断，真命题要严格推导，同时要利用好等腰三角形底角为锐角的隐含条件，避免忽略三角形形状的差异导致判断错误。
【难度系数】
0.4
要判断两个命题的真假，假命题可通过举反例验证，真命题需结合几何性质推导证明。对于命题①，可构造两个腰和腰上的高对应成比例但形状不同的等腰三角形判断；对于命题②，结合等腰三角形底角为锐角的特点，通过腰上的高与底边的比值推导底角的关系，再结合相似三角形的判定定理判断。
【解析】
1. 判断命题①：
如题图，在△ABC中，AD=BD=CD，AE⊥BC于E，则△ABD、△ADC均为等腰三角形。
△ABD的腰为BD、AD，腰BD上的高为AE；△ADC的腰为DC、AD，腰DC上的高也为AE。
此时腰的比$\frac{BD}{DC}=1$，腰上高的比$\frac{AE}{AE}=1$，满足腰和腰上的高对应成比例，但∠ADB+∠ADC=180°，∠ADB≠∠ADC，两个三角形的角不对应相等，故△ABD与△ADC不相似，因此命题①是假命题。
2. 判断命题②：
设两个等腰三角形分别为△ABC（AB=AC）和△A'B'C'（A'B'=A'C'），腰AB、A'B'上的高分别为$h$、$h'$，底边$BC=a$，$B'C'=a'$，已知$\frac{h}{h'}=\frac{a}{a'}$。
过C作CF⊥AB于F，则$CF=h$，在Rt△CFB中，$\sin B=\frac{CF}{BC}=\frac{h}{a}$；同理可得△A'B'C'中$\sin B'=\frac{h'}{a'}$。
由$\frac{h}{h'}=\frac{a}{a'}$得$\frac{h}{a}=\frac{h'}{a'}$，即$\sin B=\sin B'$。
因为等腰三角形的底角B、B'均为锐角，所以∠B=∠B'，两个等腰三角形底角对应相等，三个角均对应相等，故两个三角形相似，因此命题②是真命题。
【答案】
②
【知识点】
相似三角形的判定、等腰三角形的性质、命题真假判断
【点评】
本题需要结合等腰三角形和相似三角形的性质分析命题，解题时注意假命题可通过举反例快速判断，真命题要严格推导，同时要利用好等腰三角形底角为锐角的隐含条件，避免忽略三角形形状的差异导致判断错误。
【难度系数】
0.4
10 如图，在四边形ABDC中，AD与BC交于点O，AC=BC，$∠ ACB=90°$，$AD⊥ BD$，垂足为D。如果$\frac{S_{△ AOB}}{S_{△ COD}}=\frac{25}{8}$，那么$\frac{BC}{CD}=$
(第10题)
$\frac{5}{4}$
。 (第10题)答案
10. $\frac{5}{4}$. 提示：由∠ACO=∠BDO，∠AOC=∠BOD，得△AOC∽△BOD，故$\frac{OA}{OB}=\frac{OC}{OD}$，所以△AOB∽△COD. 由$\frac{S_{△AOB}}{S_{△COD}}=\frac{25}{8}$，得$\frac{AB}{CD}=\sqrt{\frac{25}{8}}=\frac{5\sqrt{2}}{4}$，故$\frac{BC}{CD}=\frac{\frac{\sqrt{2}}{2}AB}{CD}=\frac{5}{4}$.
解析
【分析】
解题首先从已知的两个直角和对顶角入手，先证明△AOC和△BOD相似，得到对应边成比例；再利用得到的边的比例关系，结合对顶角相等证明△AOB和△COD相似，结合相似三角形面积比等于相似比的平方，求出AB与CD的比值；最后利用等腰直角三角形ABC中AB和BC的边长关系，代入化简即可得到BC与CD的比值。
【解析】
1. 证明$△ AOC ∽ △ BOD$：
∵ $∠ ACB=90°$，$AD ⊥ BD$，
∴ $∠ ACO=∠ BDO=90°$，
又
∵ $∠ AOC=∠ BOD$（对顶角相等），
∴ $△ AOC ∽ △ BOD$，可得$\frac{OA}{OB}=\frac{OC}{OD}$，即$\frac{OA}{OC}=\frac{OB}{OD}$。
2. 证明$△ AOB ∽ △ COD$：
∵ $∠ AOB=∠ COD$（对顶角相等），且$\frac{OA}{OC}=\frac{OB}{OD}$，
∴ $△ AOB ∽ △ COD$（两边对应成比例且夹角相等的两个三角形相似）。
3. 利用相似三角形性质求$AB$与$CD$的比：
∵ 相似三角形面积比等于相似比的平方，$\frac{S_{△ AOB}}{S_{△ COD}}=\frac{25}{8}$，
∴ $(\frac{AB}{CD})^2=\frac{25}{8}$，解得$\frac{AB}{CD}=\sqrt{\frac{25}{8}}=\frac{5\sqrt{2}}{4}$。
4. 结合等腰直角三角形性质求$\frac{BC}{CD}$：
在$Rt△ ACB$中，$AC=BC$，$∠ ACB=90°$，由勾股定理得$AB=\sqrt{AC^2+BC^2}=\sqrt{2}BC$，即$BC=\frac{\sqrt{2}}{2}AB$，
∴ $\frac{BC}{CD}=\frac{\frac{\sqrt{2}}{2}AB}{CD}=\frac{\sqrt{2}}{2}×\frac{AB}{CD}=\frac{\sqrt{2}}{2}×\frac{5\sqrt{2}}{4}=\frac{5}{4}$。
【答案】
$\frac{5}{4}$
【知识点】
相似三角形的判定、相似三角形的性质、等腰直角三角形的性质
【点评】
本题属于中等难度的几何综合题，核心是通过两次相似三角形的推导建立已知条件和所求线段比的关联，解题时要熟练运用相似三角形的判定定理和性质，同时注意等腰直角三角形三边关系的应用。
【难度系数】
0.6
解题首先从已知的两个直角和对顶角入手，先证明△AOC和△BOD相似，得到对应边成比例；再利用得到的边的比例关系，结合对顶角相等证明△AOB和△COD相似，结合相似三角形面积比等于相似比的平方，求出AB与CD的比值；最后利用等腰直角三角形ABC中AB和BC的边长关系，代入化简即可得到BC与CD的比值。
【解析】
1. 证明$△ AOC ∽ △ BOD$：
∵ $∠ ACB=90°$，$AD ⊥ BD$，
∴ $∠ ACO=∠ BDO=90°$，
又
∵ $∠ AOC=∠ BOD$（对顶角相等），
∴ $△ AOC ∽ △ BOD$，可得$\frac{OA}{OB}=\frac{OC}{OD}$，即$\frac{OA}{OC}=\frac{OB}{OD}$。
2. 证明$△ AOB ∽ △ COD$：
∵ $∠ AOB=∠ COD$（对顶角相等），且$\frac{OA}{OC}=\frac{OB}{OD}$，
∴ $△ AOB ∽ △ COD$（两边对应成比例且夹角相等的两个三角形相似）。
3. 利用相似三角形性质求$AB$与$CD$的比：
∵ 相似三角形面积比等于相似比的平方，$\frac{S_{△ AOB}}{S_{△ COD}}=\frac{25}{8}$，
∴ $(\frac{AB}{CD})^2=\frac{25}{8}$，解得$\frac{AB}{CD}=\sqrt{\frac{25}{8}}=\frac{5\sqrt{2}}{4}$。
4. 结合等腰直角三角形性质求$\frac{BC}{CD}$：
在$Rt△ ACB$中，$AC=BC$，$∠ ACB=90°$，由勾股定理得$AB=\sqrt{AC^2+BC^2}=\sqrt{2}BC$，即$BC=\frac{\sqrt{2}}{2}AB$，
∴ $\frac{BC}{CD}=\frac{\frac{\sqrt{2}}{2}AB}{CD}=\frac{\sqrt{2}}{2}×\frac{AB}{CD}=\frac{\sqrt{2}}{2}×\frac{5\sqrt{2}}{4}=\frac{5}{4}$。
【答案】
$\frac{5}{4}$
【知识点】
相似三角形的判定、相似三角形的性质、等腰直角三角形的性质
【点评】
本题属于中等难度的几何综合题，核心是通过两次相似三角形的推导建立已知条件和所求线段比的关联，解题时要熟练运用相似三角形的判定定理和性质，同时注意等腰直角三角形三边关系的应用。
【难度系数】
0.6
