23. (8分)校园内某公共区域使用盆栽装饰，其摆放位置如图所示.观察图形可知，盆栽被折线隔开分成若干层.其中第1层有1盆，第2层有3盆，第3层有5盆，第4层有7盆…以此类推.请根据以上摆放规律，解答下列问题(若涉及与层数n有关的情况，用含n的代数式表示)：
(1) 第7层有盆，第n层有盆，前n层共有盆；
(2) 计算：$1+3+5+\dots+99=$；
(3) 当$n≥53$，且$n$为整数时，求$101+103+\dots+(2n-1)$的值.

23. 解:(1)第$n$层有$(2n-1)$盆,当$n=7$时,$2n-1=2×7-1=13$,前$n$层共有$1+3+5+\dots+(2n-1)=n^2$(盆).(2)图形刚好构成边长为50的正方形的面积:$1+3+5+\dots+99=2\ 500$.(3)当$n≥53$,且$n$为整数时,$101+103+\dots+(2n-1)=[1+3+5+\dots+(2n-1)]-(1+3+5+\dots+99)=n^2-2\ 500$.

【分析】
首先观察每层盆栽数量，发现是从1开始的连续奇数：第1层数量为$2×1-1$，第2层为$2×2-1$，依此类推可推导第n层的盆栽数；再观察前n层盆栽总数的规律，前1层和为$1=1^2$，前2层和为$1+3=4=2^2$，前3层和为$1+3+5=9=3^2$，即可推出前n层的和的规律。第二问先确定99是第几个奇数，再套用求和规律计算。第三问可将所求式子转化为前n个奇数的和减去前50个奇数的和，代入规律即可求解。
【解析】
(1) 观察各层盆栽数量规律：
第1层：$1=2×1-1$
第2层：$3=2×2-1$
第3层：$5=2×3-1$
……
因此第n层有$(2n-1)$盆。
当$n=7$时，$2n-1=2×7-1=13$，即第7层有13盆。
前n层盆栽总数为$1+3+5+\dots+(2n-1)$，观察求和结果：
$n=1$时，和为$1=1^2$
$n=2$时，和为$1+3=4=2^2$
$n=3$时，和为$1+3+5=9=3^2$
……
因此前n层共有$n^2$盆。
(2) 令$2k-1=99$，解得$k=50$，即99是第50个奇数，因此：
$1+3+5+\dots+99=50^2=2500$
(3) 当$n≥53$时，$101+103+\dots+(2n-1)$可转化为前n个奇数的和减去前50个奇数的和：
$\begin{split}原式&=(1+3+5+\dots+(2n-1)) - (1+3+5+\dots+99)\\&=n^2 - 2500\end{split}$
【答案】
(1) $13$；$(2n-1)$；$n^2$
(2) $2500$
(3) $n^2-2500$
【知识点】
数字规律探究，列代数式，有理数运算
【点评】
本题是典型的规律探究类题目，核心是从已知数量中提炼出通用规律，再利用规律解决计算问题，解题时可运用转化思想简化复杂的求和运算。
【难度系数】
0.7

24. (10分)在数轴上,如果点A表示的数记为a,点B表示的数记为b,则A,B两点间的距离可记为$|a - b|$.请根据上述结论,解答下列问题:
(1) 在数轴上表示2与−5的点之间的距离是;在数轴上表示数x与2的点之间的距离用含x的代数式表示为.
(2) 已知$a=-3,b=1$.
① 若数轴上一点表示的数是x,且x满足$|x - a| + |x - b| = 6$,则x的值为;
② 若点P,Q分别从点A,B同时出发,沿数轴向左运动,点P的速度为每秒2个单位长度,点Q的速度为每秒1个单位长度.同时点R从表示数9的点出发,也沿数轴向左运动,速度为每秒4个单位长度.在运动过程中,当点R始终在点Q右侧时,小明同学发现:$m · QR + PQ$的值是一个定值(QR表示以Q,R为端点的线段,PQ表示以P,Q为端点的线段),请求出m的值.

24. 解:(1)在数轴上表示2与−5的点之间的距离是$2-(-5)=7$;在数轴上表示数x与2的点之间的距离用含x的代数式表示为$|x-2|$.(2) ①由题意得$|x+3|+|x-1|=6$,$\because1-(-3)=4＜6$,$\therefore x＜-3$或$x＞1$,当$x＜-3$时,则$-x-3-x+1=6$,解得$x=-4$;当$x＞1$时,则$x+3+x-1=6$,解得$x=2$.综上,x的值为−4或2;② 由题意得:t秒后,点P表示的数为$-3-2t$,点Q表示的数为$1-t$,点R表示的数为$9-4t$,当点R在点Q右侧时,$\therefore m· QR+PQ=m(9-4t-1+t)+(1-t+3+2t)=(8m+4)-(3m-1)t$,当$3m-1=0$,即$m=\frac{1}{3}$时,$m· QR+PQ$的值是一个定值.

【分析】
本题围绕数轴两点距离公式展开考察，解题思路如下：
(1) 直接套用数轴两点距离公式$|a-b|$，分别代入对应数值即可得到距离和代数式；
(2) ① 先代入a、b的值得到绝对值方程，先判断a、b两点间距为4，小于等号右侧的6，可知x不在a、b两点之间，分$x＜-3$和$x＞1$两种情况去绝对值，解一元一次方程即可；
② 设运动时间为t秒，先根据各点的出发点、运动方向和速度，用含t的代数式分别表示出t秒后P、Q、R三点对应的数，再根据R在Q右侧，可得QR为R对应数减去Q对应数，化简PQ的表达式，将两者代入$m·QR + PQ$后整理为关于t的多项式，若式子为定值，则t的系数必须为0，解方程即可求出m的值。
【解析】
(1) 数轴上表示2与-5的点之间的距离为$|2 - (-5)| =7$；表示数x与2的点之间的距离用含x的代数式表示为$|x-2|$。
(2) ① 已知$a=-3,b=1$，代入等式得$|x+3| + |x-1| =6$。
先求A、B两点间距：$1 - (-3) =4 ＜6$，因此x不在-3和1之间，分两种情况讨论：
当$x ＜ -3$时，去绝对值得：$-x-3 -x +1 =6$，解得$x=-4$；
当$x＞1$时，去绝对值得：$x+3 +x -1 =6$，解得$x=2$。
综上，x的值为-4或2。
② 设运动时间为t秒，根据题意：
t秒后点P表示的数为$-3-2t$，点Q表示的数为$1-t$，点R表示的数为$9-4t$。
因为点R始终在Q右侧，所以$QR = (9-4t) - (1-t) = 8-3t$，$PQ = (1-t) - (-3-2t) = 4+t$。
代入$m·QR + PQ$得：
$\begin{aligned}m·QR + PQ&=m(8-3t)+4+t\\&=(8m+4)+(1-3m)t\end{aligned}$
若式子为定值，即与t取值无关，则t的系数为0：$1-3m=0$，解得$m=\frac{1}{3}$。
【答案】
(1) $\boxed{7}$；$\boxed{|x-2|}$
(2) ① $\boxed{-4}$或$\boxed{2}$；② $\boxed{m=\dfrac{1}{3}}$
【知识点】
数轴两点距离公式，绝对值方程求解，数轴动点问题
【点评】
本题从基础的数轴距离计算入手，逐步过渡到绝对值分类讨论和动点定值问题，考察对绝对值性质的理解和动点问题的分析能力，解题的关键是掌握绝对值的分类化简方法，以及用时间参数表示运动后点对应数的技巧。
【难度系数】
0.6