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12.如图,在矩形ABCD中,AB=8,BC=6,AH⊥BD,垂足为H,以点A为圆心,r为半径作⊙A.
(1)当r=8时,直接写出点B,C,D与⊙A有怎样的位置关系;
(2)当点B,C,D中至少有一点在⊙A内,且至少有一点在⊙A外时,求半径r的取值范围;
(3)当⊙A经过点H时,求半径r的值.
(1)当r=8时,直接写出点B,C,D与⊙A有怎样的位置关系;
(2)当点B,C,D中至少有一点在⊙A内,且至少有一点在⊙A外时,求半径r的取值范围;
(3)当⊙A经过点H时,求半径r的值.
答案
12.【解】(1)点B在$\odot A$上,点C在$\odot A$外,点D在$\odot A$内.
(2)$\because AB=8,BC=6,\therefore AC=BD=10$.
$\therefore$当$6＜r＜10$时,点B,C,D中至少有一点在$\odot A$内,且至少有一点在$\odot A$外.
(3)$\because AH=\dfrac{AB· AD}{BD}=\dfrac{8× 6}{10}=\dfrac{24}{5}$,
$\therefore$当$\odot A$经过点H时,$r=\dfrac{24}{5}$.
(2)$\because AB=8,BC=6,\therefore AC=BD=10$.
$\therefore$当$6＜r＜10$时,点B,C,D中至少有一点在$\odot A$内,且至少有一点在$\odot A$外.
(3)$\because AH=\dfrac{AB· AD}{BD}=\dfrac{8× 6}{10}=\dfrac{24}{5}$,
$\therefore$当$\odot A$经过点H时,$r=\dfrac{24}{5}$.
解析
【分析】
解决本题的核心是明确点与圆的位置关系的判定方法：设点到圆心的距离为d，半径为r，当d＜r时，点在圆内；当d=r时，点在圆上；当d＞r时，点在圆外。解题步骤如下：1.先结合矩形性质和勾股定理，求出点B、C、D到圆心A的距离；2.第(1)问将各点到A的距离与r=8比较，直接判定位置关系；3.第(2)问要满足“至少一点在圆内、至少一点在圆外”，只需让r大于三个点到A距离的最小值、小于最大值即可；4.第(3)问⊙A过点H说明AH=r，利用直角三角形面积的两种计算方法（两直角边乘积的一半、斜边乘斜边上高的一半）求出AH的长度，即可得到r的值。
【解析】
解：(1)
∵四边形ABCD是矩形，
∴AD=BC=6，∠DAB=90°，
由勾股定理得对角线$AC=BD=\sqrt{AB^2+AD^2}=\sqrt{8^2+6^2}=10$，
即点D到A的距离AD=6，点B到A的距离AB=8，点C到A的距离AC=10，
当r=8时：
∵AD=6＜8，
∴点D在⊙A内；
∵AB=8=r，
∴点B在⊙A上；
∵AC=10＞8，
∴点C在⊙A外。
(2)三个点到圆心A的距离的最小值为AD=6，最大值为AC=10，
要使点B、C、D中至少有一点在⊙A内，且至少有一点在⊙A外，
则r需满足$6＜r＜10$。
(3)
∵AH⊥BD，AH是Rt△ABD斜边BD上的高，
由三角形面积公式可得：$S_{△ ABD}=\frac{1}{2}AB· AD=\frac{1}{2}BD· AH$，
代入数值：$\frac{1}{2}×8×6=\frac{1}{2}×10× AH$，
解得$AH=\frac{8×6}{10}=\frac{24}{5}$，
∵⊙A经过点H，
∴$r=AH=\frac{24}{5}$。
【答案】
(1)点B在$\odot A$上，点C在$\odot A$外，点D在$\odot A$内；
(2)$6＜r＜10$；
(3)$r=\dfrac{24}{5}$
【知识点】
点与圆的位置关系，矩形的性质，勾股定理
【点评】
本题是点与圆位置关系的基础应用题，结合了矩形性质、勾股定理和面积法求高的知识点，解题的关键是牢牢掌握点和圆三种位置关系对应的距离与半径的大小关系，灵活运用几何图形的性质计算线段长度即可。
【难度系数】
0.7
解决本题的核心是明确点与圆的位置关系的判定方法：设点到圆心的距离为d，半径为r，当d＜r时，点在圆内；当d=r时，点在圆上；当d＞r时，点在圆外。解题步骤如下：1.先结合矩形性质和勾股定理，求出点B、C、D到圆心A的距离；2.第(1)问将各点到A的距离与r=8比较，直接判定位置关系；3.第(2)问要满足“至少一点在圆内、至少一点在圆外”，只需让r大于三个点到A距离的最小值、小于最大值即可；4.第(3)问⊙A过点H说明AH=r，利用直角三角形面积的两种计算方法（两直角边乘积的一半、斜边乘斜边上高的一半）求出AH的长度，即可得到r的值。
【解析】
解：(1)
∵四边形ABCD是矩形，
∴AD=BC=6，∠DAB=90°，
由勾股定理得对角线$AC=BD=\sqrt{AB^2+AD^2}=\sqrt{8^2+6^2}=10$，
即点D到A的距离AD=6，点B到A的距离AB=8，点C到A的距离AC=10，
当r=8时：
∵AD=6＜8，
∴点D在⊙A内；
∵AB=8=r，
∴点B在⊙A上；
∵AC=10＞8，
∴点C在⊙A外。
(2)三个点到圆心A的距离的最小值为AD=6，最大值为AC=10，
要使点B、C、D中至少有一点在⊙A内，且至少有一点在⊙A外，
则r需满足$6＜r＜10$。
(3)
∵AH⊥BD，AH是Rt△ABD斜边BD上的高，
由三角形面积公式可得：$S_{△ ABD}=\frac{1}{2}AB· AD=\frac{1}{2}BD· AH$，
代入数值：$\frac{1}{2}×8×6=\frac{1}{2}×10× AH$，
解得$AH=\frac{8×6}{10}=\frac{24}{5}$，
∵⊙A经过点H，
∴$r=AH=\frac{24}{5}$。
【答案】
(1)点B在$\odot A$上，点C在$\odot A$外，点D在$\odot A$内；
(2)$6＜r＜10$；
(3)$r=\dfrac{24}{5}$
【知识点】
点与圆的位置关系，矩形的性质，勾股定理
【点评】
本题是点与圆位置关系的基础应用题，结合了矩形性质、勾股定理和面积法求高的知识点，解题的关键是牢牢掌握点和圆三种位置关系对应的距离与半径的大小关系，灵活运用几何图形的性质计算线段长度即可。
【难度系数】
0.7
1.如图，AB是半圆O的直径，动点P从圆心O出发，沿OA→$\overset{\frown}{AB}$→BO的路径运动一周，设OP=y，运动的时间为x，则下列图象中，能大致表示y与x之间关系的是(
B
).答案
1.B
解析
【分析】
要判断y与x的函数图像，需将点P的运动过程分为3个阶段，逐一分析每个阶段中OP的长度y随运动时间x的变化规律，再匹配对应的图像：
1. 第一阶段：P从O出发沿OA运动，此时P离O点的距离逐渐增大，因此y随x的增大而增大，直到P到达A点时，y等于半圆的半径，达到最大值；
2. 第二阶段：P沿弧AB运动，根据圆的半径性质，圆上任意一点到圆心的距离都等于半径，因此该阶段OP长度始终等于半径，y保持不变；
3. 第三阶段：P沿BO运动，此时P离O点的距离逐渐减小，因此y随x的增大而减小，直到P回到O点时，y=0。
结合三个阶段的变化趋势，即可选出符合的图像。
【解析】
我们分三个运动阶段分析y与x的关系：
① 当P沿OA运动时：P从O向A移动，OP的长度随运动时间增加而逐渐增大，y随x的增大而增大；
② 当P沿$\overset{\frown}{AB}$运动时：P在圆弧上，OP是半圆的半径，长度恒定不变，因此y保持不变；
③ 当P沿BO运动时：P从B向O移动，OP的长度随运动时间增加而逐渐减小，y随x的增大而减小。
综上，y随x的变化规律是：先增大，再保持不变，最后减小，对应图像为选项B。
【答案】
B
【知识点】
圆的基本性质，动点函数图像判断
【点评】
本题解题核心是对动点的运动过程分段讨论，分析每一段中两个变量的变化趋势，再结合选项特征筛选答案，侧重考查对运动过程的拆解能力和函数图像的识别能力。
【难度系数】
0.8
要判断y与x的函数图像，需将点P的运动过程分为3个阶段，逐一分析每个阶段中OP的长度y随运动时间x的变化规律，再匹配对应的图像：
1. 第一阶段：P从O出发沿OA运动，此时P离O点的距离逐渐增大，因此y随x的增大而增大，直到P到达A点时，y等于半圆的半径，达到最大值；
2. 第二阶段：P沿弧AB运动，根据圆的半径性质，圆上任意一点到圆心的距离都等于半径，因此该阶段OP长度始终等于半径，y保持不变；
3. 第三阶段：P沿BO运动，此时P离O点的距离逐渐减小，因此y随x的增大而减小，直到P回到O点时，y=0。
结合三个阶段的变化趋势，即可选出符合的图像。
【解析】
我们分三个运动阶段分析y与x的关系：
① 当P沿OA运动时：P从O向A移动，OP的长度随运动时间增加而逐渐增大，y随x的增大而增大；
② 当P沿$\overset{\frown}{AB}$运动时：P在圆弧上，OP是半圆的半径，长度恒定不变，因此y保持不变；
③ 当P沿BO运动时：P从B向O移动，OP的长度随运动时间增加而逐渐减小，y随x的增大而减小。
综上，y随x的变化规律是：先增大，再保持不变，最后减小，对应图像为选项B。
【答案】
B
【知识点】
圆的基本性质，动点函数图像判断
【点评】
本题解题核心是对动点的运动过程分段讨论，分析每一段中两个变量的变化趋势，再结合选项特征筛选答案，侧重考查对运动过程的拆解能力和函数图像的识别能力。
【难度系数】
0.8
2.如图,在△ABC中,∠ACB=90°,AB=5,BC=4.以点A为圆心,r为半径作圆,当点C在⊙A内且点B在⊙A外时,r的值可能是(
A.2
B.3
C.4
D.5
C
).A.2
B.3
C.4
D.5
答案
2.C
解析
【分析】
要解决本题，首先需要明确点和圆的位置关系的判定规则：点在圆内时，点到圆心的距离小于半径；点在圆外时，点到圆心的距离大于半径。首先我们先利用勾股定理求出线段AC的长度，再结合点C、B和⊙A的位置关系，列出半径r的取值范围，最后匹配选项即可得到答案。
【解析】
在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AB=5，BC=4，根据勾股定理可得：
$AC=\sqrt{AB^2-BC^2}=\sqrt{5^2-4^2}=\sqrt{25-16}=3$
因为点C在⊙A内，所以$r＞AC$，即$r＞3$；
因为点B在⊙A外，所以$r＜AB$，即$r＜5$；
因此r的取值范围是$3＜r＜5$，观察选项，只有4符合该范围。
【答案】
C
【知识点】
勾股定理；点与圆的位置关系
【点评】
本题属于基础题，核心是掌握点与圆位置关系的判定方法，结合勾股定理求出相关线段的长度，即可快速确定半径的取值范围。
【难度系数】
0.8
要解决本题，首先需要明确点和圆的位置关系的判定规则：点在圆内时，点到圆心的距离小于半径；点在圆外时，点到圆心的距离大于半径。首先我们先利用勾股定理求出线段AC的长度，再结合点C、B和⊙A的位置关系，列出半径r的取值范围，最后匹配选项即可得到答案。
【解析】
在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AB=5，BC=4，根据勾股定理可得：
$AC=\sqrt{AB^2-BC^2}=\sqrt{5^2-4^2}=\sqrt{25-16}=3$
因为点C在⊙A内，所以$r＞AC$，即$r＞3$；
因为点B在⊙A外，所以$r＜AB$，即$r＜5$；
因此r的取值范围是$3＜r＜5$，观察选项，只有4符合该范围。
【答案】
C
【知识点】
勾股定理；点与圆的位置关系
【点评】
本题属于基础题，核心是掌握点与圆位置关系的判定方法，结合勾股定理求出相关线段的长度，即可快速确定半径的取值范围。
【难度系数】
0.8
3.如图，AB是$\odot O$的弦，C是优弧$\overset{\frown}{ACB}$上的动点（点C不与A，B两点重合），$CH ⊥ AB$，垂足为H，M是BC的中点。若$\odot O$的半径是3，则MH长的最大值是
3
。答案
3.3 【提示】$\because CH⊥ AB,\therefore ∠ BHC=90°$.
$\because$在$\mathrm{Rt}△ BHC$中,M是BC的中点.
$\therefore MH=\dfrac{1}{2}BC$.
$\therefore$当BC为直径时,MH最大.
$\therefore MH$长的最大值是3.
$\because$在$\mathrm{Rt}△ BHC$中,M是BC的中点.
$\therefore MH=\dfrac{1}{2}BC$.
$\therefore$当BC为直径时,MH最大.
$\therefore MH$长的最大值是3.
解析
【分析】
解题时先观察图形和已知条件：由CH⊥AB可得△BHC是直角三角形，结合M是BC中点的条件，可联想到直角三角形斜边中线的性质，推导出MH和BC的数量关系，将求MH最大值的问题转化为求BC最大值的问题；再结合圆的性质，圆内最长的弦是直径，即可求出MH的最大值。
【解析】
解：$\because CH ⊥ AB$，垂足为$H$
$\therefore ∠ BHC=90°$，$△ BHC$为直角三角形
$\because M$是$\mathrm{Rt}△ BHC$斜边$BC$的中点
$\therefore$根据直角三角形斜边中线等于斜边的一半，得$MH=\dfrac{1}{2}BC$
要使$MH$长度最大，则$BC$的长度需取最大值。在$\odot O$中，最长的弦是直径，已知$\odot O$的半径为3，因此直径长为$2×3=6$，即$BC$的最大值为6。
$\therefore MH$的最大值为$\dfrac{1}{2}×6=3$
【答案】
3
【知识点】
直角三角形斜边中线性质，圆的弦的性质，最值转化
【点评】
本题侧重考查基础性质的灵活应用，核心是利用转化思想将求MH的最值转化为求弦BC的最值，结合直角三角形和圆的基础性质即可求解，解题思路清晰巧妙。
【难度系数】
0.7
解题时先观察图形和已知条件：由CH⊥AB可得△BHC是直角三角形，结合M是BC中点的条件，可联想到直角三角形斜边中线的性质，推导出MH和BC的数量关系，将求MH最大值的问题转化为求BC最大值的问题；再结合圆的性质，圆内最长的弦是直径，即可求出MH的最大值。
【解析】
解：$\because CH ⊥ AB$，垂足为$H$
$\therefore ∠ BHC=90°$，$△ BHC$为直角三角形
$\because M$是$\mathrm{Rt}△ BHC$斜边$BC$的中点
$\therefore$根据直角三角形斜边中线等于斜边的一半，得$MH=\dfrac{1}{2}BC$
要使$MH$长度最大，则$BC$的长度需取最大值。在$\odot O$中，最长的弦是直径，已知$\odot O$的半径为3，因此直径长为$2×3=6$，即$BC$的最大值为6。
$\therefore MH$的最大值为$\dfrac{1}{2}×6=3$
【答案】
3
【知识点】
直角三角形斜边中线性质，圆的弦的性质，最值转化
【点评】
本题侧重考查基础性质的灵活应用，核心是利用转化思想将求MH的最值转化为求弦BC的最值，结合直角三角形和圆的基础性质即可求解，解题思路清晰巧妙。
【难度系数】
0.7
