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11.图①是锐角三角形，图②是直角三角形，图③是钝角三角形。
(1)画出这三个三角形的外接圆；
(2)观察这三个三角形的外心与三角形的位置，你有怎样的发现？
(第11题)
(1)画出这三个三角形的外接圆；
(2)观察这三个三角形的外心与三角形的位置，你有怎样的发现？
(第11题)答案
11.(1)画图略.
(2)锐角三角形的外心在三角形内,直角三角形的外心是斜边的中点,钝角三角形的外心在三角形外.
(2)锐角三角形的外心在三角形内,直角三角形的外心是斜边的中点,钝角三角形的外心在三角形外.
解析
【分析】
(1)要画三角形的外接圆，首先回忆外接圆的相关概念：三角形外接圆的圆心叫做外心，是三角形三边垂直平分线的交点，因此作图的核心是先找外心，再确定半径画圆。具体步骤为：作三角形任意两边的垂直平分线，交点即为外心，再以外心到任意顶点的长度为半径画圆即可得到外接圆。
(2)完成作图后，分别观察三种不同类型三角形的外心和三角形本身的位置关系，分类总结规律即可。
【解析】
(1)作图步骤：
①对每个三角形，任意选取两条边，分别作这两条边的垂直平分线，两条垂直平分线的交点就是该三角形的外心（外接圆的圆心）；
②以交点为圆心，交点到三角形任意一个顶点的距离为半径作圆，这个圆就是该三角形的外接圆。
(2)观察所作的三个图形：
图①是锐角三角形，它的外心落在三角形的内部；图②是直角三角形，它的外心恰好是斜边的中点；图③是钝角三角形，它的外心落在三角形的外部。
【答案】
(1)画图略.
(2)锐角三角形的外心在三角形内,直角三角形的外心是斜边的中点,钝角三角形的外心在三角形外.
【知识点】
三角形外接圆作法；外心的定义；外心位置规律
【点评】
本题是基础的几何作图与规律总结题，既考查了垂直平分线的作图技能，也考查了对三角形外心相关性质的理解，通过动手操作直观总结不同三角形外心的位置特点，该结论是解决三角形与圆结合类问题的重要基础，需要熟练掌握。
【难度系数】
0.8
(1)要画三角形的外接圆，首先回忆外接圆的相关概念：三角形外接圆的圆心叫做外心，是三角形三边垂直平分线的交点，因此作图的核心是先找外心，再确定半径画圆。具体步骤为：作三角形任意两边的垂直平分线，交点即为外心，再以外心到任意顶点的长度为半径画圆即可得到外接圆。
(2)完成作图后，分别观察三种不同类型三角形的外心和三角形本身的位置关系，分类总结规律即可。
【解析】
(1)作图步骤：
①对每个三角形，任意选取两条边，分别作这两条边的垂直平分线，两条垂直平分线的交点就是该三角形的外心（外接圆的圆心）；
②以交点为圆心，交点到三角形任意一个顶点的距离为半径作圆，这个圆就是该三角形的外接圆。
(2)观察所作的三个图形：
图①是锐角三角形，它的外心落在三角形的内部；图②是直角三角形，它的外心恰好是斜边的中点；图③是钝角三角形，它的外心落在三角形的外部。
【答案】
(1)画图略.
(2)锐角三角形的外心在三角形内,直角三角形的外心是斜边的中点,钝角三角形的外心在三角形外.
【知识点】
三角形外接圆作法；外心的定义；外心位置规律
【点评】
本题是基础的几何作图与规律总结题，既考查了垂直平分线的作图技能，也考查了对三角形外心相关性质的理解，通过动手操作直观总结不同三角形外心的位置特点，该结论是解决三角形与圆结合类问题的重要基础，需要熟练掌握。
【难度系数】
0.8
12.如图，已知$\odot O$是$△ ABC$的外接圆，若$AB=AC=13$，$BC=24$，求$\odot O$的半径. 
（第12题）
（第12题）答案
12.如图,连接$OB,OC$,连接$OA$与$BC$相交于点$D$.设$\odot O$的半径为$r$.
$\because AB=AC,OB=OC$,
$\therefore AO⊥ BC,BD=CD$.
$\because BC=24,\therefore BD=12$.
$\because AB=13,\therefore AD=5$.
$\therefore OD=r-5$.
在$\mathrm{Rt}△ ODB$中,由$OD^2+BD^2=OB^2$,
得$(r-5)^2+12^2=r^2$.解得$r=16.9$.
解析
【分析】
要求$\odot O$的半径，可先作辅助线连接$OA$、$OB$、$OC$，结合已知$AB=AC$，$OB=OC$，根据等腰三角形三线合一的性质可证$OA$垂直平分$BC$，先在$\mathrm{Rt}△ ABD$中用勾股定理求出$AD$的长度，再设半径为$r$，用含$r$的式子表示$OD$的长度，最后在$\mathrm{Rt}△ ODB$中利用勾股定理列方程求解即可。
【解析】
连接$OB,OC$，连接$OA$与$BC$相交于点$D$，设$\odot O$的半径为$r$。
$\because AB=AC,OB=OC$，
$\therefore AO⊥ BC,BD=CD$。
$\because BC=24$，
$\therefore BD=\frac{1}{2}BC=12$。
在$\mathrm{Rt}△ ABD$中，$AB=13$，由勾股定理得：
$AD=\sqrt{AB^2-BD^2}=\sqrt{13^2-12^2}=5$，
$\therefore OD=OA-AD=r-5$。
在$\mathrm{Rt}△ ODB$中，根据勾股定理$OD^2+BD^2=OB^2$，
代入得：$(r-5)^2+12^2=r^2$，
展开整理得：$-10r+169=0$，
解得$r=16.9$。
【答案】
$\odot O$的半径为$16.9$
【知识点】
垂径定理、等腰三角形性质、勾股定理
【点评】
本题是圆中半径计算的典型题型，解题核心是通过辅助线构造直角三角形，将几何线段关系转化为方程求解，很好地融合了三角形与圆的基础性质，考察了学生的几何作图能力和方程思想的应用能力。
【难度系数】
0.7
要求$\odot O$的半径，可先作辅助线连接$OA$、$OB$、$OC$，结合已知$AB=AC$，$OB=OC$，根据等腰三角形三线合一的性质可证$OA$垂直平分$BC$，先在$\mathrm{Rt}△ ABD$中用勾股定理求出$AD$的长度，再设半径为$r$，用含$r$的式子表示$OD$的长度，最后在$\mathrm{Rt}△ ODB$中利用勾股定理列方程求解即可。
【解析】
连接$OB,OC$，连接$OA$与$BC$相交于点$D$，设$\odot O$的半径为$r$。
$\because AB=AC,OB=OC$，
$\therefore AO⊥ BC,BD=CD$。
$\because BC=24$，
$\therefore BD=\frac{1}{2}BC=12$。
在$\mathrm{Rt}△ ABD$中，$AB=13$，由勾股定理得：
$AD=\sqrt{AB^2-BD^2}=\sqrt{13^2-12^2}=5$，
$\therefore OD=OA-AD=r-5$。
在$\mathrm{Rt}△ ODB$中，根据勾股定理$OD^2+BD^2=OB^2$，
代入得：$(r-5)^2+12^2=r^2$，
展开整理得：$-10r+169=0$，
解得$r=16.9$。
【答案】
$\odot O$的半径为$16.9$
【知识点】
垂径定理、等腰三角形性质、勾股定理
【点评】
本题是圆中半径计算的典型题型，解题核心是通过辅助线构造直角三角形，将几何线段关系转化为方程求解，很好地融合了三角形与圆的基础性质，考察了学生的几何作图能力和方程思想的应用能力。
【难度系数】
0.7
1.如图,在每个小正方形的边长为1的网格中,点A,B,C,M均在格点上.若一条弧经过A,B,C三点,则点M在这条圆弧所在圆的(
A.内部
B.圆上
C.外部
D.不能确定
B
).A.内部
B.圆上
C.外部
D.不能确定
答案
1.B
解析
【分析】
要判断点M与过A、B、C三点的圆的位置关系，首先需要确定该圆的圆心和半径：根据不在同一直线上的三个点确定一个圆的性质，圆的圆心是A、B、C任意两点连线的垂直平分线的交点；找到圆心后计算圆的半径，再计算点M到圆心的距离，将该距离与半径比较即可判断位置关系：距离等于半径时在圆上，大于半径时在圆外，小于半径时在圆内。
【解析】
1. 找圆心：
观察得A、B在同一水平格线上，AB为水平线段，其垂直平分线是过AB中点的竖直网格线（记为直线l）。
再作BC的垂直平分线，与直线l交于点O，点O即为过A、B、C三点的圆的圆心。
2. 计算半径：
数格点可得，圆心O到A的距离为$\sqrt{2^2+1^2}=\sqrt{5}$，即圆的半径$r=\sqrt{5}$。
3. 判断M的位置：
计算点M到圆心O的距离：横向差2格，纵向差1格，所以$OM=\sqrt{2^2+1^2}=\sqrt{5}=r$，因此点M在该圆上。
【答案】
B
【知识点】
确定圆的条件；点与圆的位置关系；垂直平分线的性质
【点评】
本题是圆的基础概念应用题，解题关键是利用垂直平分线准确找到三点确定的圆的圆心，再通过距离比较判断点和圆的位置关系，解题过程结合网格特征能大大降低计算难度。
【难度系数】
0.7
要判断点M与过A、B、C三点的圆的位置关系，首先需要确定该圆的圆心和半径：根据不在同一直线上的三个点确定一个圆的性质，圆的圆心是A、B、C任意两点连线的垂直平分线的交点；找到圆心后计算圆的半径，再计算点M到圆心的距离，将该距离与半径比较即可判断位置关系：距离等于半径时在圆上，大于半径时在圆外，小于半径时在圆内。
【解析】
1. 找圆心：
观察得A、B在同一水平格线上，AB为水平线段，其垂直平分线是过AB中点的竖直网格线（记为直线l）。
再作BC的垂直平分线，与直线l交于点O，点O即为过A、B、C三点的圆的圆心。
2. 计算半径：
数格点可得，圆心O到A的距离为$\sqrt{2^2+1^2}=\sqrt{5}$，即圆的半径$r=\sqrt{5}$。
3. 判断M的位置：
计算点M到圆心O的距离：横向差2格，纵向差1格，所以$OM=\sqrt{2^2+1^2}=\sqrt{5}=r$，因此点M在该圆上。
【答案】
B
【知识点】
确定圆的条件；点与圆的位置关系；垂直平分线的性质
【点评】
本题是圆的基础概念应用题，解题关键是利用垂直平分线准确找到三点确定的圆的圆心，再通过距离比较判断点和圆的位置关系，解题过程结合网格特征能大大降低计算难度。
【难度系数】
0.7
2.如图，小明用尺规分别作了四边形MNPQ的边MN，MQ的垂直平分线，它们相交于点O，则在下列各点中，不一定在以点O为圆心，线段OM的长为半径的圆上的是（
A.点M
B.点N
C.点P
D.点Q
C
）。A.点M
B.点N
C.点P
D.点Q
答案
2.C
解析
【分析】
解题时先回忆两个核心知识点：一是线段垂直平分线的性质，即线段垂直平分线上的点到线段两个端点的距离相等；二是圆的定义，到定点的距离等于定长的所有点组成的图形叫做圆，定点是圆心，定长是半径。首先根据O是MN、MQ的垂直平分线的交点，推导O到M、N、Q三点的距离相等，判断这三个点都在以O为圆心OM为半径的圆上，再判断P点无对应条件证明其到O的距离等于OM，即可得出答案。
【解析】
根据线段垂直平分线的性质：线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等。
∵点O在MN的垂直平分线上，
∴OM=ON；
又
∵点O在MQ的垂直平分线上，
∴OM=OQ；
∴OM=ON=OQ，结合圆的定义可知，点M、N、Q都在以点O为圆心，线段OM的长为半径的圆上。
题干中没有条件能够证明OP=OM，因此点P不一定在该圆上。
综上，答案选C。
【答案】
C
【知识点】
线段垂直平分线的性质；圆的定义
【点评】
本题是基础题，重点考查对线段垂直平分线性质和圆的定义的应用，解题的关键是利用垂直平分线的性质得到O到多个顶点的距离相等，熟练掌握相关性质即可快速作答。
【难度系数】
0.8
解题时先回忆两个核心知识点：一是线段垂直平分线的性质，即线段垂直平分线上的点到线段两个端点的距离相等；二是圆的定义，到定点的距离等于定长的所有点组成的图形叫做圆，定点是圆心，定长是半径。首先根据O是MN、MQ的垂直平分线的交点，推导O到M、N、Q三点的距离相等，判断这三个点都在以O为圆心OM为半径的圆上，再判断P点无对应条件证明其到O的距离等于OM，即可得出答案。
【解析】
根据线段垂直平分线的性质：线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等。
∵点O在MN的垂直平分线上，
∴OM=ON；
又
∵点O在MQ的垂直平分线上，
∴OM=OQ；
∴OM=ON=OQ，结合圆的定义可知，点M、N、Q都在以点O为圆心，线段OM的长为半径的圆上。
题干中没有条件能够证明OP=OM，因此点P不一定在该圆上。
综上，答案选C。
【答案】
C
【知识点】
线段垂直平分线的性质；圆的定义
【点评】
本题是基础题，重点考查对线段垂直平分线性质和圆的定义的应用，解题的关键是利用垂直平分线的性质得到O到多个顶点的距离相等，熟练掌握相关性质即可快速作答。
【难度系数】
0.8
