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1. 一条抛物线的形状、开口方向与$y=\frac{1}{2}x^2 -4x +3$相同，顶点坐标为$(-2,1)$，则此抛物线的函数表达式为（
A.$y=\frac{1}{2}(x-2)^2 +1$
B.$y=\frac{1}{2}(x+2)^2 -1$
C.$y=\frac{1}{2}(x+2)^2 +1$
D.$y=-\frac{1}{2}(x+2)^2 +1$
C
）A.$y=\frac{1}{2}(x-2)^2 +1$
B.$y=\frac{1}{2}(x+2)^2 -1$
C.$y=\frac{1}{2}(x+2)^2 +1$
D.$y=-\frac{1}{2}(x+2)^2 +1$
答案
1. C 解析:
∵ 抛物线的形状、开口方向与 $y=\frac{1}{2}x^2 -4x+3$ 相同,
∴ $a=\frac{1}{2}$.
∵ 顶点坐标为 $(-2,1)$,
∴ 抛物线表达式为 $y=\frac{1}{2}(x+2)^2+1$.故选 C.
∵ 抛物线的形状、开口方向与 $y=\frac{1}{2}x^2 -4x+3$ 相同,
∴ $a=\frac{1}{2}$.
∵ 顶点坐标为 $(-2,1)$,
∴ 抛物线表达式为 $y=\frac{1}{2}(x+2)^2+1$.故选 C.
2. 已知抛物线过点$A(2,0),B(-1,0)$,与$y$轴交于点$C$,且$OC=2$,则这条抛物线的函数表达式为$\quad (\quad)$
A.$y=x^2 -x -2$
B.$y=-x^2 +x +2$
C.$y=x^2 -x -2$或$y=-x^2 +x +2$
D.$y=-x^2 -x -2$或$y=x^2 +x +2$
A.$y=x^2 -x -2$
B.$y=-x^2 +x +2$
C.$y=x^2 -x -2$或$y=-x^2 +x +2$
D.$y=-x^2 -x -2$或$y=x^2 +x +2$
答案
2. C 解析: 设抛物线的表达式为 $y=a(x-2)(x+1)(a≠0)$.
∵ $OC=2$,
∴ 抛物线和 $y$ 轴的交点为 $(0,2)$ 或 $(0,-2)$.①当抛物线和 $y$ 轴的交点为 $(0,2)$ 时,得 $2=a(0-2)(0+1)$,解得 $a=-1$,
∴ 抛物线表达式为 $y=-(x-2)(x+1)$,即 $y=-x^2+x+2$;②当抛物线和 $y$ 轴的交点为 $(0,-2)$ 时,$-2=a(0-2)·(0+1)$,解得 $a=1$,
∴ 抛物线表达式为 $y=(x-2)(x+1)$,即 $y=x^2-x-2$.故选 C.
∵ $OC=2$,
∴ 抛物线和 $y$ 轴的交点为 $(0,2)$ 或 $(0,-2)$.①当抛物线和 $y$ 轴的交点为 $(0,2)$ 时,得 $2=a(0-2)(0+1)$,解得 $a=-1$,
∴ 抛物线表达式为 $y=-(x-2)(x+1)$,即 $y=-x^2+x+2$;②当抛物线和 $y$ 轴的交点为 $(0,-2)$ 时,$-2=a(0-2)·(0+1)$,解得 $a=1$,
∴ 抛物线表达式为 $y=(x-2)(x+1)$,即 $y=x^2-x-2$.故选 C.
3. 在平面直角坐标系中,将二次函数$y=x^2 -4$的图象沿直线$x=2$翻折,它能够与另一个二次函数的图象重合,另一个二次函数的表达式为 (
A.$y=x^2 +4$
B.$y=x^2 -6x +8$
C.$y=x^2 -8x +12$
D.$y=-x^2 -4$
C
)A.$y=x^2 +4$
B.$y=x^2 -6x +8$
C.$y=x^2 -8x +12$
D.$y=-x^2 -4$
答案
3. C 解析:
∵ 二次函数 $y=x^2-4$ 的图象的顶点坐标为 $(0,-4)$,
∴ 沿直线 $x=2$ 翻折后的二次函数的图象的顶点坐标为 $(4,-4)$,
∴ 另一个二次函数的表达式为 $y=(x-4)^2-4$,即 $y=x^2-8x+12$.故选 C.
∵ 二次函数 $y=x^2-4$ 的图象的顶点坐标为 $(0,-4)$,
∴ 沿直线 $x=2$ 翻折后的二次函数的图象的顶点坐标为 $(4,-4)$,
∴ 另一个二次函数的表达式为 $y=(x-4)^2-4$,即 $y=x^2-8x+12$.故选 C.
4. (2024·陕西中考)下表是一个二次函数$y=ax^2+bx+c$的自变量$x$与函数$y$的几组对应值.
则下列关于这个二次函数的结论,正确的是 (
A.图象的开口向上
B.当$x＞0$时,$y$的值随$x$值的增大而增大
C.图象经过第二、三、四象限
D.图象的对称轴是直线$x=1$
则下列关于这个二次函数的结论,正确的是 (
D
)A.图象的开口向上
B.当$x＞0$时,$y$的值随$x$值的增大而增大
C.图象经过第二、三、四象限
D.图象的对称轴是直线$x=1$
答案
4. D 解析: 由题意得 $\begin{cases}4a-2b+c=-8,\\c=0,\\9a+3b+c=-3,\end{cases}$ 解得 $\begin{cases}a=-1,\\c=0,\\b=2,\end{cases}$
∴ 二次函数的表达式为 $y=-x^2+2x=-(x-1)^2+1$,
∵ $a=-1＜0$,
∴ 图象的开口向下,故选项 A 不符合题意;图象的对称轴是直线 $x=1$,故选项 D 符合题意;当 $0＜x＜1$ 时,$y$ 的值随 $x$ 值的增大而增大,当 $x＞1$ 时,$y$ 的值随 $x$ 值的增大而减小,故选项 B 不符合题意;
∵ 顶点坐标为 $(1,1)$ 且经过原点,图象的开口向下,
∴ 图象经过第一、三、四象限,故选项 C 不符合题意,故选 D.
∴ 二次函数的表达式为 $y=-x^2+2x=-(x-1)^2+1$,
∵ $a=-1＜0$,
∴ 图象的开口向下,故选项 A 不符合题意;图象的对称轴是直线 $x=1$,故选项 D 符合题意;当 $0＜x＜1$ 时,$y$ 的值随 $x$ 值的增大而增大,当 $x＞1$ 时,$y$ 的值随 $x$ 值的增大而减小,故选项 B 不符合题意;
∵ 顶点坐标为 $(1,1)$ 且经过原点,图象的开口向下,
∴ 图象经过第一、三、四象限,故选项 C 不符合题意,故选 D.
5. 如图，平面直角坐标系中一条抛物线经过网格点A,B,C，其中点B的坐标为$(4,4)$，则该抛物线的函数表达式为
$y=-\frac{1}{6}x^2+\frac{2}{3}x+4$
。答案
5. $y=-\frac{1}{6}x^2+\frac{2}{3}x+4$ 解析: 由题可知抛物线的对称轴为直线 $x=2$,抛物线过点 $A(0,4)$,$C(6,2)$,设抛物线的函数表达式为 $y=a(x-2)^2+k$,分别把 $A$,$C$ 点坐标代入 $y=a(x-2)^2+k$,解得 $a=-\frac{1}{6}$, $k=\frac{14}{3}$,整理可得该抛物线的函数表达式为 $y=-\frac{1}{6}x^2+\frac{2}{3}x+4$.
6. 已知二次函数的图象如图所示,求该二次函数的表达式.(用三种解法求解)
答案
6. 解法 1:设所求二次函数的表达式为 $y=ax^2+bx+c$,
∵ 二次函数的图象过点 $(0,3)$,
∴ $c=3$.又二次函数的图象过点 $(-1,0)$,$(3,0)$,可得 $\begin{cases}a-b+3=0,\\9a+3b+3=0,\end{cases}$ 解得 $\begin{cases}a=-1,\\b=2,\end{cases}$
∴ 二次函数的表达式为 $y=-x^2+2x+3$.
解法 2:由二次函数的图象过点 $(-1,0)$,$(3,0)$,可得对称轴为直线 $x=1$,可设所求二次函数的表达式为 $y=a(x-1)^2+k$.
∵ 二次函数的图象经过 $(3,0)$ 和 $(0,3)$ 两点,
∴ $\begin{cases}a(3-1)^2+k=0,\\a(0-1)^2+k=3,\end{cases}$ 解得 $\begin{cases}a=-1,\\k=4,\end{cases}$
∴ 二次函数的表达式为 $y=-(x-1)^2+4$,即 $y=-x^2+2x+3$.
解法 3:由二次函数的图象过点 $(-1,0)$,$(3,0)$,$(0,3)$,设二次函数的表达式为 $y=a(x+1)(x-3)$,则有 $a(0+1)(0-3)=3$,
∴ $a=-1$,
∴ $y=-(x+1)(x-3)=-x^2+2x+3$.
∵ 二次函数的图象过点 $(0,3)$,
∴ $c=3$.又二次函数的图象过点 $(-1,0)$,$(3,0)$,可得 $\begin{cases}a-b+3=0,\\9a+3b+3=0,\end{cases}$ 解得 $\begin{cases}a=-1,\\b=2,\end{cases}$
∴ 二次函数的表达式为 $y=-x^2+2x+3$.
解法 2:由二次函数的图象过点 $(-1,0)$,$(3,0)$,可得对称轴为直线 $x=1$,可设所求二次函数的表达式为 $y=a(x-1)^2+k$.
∵ 二次函数的图象经过 $(3,0)$ 和 $(0,3)$ 两点,
∴ $\begin{cases}a(3-1)^2+k=0,\\a(0-1)^2+k=3,\end{cases}$ 解得 $\begin{cases}a=-1,\\k=4,\end{cases}$
∴ 二次函数的表达式为 $y=-(x-1)^2+4$,即 $y=-x^2+2x+3$.
解法 3:由二次函数的图象过点 $(-1,0)$,$(3,0)$,$(0,3)$,设二次函数的表达式为 $y=a(x+1)(x-3)$,则有 $a(0+1)(0-3)=3$,
∴ $a=-1$,
∴ $y=-(x+1)(x-3)=-x^2+2x+3$.
7. 已知抛物线$y=ax^2+bx-2$（$a,b$都是常数，且$a≠0$）经过点$(2,-2)$，且对于符合$-1＜x_1＜0$，$3＜x_2＜4$的任意实数$x_1,x_2$，其对应的函数值$y_1,y_2$始终满足$y_1y_2＜0$，则抛物线顶点的纵坐标为（
A.$-\dfrac{5}{3}$
B.$-\dfrac{8}{3}$
C.$-3$
D.$-\dfrac{10}{3}$
B
）A.$-\dfrac{5}{3}$
B.$-\dfrac{8}{3}$
C.$-3$
D.$-\dfrac{10}{3}$
答案
7. B 解析:
∵ 抛物线表达式为 $y=ax^2+bx-2$,
∴ 当 $x=0$ 时,$y=-2$,即抛物线经过点 $(0,-2)$.又
∵ 抛物线经过点 $(2,-2)$,
∴ 两点纵坐标相等,
∴ 抛物线对称轴为直线 $x=\frac{0+2}{2}=1$.
∵ $x=-1$ 关于直线 $x=1$ 的对称点为 $x=3$,且对任意 $-1＜x_1＜0$,$3＜x_2＜4$ 都满足 $y_1y_2＜0$,
∴ 抛物线与 $x$ 轴交于 $(-1,0)$ 和 $(3,0)$.设抛物线表达式为 $y=a(x+1)(x-3)$,将 $(0,-2)$ 代入得 $-2=a×(0+1)×(0-3)$,解得 $a=\frac{2}{3}$.
∵ 顶点横坐标为 $1$,将 $x=1$ 代入表达式得 $y=\frac{2}{3}×(1+1)×(1-3)=-\frac{8}{3}$,即顶点纵坐标为 $-\frac{8}{3}$.
∵ 抛物线表达式为 $y=ax^2+bx-2$,
∴ 当 $x=0$ 时,$y=-2$,即抛物线经过点 $(0,-2)$.又
∵ 抛物线经过点 $(2,-2)$,
∴ 两点纵坐标相等,
∴ 抛物线对称轴为直线 $x=\frac{0+2}{2}=1$.
∵ $x=-1$ 关于直线 $x=1$ 的对称点为 $x=3$,且对任意 $-1＜x_1＜0$,$3＜x_2＜4$ 都满足 $y_1y_2＜0$,
∴ 抛物线与 $x$ 轴交于 $(-1,0)$ 和 $(3,0)$.设抛物线表达式为 $y=a(x+1)(x-3)$,将 $(0,-2)$ 代入得 $-2=a×(0+1)×(0-3)$,解得 $a=\frac{2}{3}$.
∵ 顶点横坐标为 $1$,将 $x=1$ 代入表达式得 $y=\frac{2}{3}×(1+1)×(1-3)=-\frac{8}{3}$,即顶点纵坐标为 $-\frac{8}{3}$.
