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12. 如图,把抛物线$y=x^2$沿直线$y=x$平移$\sqrt{2}$个单位长度后,其顶点在直线$y=x$上的A处,则平移后抛物线的函数表达式为
$y=(x-1)^2+1$
.答案
12. $y=(x-1)^2+1$ 解析:根据题图,把抛物线$y=x^2$沿直线y=x平移$\sqrt{2}$个单位长度,使顶点平移至点A处,也就是向右平移1个单位长度,再向上平移1个单位长度,所以平移后的抛物线的函数表达式为$y=(x-1)^2+1$.
13. 如图,已知开口向下的抛物线$y=ax^2+bx+c$与x轴交于点$(6,0)$,对称轴为直线$x=2$.则下列结论:①$abc＜0$;②$a-b+c＞0$;③$4a+b=0$;④抛物线上有两点$P(x_1,y_1)$和$Q(x_2,y_2)$,若$x_1＜2＜x_2$且$x_1+x_2＞4$,则$y_1＜y_2$.其中正确的有
①②③
.(填序号)答案
13. ①②③ 解析:
∵ 抛物线开口向下,
∴ a＜0,
∵ 抛物线交y轴于正半轴,
∴ c＞0.
∵ $-\frac{b}{2a}＞0$,
∴ b＞0,
∴ abc＜0,故①正确;
∵ 抛物线对称轴为直线x=2,当x=5时,y＞0,
∴ 当x=-1时,y＞0,
∴ a-b+c＞0,故②正确;
∵ 对称轴为直线x=2,
∴ $-\frac{b}{2a}=2$,
∴ b=-4a,
∴ 4a+b=0,故③正确;
∵ 抛物线开口向下,对称轴为直线x=2,若$x_1＜2＜x_2$且$x_1+x_2＞4$,则点$P(x_1,y_1)$到对称轴的距离小于点$Q(x_2,y_2)$到对称轴的距离,
∴ $y_1＞y_2$,故④不正确.故正确的有①②③.
∵ 抛物线开口向下,
∴ a＜0,
∵ 抛物线交y轴于正半轴,
∴ c＞0.
∵ $-\frac{b}{2a}＞0$,
∴ b＞0,
∴ abc＜0,故①正确;
∵ 抛物线对称轴为直线x=2,当x=5时,y＞0,
∴ 当x=-1时,y＞0,
∴ a-b+c＞0,故②正确;
∵ 对称轴为直线x=2,
∴ $-\frac{b}{2a}=2$,
∴ b=-4a,
∴ 4a+b=0,故③正确;
∵ 抛物线开口向下,对称轴为直线x=2,若$x_1＜2＜x_2$且$x_1+x_2＞4$,则点$P(x_1,y_1)$到对称轴的距离小于点$Q(x_2,y_2)$到对称轴的距离,
∴ $y_1＞y_2$,故④不正确.故正确的有①②③.
14. 已知函数$y=(x-a)^2+(x-b)^2$（$a,b$为常数）.
设自变量$x$取$x_0$时，$y$取得最小值.
（1）若$a=-1,b=3$，求$x_0$的值；
（2）当$a^2-2a-2b+3=0$，且$1≤x_0＜3$时，分析并确定整数$a$的个数.
设自变量$x$取$x_0$时，$y$取得最小值.
（1）若$a=-1,b=3$，求$x_0$的值；
（2）当$a^2-2a-2b+3=0$，且$1≤x_0＜3$时，分析并确定整数$a$的个数.
答案
14. (1)由题意知$y=(x+1)^2+(x-3)^2=x^2+2x+1+x^2-6x+9=2x^2-4x+10=2(x^2-2x+1)+8=2(x-1)^2+8$,当$x_0=1$时,y取得最小值8.(2)$y=(x-a)^2+(x-b)^2=x^2-2ax+a^2+x^2-2bx+b^2=2x^2-(2a+2b)x+a^2+b^2$.
∵ $a^2-2a-2b+3=0$,
∴ $a^2+3=2a+2b$,
∴ $y=2x^2-(a^2+3)x+a^2+b^2$.
∵ $1≤x_0＜3$,
∴ $1≤-\frac{-(a^2+3)}{2×2}＜3$,化简得$1≤a^2＜9$.
∵ a为整数,
∴ a=-2,-1,1,2,则整数a有4个.
∵ $a^2-2a-2b+3=0$,
∴ $a^2+3=2a+2b$,
∴ $y=2x^2-(a^2+3)x+a^2+b^2$.
∵ $1≤x_0＜3$,
∴ $1≤-\frac{-(a^2+3)}{2×2}＜3$,化简得$1≤a^2＜9$.
∵ a为整数,
∴ a=-2,-1,1,2,则整数a有4个.
15. 如图,在平面直角坐标系中,二次函数$y=-x^2+2x+1$的图象与其关于直线$y=-x$对称的图象交于A,B,C,D四点,则四边形ABCD的面积为
$3\sqrt{13}$
.答案
15. $3\sqrt{13}$ 解析:由$\begin{cases} y=-x^2+2x+1, \\ y=-x, \end{cases}$解得$\begin{cases} x=\frac{3-\sqrt{13}}{2}, \\ y=\frac{-3+\sqrt{13}}{2} \end{cases}$或$\begin{cases} x=\frac{3+\sqrt{13}}{2}, \\ y=\frac{-3-\sqrt{13}}{2}, \end{cases}$
∴ $A(\frac{3-\sqrt{13}}{2},\frac{-3+\sqrt{13}}{2})$,$C(\frac{3+\sqrt{13}}{2},\frac{-3-\sqrt{13}}{2})$,
∴ $AC=\sqrt{(\frac{3-\sqrt{13}}{2}-\frac{3+\sqrt{13}}{2})^2+(\frac{-3+\sqrt{13}}{2}-\frac{-3-\sqrt{13}}{2})^2}=\sqrt{26}$.连接BD,设D(a,b),
∵ 点B,D关于直线y=-x对称,
∴ B(-b,-a),AC⊥BD.把点D(a,b),B(-b,-a)的坐标分别代入二次函数,得$\begin{cases} -a^2+2a+1=b, \quad ① \\ -b^2-2b+1=-a, \quad ② \end{cases}$ ②-①得,$a^2-b^2-2b-2a=-a-b$,整理得$(a+b)(a-b)-(a+b)=0$,
∵ a+b≠0,
∴ a-b-1=0,
∴ b=a-1,把b=a-1代入①,得$-a^2+2a+1=a-1$,整理得$a^2-a-2=0$,解得$a_1=2,a_2=-1$,
∴ D(2,1),B(-1,-2),
∴ $BD=\sqrt{(2+1)^2+(1+2)^2}=3\sqrt{2}$.
∵ AC⊥BD,
∴ $S=\frac{1}{2}AC·BD=\frac{1}{2}×\sqrt{26}×3\sqrt{2}=3\sqrt{13}$.
∴ $A(\frac{3-\sqrt{13}}{2},\frac{-3+\sqrt{13}}{2})$,$C(\frac{3+\sqrt{13}}{2},\frac{-3-\sqrt{13}}{2})$,
∴ $AC=\sqrt{(\frac{3-\sqrt{13}}{2}-\frac{3+\sqrt{13}}{2})^2+(\frac{-3+\sqrt{13}}{2}-\frac{-3-\sqrt{13}}{2})^2}=\sqrt{26}$.连接BD,设D(a,b),
∵ 点B,D关于直线y=-x对称,
∴ B(-b,-a),AC⊥BD.把点D(a,b),B(-b,-a)的坐标分别代入二次函数,得$\begin{cases} -a^2+2a+1=b, \quad ① \\ -b^2-2b+1=-a, \quad ② \end{cases}$ ②-①得,$a^2-b^2-2b-2a=-a-b$,整理得$(a+b)(a-b)-(a+b)=0$,
∵ a+b≠0,
∴ a-b-1=0,
∴ b=a-1,把b=a-1代入①,得$-a^2+2a+1=a-1$,整理得$a^2-a-2=0$,解得$a_1=2,a_2=-1$,
∴ D(2,1),B(-1,-2),
∴ $BD=\sqrt{(2+1)^2+(1+2)^2}=3\sqrt{2}$.
∵ AC⊥BD,
∴ $S=\frac{1}{2}AC·BD=\frac{1}{2}×\sqrt{26}×3\sqrt{2}=3\sqrt{13}$.
16. 在平面直角坐标系$xOy$中，$M(x_1,y_1)$，$N(x_2,y_2)$是抛物线$y=ax^2+bx+c(a＞0)$上任意两点，设抛物线的对称轴为直线$x=t$.
(1)若对于$x_1=1$，$y_1=y_2$，请用$t$表示$x_2$；
(2)若对于$-t＜x_1＜1-t$，$2t-2＜x_2＜2t-1$，都有$y_1＞y_2$，求$t$的取值范围.
(1)若对于$x_1=1$，$y_1=y_2$，请用$t$表示$x_2$；
(2)若对于$-t＜x_1＜1-t$，$2t-2＜x_2＜2t-1$，都有$y_1＞y_2$，求$t$的取值范围.
答案
16. (1)
∵ $x_1=1$,$y_1=y_2$,
∴ $M(x_1,y_1)$,$N(x_2,y_2)$关于直线x=t对称.
∵ $\frac{1+x_2}{2}=t$,
∴ $x_2=2t-1$.(2)
∵ $M(x_1,y_1)$,$N(x_2,y_2)$是抛物线$y=ax^2+bx+c(a＞0)$上任意两点,
∴ 把点$M(x_1,y_1)$,$N(x_2,y_2)$的坐标分别代入$y=ax^2+bx+c(a＞0)$,得$y_1=ax_1^2+bx_1+c$,$y_2=ax_2^2+bx_2+c$.
∵ 对于$-t＜x_1＜1-t$,$2t-2＜x_2＜2t-1$,都有$y_1＞y_2$,
∴ $y_1-y_2＞0$,则$ax_1^2+bx_1+c-(ax_2^2+bx_2+c)＞0$,
∴ $ax_1^2-ax_2^2+bx_1-bx_2＞0$,则$a(x_1+x_2)(x_1-x_2)+b(x_1-x_2)＞0$,整理得$[a(x_1+x_2)+b]·(x_1-x_2)＞0$.
∵ 抛物线的对称轴为直线x=t,
∴ $-\frac{b}{2a}=t$,b=-2at,则$[a(x_1+x_2)-2at](x_1-x_2)=a(x_1+x_2-2t)(x_1-x_2)＞0$.
∵ a＞0,
∴ $(x_1+x_2-2t)(x_1-x_2)＞0$.第一种情况:当$x_1-x_2＞0$,且$x_1+x_2-2t＞0$时,$x_1＞x_2$,且$x_1+x_2＞2t$.
∵ 对于$-t＜x_1＜1-t$,$2t-2＜x_2＜2t-1$,都有$y_1＞y_2$,
∴ $-t≥2t-1$,且$-t+2t-2≥2t$,
∴ $t≤\frac{1}{3}$且t≤-2,
∴ t≤-2.第二种情况:当$x_1-x_2＜0$,且$x_1+x_2-2t＜0$时,$x_1＜x_2$,且$x_1+x_2＜2t$.
∵ 对于$-t＜x_1＜1-t$,$2t-2＜x_2＜2t-1$,都有$y_1＞y_2$,
∴ $1-t≤2t-2$,且$1-t+2t-1≤2t$,
∴ t≥1且t≥0,
∴ t≥1.综上,t≤-2或t≥1.
∵ $x_1=1$,$y_1=y_2$,
∴ $M(x_1,y_1)$,$N(x_2,y_2)$关于直线x=t对称.
∵ $\frac{1+x_2}{2}=t$,
∴ $x_2=2t-1$.(2)
∵ $M(x_1,y_1)$,$N(x_2,y_2)$是抛物线$y=ax^2+bx+c(a＞0)$上任意两点,
∴ 把点$M(x_1,y_1)$,$N(x_2,y_2)$的坐标分别代入$y=ax^2+bx+c(a＞0)$,得$y_1=ax_1^2+bx_1+c$,$y_2=ax_2^2+bx_2+c$.
∵ 对于$-t＜x_1＜1-t$,$2t-2＜x_2＜2t-1$,都有$y_1＞y_2$,
∴ $y_1-y_2＞0$,则$ax_1^2+bx_1+c-(ax_2^2+bx_2+c)＞0$,
∴ $ax_1^2-ax_2^2+bx_1-bx_2＞0$,则$a(x_1+x_2)(x_1-x_2)+b(x_1-x_2)＞0$,整理得$[a(x_1+x_2)+b]·(x_1-x_2)＞0$.
∵ 抛物线的对称轴为直线x=t,
∴ $-\frac{b}{2a}=t$,b=-2at,则$[a(x_1+x_2)-2at](x_1-x_2)=a(x_1+x_2-2t)(x_1-x_2)＞0$.
∵ a＞0,
∴ $(x_1+x_2-2t)(x_1-x_2)＞0$.第一种情况:当$x_1-x_2＞0$,且$x_1+x_2-2t＞0$时,$x_1＞x_2$,且$x_1+x_2＞2t$.
∵ 对于$-t＜x_1＜1-t$,$2t-2＜x_2＜2t-1$,都有$y_1＞y_2$,
∴ $-t≥2t-1$,且$-t+2t-2≥2t$,
∴ $t≤\frac{1}{3}$且t≤-2,
∴ t≤-2.第二种情况:当$x_1-x_2＜0$,且$x_1+x_2-2t＜0$时,$x_1＜x_2$,且$x_1+x_2＜2t$.
∵ 对于$-t＜x_1＜1-t$,$2t-2＜x_2＜2t-1$,都有$y_1＞y_2$,
∴ $1-t≤2t-2$,且$1-t+2t-1≤2t$,
∴ t≥1且t≥0,
∴ t≥1.综上,t≤-2或t≥1.
