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1. 《九章算术》中记载一问题如下：“今有共买物，人出八，盈三；人出七，不足四，问人数、物价各几何？”意思是：今有人合伙购物，每人出8钱，会多3钱；每人出7钱，又差4钱，问人数、物价各是多少.设有$ x $人，依题意列方程得 （
A.$ 8x+3=7x-4 $
B.$ 8x-3=7x+4 $
C.$ 8x+3=7x+4 $
D.$ 8x-3=7x-4 $
B
）A.$ 8x+3=7x-4 $
B.$ 8x-3=7x+4 $
C.$ 8x+3=7x+4 $
D.$ 8x-3=7x-4 $
答案
1.B
解析
【分析】
解决本题的核心是抓住题目中的不变量——物价，我们可以通过两种不同的出钱方式分别表示出物价，再根据物价相等列出方程。首先，每人出8钱时多3钱，说明总出钱比物价多3，物价就是总出钱减去多出的3钱；每人出7钱时差4钱，说明总出钱比物价少4，物价就是总出钱加上差的4钱，两个式子都表示物价，所以可以联立得到方程。
【解析】
解：本题的等量关系为两种出钱方式对应的物价相等。
1. 若每人出8钱，总出钱为$8x$，此时多3钱，因此物价可表示为：$8x-3$；
2. 若每人出7钱，总出钱为$7x$，此时差4钱，因此物价可表示为：$7x+4$；
由于物价固定不变，因此可列方程：$8x-3=7x+4$，对应选项B。
【答案】
B
【知识点】
1. 列一元一次方程
2. 盈亏问题应用
【点评】
本题是典型的盈亏类列方程基础题，解题关键是准确找到题目中的不变量建立等量关系，掌握找不变量的方法就能快速求解。
【难度系数】
0.8
解决本题的核心是抓住题目中的不变量——物价，我们可以通过两种不同的出钱方式分别表示出物价，再根据物价相等列出方程。首先，每人出8钱时多3钱，说明总出钱比物价多3，物价就是总出钱减去多出的3钱；每人出7钱时差4钱，说明总出钱比物价少4，物价就是总出钱加上差的4钱，两个式子都表示物价，所以可以联立得到方程。
【解析】
解：本题的等量关系为两种出钱方式对应的物价相等。
1. 若每人出8钱，总出钱为$8x$，此时多3钱，因此物价可表示为：$8x-3$；
2. 若每人出7钱，总出钱为$7x$，此时差4钱，因此物价可表示为：$7x+4$；
由于物价固定不变，因此可列方程：$8x-3=7x+4$，对应选项B。
【答案】
B
【知识点】
1. 列一元一次方程
2. 盈亏问题应用
【点评】
本题是典型的盈亏类列方程基础题，解题关键是准确找到题目中的不变量建立等量关系，掌握找不变量的方法就能快速求解。
【难度系数】
0.8
2. 关于x的方程$5x - m = 2(x - 2) + 1$的解是$x = -2$，则$m$的值为（
A.$-3$
B.$-5$
C.$-13$
D.$5$
A
）A.$-3$
B.$-5$
C.$-13$
D.$5$
答案
2.A
解析
【分析】
本题是已知含参数的一元一次方程的解，求参数值的题型。解题核心依据是方程的解的定义：使方程左右两边相等的未知数的值是方程的解。我们只需将已知的解x=-2代入原方程，就能得到一个仅含未知数m的一元一次方程，解这个方程即可求出m的值。
【解析】
解：将$x=-2$代入方程$5x - m = 2(x - 2) + 1$中，可得：
左边：$5×(-2)-m=-10-m$
右边：$2×(-2-2)+1=2×(-4)+1=-7$
因此得到等式：$-10 - m = -7$
移项得：$-m=-7+10$
合并同类项得：$-m=3$
系数化为1得：$m=-3$
故选A。
【答案】
A
【知识点】
方程的解的定义；解一元一次方程
【点评】
本题是方程模块的基础常考题，解题关键是理解方程解的含义，代入后转化为常规一元一次方程求解即可，计算量小，得分率高。
【难度系数】
0.9
本题是已知含参数的一元一次方程的解，求参数值的题型。解题核心依据是方程的解的定义：使方程左右两边相等的未知数的值是方程的解。我们只需将已知的解x=-2代入原方程，就能得到一个仅含未知数m的一元一次方程，解这个方程即可求出m的值。
【解析】
解：将$x=-2$代入方程$5x - m = 2(x - 2) + 1$中，可得：
左边：$5×(-2)-m=-10-m$
右边：$2×(-2-2)+1=2×(-4)+1=-7$
因此得到等式：$-10 - m = -7$
移项得：$-m=-7+10$
合并同类项得：$-m=3$
系数化为1得：$m=-3$
故选A。
【答案】
A
【知识点】
方程的解的定义；解一元一次方程
【点评】
本题是方程模块的基础常考题，解题关键是理解方程解的含义，代入后转化为常规一元一次方程求解即可，计算量小，得分率高。
【难度系数】
0.9
3. 小明同学买80分邮票与1元邮票共花了16元，已知所买的1元邮票比80分邮票少2枚.设买了80分邮票x枚，则依题意得到的方程是 （
A.$0.8x + (x - 2) = 16$
B.$0.8 + (x + 2) = 16$
C.$80x + (x - 2) = 16$
D.$80x + (x + 2) = 16$
A
）A.$0.8x + (x - 2) = 16$
B.$0.8 + (x + 2) = 16$
C.$80x + (x - 2) = 16$
D.$80x + (x + 2) = 16$
答案
3.A
解析
【分析】
要列方程首先需统一单位，将80分换算为0.8元，避免单位不统一出错。接下来根据题干的数量关系表示出1元邮票的数量：已知1元邮票比80分邮票少2枚，80分邮票设为x枚，则1元邮票为(x-2)枚。最后根据“80分邮票总花费+1元邮票总花费=总花费16元”的等量关系列方程即可。
【解析】
第一步：单位换算，80分=0.8元；
第二步：表示1元邮票的数量，由“1元邮票比80分邮票少2枚”，得1元邮票数量为(x-2)枚；
第三步：计算两类邮票的总价：80分邮票总价为单价×数量=0.8x元，1元邮票总价为1×(x-2)=(x-2)元；
第四步：根据总花费为16元，列方程得：0.8x + (x - 2) = 16，对应选项A。
【答案】
A
【知识点】
列一元一次方程，单位换算，总价等量关系
【点评】
本题属于列方程的基础题型，解题核心是先统一单位，再准确表示出未知量的数量，最后找准总价的等量关系即可，常见易错点是未换算单位直接用80计算，或混淆1元邮票与80分邮票的数量关系。
【难度系数】
0.8
要列方程首先需统一单位，将80分换算为0.8元，避免单位不统一出错。接下来根据题干的数量关系表示出1元邮票的数量：已知1元邮票比80分邮票少2枚，80分邮票设为x枚，则1元邮票为(x-2)枚。最后根据“80分邮票总花费+1元邮票总花费=总花费16元”的等量关系列方程即可。
【解析】
第一步：单位换算，80分=0.8元；
第二步：表示1元邮票的数量，由“1元邮票比80分邮票少2枚”，得1元邮票数量为(x-2)枚；
第三步：计算两类邮票的总价：80分邮票总价为单价×数量=0.8x元，1元邮票总价为1×(x-2)=(x-2)元；
第四步：根据总花费为16元，列方程得：0.8x + (x - 2) = 16，对应选项A。
【答案】
A
【知识点】
列一元一次方程，单位换算，总价等量关系
【点评】
本题属于列方程的基础题型，解题核心是先统一单位，再准确表示出未知量的数量，最后找准总价的等量关系即可，常见易错点是未换算单位直接用80计算，或混淆1元邮票与80分邮票的数量关系。
【难度系数】
0.8
4. 练习本比水性笔的单价少2元，小刚买了5本练习本和3支水性笔正好用去14元.如果设水性笔的单价为x元/支，那么所列方程是
5(x−2)+3x=14
.答案
$5(x-2)+3x=14$
解析
【分析】
解题时首先根据题目给出的设未知数条件，先推导练习本的单价：因为练习本比水性笔单价少2元，水性笔单价设为x元，所以练习本单价为(x-2)元。接下来明确总价的计算规则：总价=单价×数量，再找到题目中的核心等量关系：5本练习本的总费用+3支水性笔的总费用=14元，最后把对应量代入等量关系就能列出方程。
【解析】
步骤1：表示练习本的单价
已知水性笔单价设为x元/支，练习本比水性笔单价少2元，因此练习本的单价为(x-2)元/本。
步骤2：分别计算两种商品的总花费
5本练习本的总花费：单价×数量 = $5(x-2)$ 元
3支水性笔的总花费：单价×数量 = $3x$ 元
步骤3：根据总花费列方程
两种商品一共花了14元，因此可列方程：$5(x-2)+3x=14$
【答案】
$5(x-2)+3x=14$
【知识点】
列一元一次方程；总价等量关系
【点评】
本题是方程实际应用的基础题型，解题核心是先根据量与量的差的关系表示出未知单价，再抓住总花费的等量关系代入列式即可，掌握基础等量关系就能轻松解题。
【难度系数】
0.8
解题时首先根据题目给出的设未知数条件，先推导练习本的单价：因为练习本比水性笔单价少2元，水性笔单价设为x元，所以练习本单价为(x-2)元。接下来明确总价的计算规则：总价=单价×数量，再找到题目中的核心等量关系：5本练习本的总费用+3支水性笔的总费用=14元，最后把对应量代入等量关系就能列出方程。
【解析】
步骤1：表示练习本的单价
已知水性笔单价设为x元/支，练习本比水性笔单价少2元，因此练习本的单价为(x-2)元/本。
步骤2：分别计算两种商品的总花费
5本练习本的总花费：单价×数量 = $5(x-2)$ 元
3支水性笔的总花费：单价×数量 = $3x$ 元
步骤3：根据总花费列方程
两种商品一共花了14元，因此可列方程：$5(x-2)+3x=14$
【答案】
$5(x-2)+3x=14$
【知识点】
列一元一次方程；总价等量关系
【点评】
本题是方程实际应用的基础题型，解题核心是先根据量与量的差的关系表示出未知单价，再抓住总花费的等量关系代入列式即可，掌握基础等量关系就能轻松解题。
【难度系数】
0.8
5. 某中学篮球场的周长为86 m，其中长比宽的2倍少2 m，设宽为x m.
（1）根据题意列方程；
（2）判断x=15，x=20是否为(1)中所列方程的解.
（1）根据题意列方程；
（2）判断x=15，x=20是否为(1)中所列方程的解.
答案
(1) $2(2x-2+x)=86$.
(2) $x=15$是方程的解；$x=20$不是方程的解.
(2) $x=15$是方程的解；$x=20$不是方程的解.
解析
【分析】
（1）列方程的核心是找准等量关系，本题的等量关系为长方形周长公式：长方形周长=2×(长+宽)。首先根据“长比宽的2倍少2m，宽为x m”，用含x的代数式表示出长为(2x-2)m，再将长、宽和已知周长86m代入周长公式，即可列出方程。
（2）判断一个数值是否为方程的解，方法是将该数值分别代入方程的左右两边计算，若左右两边计算结果相等，则该数值是方程的解，反之则不是，因此只需分别将x=15、x=20代入（1）中所列方程比较左右两边结果即可。
【解析】
（1）解：设宽为x m，则长为(2x-2)m。
根据长方形周长公式，可列方程：
$2(2x-2+x)=86$
（2）判断方程的解：
① 把$x=15$代入方程左边：
左边$=2×(2×15 - 2 +15)=2×43=86$，右边$=86$
左边=右边，因此$x=15$是所列方程的解。
② 把$x=20$代入方程左边：
左边$=2×(2×20 - 2 +20)=2×58=116$，右边$=86$
左边≠右边，因此$x=20$不是所列方程的解。
【答案】
(1) $2(2x-2+x)=86$
(2) $x=15$是方程的解；$x=20$不是方程的解
【知识点】
列一元一次方程；方程的解的判定
【点评】
本题属于基础题，考查实际问题与一元一次方程的结合，解题关键是正确提取题目中的等量关系，熟练掌握方程解的验证方法，是对一元一次方程基础概念的巩固练习。
【难度系数】
0.8
（1）列方程的核心是找准等量关系，本题的等量关系为长方形周长公式：长方形周长=2×(长+宽)。首先根据“长比宽的2倍少2m，宽为x m”，用含x的代数式表示出长为(2x-2)m，再将长、宽和已知周长86m代入周长公式，即可列出方程。
（2）判断一个数值是否为方程的解，方法是将该数值分别代入方程的左右两边计算，若左右两边计算结果相等，则该数值是方程的解，反之则不是，因此只需分别将x=15、x=20代入（1）中所列方程比较左右两边结果即可。
【解析】
（1）解：设宽为x m，则长为(2x-2)m。
根据长方形周长公式，可列方程：
$2(2x-2+x)=86$
（2）判断方程的解：
① 把$x=15$代入方程左边：
左边$=2×(2×15 - 2 +15)=2×43=86$，右边$=86$
左边=右边，因此$x=15$是所列方程的解。
② 把$x=20$代入方程左边：
左边$=2×(2×20 - 2 +20)=2×58=116$，右边$=86$
左边≠右边，因此$x=20$不是所列方程的解。
【答案】
(1) $2(2x-2+x)=86$
(2) $x=15$是方程的解；$x=20$不是方程的解
【知识点】
列一元一次方程；方程的解的判定
【点评】
本题属于基础题，考查实际问题与一元一次方程的结合，解题关键是正确提取题目中的等量关系，熟练掌握方程解的验证方法，是对一元一次方程基础概念的巩固练习。
【难度系数】
0.8
问题 判断下列各式是不是方程.如果是,指出方程中的未知数;如果不是,请说明理由.
(1) $3t - 1 ＞ 1 - t$;
(2) $2 - (-3) = -1 + 6$;
(3) $y^2 - 2 = 4y - 1$;
(4) $3x - y = 0$;
(5) $6x^2 + 2x + 7$;
(6) $a + b = b + a$;
(7) $|x| + 1 = 2$;
(8) $4x - 1 = 2x + 6$.
名师指导
判断一个式子是不是方程要紧扣方程的两个要素:(1)是不是等式;(2)是不是含有未知数.也可用下列方法判断:一看有无等号,二看有无字母.
解题示范 (学生在教师指导下,独立完成)
解:
(1) $3t - 1 ＞ 1 - t$;
(2) $2 - (-3) = -1 + 6$;
(3) $y^2 - 2 = 4y - 1$;
(4) $3x - y = 0$;
(5) $6x^2 + 2x + 7$;
(6) $a + b = b + a$;
(7) $|x| + 1 = 2$;
(8) $4x - 1 = 2x + 6$.
名师指导
判断一个式子是不是方程要紧扣方程的两个要素:(1)是不是等式;(2)是不是含有未知数.也可用下列方法判断:一看有无等号,二看有无字母.
解题示范 (学生在教师指导下,独立完成)
解:
答案
解：
(1) 不是方程，理由：该式子是不等式，不是等式。
(2) 不是方程，理由：该式子是不含未知数的等式。
(3) 是方程，未知数是$y$。
(4) 是方程，未知数是$x$和$y$。
(5) 不是方程，理由：该式子是代数式，没有等号，不是等式。
(6) 不是方程，理由：该等式表示加法交换律，其中的字母$a$、$b$可以取任意值，不含有需要求解的未知数。
(7) 是方程，未知数是$x$。
(8) 是方程，未知数是$x$。
(1) 不是方程，理由：该式子是不等式，不是等式。
(2) 不是方程，理由：该式子是不含未知数的等式。
(3) 是方程，未知数是$y$。
(4) 是方程，未知数是$x$和$y$。
(5) 不是方程，理由：该式子是代数式，没有等号，不是等式。
(6) 不是方程，理由：该等式表示加法交换律，其中的字母$a$、$b$可以取任意值，不含有需要求解的未知数。
(7) 是方程，未知数是$x$。
(8) 是方程，未知数是$x$。
解析
【分析】
判断一个式子是否为方程，需紧扣方程的两个核心条件：一是式子必须是含有等号的等式，二是式子中必须含有需要求解的未知数，两个条件缺一不可。解题时我们可以按照“先看有无等号判断是否为等式，再看是否含有待求未知数”的顺序，逐个核对每个式子即可得出结论。
【解析】
首先明确方程的定义：含有未知数的等式叫做方程，需同时满足“是等式”“含有未知数”两个条件，逐一判断如下：
(1) $3t - 1 ＞ 1 - t$：式子使用不等号，属于不等式，不是等式，因此不是方程；
(2) $2 - (-3) = -1 + 6$：式子有等号是等式，但计算可知左右两边均为5，不含未知数，因此不是方程；
(3) $y^2 - 2 = 4y - 1$：式子有等号是等式，且含有待求的未知数$y$，两个条件都满足，因此是方程；
(4) $3x - y = 0$：式子有等号是等式，且含有待求的未知数$x、y$，两个条件都满足，因此是方程；
(5) $6x^2 + 2x + 7$：式子没有等号，属于代数式，不是等式，因此不是方程；
(6) $a + b = b + a$：式子是加法交换律的表达式，虽然有等号和字母，但其中$a、b$是表示任意有理数的字母，不是需要求解的未知数，因此不是方程；
(7) $|x| + 1 = 2$：式子有等号是等式，且含有待求的未知数$x$，两个条件都满足，因此是方程；
(8) $4x - 1 = 2x + 6$：式子有等号是等式，且含有待求的未知数$x$，两个条件都满足，因此是方程。
【答案】
(1) 不是方程，理由：该式子是不等式，不是等式。
(2) 不是方程，理由：该式子是不含未知数的等式。
(3) 是方程，未知数是$y$。
(4) 是方程，未知数是$x$和$y$。
(5) 不是方程，理由：该式子是代数式，没有等号，不是等式。
(6) 不是方程，理由：该等式表示加法交换律，其中的字母$a$、$b$可以取任意值，不含有需要求解的未知数。
(7) 是方程，未知数是$x$。
(8) 是方程，未知数是$x$。
【知识点】
1. 方程的定义
2. 等式与不等式的区分
3. 代数式的概念
【点评】
本题属于基础概念考查题，核心是对方程定义的理解与运用，解题时要注意区分表示运算律的恒等式与方程，也要注意代数式、不等式均不满足方程的条件，牢记两个判断条件即可快速解题。
【难度系数】
0.75
判断一个式子是否为方程，需紧扣方程的两个核心条件：一是式子必须是含有等号的等式，二是式子中必须含有需要求解的未知数，两个条件缺一不可。解题时我们可以按照“先看有无等号判断是否为等式，再看是否含有待求未知数”的顺序，逐个核对每个式子即可得出结论。
【解析】
首先明确方程的定义：含有未知数的等式叫做方程，需同时满足“是等式”“含有未知数”两个条件，逐一判断如下：
(1) $3t - 1 ＞ 1 - t$：式子使用不等号，属于不等式，不是等式，因此不是方程；
(2) $2 - (-3) = -1 + 6$：式子有等号是等式，但计算可知左右两边均为5，不含未知数，因此不是方程；
(3) $y^2 - 2 = 4y - 1$：式子有等号是等式，且含有待求的未知数$y$，两个条件都满足，因此是方程；
(4) $3x - y = 0$：式子有等号是等式，且含有待求的未知数$x、y$，两个条件都满足，因此是方程；
(5) $6x^2 + 2x + 7$：式子没有等号，属于代数式，不是等式，因此不是方程；
(6) $a + b = b + a$：式子是加法交换律的表达式，虽然有等号和字母，但其中$a、b$是表示任意有理数的字母，不是需要求解的未知数，因此不是方程；
(7) $|x| + 1 = 2$：式子有等号是等式，且含有待求的未知数$x$，两个条件都满足，因此是方程；
(8) $4x - 1 = 2x + 6$：式子有等号是等式，且含有待求的未知数$x$，两个条件都满足，因此是方程。
【答案】
(1) 不是方程，理由：该式子是不等式，不是等式。
(2) 不是方程，理由：该式子是不含未知数的等式。
(3) 是方程，未知数是$y$。
(4) 是方程，未知数是$x$和$y$。
(5) 不是方程，理由：该式子是代数式，没有等号，不是等式。
(6) 不是方程，理由：该等式表示加法交换律，其中的字母$a$、$b$可以取任意值，不含有需要求解的未知数。
(7) 是方程，未知数是$x$。
(8) 是方程，未知数是$x$。
【知识点】
1. 方程的定义
2. 等式与不等式的区分
3. 代数式的概念
【点评】
本题属于基础概念考查题，核心是对方程定义的理解与运用，解题时要注意区分表示运算律的恒等式与方程，也要注意代数式、不等式均不满足方程的条件，牢记两个判断条件即可快速解题。
【难度系数】
0.75
