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4.直线$l$与$\odot O$相交于点$A$,$B$,$AB=4$,点$O$到直线$l$的距离为1,点$P$,$Q$在直线$l$上,若$OP=\sqrt{5}+1$,$OQ=\sqrt{5}-1$,则点$P$位于$\odot O$
外
,点$Q$位于$\odot O$内
.答案
4.外,内 【提示】过点O作$OH⊥ l$,垂足为H(图略).
$\because OA=OB,AB=4,\therefore AH=BH=2$.
$\because OH=1,\therefore OA=OB=\sqrt{5}$.
$\therefore OP＞OA,OQ＜OA$.
$\therefore$点P在$\odot O$外,点Q在$\odot O$内.
$\because OA=OB,AB=4,\therefore AH=BH=2$.
$\because OH=1,\therefore OA=OB=\sqrt{5}$.
$\therefore OP＞OA,OQ＜OA$.
$\therefore$点P在$\odot O$外,点Q在$\odot O$内.
解析
【分析】
要判断点P、Q和⊙O的位置关系，核心是比较点到圆心的距离与圆半径的大小：距离大于半径则点在圆外，等于半径则点在圆上，小于半径则点在圆内。因此首先需要求出⊙O的半径：过圆心O作直线l的垂线，结合垂径定理可得到弦AB的半长，再用勾股定理即可算出半径，最后分别对比OP、OQ和半径的大小即可得出结论。
【解析】
过点O作$OH⊥ l$，垂足为H。
$\because OA=OB$（都是$\odot O$的半径），$OH⊥AB$，由垂径定理可得$AH=BH=\frac{1}{2}AB=2$。
已知$OH=1$，在$Rt△ OAH$中，根据勾股定理得：
$OA=\sqrt{AH^2+OH^2}=\sqrt{2^2+1^2}=\sqrt{5}$，即$\odot O$的半径$r=\sqrt{5}$。
$\because OP=\sqrt{5}+1＞\sqrt{5}$，即点P到圆心O的距离大于半径，$\therefore$点P在$\odot O$外；
$\because OQ=\sqrt{5}-1＜\sqrt{5}$，即点Q到圆心O的距离小于半径，$\therefore$点Q在$\odot O$内。
【答案】
外，内
【知识点】
垂径定理，勾股定理，点与圆的位置关系判定
【点评】
本题围绕点和圆的位置关系的判定设置，解题关键是先结合垂径定理、勾股定理求出圆的半径，再通过距离与半径的大小比较得出结论，属于基础类题型。
【难度系数】
0.8
要判断点P、Q和⊙O的位置关系，核心是比较点到圆心的距离与圆半径的大小：距离大于半径则点在圆外，等于半径则点在圆上，小于半径则点在圆内。因此首先需要求出⊙O的半径：过圆心O作直线l的垂线，结合垂径定理可得到弦AB的半长，再用勾股定理即可算出半径，最后分别对比OP、OQ和半径的大小即可得出结论。
【解析】
过点O作$OH⊥ l$，垂足为H。
$\because OA=OB$（都是$\odot O$的半径），$OH⊥AB$，由垂径定理可得$AH=BH=\frac{1}{2}AB=2$。
已知$OH=1$，在$Rt△ OAH$中，根据勾股定理得：
$OA=\sqrt{AH^2+OH^2}=\sqrt{2^2+1^2}=\sqrt{5}$，即$\odot O$的半径$r=\sqrt{5}$。
$\because OP=\sqrt{5}+1＞\sqrt{5}$，即点P到圆心O的距离大于半径，$\therefore$点P在$\odot O$外；
$\because OQ=\sqrt{5}-1＜\sqrt{5}$，即点Q到圆心O的距离小于半径，$\therefore$点Q在$\odot O$内。
【答案】
外，内
【知识点】
垂径定理，勾股定理，点与圆的位置关系判定
【点评】
本题围绕点和圆的位置关系的判定设置，解题关键是先结合垂径定理、勾股定理求出圆的半径，再通过距离与半径的大小比较得出结论，属于基础类题型。
【难度系数】
0.8
5.如图,在锐角三角形ABC中,以AB为直径的⊙O交边AC于点D.
(1)若∠BAC=50°,求∠AOD,∠BDO的度数.
(2)①由(1)∠BAC=50°,可得∠ADB的度数是多少?
②∠ADB的度数是否随∠BAC的变化而发生改变? 写出你的猜测,并说明理由.
(1)若∠BAC=50°,求∠AOD,∠BDO的度数.
(2)①由(1)∠BAC=50°,可得∠ADB的度数是多少?
②∠ADB的度数是否随∠BAC的变化而发生改变? 写出你的猜测,并说明理由.
答案
5.【解】(1)$\because OA=OD$,
$\therefore ∠ ADO=∠ BAC=50°.\therefore ∠ AOD=80°$.
$\because OB=OD,\therefore ∠ DBO=∠ BDO$.
$\because ∠ AOD=∠ OBD+∠ BDO,\therefore ∠ BDO=40°$.
(2)①$∠ ADB=∠ ADO+∠ BDO=50°+40°=90°$.
② 不改变.理由如下:
$\because OA=OB=OD$,
$\therefore ∠ BAC=∠ ADO,∠ DBO=∠ BDO$.
$\therefore ∠ ADB=∠ ADO+∠ BDO=∠ BAC+∠ ABD$.
$\because ∠ ADB+∠ BAC+∠ ABD=180°$,
$\therefore ∠ ADB=90°$,
即$∠ ADB$的度数不随$∠ BAC$的变化而改变.
$\therefore ∠ ADO=∠ BAC=50°.\therefore ∠ AOD=80°$.
$\because OB=OD,\therefore ∠ DBO=∠ BDO$.
$\because ∠ AOD=∠ OBD+∠ BDO,\therefore ∠ BDO=40°$.
(2)①$∠ ADB=∠ ADO+∠ BDO=50°+40°=90°$.
② 不改变.理由如下:
$\because OA=OB=OD$,
$\therefore ∠ BAC=∠ ADO,∠ DBO=∠ BDO$.
$\therefore ∠ ADB=∠ ADO+∠ BDO=∠ BAC+∠ ABD$.
$\because ∠ ADB+∠ BAC+∠ ABD=180°$,
$\therefore ∠ ADB=90°$,
即$∠ ADB$的度数不随$∠ BAC$的变化而改变.
解析
【分析】
本题围绕圆的基础性质展开解题：(1)首先利用同圆半径相等得到等腰三角形，结合等腰三角形两底角相等、三角形内角和定理先求出∠AOD的度数，再利用三角形外角的性质求解∠BDO；(2)①直接将∠ADO和∠BDO的度数相加即可得到∠ADB的度数；②从一般情况推导，利用半径相等得到两组等角，结合三角形内角和定理可证明∠ADB恒为90°，不随∠BAC的变化而改变，本质是直径所对圆周角为直角的定理推导。
【解析】
(1)
∵OA、OD都是⊙O的半径，
∴OA=OD，
∴△OAD为等腰三角形，∠ADO=∠BAC=50°，
根据三角形内角和为180°，可得∠AOD=180°-50°-50°=80°；
∵OB、OD都是⊙O的半径，
∴OB=OD，
∴△OBD为等腰三角形，∠DBO=∠BDO，
又
∵∠AOD是△OBD的外角，外角等于不相邻两个内角和，即∠AOD=∠OBD+∠BDO=2∠BDO，
∴∠BDO=80°÷2=40°。
(2)①∠ADB由∠ADO和∠BDO组成，
∴∠ADB=∠ADO+∠BDO=50°+40°=90°。
②∠ADB的度数不随∠BAC的变化而改变，理由如下：
∵OA、OB、OD都是⊙O的半径，
∴OA=OB=OD，
∴∠BAC=∠ADO，∠DBO=∠BDO，
∴∠ADB=∠ADO+∠BDO=∠BAC+∠ABD，
在△ABD中，根据内角和定理：∠ADB+∠BAC+∠ABD=180°，
将∠BAC+∠ABD替换为∠ADB，得2∠ADB=180°，
解得∠ADB=90°，因此∠ADB恒为90°，不随∠BAC的变化而改变。
【答案】
(1)∠AOD=80°，∠BDO=40°；
(2)①∠ADB=90°；②∠ADB的度数不改变，恒为90°
【知识点】
圆的半径相等；等腰三角形性质；圆周角定理
【点评】
本题是圆的基础题型，重点考察圆的基础性质与三角形相关性质的结合，通过推导过程帮助理解直径所对圆周角为直角的定理，侧重基础知识点的综合应用。
【难度系数】
0.8
本题围绕圆的基础性质展开解题：(1)首先利用同圆半径相等得到等腰三角形，结合等腰三角形两底角相等、三角形内角和定理先求出∠AOD的度数，再利用三角形外角的性质求解∠BDO；(2)①直接将∠ADO和∠BDO的度数相加即可得到∠ADB的度数；②从一般情况推导，利用半径相等得到两组等角，结合三角形内角和定理可证明∠ADB恒为90°，不随∠BAC的变化而改变，本质是直径所对圆周角为直角的定理推导。
【解析】
(1)
∵OA、OD都是⊙O的半径，
∴OA=OD，
∴△OAD为等腰三角形，∠ADO=∠BAC=50°，
根据三角形内角和为180°，可得∠AOD=180°-50°-50°=80°；
∵OB、OD都是⊙O的半径，
∴OB=OD，
∴△OBD为等腰三角形，∠DBO=∠BDO，
又
∵∠AOD是△OBD的外角，外角等于不相邻两个内角和，即∠AOD=∠OBD+∠BDO=2∠BDO，
∴∠BDO=80°÷2=40°。
(2)①∠ADB由∠ADO和∠BDO组成，
∴∠ADB=∠ADO+∠BDO=50°+40°=90°。
②∠ADB的度数不随∠BAC的变化而改变，理由如下：
∵OA、OB、OD都是⊙O的半径，
∴OA=OB=OD，
∴∠BAC=∠ADO，∠DBO=∠BDO，
∴∠ADB=∠ADO+∠BDO=∠BAC+∠ABD，
在△ABD中，根据内角和定理：∠ADB+∠BAC+∠ABD=180°，
将∠BAC+∠ABD替换为∠ADB，得2∠ADB=180°，
解得∠ADB=90°，因此∠ADB恒为90°，不随∠BAC的变化而改变。
【答案】
(1)∠AOD=80°，∠BDO=40°；
(2)①∠ADB=90°；②∠ADB的度数不改变，恒为90°
【知识点】
圆的半径相等；等腰三角形性质；圆周角定理
【点评】
本题是圆的基础题型，重点考察圆的基础性质与三角形相关性质的结合，通过推导过程帮助理解直径所对圆周角为直角的定理，侧重基础知识点的综合应用。
【难度系数】
0.8
