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7. 如图，在$△ ABC$中，点D、E分别在边AC、AB上，$△ ADE ∽ △ ABC$，M、N分别是DE、BC的中点。如果$\frac{AM}{AN}=\frac{1}{2}$，那么$\frac{S_{△ ADE}}{S_{△ ABC}}$的值为
（第7题）
$\frac{1}{4}$
。（第7题）答案
7. $\frac{1}{4}$.
解析
【分析】
解题时首先结合已知条件△ADE∽△ABC，以及M、N分别是DE、BC的中点，可判断AM、AN是两个相似三角形的对应中线；再根据相似三角形的性质，对应中线的比等于相似比，先求出两个三角形的相似比；最后利用相似三角形面积比等于相似比的平方，即可求出两个三角形的面积比。
【解析】
解：
∵△ADE∽△ABC，M是DE的中点，N是BC的中点，
∴AM、AN分别是△ADE和△ABC对应边上的中线，
根据相似三角形的性质：相似三角形对应中线的比等于相似比，
可得两三角形的相似比$k=\frac{AM}{AN}=\frac{1}{2}$，
又
∵相似三角形的面积比等于相似比的平方，
∴$\frac{S_{△ADE}}{S_{△ABC}}=k^2=(\frac{1}{2})^2=\frac{1}{4}$。
【答案】
$\frac{1}{4}$
【知识点】
相似三角形对应线段性质；相似三角形面积比性质
【点评】
本题考查相似三角形性质的直接应用，解题核心是识别出对应中线的比就是相似比，再结合面积比和相似比的关系计算即可，只要熟练掌握相似三角形的相关性质就能快速解题。
【难度系数】
0.8
解题时首先结合已知条件△ADE∽△ABC，以及M、N分别是DE、BC的中点，可判断AM、AN是两个相似三角形的对应中线；再根据相似三角形的性质，对应中线的比等于相似比，先求出两个三角形的相似比；最后利用相似三角形面积比等于相似比的平方，即可求出两个三角形的面积比。
【解析】
解：
∵△ADE∽△ABC，M是DE的中点，N是BC的中点，
∴AM、AN分别是△ADE和△ABC对应边上的中线，
根据相似三角形的性质：相似三角形对应中线的比等于相似比，
可得两三角形的相似比$k=\frac{AM}{AN}=\frac{1}{2}$，
又
∵相似三角形的面积比等于相似比的平方，
∴$\frac{S_{△ADE}}{S_{△ABC}}=k^2=(\frac{1}{2})^2=\frac{1}{4}$。
【答案】
$\frac{1}{4}$
【知识点】
相似三角形对应线段性质；相似三角形面积比性质
【点评】
本题考查相似三角形性质的直接应用，解题核心是识别出对应中线的比就是相似比，再结合面积比和相似比的关系计算即可，只要熟练掌握相似三角形的相关性质就能快速解题。
【难度系数】
0.8
8. 如图，在$△ ABC$中，$DE // FG // BC$，$S_{△ ADE}:S_{\mathrm{四边形}DFGE}:S_{\mathrm{四边形}FBCG}=1:3:5$，那么$\dfrac{AE}{CG}$的值为________。
答案
8. 1.
解析
【分析】
由$DE// FG// BC$可推出$△ ADE$、$△ AFG$、$△ ABC$两两相似，结合相似三角形面积比等于相似比的平方的性质，先根据已知的三部分面积比求出三个相似三角形的面积比，进而得到对应边的相似比，再用份数表示$AE$和$CG$的长度即可求出比值。
【解析】
解：$\because DE// FG// BC$
$\therefore △ ADE ∽ △ AFG ∽ △ ABC$
设$S_{△ ADE}=k$，由$S_{△ADE}:S_{\mathrm{四边形}DFGE}:S_{\mathrm{四边形}FBCG}=1:3:5$，得：
$S_{\mathrm{四边形}DFGE}=3k$，$S_{\mathrm{四边形}FBCG}=5k$
$\therefore S_{△ AFG}=S_{△ ADE}+S_{\mathrm{四边形}DFGE}=k+3k=4k$
$S_{△ ABC}=S_{△ AFG}+S_{\mathrm{四边形}FBCG}=4k+5k=9k$
$\therefore S_{△ ADE}:S_{△ AFG}:S_{△ ABC}=1:4:9$
根据相似三角形面积比等于相似比的平方，可得三个三角形的相似比为$1:2:3$，即对应边$AE:AG:AC=1:2:3$
设$AE=x$，则$AG=2x$，$AC=3x$
$\therefore CG=AC-AG=3x-2x=x$
$\therefore \dfrac{AE}{CG}=\dfrac{x}{x}=1$
【答案】
$1$
【知识点】
相似三角形的判定、相似三角形的性质、比例计算
【点评】
本题是相似三角形性质的典型应用题型，解题的核心是将零散的区域面积比转化为相似三角形的面积比，再通过面积比与相似比的关系推导线段比例，解题时需注意区分各部分面积对应的三角形，避免混淆比例关系。
【难度系数】
0.6
由$DE// FG// BC$可推出$△ ADE$、$△ AFG$、$△ ABC$两两相似，结合相似三角形面积比等于相似比的平方的性质，先根据已知的三部分面积比求出三个相似三角形的面积比，进而得到对应边的相似比，再用份数表示$AE$和$CG$的长度即可求出比值。
【解析】
解：$\because DE// FG// BC$
$\therefore △ ADE ∽ △ AFG ∽ △ ABC$
设$S_{△ ADE}=k$，由$S_{△ADE}:S_{\mathrm{四边形}DFGE}:S_{\mathrm{四边形}FBCG}=1:3:5$，得：
$S_{\mathrm{四边形}DFGE}=3k$，$S_{\mathrm{四边形}FBCG}=5k$
$\therefore S_{△ AFG}=S_{△ ADE}+S_{\mathrm{四边形}DFGE}=k+3k=4k$
$S_{△ ABC}=S_{△ AFG}+S_{\mathrm{四边形}FBCG}=4k+5k=9k$
$\therefore S_{△ ADE}:S_{△ AFG}:S_{△ ABC}=1:4:9$
根据相似三角形面积比等于相似比的平方，可得三个三角形的相似比为$1:2:3$，即对应边$AE:AG:AC=1:2:3$
设$AE=x$，则$AG=2x$，$AC=3x$
$\therefore CG=AC-AG=3x-2x=x$
$\therefore \dfrac{AE}{CG}=\dfrac{x}{x}=1$
【答案】
$1$
【知识点】
相似三角形的判定、相似三角形的性质、比例计算
【点评】
本题是相似三角形性质的典型应用题型，解题的核心是将零散的区域面积比转化为相似三角形的面积比，再通过面积比与相似比的关系推导线段比例，解题时需注意区分各部分面积对应的三角形，避免混淆比例关系。
【难度系数】
0.6
9. 如图，在$△ ABC$中，$M$、$N$分别是$AB$、$BC$的中点，连接$AN$、$CM$交于点$G$，$GF// AC$，交$BC$于点$F$，那么$\frac{S_{△ NGF}}{S_{△ GAC}}$的值为
$\frac{1}{6}$
。答案
9. $\frac{1}{6}$.
解析
【分析】
首先由M、N是△ABC两边的中点，AN、CM交于G，可判断G是△ABC的重心，利用重心性质得到线段的比例关系；再结合GF//AC得到相似三角形，利用相似三角形面积比等于相似比的平方，结合三角形面积与底高的关系，分别求出两个目标三角形占△ABC面积的比例，最后计算比值即可。
【解析】
1. 确定重心及性质：
∵M、N分别是AB、BC的中点，AN、CM交于点G
∴G是△ABC的重心，由重心性质可得$\frac{NG}{AG}=\frac{1}{2}$，即$\frac{NG}{AN}=\frac{1}{3}$，且$S_{△GAC}=\frac{1}{3}S_{△ABC}$。
2. 证明相似三角形：
∵GF//AC
∴∠GFN=∠ACN，∠NGF=∠NAC
∴△NGF∽△NAC，相似比$k=\frac{NG}{AN}=\frac{1}{3}$。
3. 计算$S_{△NGF}$：
根据相似三角形面积比等于相似比的平方，得$\frac{S_{△NGF}}{S_{△NAC}}=(\frac{1}{3})^2=\frac{1}{9}$。
又
∵N是BC中点，
∴$S_{△NAC}=\frac{1}{2}S_{△ABC}$，代入得：
$S_{△NGF}=\frac{1}{9} × \frac{1}{2}S_{△ABC}=\frac{1}{18}S_{△ABC}$。
4. 求面积比值：
$\frac{S_{△NGF}}{S_{△GAC}}=\frac{\frac{1}{18}S_{△ABC}}{\frac{1}{3}S_{△ABC}}=\frac{1}{6}$。
【答案】
$\frac{1}{6}$
【知识点】
三角形重心性质，相似三角形判定与性质，三角形面积计算
【点评】
本题综合了重心性质与相似三角形的知识点，解题的关键是先识别重心得到线段比例，再结合平行线得到相似三角形，利用面积的比例关系计算结果，需要注意区分相似比与面积比的对应关系。
【难度系数】
0.6
首先由M、N是△ABC两边的中点，AN、CM交于G，可判断G是△ABC的重心，利用重心性质得到线段的比例关系；再结合GF//AC得到相似三角形，利用相似三角形面积比等于相似比的平方，结合三角形面积与底高的关系，分别求出两个目标三角形占△ABC面积的比例，最后计算比值即可。
【解析】
1. 确定重心及性质：
∵M、N分别是AB、BC的中点，AN、CM交于点G
∴G是△ABC的重心，由重心性质可得$\frac{NG}{AG}=\frac{1}{2}$，即$\frac{NG}{AN}=\frac{1}{3}$，且$S_{△GAC}=\frac{1}{3}S_{△ABC}$。
2. 证明相似三角形：
∵GF//AC
∴∠GFN=∠ACN，∠NGF=∠NAC
∴△NGF∽△NAC，相似比$k=\frac{NG}{AN}=\frac{1}{3}$。
3. 计算$S_{△NGF}$：
根据相似三角形面积比等于相似比的平方，得$\frac{S_{△NGF}}{S_{△NAC}}=(\frac{1}{3})^2=\frac{1}{9}$。
又
∵N是BC中点，
∴$S_{△NAC}=\frac{1}{2}S_{△ABC}$，代入得：
$S_{△NGF}=\frac{1}{9} × \frac{1}{2}S_{△ABC}=\frac{1}{18}S_{△ABC}$。
4. 求面积比值：
$\frac{S_{△NGF}}{S_{△GAC}}=\frac{\frac{1}{18}S_{△ABC}}{\frac{1}{3}S_{△ABC}}=\frac{1}{6}$。
【答案】
$\frac{1}{6}$
【知识点】
三角形重心性质，相似三角形判定与性质，三角形面积计算
【点评】
本题综合了重心性质与相似三角形的知识点，解题的关键是先识别重心得到线段比例，再结合平行线得到相似三角形，利用面积的比例关系计算结果，需要注意区分相似比与面积比的对应关系。
【难度系数】
0.6
10 如图，在正方形ABCD中，E是边BC上一点，连接AE，过点B作BF⊥AE，过点D作DK⊥AE，过点C作CH⊥DK，垂足分别为F、K、H，交BF的延长线于点G。以点F为圆心、以FA为半径画弧，交AD于点M，连接FM交DK于点N。如果BF=5，AB=13，那么NK的长为
$\frac{120}{17}$
。答案
10. $\frac{120}{17}$. 提示：如图，过点F作$PQ⊥AD$，分别交AD、BC于点Q、P，则$PQ=AB=13$，过点K作$KO// AD$. 易得$AF=12$，$KF=7$. 由$\mathrm{Rt}△ABF∽\mathrm{Rt}△AEB$，得$\frac{BF}{EB}=\frac{AF}{AB}=\frac{AB}{AE}$，则$EB=\frac{65}{12}$，$AE=\frac{169}{12}$，$EF=\frac{25}{12}$. $FP=\frac{BF· EF}{BE}=\frac{25}{13}$，$FQ=\frac{144}{13}$. 再由勾股定理和等腰三角形的性质，可得$AM=2AQ=\sqrt{12^2-(\frac{144}{13})^2}=\frac{120}{13}$，$MD=\frac{49}{13}$. 最后，由$△FKO∽△FAM$，$△KON∽△DMN$，可得$\frac{KO}{AM}=\frac{KF}{AF}$，$\frac{KO}{DM}=\frac{KN}{DN}$，从而得$KO=\frac{70}{13}$，$KN=12×\frac{10}{17}=\frac{120}{17}$.
解析
【分析】
解题可按如下思路逐步推导：①首先在Rt△ABF中利用勾股定理求出AF的长度，再通过角的互余关系证明△ABF≌△DAK，得到AK、DK的长度，进而求出KF的长；②过点F作PQ垂直AD，利用相似三角形求出BE、AE、EF的长度，再通过三角形面积法求出FP的长度，进而得到FQ的长度；③结合等腰三角形FM=FA的性质，用勾股定理求出AQ，得到AM、MD的长度；④过点K作KO平行AD，利用两次相似三角形的线段比例关系，最终求出NK的长度。
【解析】
1. 在$Rt△ ABF$中，$∠ AFB=90°$，$AB=13$，$BF=5$，由勾股定理得：
$AF=\sqrt{AB^2-BF^2}=\sqrt{13^2-5^2}=12$。
2. $\because DK⊥ AE$，$\therefore ∠ AKD=∠ AFB=90°$，
$\because$ 四边形ABCD是正方形，$\therefore AB=AD$，$∠ BAD=90°$，
$\therefore ∠ BAF + ∠ DAK = 90°$，$∠ DAK + ∠ ADK = 90°$，
$\therefore ∠ BAF = ∠ ADK$，
$\therefore △ ABF ≌ △ DAK$（AAS），
$\therefore AK=BF=5$，$DK=AF=12$，
$\therefore KF = AF - AK = 12 - 5 =7$。
3. 过F作$PQ⊥ AD$，分别交AD、BC于Q、P，
$\because AD// BC$，$\therefore PQ⊥ BC$，$PQ=AB=13$。
$\because ∠ ABE=∠ AFB=90°$，$∠ BAF=∠ EAB$，
$\therefore Rt△ ABF ∽ Rt△ AEB$，
$\therefore \frac{BF}{EB}=\frac{AF}{AB}=\frac{AB}{AE}$，
代入数值得$\frac{5}{EB}=\frac{12}{13}=\frac{13}{AE}$，
解得$EB=\frac{65}{12}$，$AE=\frac{169}{12}$，
$\therefore EF=AE - AF=\frac{169}{12}-12=\frac{25}{12}$。
4. 在$△ BEF$中，$FP⊥ BC$，由三角形面积公式：
$S_{△ BEF}=\frac{1}{2}BF· EF=\frac{1}{2}BE· FP$，
$\therefore FP=\frac{BF· EF}{BE}=\frac{5×\frac{25}{12}}{\frac{65}{12}}=\frac{25}{13}$，
$\therefore FQ=PQ - FP=13-\frac{25}{13}=\frac{144}{13}$。
5. 由题意知$FA=FM$，$\therefore △ FAM$是等腰三角形，
$\because FQ⊥ AD$，$\therefore AQ=QM$，
在$Rt△ AQF$中，$AQ=\sqrt{AF^2-FQ^2}=\sqrt{12^2-(\frac{144}{13})^2}=\frac{60}{13}$，
$\therefore AM=2AQ=\frac{120}{13}$，$MD=AD - AM=13-\frac{120}{13}=\frac{49}{13}$。
6. 过K作$KO// AD$，交FM于点O，
$\because KO// AM$，$\therefore △ FKO∽ △ FAM$，
$\therefore \frac{KO}{AM}=\frac{KF}{AF}$，代入得$\frac{KO}{\frac{120}{13}}=\frac{7}{12}$，解得$KO=\frac{70}{13}$。
$\because KO// MD$，$\therefore △ KON∽ △ DMN$，
$\therefore \frac{KO}{MD}=\frac{KN}{DN}=\frac{\frac{70}{13}}{\frac{49}{13}}=\frac{10}{7}$，
设$KN=10x$，$DN=7x$，$\because KN+DN=DK=12$，
$\therefore 10x+7x=12$，解得$x=\frac{12}{17}$，
$\therefore KN=10×\frac{12}{17}=\frac{120}{17}$。
【答案】
$\frac{120}{17}$
【知识点】
勾股定理、全等三角形判定与性质、相似三角形判定与性质
【点评】
本题是正方形背景下的几何综合题，融合了多个核心几何知识点，需要合理添加辅助线，逐层推导线段关系，对逻辑推理和综合分析能力有较高要求。
【难度系数】
0.3
解题可按如下思路逐步推导：①首先在Rt△ABF中利用勾股定理求出AF的长度，再通过角的互余关系证明△ABF≌△DAK，得到AK、DK的长度，进而求出KF的长；②过点F作PQ垂直AD，利用相似三角形求出BE、AE、EF的长度，再通过三角形面积法求出FP的长度，进而得到FQ的长度；③结合等腰三角形FM=FA的性质，用勾股定理求出AQ，得到AM、MD的长度；④过点K作KO平行AD，利用两次相似三角形的线段比例关系，最终求出NK的长度。
【解析】
1. 在$Rt△ ABF$中，$∠ AFB=90°$，$AB=13$，$BF=5$，由勾股定理得：
$AF=\sqrt{AB^2-BF^2}=\sqrt{13^2-5^2}=12$。
2. $\because DK⊥ AE$，$\therefore ∠ AKD=∠ AFB=90°$，
$\because$ 四边形ABCD是正方形，$\therefore AB=AD$，$∠ BAD=90°$，
$\therefore ∠ BAF + ∠ DAK = 90°$，$∠ DAK + ∠ ADK = 90°$，
$\therefore ∠ BAF = ∠ ADK$，
$\therefore △ ABF ≌ △ DAK$（AAS），
$\therefore AK=BF=5$，$DK=AF=12$，
$\therefore KF = AF - AK = 12 - 5 =7$。
3. 过F作$PQ⊥ AD$，分别交AD、BC于Q、P，
$\because AD// BC$，$\therefore PQ⊥ BC$，$PQ=AB=13$。
$\because ∠ ABE=∠ AFB=90°$，$∠ BAF=∠ EAB$，
$\therefore Rt△ ABF ∽ Rt△ AEB$，
$\therefore \frac{BF}{EB}=\frac{AF}{AB}=\frac{AB}{AE}$，
代入数值得$\frac{5}{EB}=\frac{12}{13}=\frac{13}{AE}$，
解得$EB=\frac{65}{12}$，$AE=\frac{169}{12}$，
$\therefore EF=AE - AF=\frac{169}{12}-12=\frac{25}{12}$。
4. 在$△ BEF$中，$FP⊥ BC$，由三角形面积公式：
$S_{△ BEF}=\frac{1}{2}BF· EF=\frac{1}{2}BE· FP$，
$\therefore FP=\frac{BF· EF}{BE}=\frac{5×\frac{25}{12}}{\frac{65}{12}}=\frac{25}{13}$，
$\therefore FQ=PQ - FP=13-\frac{25}{13}=\frac{144}{13}$。
5. 由题意知$FA=FM$，$\therefore △ FAM$是等腰三角形，
$\because FQ⊥ AD$，$\therefore AQ=QM$，
在$Rt△ AQF$中，$AQ=\sqrt{AF^2-FQ^2}=\sqrt{12^2-(\frac{144}{13})^2}=\frac{60}{13}$，
$\therefore AM=2AQ=\frac{120}{13}$，$MD=AD - AM=13-\frac{120}{13}=\frac{49}{13}$。
6. 过K作$KO// AD$，交FM于点O，
$\because KO// AM$，$\therefore △ FKO∽ △ FAM$，
$\therefore \frac{KO}{AM}=\frac{KF}{AF}$，代入得$\frac{KO}{\frac{120}{13}}=\frac{7}{12}$，解得$KO=\frac{70}{13}$。
$\because KO// MD$，$\therefore △ KON∽ △ DMN$，
$\therefore \frac{KO}{MD}=\frac{KN}{DN}=\frac{\frac{70}{13}}{\frac{49}{13}}=\frac{10}{7}$，
设$KN=10x$，$DN=7x$，$\because KN+DN=DK=12$，
$\therefore 10x+7x=12$，解得$x=\frac{12}{17}$，
$\therefore KN=10×\frac{12}{17}=\frac{120}{17}$。
【答案】
$\frac{120}{17}$
【知识点】
勾股定理、全等三角形判定与性质、相似三角形判定与性质
【点评】
本题是正方形背景下的几何综合题，融合了多个核心几何知识点，需要合理添加辅助线，逐层推导线段关系，对逻辑推理和综合分析能力有较高要求。
【难度系数】
0.3
三、解答题
11. 如图，已知在$△ ABC$中，$DE // BC$，$S_{△ ADE}:S_{四边形BCED}=3:5$，$BC=2\sqrt{6}$. 求$DE$的长.
11. 如图，已知在$△ ABC$中，$DE // BC$，$S_{△ ADE}:S_{四边形BCED}=3:5$，$BC=2\sqrt{6}$. 求$DE$的长.
答案
11. 3.
解析
【分析】
解题思路如下：1. 由DE//BC，可利用平行线判定相似三角形的定理得到△ADE∽△ABC；2. 题中给出的是△ADE与四边形BCED的面积比，需先转化为△ADE与大三角形△ABC的面积比；3. 结合相似三角形面积比等于相似比的平方的性质，建立DE与BC的数量关系，代入已知的BC长度即可求出DE的长。
【解析】
解：
∵ $ DE // BC $
∴ $ ∠ ADE=∠ B $，$ ∠ AED=∠ C $（两直线平行，同位角相等）
∴ $ △ ADE ∽ △ ABC $（两角分别相等的两个三角形相似）
∵ $ S_{△ ADE}:S_{\mathrm{四边形}BCED}=3:5 $
∴ $ S_{△ ADE}:S_{△ ABC}=3:(3+5)=3:8 $
根据相似三角形的性质，相似三角形的面积比等于相似比的平方，可得：
$ \frac{S_{△ ADE}}{S_{△ ABC}}=( \frac{DE}{BC} )^2=\frac{3}{8} $
将$ BC=2\sqrt{6} $代入上式：
$ ( \frac{DE}{2\sqrt{6}} )^2=\frac{3}{8} $
化简得：$ \frac{DE^2}{24}=\frac{3}{8} $
解得：$ DE^2=9 $
∵ 线段长度为正数，
∴ $ DE=3 $
【答案】
3
【知识点】
相似三角形的判定、相似三角形的面积性质、比例运算
【点评】
本题是相似三角形应用的常规题型，核心是掌握相似三角形的判定方法和面积比与相似比的关系，解题时要注意题中给出的面积比是小三角形与四边形的比，不要直接当成两个相似三角形的面积比代入计算。
【难度系数】
0.7
解题思路如下：1. 由DE//BC，可利用平行线判定相似三角形的定理得到△ADE∽△ABC；2. 题中给出的是△ADE与四边形BCED的面积比，需先转化为△ADE与大三角形△ABC的面积比；3. 结合相似三角形面积比等于相似比的平方的性质，建立DE与BC的数量关系，代入已知的BC长度即可求出DE的长。
【解析】
解：
∵ $ DE // BC $
∴ $ ∠ ADE=∠ B $，$ ∠ AED=∠ C $（两直线平行，同位角相等）
∴ $ △ ADE ∽ △ ABC $（两角分别相等的两个三角形相似）
∵ $ S_{△ ADE}:S_{\mathrm{四边形}BCED}=3:5 $
∴ $ S_{△ ADE}:S_{△ ABC}=3:(3+5)=3:8 $
根据相似三角形的性质，相似三角形的面积比等于相似比的平方，可得：
$ \frac{S_{△ ADE}}{S_{△ ABC}}=( \frac{DE}{BC} )^2=\frac{3}{8} $
将$ BC=2\sqrt{6} $代入上式：
$ ( \frac{DE}{2\sqrt{6}} )^2=\frac{3}{8} $
化简得：$ \frac{DE^2}{24}=\frac{3}{8} $
解得：$ DE^2=9 $
∵ 线段长度为正数，
∴ $ DE=3 $
【答案】
3
【知识点】
相似三角形的判定、相似三角形的面积性质、比例运算
【点评】
本题是相似三角形应用的常规题型，核心是掌握相似三角形的判定方法和面积比与相似比的关系，解题时要注意题中给出的面积比是小三角形与四边形的比，不要直接当成两个相似三角形的面积比代入计算。
【难度系数】
0.7
