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3.下面是“作已知直角三角形的外接圆”的尺规作图过程：
已知:在$\mathrm{Rt}△ ABC$中,$∠ C=90°$,求作$\mathrm{Rt}△ ABC$的外接圆.
作法:(1)分别以点A和点B为圆心,大于$\frac{1}{2}AB$的长为半径作弧,两弧相交于P,Q两点;
(2)作直线PQ,交AB于点O;
(3)以点O为圆心,OA为半径作$\odot O$.$\odot O$即为所求作的圆.
请回答:该尺规作图的依据是
已知:在$\mathrm{Rt}△ ABC$中,$∠ C=90°$,求作$\mathrm{Rt}△ ABC$的外接圆.
作法:(1)分别以点A和点B为圆心,大于$\frac{1}{2}AB$的长为半径作弧,两弧相交于P,Q两点;
(2)作直线PQ,交AB于点O;
(3)以点O为圆心,OA为半径作$\odot O$.$\odot O$即为所求作的圆.
请回答:该尺规作图的依据是
直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半
.答案
3.直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半
解析
【分析】
要确定直角三角形的外接圆，核心是找到外接圆的圆心，外接圆的圆心需要到三角形三个顶点的距离相等。首先分析作图步骤：前两步是作线段AB的垂直平分线，可得到AB的中点O，此时OA=OB；接下来需要证明O到点C的距离也等于OA，就能说明三个顶点都在以O为圆心、OA为半径的圆上，这一步推导需要用到直角三角形的相关性质，由此即可得出作图依据。
【解析】
1. 作图步骤(1)(2)是尺规作线段AB的垂直平分线，因此直线PQ垂直平分AB，可得O是AB的中点，即$OA=OB$；
2. 已知$△ ABC$是直角三角形，$∠ C=90°$，根据“直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半”，可得$OC=\frac{1}{2}AB=OA=OB$；
3. 综上，点A、B、C到点O的距离均等于OA，因此以O为圆心、OA为半径的圆经过$△ ABC$的三个顶点，就是$\mathrm{Rt}△ ABC$的外接圆。
【答案】
直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半
【知识点】
1. 直角三角形性质
2. 垂直平分线作图
3. 外接圆概念
【点评】
本题结合尺规作图过程考查几何性质的应用，需要理解每一步作图的含义，结合对应几何定理推导作图依据，侧重对基础概念、性质的理解与运用。
【难度系数】
0.7
要确定直角三角形的外接圆，核心是找到外接圆的圆心，外接圆的圆心需要到三角形三个顶点的距离相等。首先分析作图步骤：前两步是作线段AB的垂直平分线，可得到AB的中点O，此时OA=OB；接下来需要证明O到点C的距离也等于OA，就能说明三个顶点都在以O为圆心、OA为半径的圆上，这一步推导需要用到直角三角形的相关性质，由此即可得出作图依据。
【解析】
1. 作图步骤(1)(2)是尺规作线段AB的垂直平分线，因此直线PQ垂直平分AB，可得O是AB的中点，即$OA=OB$；
2. 已知$△ ABC$是直角三角形，$∠ C=90°$，根据“直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半”，可得$OC=\frac{1}{2}AB=OA=OB$；
3. 综上，点A、B、C到点O的距离均等于OA，因此以O为圆心、OA为半径的圆经过$△ ABC$的三个顶点，就是$\mathrm{Rt}△ ABC$的外接圆。
【答案】
直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半
【知识点】
1. 直角三角形性质
2. 垂直平分线作图
3. 外接圆概念
【点评】
本题结合尺规作图过程考查几何性质的应用，需要理解每一步作图的含义，结合对应几何定理推导作图依据，侧重对基础概念、性质的理解与运用。
【难度系数】
0.7
4.如图，在平面直角坐标系中，经过$A(0,4),B(4,4),C(6,2)$三点的圆弧所在圆的圆心$M$的坐标为
(2,0)
。答案
4.(2,0)
解析
【分析】
要确定圆弧所在圆的圆心坐标，根据圆的性质，圆心到圆上任意两点的距离相等，即圆心是任意两条弦的垂直平分线的交点。首先观察点A、B的坐标特征，先求出弦AB的垂直平分线，可直接确定圆心的横坐标；再设出圆心坐标，利用圆心到点A和点C的距离相等列方程求解纵坐标即可。
【解析】
根据垂径定理可知：弦的垂直平分线经过圆心。
1. 求弦AB的垂直平分线：
已知$A(0,4)$，$B(4,4)$，两点纵坐标相同，因此AB平行于x轴，AB的中点坐标为$(\frac{0+4}{2},\frac{4+4}{2})=(2,4)$。
AB的垂直平分线垂直于AB，即与x轴垂直，因此AB的垂直平分线为直线$x=2$，可知圆心M的横坐标为2，设$M(2,m)$。
2. 利用半径相等列方程求解：
因为MA、MC都是圆的半径，所以$MA=MC$，由两点间距离公式可得：
$\sqrt{(2-0)^2+(m-4)^2}=\sqrt{(2-6)^2+(m-2)^2}$
两边同时平方得：
$2^2+(m-4)^2=(-4)^2+(m-2)^2$
展开计算：
$4+m^2-8m+16=16+m^2-4m+4$
化简得：$-4m=0$，解得$m=0$。
因此圆心M的坐标为$(2,0)$。
【答案】
$(2,0)$
【知识点】
垂径定理，两点间距离公式，垂直平分线性质
【点评】
本题考查圆的基本性质的应用，解题的核心是抓住“圆心到圆上各点距离相等”的特征，通过求弦的垂直平分线缩小圆心的范围，再结合方程思想求解坐标，是圆的概念部分的典型基础题。
【难度系数】
0.7
要确定圆弧所在圆的圆心坐标，根据圆的性质，圆心到圆上任意两点的距离相等，即圆心是任意两条弦的垂直平分线的交点。首先观察点A、B的坐标特征，先求出弦AB的垂直平分线，可直接确定圆心的横坐标；再设出圆心坐标，利用圆心到点A和点C的距离相等列方程求解纵坐标即可。
【解析】
根据垂径定理可知：弦的垂直平分线经过圆心。
1. 求弦AB的垂直平分线：
已知$A(0,4)$，$B(4,4)$，两点纵坐标相同，因此AB平行于x轴，AB的中点坐标为$(\frac{0+4}{2},\frac{4+4}{2})=(2,4)$。
AB的垂直平分线垂直于AB，即与x轴垂直，因此AB的垂直平分线为直线$x=2$，可知圆心M的横坐标为2，设$M(2,m)$。
2. 利用半径相等列方程求解：
因为MA、MC都是圆的半径，所以$MA=MC$，由两点间距离公式可得：
$\sqrt{(2-0)^2+(m-4)^2}=\sqrt{(2-6)^2+(m-2)^2}$
两边同时平方得：
$2^2+(m-4)^2=(-4)^2+(m-2)^2$
展开计算：
$4+m^2-8m+16=16+m^2-4m+4$
化简得：$-4m=0$，解得$m=0$。
因此圆心M的坐标为$(2,0)$。
【答案】
$(2,0)$
【知识点】
垂径定理，两点间距离公式，垂直平分线性质
【点评】
本题考查圆的基本性质的应用，解题的核心是抓住“圆心到圆上各点距离相等”的特征，通过求弦的垂直平分线缩小圆心的范围，再结合方程思想求解坐标，是圆的概念部分的典型基础题。
【难度系数】
0.7
5.在平面直角坐标系中，直线$y=2x-1$上是否存在一点$P$，使得以点$P$为圆心的$\odot P$经过点$A(-4,1)$和$B(2,1)$？若存在，求出点$P$的坐标和$\odot P$的半径；若不存在，请说明理由.
答案
5.存在点$P$.
$\because$经过$A,B$两点的圆的圆心在$AB$的垂直平分线上,又$A,B$两点的纵坐标相同，
$\therefore AB$的垂直平分线为直线$x=-1$.
$\because$直线$x=-1$与直线$y=2x-1$的交点坐标是$(-1,-3)$，
$\therefore$点$P(-1,-3)$.
设直线$x=-1$与$AB$相交于点$Q$，
则有$AQ=3,PQ=4. \therefore PA=5$.
$\therefore \odot P$的半径为5.
$\therefore$存在,点$P$坐标为$(-1,-3),\odot P$的半径为5.
$\because$经过$A,B$两点的圆的圆心在$AB$的垂直平分线上,又$A,B$两点的纵坐标相同，
$\therefore AB$的垂直平分线为直线$x=-1$.
$\because$直线$x=-1$与直线$y=2x-1$的交点坐标是$(-1,-3)$，
$\therefore$点$P(-1,-3)$.
设直线$x=-1$与$AB$相交于点$Q$，
则有$AQ=3,PQ=4. \therefore PA=5$.
$\therefore \odot P$的半径为5.
$\therefore$存在,点$P$坐标为$(-1,-3),\odot P$的半径为5.
解析
【分析】
要判断直线$y=2x-1$上是否存在满足条件的点$P$，首先根据圆的性质：同圆的半径相等，可得$PA=PB$，因此点$P$一定在线段$AB$的垂直平分线上。解题可分三步进行：第一步求出线段$AB$的垂直平分线的解析式；第二步求该垂直平分线与直线$y=2x-1$的交点，若有交点则存在符合要求的点$P$，否则不存在；第三步若存在交点，计算交点到$A$（或$B$）的距离，即为$\odot P$的半径。
【解析】
存在点$P$，理由如下：
$\because \odot P$经过$A$、$B$两点，$\therefore PA=PB$，即点$P$在$AB$的垂直平分线上。
$\because A(-4,1)$、$B(2,1)$两点纵坐标相同，$\therefore AB$平行于$x$轴，$AB$的中点横坐标为$\frac{-4+2}{2}=-1$，因此$AB$的垂直平分线为直线$x=-1$。
联立$x=-1$与$y=2x-1$，将$x=-1$代入$y=2x-1$，得$y=2×(-1)-1=-3$，因此两直线的交点为$P(-1,-3)$。
设直线$x=-1$与$AB$相交于点$Q$，则$Q$点坐标为$(-1,1)$，可得$AQ=|-1-(-4)|=3$，$PQ=|1-(-3)|=4$。
在$Rt△ PAQ$中，由勾股定理得$PA=\sqrt{AQ^2+PQ^2}=\sqrt{3^2+4^2}=5$，即$\odot P$的半径为5。
【答案】
存在，点$P$的坐标为$(-1,-3)$，$\odot P$的半径为5。
【知识点】
1. 同圆半径相等
2. 线段垂直平分线性质
3. 一次函数交点求解
【点评】
本题是圆的性质与一次函数的基础综合题，解题核心是利用“到线段两端点距离相等的点在线段的垂直平分线上”，将问题转化为两条直线的交点问题，再结合勾股定理计算半径，侧重对基础性质的应用考查。
【难度系数】
0.7
要判断直线$y=2x-1$上是否存在满足条件的点$P$，首先根据圆的性质：同圆的半径相等，可得$PA=PB$，因此点$P$一定在线段$AB$的垂直平分线上。解题可分三步进行：第一步求出线段$AB$的垂直平分线的解析式；第二步求该垂直平分线与直线$y=2x-1$的交点，若有交点则存在符合要求的点$P$，否则不存在；第三步若存在交点，计算交点到$A$（或$B$）的距离，即为$\odot P$的半径。
【解析】
存在点$P$，理由如下：
$\because \odot P$经过$A$、$B$两点，$\therefore PA=PB$，即点$P$在$AB$的垂直平分线上。
$\because A(-4,1)$、$B(2,1)$两点纵坐标相同，$\therefore AB$平行于$x$轴，$AB$的中点横坐标为$\frac{-4+2}{2}=-1$，因此$AB$的垂直平分线为直线$x=-1$。
联立$x=-1$与$y=2x-1$，将$x=-1$代入$y=2x-1$，得$y=2×(-1)-1=-3$，因此两直线的交点为$P(-1,-3)$。
设直线$x=-1$与$AB$相交于点$Q$，则$Q$点坐标为$(-1,1)$，可得$AQ=|-1-(-4)|=3$，$PQ=|1-(-3)|=4$。
在$Rt△ PAQ$中，由勾股定理得$PA=\sqrt{AQ^2+PQ^2}=\sqrt{3^2+4^2}=5$，即$\odot P$的半径为5。
【答案】
存在，点$P$的坐标为$(-1,-3)$，$\odot P$的半径为5。
【知识点】
1. 同圆半径相等
2. 线段垂直平分线性质
3. 一次函数交点求解
【点评】
本题是圆的性质与一次函数的基础综合题，解题核心是利用“到线段两端点距离相等的点在线段的垂直平分线上”，将问题转化为两条直线的交点问题，再结合勾股定理计算半径，侧重对基础性质的应用考查。
【难度系数】
0.7
