3.已知$\odot O$的半径$OA$的长为$\sqrt{2}$，若$OB=\sqrt{3}$，则正确的图形可能是().

3.D

【分析】
要解决这道题，首先回忆点与圆的位置关系的判定方法：设圆的半径为$r$，点到圆心的距离为$d$，若$d＞r$，点在圆外；若$d=r$，点在圆上；若$d＜r$，点在圆内。首先我们先确定圆的半径和点B到圆心的距离，比较两者大小判断点B的位置，再对应选择符合要求的图形即可。
【解析】
解：已知$\odot O$的半径$r=OA=\sqrt{2}$，点B到圆心O的距离$d=OB=\sqrt{3}$。
比较$d$和$r$的大小：$\because \sqrt{3}＞\sqrt{2}$，即$d＞r$，
$\therefore$点B在$\odot O$的外部。
观察四个选项：A、C选项中点B在圆内，B选项中点B在圆上，仅D选项中点B在圆外，符合要求。
【答案】
D
【知识点】
1. 点与圆的位置关系判定
2. 无理数大小比较
【点评】
本题属于基础题，核心考查点与圆的位置关系的判定规则，只要掌握根据点到圆心的距离和半径的大小关系判断点位置的方法，就能快速得出答案。
【难度系数】
0.9

4.在平面直角坐标系中，O是坐标原点，$\odot O$的半径为5，若点P的坐标为$(4,1)$，则点P与$\odot O$的位置关系是().

A.点P在$\odot O$内
B.点P在$\odot O$上
C.点P在$\odot O$外
D.点P在$\odot O$上或$\odot O$外

4.A

【分析】
要判断点与圆的位置关系，核心方法是比较点到圆心的距离d和圆半径r的大小：若d＜r，点在圆内；若d=r，点在圆上；若d＞r，点在圆外。本题中圆心是坐标原点O，半径r=5，因此只需先计算点P到O的距离OP，再和5比较大小即可得出结论。
【解析】
解：判断点与圆的位置关系需比较点到圆心的距离和半径的大小：
1. 明确已知条件：⊙O的半径$r=5$，圆心O为坐标原点，点P坐标为$(4,1)$。
2. 计算点P到O的距离：根据平面直角坐标系两点间距离公式（或勾股定理），
$OP=\sqrt{(4-0)^2+(1-0)^2}=\sqrt{16+1}=\sqrt{17}$。
3. 比较大小：$\sqrt{17}＜\sqrt{25}=5$，即$OP＜r$。
因此点P在$\odot O$内，对应选项A。
【答案】
A
【知识点】
1. 点与圆的位置关系判定
2. 两点间距离计算
【点评】
本题是基础题型，核心考查点与圆位置关系的判定逻辑，只要掌握“距离与半径比大小”的判定规则，正确计算点到圆心的距离即可快速解答。
【难度系数】
0.9

5.如图,点A,D,M在半圆O上,点C,F,N在直径上,四边形ACOB,DFOE,MNOH均为矩形.设对角线$BC=a$,$EF=b$,$HN=c$,则下列关系式成立的是().

A.$a＞b＞c$
B.$a=b=c$
C.$c＞a＞b$
D.$b＞c＞a$

5.B

【分析】
解决本题的核心是利用矩形的性质进行线段转化：首先观察到三个待比较长度的线段都是矩形的对角线，结合矩形对角线相等的性质，可将这三条线段分别转化为圆心O到半圆上对应点的连线，而这些连线均是半圆的半径，根据同圆半径相等即可得到三条线段的大小关系。
【解析】
∵ 四边形ACOB是矩形，根据矩形对角线相等的性质，可得$BC=OA$，
又
∵ 点A在半圆O上，
∴ OA是半圆O的半径；
同理，四边形DFOE是矩形，可得$EF=OD$，OD是半圆O的半径；
四边形MNOH是矩形，可得$HN=OM$，OM是半圆O的半径；
∵ 同圆的所有半径相等，即$OA=OD=OM$，
∴ $BC=EF=HN$，即$a=b=c$。
【答案】
B
【知识点】
矩形的性质，圆的半径相等
【点评】
本题是几何基础转化题，将待比较的矩形对角线转化为同圆的半径是解题的突破口，不需要复杂计算，侧重对基础性质的灵活运用。
【难度系数】
0.8

6.已知C是以AB为直径的$\odot O$上的一点(不与点A，B重合).若$AB=3$，$AC=x$，则x的取值范围是.

6.$0＜x＜3$

【分析】
解题时首先结合已知条件，回忆圆周角定理的推论：直径所对的圆周角为直角，可得△ABC是直角三角形，其中AB为斜边；再根据直角三角形中直角边小于斜边的性质，可得到AC的长度小于AB的长度；最后结合题目中C不与A、B重合的限制，排除AC长度为0和3的情况，即可得出x的取值范围。
【解析】
∵AB是⊙O的直径，C是⊙O上不与A、B重合的点，
∴根据直径所对的圆周角是直角，可得∠ACB=90°，即△ACB为直角三角形，AB是斜边。
在直角三角形中，直角边长度小于斜边长度，因此AC ＜ AB = 3。
又
∵点C不与点A、B重合，
∴AC≠0（C与A重合时AC=0），AC≠3（C与B重合时AC=AB=3），
综上，x的取值范围是0 ＜ x ＜ 3。
【答案】
$0＜x＜3$
【知识点】
圆周角定理推论；直角三角形的性质
【点评】
本题属于基础题，重点考查圆的基本性质与直角三角形性质的综合应用，解题时要注意题干给出的限制条件，不要忽略端点值的排除。
【难度系数】
0.9

7.在$△ ABC$中，$AB＝AC$，以点A为圆心，AB为半径作$\odot A$，则点C和$\odot A$的位置关系是。

7.点C在$\odot A$上

【分析】
要判断点和圆的位置关系，核心方法是比较点到圆心的距离与圆半径的大小：若距离等于半径，点在圆上；若距离小于半径，点在圆内；若距离大于半径，点在圆外。本题首先明确$\odot A$的圆心是点A、半径为AB，再找到点C到圆心A的距离为AC，结合已知$AB=AC$的条件，就能推出点C到圆心的距离等于半径，进而得出位置关系。
【解析】
1. 点与圆的位置关系判定规则：设圆的半径为$r$，点到圆心的距离为$d$，则$d=r⇔$点在圆上，$d＜r⇔$点在圆内，$d＞r⇔$点在圆外。
2. 由题意得，$\odot A$的半径$r=AB$，点C到圆心A的距离$d=AC$。
3. 已知$AB=AC$，因此$d=r$，满足点在圆上的判定条件。
【答案】
点C在$\odot A$上
【知识点】
点与圆的位置关系判定；圆的相关概念；等腰三角形性质
【点评】
本题是基础概念应用题，解题关键是熟练掌握点与圆位置关系的判定方法，结合题目给出的边相等的条件即可快速得出结论。
【难度系数】
0.9

8.如图，AB为$\odot O$的直径，C为$\odot O$上一点.若$∠ ACO=20°$，则$∠ BOC$的度数是.

8.$40°$

【分析】
解题时首先利用圆的半径都相等，得到OA=OC，可判断△OAC为等腰三角形，根据等腰三角形两底角相等求出∠OAC的度数，再根据三角形外角性质（或圆周角定理）即可求出∠BOC的度数。
【解析】
∵ OA、OC都是⊙O的半径
∴ OA=OC
∴ △OAC是等腰三角形，∠OAC=∠ACO=20°
∵ ∠BOC是△AOC的外角，三角形外角等于与它不相邻的两个内角之和
∴ ∠BOC=∠OAC + ∠ACO = 20°+20°=40°
也可根据圆周角定理求解：∠BOC是弧BC所对的圆心角，∠BAC是弧BC所对的圆周角，同弧所对的圆心角是圆周角的2倍，因此∠BOC=2∠BAC=40°。
【答案】
40°
【知识点】
圆的半径相等；等腰三角形性质；圆周角定理
【点评】
本题属于圆的基础题型，核心是结合圆的基本性质和三角形角度相关知识求解，解题关键是利用半径相等得到等腰三角形，进而推导角度关系，解题思路比较直接。
【难度系数】
0.8

9.在半径为2的$\odot O$中,若弦$AB=2\sqrt{2}$,则$∠ AOB$的度数是.

9.$90°$

【分析】
首先根据圆的性质可知同圆的半径相等，因此△AOB的两条边OA、OB长度均等于圆的半径2，已知第三边AB的长度，我们可以利用勾股定理的逆定理判断△AOB的形状，进而求出∠AOB的度数。解题时先确定三边长度，再计算三边的平方验证勾股逆定理的条件，最后得出角度即可。
【解析】
解：
∵ OA和OB都是⊙O的半径，⊙O的半径为2，
∴ OA = OB = 2，
又
∵ AB = 2√2，
∴ OA² + OB² = 2² + 2² = 8，
AB² = (2√2)² = 8，
∴ OA² + OB² = AB²，
由勾股定理的逆定理可知，△AOB是直角三角形，且∠AOB为直角，
∴ ∠AOB = 90°。
【答案】
90°
【知识点】
圆的基本性质，勾股定理的逆定理
【点评】
本题是基础题型，解题核心是利用同圆半径相等得到三角形两条边的长度，再结合勾股定理逆定理判断三角形形状，只要熟练掌握相关基础性质就能快速解答。
【难度系数】
0.9

10.如图，在$\odot O$中，C，D分别是半径OA，OB的中点，AD，BC相交于点E，则图中的等腰三角形有________。

10.$△ OAB,△ EAB$

【分析】
解题时首先利用同圆的半径相等，可先判断出△OAB为等腰三角形；再结合中点的性质得到OC=OD，通过SAS证明△OAD≌△OBC，得到对应角相等，结合△OAB的底角相等，推导得出∠EAB=∠EBA，即可判断△EAB也是等腰三角形。
【解析】
1. 判断△OAB的形状：
∵OA、OB是⊙O的半径，
∴OA=OB，
∴△OAB是等腰三角形，且∠OAB=∠OBA。
2. 判断△EAB的形状：
∵C、D分别是OA、OB的中点，
∴$OC=\frac{1}{2}OA$，$OD=\frac{1}{2}OB$，结合OA=OB可得OC=OD。
在△OAD和△OBC中：
$\{\begin{array}{l}OA=OB\\ ∠ AOD=∠ BOC(\mathrm{公共角})\\ OD=OC\end{array} $
∴△OAD≌△OBC（SAS），
∴∠OAD=∠OBC。
∵∠OAB-∠OAD=∠OBA-∠OBC，
∴∠EAB=∠EBA，
∴EA=EB，即△EAB是等腰三角形。
综上，图中的等腰三角形为△OAB、△EAB。
【答案】
$△ OAB,△ EAB$
【知识点】
圆的基本性质，全等三角形的判定与性质，等腰三角形的判定
【点评】
本题属于基础题，结合圆的特征和三角形的相关知识考查等腰三角形的判定，解题的关键是灵活运用同圆半径相等的性质和全等三角形的性质推导角的相等关系。
【难度系数】
0.7

11.如图,在$△ ABC$中,$AB=AC$,$AD⊥ BC$于点$D$,以$AD$上一点$O$为圆心,$OA$为半径作$\odot O$,分别交$AB$,$AC$于点$E$,$F$.
求证:$BE=CF$.

11.【证明】如图,连接OE,OF.
$\because AB=AC,AD⊥ BC$,
$\therefore ∠ BAD=∠ CAD$.
$\because OA=OE=OF$,
$\therefore ∠ EAO=∠ OEA$,
$∠ FAO=∠ OFA$.
$\therefore ∠ OEA=∠ OFA$.
$\therefore △ OEA≌△ OFA(\mathrm{AAS})$.
$\therefore AE=AF$.
$\therefore AB-AE=AC-AF$,即$BE=CF$.

【分析】
要证明$BE=CF$，已知$AB=AC$，因此可将问题转化为证明$AE=AF$。我们可以通过连接$OE$、$OF$构造三角形，利用全等三角形证明$AE=AF$：首先根据等腰三角形“三线合一”的性质可得$∠BAD=∠CAD$，再结合同圆的半径相等，得到$OA=OE=OF$，进而推导对应角相等，证明$△ OEA$和$△ OFA$全等，即可得到$AE=AF$，最后通过线段的和差关系推出$BE=CF$。
【解析】
证明：如图，连接$OE$，$OF$。
$\because AB=AC,AD⊥ BC$,
$\therefore ∠ BAD=∠ CAD$。
$\because OA、OE、OF$都是$\odot O$的半径，
$\therefore OA=OE=OF$,
$\therefore ∠ EAO=∠ OEA$，$∠ FAO=∠ OFA$，
$\therefore ∠ OEA=∠ OFA$。
在$△ OEA$和$△ OFA$中：
$\begin{cases}∠OEA=∠OFA \\∠EAO=∠FAO \\OA=OA\end{cases}$
$\therefore △ OEA≌△ OFA(\mathrm{AAS})$，
$\therefore AE=AF$，
$\therefore AB-AE=AC-AF$，即$BE=CF$。
【答案】
【证明】如图,连接OE,OF.
$\because AB=AC,AD⊥ BC$,
$\therefore ∠ BAD=∠ CAD$.
$\because OA=OE=OF$,
$\therefore ∠ EAO=∠ OEA$,
$∠ FAO=∠ OFA$.
$\therefore ∠ OEA=∠ OFA$.
$\therefore △ OEA≌△ OFA(\mathrm{AAS})$.
$\therefore AE=AF$.
$\therefore AB-AE=AC-AF$,即$BE=CF$.
【知识点】
1.等腰三角形性质
2.全等三角形的判定与性质
3.圆的半径性质
【点评】
本题属于基础几何证明题，解题的关键是合理作辅助线连接半径，将待证的线段相等问题转化为全等三角形的证明，同时结合等腰三角形的性质推导等角，较好地考查了几何转化思维和基础定理的运用能力。
【难度系数】
0.75