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1.在$△ ABC$中，$CA=CB$，经过$A$，$B$两点的圆的圆心为$O$，则下列说法正确的是（
A.点$O$在边$AB$的垂直平分线上
B.点$O$在$∠ CAB$的平分线上
C.点$O$在边$CA$的垂直平分线上
D.点$O$在$∠ CBA$的平分线上
A
）.A.点$O$在边$AB$的垂直平分线上
B.点$O$在$∠ CAB$的平分线上
C.点$O$在边$CA$的垂直平分线上
D.点$O$在$∠ CBA$的平分线上
答案
1.A
解析
【分析】
解题时首先回忆圆的基本性质和线段垂直平分线的判定定理：1. 同圆的所有半径相等，因此过A、B两点的圆的圆心O到A、B的距离相等，即OA=OB；2. 到线段两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上，由此可直接判断A选项；其余选项需要额外的判定条件，题干未给出相关信息，因此均可排除。还要注意题干给出的CA=CB是干扰信息，仅能说明点C在AB的垂直平分线上，和点O的位置无关。
【解析】
∵ 点O是经过A、B两点的圆的圆心，
∴ OA、OB都是该圆的半径，即OA=OB（同圆的半径相等）。
根据线段垂直平分线的判定定理：到线段两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上，可得点O在边AB的垂直平分线上，故A选项正确。
对其余选项分析：
B选项：要判定点O在∠CAB的平分线上，需要满足点O到AB、AC的距离相等，题干无相关条件，无法推出；
C选项：要判定点O在边CA的垂直平分线上，需要满足OC=OA，题干无相关条件，无法推出；
D选项：要判定点O在∠CBA的平分线上，需要满足点O到AB、BC的距离相等，题干无相关条件，无法推出。
综上，只有A选项正确。
【答案】
A
【知识点】
1. 圆的基本性质
2. 线段垂直平分线的判定
【点评】
本题属于基础题，核心考查圆的性质与线段垂直平分线判定的结合运用，解题的关键是抓住“圆心到圆上任意两点的距离相等”这一性质，结合判定定理快速锁定正确选项，注意不要被题干中多余的条件CA=CB干扰判断。
【难度系数】
0.8
解题时首先回忆圆的基本性质和线段垂直平分线的判定定理：1. 同圆的所有半径相等，因此过A、B两点的圆的圆心O到A、B的距离相等，即OA=OB；2. 到线段两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上，由此可直接判断A选项；其余选项需要额外的判定条件，题干未给出相关信息，因此均可排除。还要注意题干给出的CA=CB是干扰信息，仅能说明点C在AB的垂直平分线上，和点O的位置无关。
【解析】
∵ 点O是经过A、B两点的圆的圆心，
∴ OA、OB都是该圆的半径，即OA=OB（同圆的半径相等）。
根据线段垂直平分线的判定定理：到线段两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上，可得点O在边AB的垂直平分线上，故A选项正确。
对其余选项分析：
B选项：要判定点O在∠CAB的平分线上，需要满足点O到AB、AC的距离相等，题干无相关条件，无法推出；
C选项：要判定点O在边CA的垂直平分线上，需要满足OC=OA，题干无相关条件，无法推出；
D选项：要判定点O在∠CBA的平分线上，需要满足点O到AB、BC的距离相等，题干无相关条件，无法推出。
综上，只有A选项正确。
【答案】
A
【知识点】
1. 圆的基本性质
2. 线段垂直平分线的判定
【点评】
本题属于基础题，核心考查圆的性质与线段垂直平分线判定的结合运用，解题的关键是抓住“圆心到圆上任意两点的距离相等”这一性质，结合判定定理快速锁定正确选项，注意不要被题干中多余的条件CA=CB干扰判断。
【难度系数】
0.8
2.若$AB=4\ \mathrm{cm}$,则过点$A$,$B$且半径为$3\ \mathrm{cm}$的圆有(
A.1个
B.2个
C.3个
D.4个
B
).A.1个
B.2个
C.3个
D.4个
答案
2.B
解析
【分析】
要确定过A、B两点且半径为3cm的圆的个数，核心是确定符合条件的圆心的个数：①过A、B两点的圆的圆心到A、B的距离相等，因此圆心一定在线段AB的垂直平分线上；②圆的半径为3cm，因此圆心到A（或B）的距离必须等于3cm，只需要计算垂直平分线上满足到A的距离为3cm的点的个数，就能得到圆的个数。
【解析】
步骤1：确定圆心的轨迹：过A、B两点的圆的圆心到A、B的距离均等于半径，根据线段垂直平分线的性质，所有符合条件的圆心都在线段AB的垂直平分线上。
步骤2：计算圆心到AB的距离：已知$AB=4\ \mathrm{cm}$，因此AB长度的一半为2cm，圆的半径$r=3\ \mathrm{cm}$，根据勾股定理，圆心到线段AB的距离为$\sqrt{r^2 - (\frac{AB}{2})^2} = \sqrt{3^2 - 2^2} = \sqrt{5}\ \mathrm{cm} ＞ 0$。
步骤3：判断圆心个数：在线段AB的垂直平分线上，到AB的距离为$\sqrt{5}\ \mathrm{cm}$的点共有2个，分别位于线段AB的两侧，每个点对应一个符合要求的圆，因此这样的圆有2个。
【答案】
B
【知识点】
圆的定义；垂直平分线的性质；勾股定理
【点评】
本题属于基础题型，解题的关键是明确过两点的圆的圆心轨迹是两点连线的垂直平分线，再结合半径要求即可快速判断符合条件的圆的个数。
【难度系数】
0.7
要确定过A、B两点且半径为3cm的圆的个数，核心是确定符合条件的圆心的个数：①过A、B两点的圆的圆心到A、B的距离相等，因此圆心一定在线段AB的垂直平分线上；②圆的半径为3cm，因此圆心到A（或B）的距离必须等于3cm，只需要计算垂直平分线上满足到A的距离为3cm的点的个数，就能得到圆的个数。
【解析】
步骤1：确定圆心的轨迹：过A、B两点的圆的圆心到A、B的距离均等于半径，根据线段垂直平分线的性质，所有符合条件的圆心都在线段AB的垂直平分线上。
步骤2：计算圆心到AB的距离：已知$AB=4\ \mathrm{cm}$，因此AB长度的一半为2cm，圆的半径$r=3\ \mathrm{cm}$，根据勾股定理，圆心到线段AB的距离为$\sqrt{r^2 - (\frac{AB}{2})^2} = \sqrt{3^2 - 2^2} = \sqrt{5}\ \mathrm{cm} ＞ 0$。
步骤3：判断圆心个数：在线段AB的垂直平分线上，到AB的距离为$\sqrt{5}\ \mathrm{cm}$的点共有2个，分别位于线段AB的两侧，每个点对应一个符合要求的圆，因此这样的圆有2个。
【答案】
B
【知识点】
圆的定义；垂直平分线的性质；勾股定理
【点评】
本题属于基础题型，解题的关键是明确过两点的圆的圆心轨迹是两点连线的垂直平分线，再结合半径要求即可快速判断符合条件的圆的个数。
【难度系数】
0.7
3.下列说法正确的是(
A.经过两个点只能作两个圆
B.经过三个点可以作一个圆
C.三角形有且只有一个外接圆
D.圆有且只有一个内接三角形
C
).A.经过两个点只能作两个圆
B.经过三个点可以作一个圆
C.三角形有且只有一个外接圆
D.圆有且只有一个内接三角形
答案
3.C
解析
【分析】
本题考查圆的相关概念辨析，解题时需结合确定圆的条件、三角形外接圆、圆的内接三角形的性质，逐个判断选项正误：首先回忆确定圆的两个要素是圆心和半径，再结合不同点数的位置特点判断能否确定唯一的圆，最后辨析三角形外接圆和圆内接三角形的数量特征。
【解析】
我们逐个分析选项：
选项A：经过两个点时，圆心在这两点连线的垂直平分线上，半径可选取大于两点距离一半的任意值，因此可以作无数个圆，A错误。
选项B：只有经过不在同一直线上的三个点才可以作一个圆，若三个点在同一直线上，无法作出过这三点的圆，B错误。
选项C：三角形的三个顶点不在同一直线上，其外接圆的圆心是三角形三边垂直平分线的交点（外心），该交点唯一，半径为外心到顶点的距离，因此三角形有且只有一个外接圆，C正确。
选项D：在圆上任意选取3个不共线的点都可以构成一个内接三角形，因此圆有无数个内接三角形，D错误。
【答案】
C
【知识点】
确定圆的条件；三角形的外接圆；圆的内接三角形
【点评】
本题属于基础概念辨析题，解题的关键是准确理解确定圆的前提条件，注意“三个点共线时无法确定圆”这个易错点，牢记三角形外接圆的唯一性和圆内接三角形的不唯一性即可快速判断。
【难度系数】
0.8
本题考查圆的相关概念辨析，解题时需结合确定圆的条件、三角形外接圆、圆的内接三角形的性质，逐个判断选项正误：首先回忆确定圆的两个要素是圆心和半径，再结合不同点数的位置特点判断能否确定唯一的圆，最后辨析三角形外接圆和圆内接三角形的数量特征。
【解析】
我们逐个分析选项：
选项A：经过两个点时，圆心在这两点连线的垂直平分线上，半径可选取大于两点距离一半的任意值，因此可以作无数个圆，A错误。
选项B：只有经过不在同一直线上的三个点才可以作一个圆，若三个点在同一直线上，无法作出过这三点的圆，B错误。
选项C：三角形的三个顶点不在同一直线上，其外接圆的圆心是三角形三边垂直平分线的交点（外心），该交点唯一，半径为外心到顶点的距离，因此三角形有且只有一个外接圆，C正确。
选项D：在圆上任意选取3个不共线的点都可以构成一个内接三角形，因此圆有无数个内接三角形，D错误。
【答案】
C
【知识点】
确定圆的条件；三角形的外接圆；圆的内接三角形
【点评】
本题属于基础概念辨析题，解题的关键是准确理解确定圆的前提条件，注意“三个点共线时无法确定圆”这个易错点，牢记三角形外接圆的唯一性和圆内接三角形的不唯一性即可快速判断。
【难度系数】
0.8
4.三角形的外心具有的性质是(
A.外心在三角形的外部
B.外心在三角形的内部
C.外心到三角形三边的距离相等
D.外心到三角形三个顶点的距离相等
D
).A.外心在三角形的外部
B.外心在三角形的内部
C.外心到三角形三边的距离相等
D.外心到三角形三个顶点的距离相等
答案
4.D
解析
【分析】
解题时先回忆三角形外心的定义：三角形三边垂直平分线的交点即为外心。首先分析与外心位置相关的A、B选项：不同类型的三角形外心位置不同，因此可直接判断A、B不具有普遍性，是错误的。再分析距离相关的选项：到三角形三边距离相等是内心的性质，而外心作为垂直平分线的交点，结合垂直平分线“线上的点到线段两端距离相等”的性质，可判断外心到三个顶点的距离相等，即可选出正确答案。
【解析】
三角形的外心是三角形三边垂直平分线的交点，据此逐个分析选项：
A. 只有钝角三角形的外心在三角形外部，锐角三角形外心在三角形内部，直角三角形外心在斜边中点（三角形的边上），因此外心不一定在三角形外部，该选项错误；
B. 只有锐角三角形的外心在三角形内部，钝角、直角三角形的外心不在内部，因此该选项错误；
C. 三角形的内心（三条角平分线的交点）到三角形三边的距离相等，这不是外心的性质，该选项错误；
D. 根据垂直平分线的性质：垂直平分线上任意一点，到线段两端点的距离相等。外心是三边垂直平分线的交点，因此外心到三角形三个顶点的距离相等，该选项正确。
【答案】
D
【知识点】
1.三角形外心的性质
2.垂直平分线的性质
3.三角形内心的性质
【点评】
本题考查三角形外心的相关性质，解题时需要注意区分外心和内心的性质，同时明确不同类型三角形外心的位置差异，属于基础概念考查题，熟记相关定义即可快速解答。
【难度系数】
0.8
解题时先回忆三角形外心的定义：三角形三边垂直平分线的交点即为外心。首先分析与外心位置相关的A、B选项：不同类型的三角形外心位置不同，因此可直接判断A、B不具有普遍性，是错误的。再分析距离相关的选项：到三角形三边距离相等是内心的性质，而外心作为垂直平分线的交点，结合垂直平分线“线上的点到线段两端距离相等”的性质，可判断外心到三个顶点的距离相等，即可选出正确答案。
【解析】
三角形的外心是三角形三边垂直平分线的交点，据此逐个分析选项：
A. 只有钝角三角形的外心在三角形外部，锐角三角形外心在三角形内部，直角三角形外心在斜边中点（三角形的边上），因此外心不一定在三角形外部，该选项错误；
B. 只有锐角三角形的外心在三角形内部，钝角、直角三角形的外心不在内部，因此该选项错误；
C. 三角形的内心（三条角平分线的交点）到三角形三边的距离相等，这不是外心的性质，该选项错误；
D. 根据垂直平分线的性质：垂直平分线上任意一点，到线段两端点的距离相等。外心是三边垂直平分线的交点，因此外心到三角形三个顶点的距离相等，该选项正确。
【答案】
D
【知识点】
1.三角形外心的性质
2.垂直平分线的性质
3.三角形内心的性质
【点评】
本题考查三角形外心的相关性质，解题时需要注意区分外心和内心的性质，同时明确不同类型三角形外心的位置差异，属于基础概念考查题，熟记相关定义即可快速解答。
【难度系数】
0.8
5.如图，在△ABC中，AB=AC，∠BAC的平分线与BC相交于点D，边AC的垂直平分线分别与AB，AD，AC相交于点E，O，F.若OA=3，则△ABC的外接圆的面积为(
A.3π
B.4π
C.6π
D.9π
D
).A.3π
B.4π
C.6π
D.9π
答案
5.D
解析
【分析】
解题时先结合等腰三角形的性质分析AD的特征：已知AB=AC，AD是∠BAC的平分线，根据等腰三角形三线合一，可得AD是BC的垂直平分线，因此△ABC的外心（外接圆圆心）在AD上；再结合EF是AC的垂直平分线，可知外心也在EF上，因此两条垂直平分线的交点O就是△ABC的外心，OA即为外接圆的半径，最后代入圆的面积公式计算即可。
【解析】
解：
∵AB=AC，AD平分∠BAC，
∴AD⊥BC，BD=CD（等腰三角形三线合一），即AD是BC的垂直平分线，
∴△ABC的外接圆圆心在AD上。
又
∵EF是AC的垂直平分线，
∴△ABC的外接圆圆心也在EF上，
∴AD与EF的交点O是△ABC的外接圆圆心，OA为外接圆的半径。
已知OA=3，
∴△ABC的外接圆的面积为π×3²=9π。
【答案】
D
【知识点】
等腰三角形性质，线段垂直平分线性质，三角形外接圆概念
【点评】
本题解题的核心是通过两条垂直平分线的交点确定三角形外接圆的圆心，将已知线段OA与外接圆半径建立关联，整体难度不高，只要熟练掌握相关性质和概念就能顺利解答。
【难度系数】
0.7
解题时先结合等腰三角形的性质分析AD的特征：已知AB=AC，AD是∠BAC的平分线，根据等腰三角形三线合一，可得AD是BC的垂直平分线，因此△ABC的外心（外接圆圆心）在AD上；再结合EF是AC的垂直平分线，可知外心也在EF上，因此两条垂直平分线的交点O就是△ABC的外心，OA即为外接圆的半径，最后代入圆的面积公式计算即可。
【解析】
解：
∵AB=AC，AD平分∠BAC，
∴AD⊥BC，BD=CD（等腰三角形三线合一），即AD是BC的垂直平分线，
∴△ABC的外接圆圆心在AD上。
又
∵EF是AC的垂直平分线，
∴△ABC的外接圆圆心也在EF上，
∴AD与EF的交点O是△ABC的外接圆圆心，OA为外接圆的半径。
已知OA=3，
∴△ABC的外接圆的面积为π×3²=9π。
【答案】
D
【知识点】
等腰三角形性质，线段垂直平分线性质，三角形外接圆概念
【点评】
本题解题的核心是通过两条垂直平分线的交点确定三角形外接圆的圆心，将已知线段OA与外接圆半径建立关联，整体难度不高，只要熟练掌握相关性质和概念就能顺利解答。
【难度系数】
0.7
6.若等边三角形ABC的外接圆的半径为2，则它的边长为
2√3
。答案
6.$2\sqrt{3}$
解析
【分析】
要解决等边三角形外接圆半径求边长的问题，首先利用等边三角形四心合一的性质，明确外接圆圆心的位置特征；再结合圆的相关定理，通过作弦心距构造直角三角形，将已知的外接圆半径转化到直角三角形中，利用特殊角的三角函数或勾股定理即可求出边长。具体思考步骤：1. 连接圆心与等边三角形的两个顶点，得到两条外接圆半径；2. 过圆心作三角形一边的垂线，利用垂径定理得到边长的一半；3. 结合圆周角定理求出直角三角形中的锐角角度，解直角三角形得到边长的一半，进而求出完整边长。
【解析】
设等边△ABC的外接圆圆心为O，连接OB、OC，过点O作OD⊥BC于点D。
1. 由等边三角形性质得∠BAC=60°，根据圆周角定理，同弧所对的圆心角是圆周角的2倍，因此∠BOC=2∠BAC=120°。
2. 已知OB=OC=2（外接圆半径），且OD⊥BC，由垂径定理可得BD=DC，∠BOD=$\frac{1}{2}$∠BOC=60°。
3. 在Rt△BOD中，∠OBD=30°，因此OD=$\frac{1}{2}$OB=1，由勾股定理得：
$BD=\sqrt{OB^2 - OD^2}=\sqrt{2^2 - 1^2}=\sqrt{3}$
4. 因此BC=2BD=2×$\sqrt{3}$=$2\sqrt{3}$。
【答案】
$2\sqrt{3}$
【知识点】
1. 等边三角形的性质
2. 垂径定理
3. 解直角三角形
【点评】
本题是三角形与圆结合的基础题型，需要熟练掌握特殊三角形的性质和圆的相关定理，通过构造直角三角形将几何问题转化为解直角三角形的问题，解题的关键是找准外接圆半径与三角形边长的关系。
【难度系数】
0.7
要解决等边三角形外接圆半径求边长的问题，首先利用等边三角形四心合一的性质，明确外接圆圆心的位置特征；再结合圆的相关定理，通过作弦心距构造直角三角形，将已知的外接圆半径转化到直角三角形中，利用特殊角的三角函数或勾股定理即可求出边长。具体思考步骤：1. 连接圆心与等边三角形的两个顶点，得到两条外接圆半径；2. 过圆心作三角形一边的垂线，利用垂径定理得到边长的一半；3. 结合圆周角定理求出直角三角形中的锐角角度，解直角三角形得到边长的一半，进而求出完整边长。
【解析】
设等边△ABC的外接圆圆心为O，连接OB、OC，过点O作OD⊥BC于点D。
1. 由等边三角形性质得∠BAC=60°，根据圆周角定理，同弧所对的圆心角是圆周角的2倍，因此∠BOC=2∠BAC=120°。
2. 已知OB=OC=2（外接圆半径），且OD⊥BC，由垂径定理可得BD=DC，∠BOD=$\frac{1}{2}$∠BOC=60°。
3. 在Rt△BOD中，∠OBD=30°，因此OD=$\frac{1}{2}$OB=1，由勾股定理得：
$BD=\sqrt{OB^2 - OD^2}=\sqrt{2^2 - 1^2}=\sqrt{3}$
4. 因此BC=2BD=2×$\sqrt{3}$=$2\sqrt{3}$。
【答案】
$2\sqrt{3}$
【知识点】
1. 等边三角形的性质
2. 垂径定理
3. 解直角三角形
【点评】
本题是三角形与圆结合的基础题型，需要熟练掌握特殊三角形的性质和圆的相关定理，通过构造直角三角形将几何问题转化为解直角三角形的问题，解题的关键是找准外接圆半径与三角形边长的关系。
【难度系数】
0.7
7. 在$\mathrm{Rt}△ ABC$中，$∠ C=90°$，$AC=3$，$BC=4$，则这个三角形的外接圆的半径是
$\frac{5}{2}$
。答案
7.$\frac{5}{2}$
解析
【分析】
要解决这个问题，首先回忆直角三角形外接圆的相关性质：90°的圆周角所对的弦是直径，因此直角三角形的斜边就是它外接圆的直径，外接圆半径等于斜边长度的一半。解题分为两步：第一步用勾股定理计算Rt△ABC的斜边长度，第二步将斜边长度除以2即可得到外接圆半径。
【解析】
在$\mathrm{Rt}△ ABC$中，$∠ C=90°$，根据圆周角定理的推论，$90°$的圆周角所对的弦是直径，因此斜边$AB$为$△ABC$外接圆的直径。
根据勾股定理得：
$AB=\sqrt{AC^2+BC^2}=\sqrt{3^2+4^2}=\sqrt{9+16}=\sqrt{25}=5$
所以外接圆的半径$R=\frac{1}{2}AB=\frac{5}{2}$
【答案】
$\frac{5}{2}$
【知识点】
勾股定理；直角三角形外接圆性质；圆周角定理推论
【点评】
本题属于基础题，核心是掌握直角三角形外接圆半径等于斜边长度的一半这一规律，结合勾股定理即可快速求解。
【难度系数】
0.8
要解决这个问题，首先回忆直角三角形外接圆的相关性质：90°的圆周角所对的弦是直径，因此直角三角形的斜边就是它外接圆的直径，外接圆半径等于斜边长度的一半。解题分为两步：第一步用勾股定理计算Rt△ABC的斜边长度，第二步将斜边长度除以2即可得到外接圆半径。
【解析】
在$\mathrm{Rt}△ ABC$中，$∠ C=90°$，根据圆周角定理的推论，$90°$的圆周角所对的弦是直径，因此斜边$AB$为$△ABC$外接圆的直径。
根据勾股定理得：
$AB=\sqrt{AC^2+BC^2}=\sqrt{3^2+4^2}=\sqrt{9+16}=\sqrt{25}=5$
所以外接圆的半径$R=\frac{1}{2}AB=\frac{5}{2}$
【答案】
$\frac{5}{2}$
【知识点】
勾股定理；直角三角形外接圆性质；圆周角定理推论
【点评】
本题属于基础题，核心是掌握直角三角形外接圆半径等于斜边长度的一半这一规律，结合勾股定理即可快速求解。
【难度系数】
0.8
8.如图,点O是锐角三角形ABC的外心,BC=24.若点O到BC的距离是5,则△ABC外接圆的半径是
13
.答案
8.13
解析
【分析】
要解决这道题，首先回忆三角形外心的性质：外心是三角形三边垂直平分线的交点，因此外心到BC边的垂线就是BC边的垂直平分线，垂足为BC的中点。我们可以通过作辅助线构造直角三角形，利用勾股定理计算外接圆的半径。
【解析】
过点O作OD⊥BC于点D，连接OB。
∵ 点O是锐角△ABC的外心，
∴ OD垂直平分BC，
∴ $BD=\frac{1}{2}BC=\frac{1}{2}×24=12$。
已知OD=5，在Rt△OBD中，由勾股定理得：
$OB=\sqrt{BD^2+OD^2}=\sqrt{12^2+5^2}=\sqrt{144+25}=\sqrt{169}=13$。
即△ABC外接圆的半径为13。
【答案】
13
【知识点】
外心的性质，勾股定理，线段垂直平分线性质
【点评】
本题是基础计算题，解题关键是结合外心的性质构造直角三角形，将已知条件转化到直角三角形中用勾股定理求解，需要熟练掌握外心的相关性质并灵活运用。
【难度系数】
0.7
要解决这道题，首先回忆三角形外心的性质：外心是三角形三边垂直平分线的交点，因此外心到BC边的垂线就是BC边的垂直平分线，垂足为BC的中点。我们可以通过作辅助线构造直角三角形，利用勾股定理计算外接圆的半径。
【解析】
过点O作OD⊥BC于点D，连接OB。
∵ 点O是锐角△ABC的外心，
∴ OD垂直平分BC，
∴ $BD=\frac{1}{2}BC=\frac{1}{2}×24=12$。
已知OD=5，在Rt△OBD中，由勾股定理得：
$OB=\sqrt{BD^2+OD^2}=\sqrt{12^2+5^2}=\sqrt{144+25}=\sqrt{169}=13$。
即△ABC外接圆的半径为13。
【答案】
13
【知识点】
外心的性质，勾股定理，线段垂直平分线性质
【点评】
本题是基础计算题，解题关键是结合外心的性质构造直角三角形，将已知条件转化到直角三角形中用勾股定理求解，需要熟练掌握外心的相关性质并灵活运用。
【难度系数】
0.7
9.如图,在平面直角坐标系中,△ABC 的三个顶点的坐标分别是A(1,3),B(1,1),C(4,4),则△ABC 外接圆的圆心坐标为
(3,2)
.答案
9.(3,2)
解析
【分析】
三角形外接圆的圆心是三角形三边垂直平分线的交点，且到三个顶点的距离相等。解题时可先观察顶点坐标特点：A、B横坐标相同，AB为竖直线，可先快速求出AB的垂直平分线，再求出另一条边的垂直平分线，两条垂直平分线的交点即为所求的外接圆圆心。
【解析】
1. 求AB边的垂直平分线：
已知A(1,3)，B(1,1)，AB平行于y轴，AB的中点坐标为$(\frac{1+1}{2},\frac{3+1}{2})=(1,2)$，因此AB的垂直平分线是平行于x轴的直线，解析式为$y=2$。
2. 求BC边的垂直平分线：
已知B(1,1)，C(4,4)，BC的中点坐标为$(\frac{1+4}{2},\frac{1+4}{2})=(2.5,2.5)$。
BC的斜率$k_{BC}=\frac{4-1}{4-1}=1$，因为互相垂直的两条直线斜率乘积为-1，所以BC垂直平分线的斜率为$-1$。
设BC垂直平分线的解析式为$y=-x+b$，将中点(2.5,2.5)代入得：$2.5=-2.5+b$，解得$b=5$，即BC的垂直平分线解析式为$y=-x+5$。
3. 求交点坐标：
联立$\begin{cases}y=2 \\ y=-x+5 \end{cases}$，将$y=2$代入得$2=-x+5$，解得$x=3$，即交点坐标为(3,2)。
验证：点(3,2)到A、B、C三点的距离均为$\sqrt{5}$，符合外心的性质。
【答案】
(3,2)
【知识点】
三角形外心的性质、垂直平分线的性质、一次函数的应用
【点评】
本题解题的核心是掌握三角形外心的定义，利用坐标特点先求特殊边的垂直平分线可以有效简化计算，计算后可通过验证到三顶点距离是否相等来判断结果是否正确。
【难度系数】
0.7
三角形外接圆的圆心是三角形三边垂直平分线的交点，且到三个顶点的距离相等。解题时可先观察顶点坐标特点：A、B横坐标相同，AB为竖直线，可先快速求出AB的垂直平分线，再求出另一条边的垂直平分线，两条垂直平分线的交点即为所求的外接圆圆心。
【解析】
1. 求AB边的垂直平分线：
已知A(1,3)，B(1,1)，AB平行于y轴，AB的中点坐标为$(\frac{1+1}{2},\frac{3+1}{2})=(1,2)$，因此AB的垂直平分线是平行于x轴的直线，解析式为$y=2$。
2. 求BC边的垂直平分线：
已知B(1,1)，C(4,4)，BC的中点坐标为$(\frac{1+4}{2},\frac{1+4}{2})=(2.5,2.5)$。
BC的斜率$k_{BC}=\frac{4-1}{4-1}=1$，因为互相垂直的两条直线斜率乘积为-1，所以BC垂直平分线的斜率为$-1$。
设BC垂直平分线的解析式为$y=-x+b$，将中点(2.5,2.5)代入得：$2.5=-2.5+b$，解得$b=5$，即BC的垂直平分线解析式为$y=-x+5$。
3. 求交点坐标：
联立$\begin{cases}y=2 \\ y=-x+5 \end{cases}$，将$y=2$代入得$2=-x+5$，解得$x=3$，即交点坐标为(3,2)。
验证：点(3,2)到A、B、C三点的距离均为$\sqrt{5}$，符合外心的性质。
【答案】
(3,2)
【知识点】
三角形外心的性质、垂直平分线的性质、一次函数的应用
【点评】
本题解题的核心是掌握三角形外心的定义，利用坐标特点先求特殊边的垂直平分线可以有效简化计算，计算后可通过验证到三顶点距离是否相等来判断结果是否正确。
【难度系数】
0.7
10.若一个等腰三角形ABC的外接圆的直径为10，底边BC的长为8，则△ABC的高AD的长为
2或8
。答案
10.2或8
解析
【分析】
解题时先结合等腰三角形“三线合一”的性质，可知底边BC的高AD所在直线是BC的垂直平分线，而三角形外接圆的圆心在三边垂直平分线上，因此外接圆圆心必然在直线AD上。接下来先根据外接圆直径求出半径，再结合垂径定理得到BD的长度，用勾股定理算出圆心到底边BC的距离OD，最后分圆心在△ABC内部和外部两种情况分类讨论，就能求出AD的两种可能长度，避免漏解。
【解析】
解：连接外接圆圆心O与点B，
∵ 外接圆直径为10，
∴ 外接圆半径OA=OB=5。
∵ △ABC是等腰三角形，AD是底边BC的高，
∴ AD⊥BC，BD=½BC=½×8=4，且直线AD是BC的垂直平分线，即圆心O在直线AD上。
在Rt△OBD中，由勾股定理得：
OD=√(OB² - BD²)=√(5² - 4²)=√9=3。
分两种情况讨论：
① 当圆心O在△ABC内部时，点O在线段AD上，此时AD=AO + OD=5 + 3=8；
② 当圆心O在△ABC外部时，点O在线段AD的延长线上，此时AD=AO - OD=5 - 3=2。
综上，△ABC的高AD的长为2或8。
【答案】
2或8
【知识点】
等腰三角形性质，垂径定理，勾股定理
【点评】
本题是几何分类讨论的典型题型，解题关键是明确等腰三角形外接圆圆心在底边的高所在直线上，易错点是容易忽略圆心在三角形外的情况，导致漏写一种结果。
【难度系数】
0.6
解题时先结合等腰三角形“三线合一”的性质，可知底边BC的高AD所在直线是BC的垂直平分线，而三角形外接圆的圆心在三边垂直平分线上，因此外接圆圆心必然在直线AD上。接下来先根据外接圆直径求出半径，再结合垂径定理得到BD的长度，用勾股定理算出圆心到底边BC的距离OD，最后分圆心在△ABC内部和外部两种情况分类讨论，就能求出AD的两种可能长度，避免漏解。
【解析】
解：连接外接圆圆心O与点B，
∵ 外接圆直径为10，
∴ 外接圆半径OA=OB=5。
∵ △ABC是等腰三角形，AD是底边BC的高，
∴ AD⊥BC，BD=½BC=½×8=4，且直线AD是BC的垂直平分线，即圆心O在直线AD上。
在Rt△OBD中，由勾股定理得：
OD=√(OB² - BD²)=√(5² - 4²)=√9=3。
分两种情况讨论：
① 当圆心O在△ABC内部时，点O在线段AD上，此时AD=AO + OD=5 + 3=8；
② 当圆心O在△ABC外部时，点O在线段AD的延长线上，此时AD=AO - OD=5 - 3=2。
综上，△ABC的高AD的长为2或8。
【答案】
2或8
【知识点】
等腰三角形性质，垂径定理，勾股定理
【点评】
本题是几何分类讨论的典型题型，解题关键是明确等腰三角形外接圆圆心在底边的高所在直线上，易错点是容易忽略圆心在三角形外的情况，导致漏写一种结果。
【难度系数】
0.6
