5.「★★」如图,矩形ABCD中,AB=3,BC=4,点P是对角线BD上的动点(点P不与B,D重合),连接PC,点E是PC的中点,作PF⊥AB于点F,PG⊥AD于点G,连接FG.对于下列两个结论:
①当$BP=2$时,点E在$∠BDC$的平分线上;
②线段FG的长的最小值为$\frac{5}{2}$.
下列判断正确的是
()


A.①②都对
B.①②都错
C.①错,②对
D.①对,②错

如图,连接AP,DE,

∵ 四边形ABCD为矩形,AB=3,BC=4,
∴ AB=CD=3,AD=BC=4,∠BCD=∠BAD=90°,
∴ BD=$\sqrt{CD^2+BC^2}$=$\sqrt{9+16}$=5,
∵ BP=2,
∴ DP=3,
∴ DP=CD,
∵ 点E是PC的中点,
∴ 点E在∠BDC的平分线上,故①正确;
∵ PF⊥AB,PG⊥AD,∠BAD=90°,
∴ 四边形AFPG是矩形,
∴ AP=FG,
当AP⊥BD时,AP有最小值,
此时 $S_{△ABD}$=$\frac{1}{2}$AB·AD=$\frac{1}{2}$BD·AP,
∴ 3×4=5×AP,
∴ AP=$\frac{12}{5}$,
∴ 线段FG的长的最小值为$\frac{12}{5}$,故②错误.故选 D.

6.「★★☆」如图,四边形OABC为矩形,$AB=6$,$∠AOB=30°$,动点P从点O出发,以每秒2个单位长度的速度向点B运动,动点Q从点B出发,以每秒$\sqrt{3}$个单位长度的速度向点C运动.点P,Q同时开始运动,当点P到达点B时,点P,Q同时停止运动,设运动时间为t秒.
(1)四边形OABC的周长为.
(2)设$△ PQB$的面积为S,用含t的式子表示S.
(3)若以点P,Q,B为顶点的三角形是等腰三角形,请求出t的值.

(1)
∵ 矩形OABC中,∠BAO=90°,∠AOB=30°,AB=6,
∴ OB=2AB=12,
∴ 在Rt△OAB中,OA=$\sqrt{OB^2-AB^2}$=$\sqrt{12^2-6^2}$=6$\sqrt{3}$,
∴ 四边形OABC的周长为$(6\sqrt{3}+6)×2=12\sqrt{3}+12$.
故答案为 $12\sqrt{3}+12$.
(2)如图1,过点 P 作 PF⊥BC 于点 F,

由题意得 BQ=$\sqrt{3}t$,OP=2t,
∴ PB=12-2t,
∵ ∠OBC=∠BOA=30°,
∴ 在Rt△PFB 中,PF=$\frac{1}{2}$PB=6-t,
∴ S=$\frac{1}{2}$BQ·PF=$\frac{1}{2}×\sqrt{3}t×(6-t)$=$-\frac{\sqrt{3}}{2}t^2+3\sqrt{3}t$.
(3)分三种情况:
①当 BQ=BP 时,$\sqrt{3}t=12-2t$,解得 t=24-12$\sqrt{3}$.
②当 PQ=PB 时,如图2,过点 P 作 PM⊥BQ 于点 M,

∴ BM=$\frac{1}{2}$BQ=$\frac{\sqrt{3}}{2}t$,
∵ 在Rt△BMP 中,BM=$\frac{\sqrt{3}}{2}$PB,
∴ $\frac{\sqrt{3}}{2}t$=$\frac{\sqrt{3}}{2}(12-2t)$,解得 t=4.
③当 QB=QP 时,如图3,过点 Q 作 QN⊥BP 于点 N,

则 BN=$\frac{1}{2}$PB=6-t,
∵ 在Rt△QNB 中,BN=$\frac{\sqrt{3}}{2}$QB,
∴ 6-t=$\frac{\sqrt{3}}{2}·\sqrt{3}t$,解得 t=$\frac{12}{5}$.
综上所述,当△PQB 为等腰三角形时,t 的值为 24-12$\sqrt{3}$或 4 或 $\frac{12}{5}$.