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三、解答题
11. 如图，已知：在$△ ABC$中，$AB=AC$，点$D$在边$AC$上，点$E$在边$AC$的延长线上，$AC^2 = AD · AE$. 求证：$BC$平分$∠ DBE$.
11. 如图，已知：在$△ ABC$中，$AB=AC$，点$D$在边$AC$上，点$E$在边$AC$的延长线上，$AC^2 = AD · AE$. 求证：$BC$平分$∠ DBE$.
答案
11.
∵ AB=AC，AC²=AD·AE，
∴ AB²=AD·AE.
∴ $\frac{AD}{AB}=\frac{AB}{AE}$.
∵ ∠A=∠A，
∴ △ABD∽△AEB.
∴ ∠ABD=∠E.
∵ AB=AC，
∴ ∠ABC=∠ACB.
∵ ∠ABC=∠ABD+∠DBC，∠ACB=∠E+∠EBC，
∴ ∠DBC=∠EBC.
∴ BC平分∠DBE.
∵ AB=AC，AC²=AD·AE，
∴ AB²=AD·AE.
∴ $\frac{AD}{AB}=\frac{AB}{AE}$.
∵ ∠A=∠A，
∴ △ABD∽△AEB.
∴ ∠ABD=∠E.
∵ AB=AC，
∴ ∠ABC=∠ACB.
∵ ∠ABC=∠ABD+∠DBC，∠ACB=∠E+∠EBC，
∴ ∠DBC=∠EBC.
∴ BC平分∠DBE.
解析
【分析】
要证明BC平分∠DBE，本质是要证∠DBC=∠EBC。首先结合已知的AB=AC和AC²=AD·AE，可将AC替换为AB得到AB²=AD·AE，转化为比例式后结合公共角∠A就能证明△ABD∽△AEB，得到对应角∠ABD=∠E；再利用等腰三角形两底角相等的性质得到∠ABC=∠ACB，结合角的和差关系以及三角形外角的性质，通过等量代换即可推出∠DBC=∠EBC，完成证明。
【解析】
证明：
∵ AB=AC，$AC^2 = AD · AE$，
∴ $AB^2 = AD · AE$，
∴ $\frac{AD}{AB}=\frac{AB}{AE}$，
∵ ∠A=∠A，
∴ △ABD∽△AEB，
∴ ∠ABD=∠E，
∵ AB=AC，
∴ ∠ABC=∠ACB，
∵ ∠ABC=∠ABD+∠DBC，∠ACB=∠E+∠EBC，
∴ ∠ABD+∠DBC=∠E+∠EBC，
将∠ABD=∠E代入，得∠DBC=∠EBC，
∴ BC平分∠DBE。
【答案】
BC平分∠DBE，得证。
【知识点】
相似三角形的判定与性质，等腰三角形的性质，三角形外角性质
【点评】
本题属于几何基础证明题，解题的关键是通过等线段代换将乘积式转化为证明相似所需的比例式，再结合角的等量代换推导待证结论，需要熟练掌握相似三角形的判定条件和角的和差代换技巧。
【难度系数】
0.7
要证明BC平分∠DBE，本质是要证∠DBC=∠EBC。首先结合已知的AB=AC和AC²=AD·AE，可将AC替换为AB得到AB²=AD·AE，转化为比例式后结合公共角∠A就能证明△ABD∽△AEB，得到对应角∠ABD=∠E；再利用等腰三角形两底角相等的性质得到∠ABC=∠ACB，结合角的和差关系以及三角形外角的性质，通过等量代换即可推出∠DBC=∠EBC，完成证明。
【解析】
证明：
∵ AB=AC，$AC^2 = AD · AE$，
∴ $AB^2 = AD · AE$，
∴ $\frac{AD}{AB}=\frac{AB}{AE}$，
∵ ∠A=∠A，
∴ △ABD∽△AEB，
∴ ∠ABD=∠E，
∵ AB=AC，
∴ ∠ABC=∠ACB，
∵ ∠ABC=∠ABD+∠DBC，∠ACB=∠E+∠EBC，
∴ ∠ABD+∠DBC=∠E+∠EBC，
将∠ABD=∠E代入，得∠DBC=∠EBC，
∴ BC平分∠DBE。
【答案】
BC平分∠DBE，得证。
【知识点】
相似三角形的判定与性质，等腰三角形的性质，三角形外角性质
【点评】
本题属于几何基础证明题，解题的关键是通过等线段代换将乘积式转化为证明相似所需的比例式，再结合角的等量代换推导待证结论，需要熟练掌握相似三角形的判定条件和角的和差代换技巧。
【难度系数】
0.7
12. 如图，已知在△ABC中，正方形DEFG的顶点D、E在边BC上，顶点G、F分别在边AB、AC上，$S_{△ AGF}=S_{△ CEF}=1$，$S_{△ BDG}=3$. 求$S_{正方形DEFG}$. 
答案
12. 4. 提示：如图，过点A作AN⊥BC，垂足为N，交GF于点M.
设正方形DEFG的边长为x，则GF=GD=MN=x.
由$S_{△AGF}=1$，得$AM=\frac{2}{x}$，$AN=\frac{2}{x}+x$.
由△AGF∽△ABC，得$\frac{S_{△AGF}}{S_{△ABC}}=(\frac{AM}{AN})^2$，即$\frac{1}{1+1+3+x^2}=(\frac{\frac{2}{x}}{\frac{2}{x}+x})^2$，解得$x^2=4$.
解析
【分析】
要求正方形DEFG的面积，需先求其边长。观察图形可知正方形的边GF平行于BC，可推出△AGF∽△ABC，我们可以利用相似三角形面积比等于相似比的平方的性质建立关系求解。首先过点A作AN⊥BC于N，交GF于M，构造出两个相似三角形的对应高；设正方形边长为x，分别用x表示出△AGF的高AM、△ABC的高AN，以及△ABC的总面积，再代入相似三角形的面积比公式列方程，求解得到的边长的平方就是正方形的面积。
【解析】
解：过点A作AN⊥BC，垂足为N，交GF于点M。
设正方形DEFG的边长为x，
∵四边形DEFG是正方形，
∴GF//BC，GF=GD=MN=x，且AM⊥GF。
1. 求AM的长度：
已知$S_{△AGF}=1$，根据三角形面积公式$S=\frac{1}{2}×底×高$可得：
$\frac{1}{2}·GF·AM=1$，代入GF=x，解得$AM=\frac{2}{x}$，
因此△ABC的高$AN=AM+MN=\frac{2}{x}+x$。
2. 利用相似三角形性质列方程：
∵GF//BC，
∴△AGF∽△ABC，
根据相似三角形的性质，面积比等于对应高的比的平方，即：
$\frac{S_{△AGF}}{S_{△ABC}}=(\frac{AM}{AN})^2$
其中$S_{△ABC}=S_{△AGF}+S_{△BDG}+S_{△CEF}+S_{正方形DEFG}=1+3+1+x^2=5+x^2$，
代入各量得：
$\frac{1}{5+x^2}=(\frac{\frac{2}{x}}{\frac{2}{x}+x})^2$
3. 解方程：
化简等式右侧：$(\frac{\frac{2}{x}}{\frac{x^2+2}{x}})^2=(\frac{2}{x^2+2})^2=\frac{4}{(x^2+2)^2}$
原方程整理为：$\frac{1}{x^2+5}=\frac{4}{(x^2+2)^2}$
交叉相乘得：$(x^2+2)^2=4(x^2+5)$
展开化简：$x^4+4x^2+4=4x^2+20$，即$x^4=16$
∵x为正方形边长，x＞0，
∴$x^2=4$。
【答案】
4
【知识点】
相似三角形的性质，正方形的性质，三角形面积计算
【点评】
本题是三角形内接正方形的典型题型，通过作三角形的高构造相似三角形的对应高，结合相似三角形面积比与相似比的关系建立方程求解，解题的关键是合理设未知数，准确用未知数表示各相关量，熟练运用方程思想解决几何问题。
【难度系数】
0.6
要求正方形DEFG的面积，需先求其边长。观察图形可知正方形的边GF平行于BC，可推出△AGF∽△ABC，我们可以利用相似三角形面积比等于相似比的平方的性质建立关系求解。首先过点A作AN⊥BC于N，交GF于M，构造出两个相似三角形的对应高；设正方形边长为x，分别用x表示出△AGF的高AM、△ABC的高AN，以及△ABC的总面积，再代入相似三角形的面积比公式列方程，求解得到的边长的平方就是正方形的面积。
【解析】
解：过点A作AN⊥BC，垂足为N，交GF于点M。
设正方形DEFG的边长为x，
∵四边形DEFG是正方形，
∴GF//BC，GF=GD=MN=x，且AM⊥GF。
1. 求AM的长度：
已知$S_{△AGF}=1$，根据三角形面积公式$S=\frac{1}{2}×底×高$可得：
$\frac{1}{2}·GF·AM=1$，代入GF=x，解得$AM=\frac{2}{x}$，
因此△ABC的高$AN=AM+MN=\frac{2}{x}+x$。
2. 利用相似三角形性质列方程：
∵GF//BC，
∴△AGF∽△ABC，
根据相似三角形的性质，面积比等于对应高的比的平方，即：
$\frac{S_{△AGF}}{S_{△ABC}}=(\frac{AM}{AN})^2$
其中$S_{△ABC}=S_{△AGF}+S_{△BDG}+S_{△CEF}+S_{正方形DEFG}=1+3+1+x^2=5+x^2$，
代入各量得：
$\frac{1}{5+x^2}=(\frac{\frac{2}{x}}{\frac{2}{x}+x})^2$
3. 解方程：
化简等式右侧：$(\frac{\frac{2}{x}}{\frac{x^2+2}{x}})^2=(\frac{2}{x^2+2})^2=\frac{4}{(x^2+2)^2}$
原方程整理为：$\frac{1}{x^2+5}=\frac{4}{(x^2+2)^2}$
交叉相乘得：$(x^2+2)^2=4(x^2+5)$
展开化简：$x^4+4x^2+4=4x^2+20$，即$x^4=16$
∵x为正方形边长，x＞0，
∴$x^2=4$。
【答案】
4
【知识点】
相似三角形的性质，正方形的性质，三角形面积计算
【点评】
本题是三角形内接正方形的典型题型，通过作三角形的高构造相似三角形的对应高，结合相似三角形面积比与相似比的关系建立方程求解，解题的关键是合理设未知数，准确用未知数表示各相关量，熟练运用方程思想解决几何问题。
【难度系数】
0.6
13. 如图，已知：在四边形ABCD中，$∠ DCB=90°$，$BD⊥ AD$，E是边AB的中点，CE与BD相交于点F，$BD^2=AB· BC$。
（1）求证：BD平分$∠ ABC$。
（2）求证：$BE· CF=BC· EF$。
（1）求证：BD平分$∠ ABC$。
（2）求证：$BE· CF=BC· EF$。
答案
13. (1) 提示：由$\frac{AB}{BD}=\frac{BD}{BC}$，得Rt△ADB∽Rt△DCB，故∠DBA=∠CBD.
(2)
∵ BD⊥AD，E是边AB的中点，
∴ EB=ED.
∴ ∠EBD=∠EDB.
由(1)，得∠CBD=∠DBE，
∴ ∠EDB=∠DBC.
∵ ∠DFE=∠BFC，
∴ △DFE∽△BFC.
∴ $\frac{EF}{CF}=\frac{DE}{BC}$.
∵ DE=BE，
∴ BE·CF=BC·EF.
(2)
∵ BD⊥AD，E是边AB的中点，
∴ EB=ED.
∴ ∠EBD=∠EDB.
由(1)，得∠CBD=∠DBE，
∴ ∠EDB=∠DBC.
∵ ∠DFE=∠BFC，
∴ △DFE∽△BFC.
∴ $\frac{EF}{CF}=\frac{DE}{BC}$.
∵ DE=BE，
∴ BE·CF=BC·EF.
解析
【分析】
（1）要证明BD平分∠ABC，需证∠ABD=∠CBD。已知存在两个直角三角形Rt△ADB和Rt△DCB，且给出边的乘积式，可将乘积式转化为比例式，证明两个直角三角形相似，利用相似三角形对应角相等即可得证。
（2）要证明等积式$BE·CF=BC·EF$，可先将其转化为比例式$\frac{EF}{CF}=\frac{BE}{BC}$。首先利用直角三角形斜边中线的性质可得$BE=DE$，将比例式中的$BE$替换为$DE$后，只需证明△DFE∽△BFC即可得到对应边成比例，结合第一问的角相等结论即可完成证明，最后整理得到待证等积式。
【解析】
（1）证明：
∵ $∠DCB=90°$，$BD⊥AD$，
∴ $∠ADB=∠DCB=90°$，
∵ $BD^2=AB·BC$，
∴ $\frac{AB}{BD}=\frac{BD}{BC}$，
在Rt△ADB和Rt△DCB中，
$\begin{cases}\frac{AB}{BD}=\frac{BD}{BC}\\∠ ADB=∠ DCB=90°\end{cases}$
∴ Rt△ADB∽Rt△DCB，
∴ $∠ABD=∠CBD$，即BD平分$∠ABC$。
（2）证明：
∵ $BD⊥AD$，E是AB的中点，
∴ DE是Rt△ADB斜边AB的中线，
∴ $EB=ED$，
∴ $∠EBD=∠EDB$，
由（1）得$∠CBD=∠DBE$，
∴ $∠EDB=∠DBC$，
又
∵ $∠DFE=∠BFC$（对顶角相等），
∴ △DFE∽△BFC，
∴ $\frac{EF}{CF}=\frac{DE}{BC}$，
∵ $DE=BE$，
∴ $\frac{EF}{CF}=\frac{BE}{BC}$，
交叉相乘得：$BE·CF=BC·EF$。
【答案】
（1）BD平分$∠ABC$，得证；
（2）$BE·CF=BC·EF$，得证。
【知识点】
相似三角形的判定与性质，直角三角形斜边中线定理，等积式变形
【点评】
本题是几何基础综合题，解题核心是灵活运用相似三角形的判定和性质解决角相等、边成比例的问题，解题时要注意将等积式转化为比例式寻找对应相似三角形，同时要善于利用前一问的结论作为后一问的已知条件，熟练掌握直角三角形的相关性质可简化推导过程。
【难度系数】
0.7
（1）要证明BD平分∠ABC，需证∠ABD=∠CBD。已知存在两个直角三角形Rt△ADB和Rt△DCB，且给出边的乘积式，可将乘积式转化为比例式，证明两个直角三角形相似，利用相似三角形对应角相等即可得证。
（2）要证明等积式$BE·CF=BC·EF$，可先将其转化为比例式$\frac{EF}{CF}=\frac{BE}{BC}$。首先利用直角三角形斜边中线的性质可得$BE=DE$，将比例式中的$BE$替换为$DE$后，只需证明△DFE∽△BFC即可得到对应边成比例，结合第一问的角相等结论即可完成证明，最后整理得到待证等积式。
【解析】
（1）证明：
∵ $∠DCB=90°$，$BD⊥AD$，
∴ $∠ADB=∠DCB=90°$，
∵ $BD^2=AB·BC$，
∴ $\frac{AB}{BD}=\frac{BD}{BC}$，
在Rt△ADB和Rt△DCB中，
$\begin{cases}\frac{AB}{BD}=\frac{BD}{BC}\\∠ ADB=∠ DCB=90°\end{cases}$
∴ Rt△ADB∽Rt△DCB，
∴ $∠ABD=∠CBD$，即BD平分$∠ABC$。
（2）证明：
∵ $BD⊥AD$，E是AB的中点，
∴ DE是Rt△ADB斜边AB的中线，
∴ $EB=ED$，
∴ $∠EBD=∠EDB$，
由（1）得$∠CBD=∠DBE$，
∴ $∠EDB=∠DBC$，
又
∵ $∠DFE=∠BFC$（对顶角相等），
∴ △DFE∽△BFC，
∴ $\frac{EF}{CF}=\frac{DE}{BC}$，
∵ $DE=BE$，
∴ $\frac{EF}{CF}=\frac{BE}{BC}$，
交叉相乘得：$BE·CF=BC·EF$。
【答案】
（1）BD平分$∠ABC$，得证；
（2）$BE·CF=BC·EF$，得证。
【知识点】
相似三角形的判定与性质，直角三角形斜边中线定理，等积式变形
【点评】
本题是几何基础综合题，解题核心是灵活运用相似三角形的判定和性质解决角相等、边成比例的问题，解题时要注意将等积式转化为比例式寻找对应相似三角形，同时要善于利用前一问的结论作为后一问的已知条件，熟练掌握直角三角形的相关性质可简化推导过程。
【难度系数】
0.7
