1. (陕西中考)在平面直角坐标系中，二次函数$y=x^2+mx+m^2−m$（$m$为常数）的图象经过点$(0,6)$，其对称轴在$y$轴左侧，则该二次函数有()

A.最大值5
B.最大值$\frac{15}{4}$
C.最小值5
D.最小值$\frac{15}{4}$

1. D 解析: 将$(0,6)$代入二次函数表达式 $y=x^2+mx+m^2-m$,得 $6 = m^2 - m$, 解得 $m_1 = 3, m_2 = -2. \because$ 二次函数 $y = x^2 + mx+m^2 -m$ 的对称轴在 $y$ 轴左侧, 即 $x=-\frac{b}{2a}=-\frac{m}{2}＜0,\therefore m＞0,\therefore m=3,\therefore y=x^2+3x+6=(x+\frac{3}{2})^2+\frac{15}{4},\therefore$ 当 $x=-\frac{3}{2}$ 时,二次函数有最小值,最小值为$\frac{15}{4}$.

2. 已知二次函数$y=mx^2 - 2mx + 2(m≠0)$在$-2≤x＜2$时有最小值$-2$，则$m=$.

2. 4或$-\frac{1}{2}$ 解析:$\because$ 二次函数表达式为 $y=mx^2 -2mx +2( m≠ 0),\therefore$ 二次函数对称轴为直线 $x=1$, 当 $m＞0$ 时,$\because$ 在 $-2≤ x＜2$ 时有最小值$-2$,$\therefore$ 当 $x=1$ 时,$y=m-2m+2=-2,m=4$;当 $m＜0$ 时,$\because$ 在 $-2≤ x＜2$ 时有最小值$-2$,$\therefore$ 当 $x=-2$ 时,$y=4m+4m+2=-2$,解得 $m=-\frac{1}{2}$.综上所述,$m=4$ 或 $-\frac{1}{2}$.

3. 新题型 新运算 规定:若$a=(x_1,y_1),b=(x_2,y_2)$,则$a·b=x_1y_2+x_2y_1$.例如$a=(1,3),b=(2,4)$,则$a·b=1×4+3×2=10$.已知$a=(x+1,x-2),b=(x-3,4)$,且$1≤x≤2$,则$a·b$的最小值是.

3. 10 解析: 由新定义得 $a· b=4(x+1)+(x-2)(x-3)=x^2 -x +10=(x-\frac{1}{2})^2+\frac{39}{4},\therefore a· b=(x-\frac{1}{2})^2+\frac{39}{4}$ 的图象开口向上,对称轴为直线 $x=\frac{1}{2}.\because 1≤ x≤ 2,\therefore$ 当 $x=1$ 时,$a· b$ 取最小值,最小值为 $(1-\frac{1}{2})^2+\frac{39}{4}=10$.

4. 已知二次函数$y=x^2 -4x +5$，关于该函数在$a≤x≤4$的取值范围内，下列说法正确的是（）

A.若$a＜0$，函数有最大值5
B.若$a＜0$，函数有最小值5
C.若$0＜a＜2$，函数有最小值1
D.若$0＜a＜2$，函数无最大值

4. C 解析: $\because$ 二次函数 $y=x^2 -4x +5=(x-2)^2 +1,\therefore$ 该函数图象的对称轴是直线 $x=2$, 函数图象开口向上.$\because a≤ x≤ 4$,$\therefore$ 当 $a＜0$ 时,无法确定最大值,即 A 选项不符合题意; 当 $a＜0$ 时,函数有最小值 1,即 B 选项不符合题意; 当 $0＜a＜2$ 时,函数有最小值 1,即 C 选项符合题意; 当 $0＜a＜2$ 时,$x=4$ 时,函数有最大值 5,即 D 选项不符合题意.

5. (2026·陕西期末)已知二次函数$y=x^2+4x+2$，当$a≤x≤a+2$时，二次函数$y=x^2+4x+2$的最小值为$-1$，则实数$a$的值为（）

A.5或1
B.5或-1
C.-5或1
D.-5或-1

5. D 解析: $\because y=x^2 +4x +2=(x+2)^2 -2,\therefore$ 二次函数 $y=x^2 +4x+2$ 的顶点坐标为 $(-2,-2).\because$ 当 $x^2 +4x +2=-1$ 时,即 $x^2 +4x +3=0,\therefore (x+1)(x+3)=0,\therefore x=-1$ 或 $x=-3$,即当 $x=-1$ 或 $x=-3$ 时,$y=-1,\therefore$ 二次函数 $y=x^2 +4x +2$ 的图象如下：
$\because$ 当 $a≤ x≤ a+2$ 时,二次函数 $y=x^2 +4x +2$ 的最小值为 $-1$,$\therefore a=-1$ 或 $a+2=-3$,即实数 $a$ 的值为 $-5$ 或 $-1$.

6. 已知二次函数 $ y = ax^2 - 2(b - 1)x + 1(a ≠ 0) $，当$-2 ≤ x ≤ -1$时，$ y $ 随 $ x $ 的增大而增大，则（）

A.当 $ a＞0 $ 时，$ ab $ 的最大值为$\frac{1}{4}$
B.当 $ a＞0 $ 时，$ ab $ 的最大值为$\frac{1}{8}$
C.当 $ a＜0 $ 时，$ ab $ 的最大值为$\frac{1}{4}$
D.当 $ a＜0 $ 时，$ ab $ 的最大值为$\frac{1}{8}$

6. B 解析: 当 $a＞0$ 时,抛物线开口向上,对称轴为直线 $x=-\frac{-2(b-1)}{2a}=\frac{b-1}{a}.\because$ 当 $-2≤ x≤ -1$ 时,$y$ 随 $x$ 的增大而增大,$\therefore \frac{b-1}{a}≤ -2,\therefore b-1≤ -2a,\therefore b≤ 1-2a,\therefore ab≤ -2a^2 +a=-2(a-\frac{1}{4})^2+\frac{1}{8}$,即 $ab$ 的最大值为 $\frac{1}{8}$,故 B 选项正确,A 选项错误; 当 $a＜0$ 时,抛物线开口向下,对称轴为直线 $x=-\frac{-2(b-1)}{2a}=\frac{b-1}{a}.\because$ 当 $-2≤ x≤ -1$ 时,$y$ 随 $x$ 的增大而增大,$\therefore \frac{b-1}{a}≥ -1,\therefore b-1≤ -a,\therefore b≤ -a+1,\therefore ab≥ -a^2 +a=-(a-\frac{1}{2})^2+\frac{1}{4}$,此时 $ab$ 无最大值,故 C,D 选项错误.

7. 已知二次函数$y=(x-a)^2 +5 -a^2$，当$2a ≤ x ≤ 2a+2$时，有最大值$y_1$及最小值$y_2$，当$y_1 - y_2 = a^2 -1$时，实数$a$的值为.

7. -3或5 解析: 当 $x=2a$ 时,$y=a^2 +5 -a^2=5$;当 $x=2a+2$ 时,$y=a^2 +4a +4 +5 -a^2=4a +9$,当 $x=a$ 时,$y=5 -a^2$.已知抛物线开口向上,分类讨论:①当 $a≤ 2a$,即 $a≥ 0$ 时,对称轴在范围左侧,此时最小值 $y_2=5$,最大值 $y_1=4a+9$,$y_1-y_2=4a+9-5=a^2-1$,解得 $a_1=5,a_2=-1$(舍去);②当 $a≥ 2a+2$,即 $a≤ -2$ 时,对称轴在范围右侧,此时最小值 $y_2=4a+9$,最大值 $y_1=5$,$y_1-y_2=5-(4a+9)=a^2-1$,解得 $a_1=-1$(舍去),$a_2=-3$;③当 $2a＜a≤ 2a+1$,即 $-1≤ a＜0$ 时,对称轴在范围内靠左端点的位置,此时最大值 $y_1=4a+9$,最小值 $y_2=5-a^2$,$y_1-y_2=4a+9-(5-a^2)=a^2-1$,解得 $a=-\frac{5}{4}$(舍去);④当 $2a+1＜a＜2a+2$,即 $-2＜a＜-1$ 时,对称轴在范围内靠右端点的位置,此时最大值 $y_1=5$,最小值 $y_2=5-a^2$,$y_1-y_2=5-(5-a^2)=a^2-1$,无实数解.综上,实数 $a$ 的值为 $-3$ 或 $5$.

8. (2026·泸州模拟)已知在平面直角坐标系$xOy$中,抛物线$y=-x^2+2bx$($b$为常数).
(1)如图①,当抛物线经过点$A(3,-3)$时,求抛物线的表达式;
(2)如图②,若点$P$为(1)中抛物线上一动点,且点$P$的横坐标为$m$,过点$P$作$PB // x$轴交直线$OA$于点$B$.当$△ PAB$是等腰三角形时,求点$P$的坐标;
(3)若抛物线上存在两点$M(x_1,y_1)$和$N(x_2,y_2)$,对于$1 ≤ x_1 ≤ 2$,$x_2 = b+2$,都有$y_1y_2 ＜ 0$,请直接写出$b$的取值范围.

8. (1)把 $A(3,-3)$ 代入到 $y=-x^2+2bx$ 中,得 $-3^2+2b× 3=-3$,解得 $b=1$,$\therefore$ 抛物线的表达式为 $y=-x^2+2x$.
(2)设直线 $OA$ 的表达式为 $y=kx$,把 $A(3,-3)$ 代入表达式得 $3k=-3$,$\therefore k=-1$,$\therefore$ 直线 $OA$ 的表达式为 $y=-x$.设点 $P(m,-m^2+2m)$,$\because PB// x$ 轴,$\therefore B( m^2-2m,-m^2+2m)$,$\therefore PB=| m-( m^2-2m) | = | -m^2+3m |$,$PA^2=( m-3)^2+(-m^2+2m+3)^2$,$AB^2=( m^2-2m-3)^2+(-m^2+2m+3)^2=2( m^2-2m-3)^2$.若$△ PAB$ 是等腰三角形,分三种情况讨论:
①当 $PB=PA$ 时,$(-m^2+3m)^2=( m-3)^2+(-m^2+2m+3)^2$,解得 $m=3$(不合题意,舍去)或 $m=-1$,此时点 $P$ 的坐标为 $(-1,-3)$;②当 $PB=AB$ 时,$(-m^2+3m)^2=2( m^2-2m-3)^2$,解得 $m=3$(不合题意,舍去)或 $m=-2+\sqrt{2}$ 或 $m=-2-\sqrt{2}$,此时点 $P$ 的坐标为 $(-2+\sqrt{2},-10+6\sqrt{2})$ 或 $(-2-\sqrt{2},-10-6\sqrt{2})$;③当 $PA=AB$ 时,$( m-3)^2+(-m^2+2m+3)^2=2( m^2-2m-3)^2$,解得 $m=0$(不合题意,舍去)或 $m=-2$ 或 $m=3$(不合题意,舍去),此时点 $P$ 的坐标为 $(-2,-8)$.综上,点 $P$ 的坐标为 $(-1,-3)$ 或 $(-2+\sqrt{2},-10+6\sqrt{2})$ 或 $(-2-\sqrt{2},-10-6\sqrt{2})$ 或 $(-2,-8)$.
(3)$b$ 的取值范围为 $b＜-2$ 或 $1＜b＜2$. 解析: 由题可知,抛物线的对称轴为直线 $x=-\frac{2b}{2×(-1)}=b$,$\because$ 抛物线经过点 $(0,0)$,$\therefore$ 抛物线与 $x$ 轴的另一个交点坐标为 $(2b,0).\because 1≤ x_1≤ 2$,$x_2=b+2$,都有 $y_1y_2＜0$,$\therefore$ 当对称轴在 $y$ 轴左侧,即 $b＜0$ 时,$\begin{cases} b+2＜0,\\ b+2＞2b, \end{cases}$ 解得 $b＜-2$,$\therefore$ 此时 $b＜-2$;当对称轴在 $y$ 轴右侧,即 $b＞0$ 时,$\begin{cases} 2b＞2,\\ b+2＞2b, \end{cases}$ 解得 $1＜b＜2$,$\therefore 1＜b＜2$;当 $b=0$ 时,抛物线的对称轴为 $y$ 轴,顶点坐标为 $(0,0)$,$\because$ 抛物线开口向下,$\therefore$ 当 $1≤ x_1≤ 2$,$x_2=b+2$ 时,$y_1＜0$,$y_2＜0$,$\therefore y_1y_2＞0$,故此情况不符合题意.综上所述,$b$ 的取值范围为 $b＜-2$ 或 $1＜b＜2$.